اگر سهمی y = -x² + xm همواره زیر خط y = 2 واقع شود، حدود m کدام است؟
Understand the Problem
این سوال از ما می‌خواهد که شرایط خاصی را بر اساس معادله یک سهمی بررسی کنیم. در اینجا، سهمی y = -x² + xm به ما داده شده و ما باید بازه m را تعیین کنیم که در آن این سهمی همواره زیر خط y = 2 واقع شود. بنابراین ما باید معادله سهمی و خط را تحلیل کنیم.
Answer
بازه m به صورت زیر است: $-2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2}$
Answer for screen readers
تازه‌ریخت بازه m به صورت زیر است: $$ -2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2} $$
Steps to Solve
- معادله‌ها را برابر قرار دهید
برای پیدا کردن نقاط تقاطع سهمی و خط، معادله سهمی $y = -x^2 + mx$ را با معادله خط $y = 2$ برابر قرار می‌دهیم: $$ -x^2 + mx = 2 $$
- انتقال و تنظیم معادله
با انتقال همه اجزا به یک طرف معادله، به شکل زیر می‌رسیم: $$ -x^2 + mx - 2 = 0 $$
- استفاده از فرمول دیسکریمینان
معادله کلیدی ما یک معادله درجه دو است. برای اینکه این سهمی همیشه زیر خط $y = 2$ باشد، باید معادله دارای هیچ راه حلی (دو ریشه مختلط) باشد. این بدان معناست که باید فاکتور دیسکریمینان منفی باشد: $$ D = b^2 - 4ac < 0 $$
در اینجا، $a = -1$، $b = m$ و $c = -2$ هستند. پس داریم: $$ m^2 - 4(-1)(-2) < 0 $$
- محاسبه و ساده‌سازی نابرابری
هم اکنون نابرابری را حل می‌کنیم: $$ m^2 - 8 < 0 $$ بنابراین، $m^2 < 8$
- نتیجه‌گیری از نابرابری
برای پیدا کردن بازه m، ریشه‌های $m$ را محاسبه می‌کنیم: $$ \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ بنابراین: $$ -2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2} $$
تازه‌ریخت بازه m به صورت زیر است: $$ -2\sqrt{2} < m < 2\sqrt{2} $$
More Information
بازه تعیین شده، نشان‌دهنده مقادیری است که در آن سهمی همواره زیر خط $y = 2$ قرار دارد. این نشان می‌دهد که به تغییرات در مقدار m حساسیم و می‌توانیم با استفاده از این بازه ویژگی‌های متقاطع را بررسی کنیم.
Tips
یکی از اشتباهات رایج در حل این مسئله، نادیده گرفتن علامت‌ها در هنگام محاسبات دیسکریمینان است. همچنین ممکن است در حل نابرابری‌ها دقت لازم را نداشته باشند. برای جلوگیری از این مشکلات، باید با دقت علامت‌ها و ترتیب حل را دنبال کرد.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
