اگر معادله x² + ax + b = 0 دارای ریشه مضاعف x=یک دوم باشد، a + b کدام است؟
Understand the Problem
این سوال از ما می‌خواهد که مقدار a و b را در معادله x²+ax+b=0 پیدا کنیم، به‌طوری‌که این معادله دارای ریشه مضاعف x=یک دوم باشد. برای حل این مسئله، ابتدا باید شرایط ریشه مضاعف را در نظر بگیریم و سپس با استفاده از مشخصات ریشه‌ها، مقادیر a و b را محاسبه کنیم.
Answer
$a = -1$, $b = \frac{1}{4}$
Answer for screen readers
$a = -1$, $b = \frac{1}{4}$
Steps to Solve
- شناسایی شرایط ریشه مضاعف
برای اینکه معادله $x^2 + ax + b = 0$ دارای ریشه مضاعف باشد، باید دلتا ($\Delta$) معادله صفر باشد. دلتا به صورت زیر تعریف می‌شود:
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
در این حالت، می‌توانیم مقدار $a$ و $b$ را به گونه‌ای تنظیم کنیم که دلتا برابر صفر شود.
- محاسبه دلتا با شرایط مشخص
با توجه به این که ریشه مضاعف معادله $x = \frac{1}{2}$ است، می‌توانیم آن را به صورت زیر بیان کنیم:
نسبت به معادله می‌دانیم:
$$ x = \frac{-a}{2} = \frac{1}{2} $$
از این رو، می‌توانیم مقدار $a$ را پیدا کنیم.
- محاسبه مقدار a
با تنظیم معادله:
$$ -a = 2 \cdot \frac{1}{2} $$
بنابراین:
$$ a = -1 $$
- محاسبه مقدار b
از آنجا که ریشه مضاعف $x = \frac{1}{2}$ است، به طور مستقیم می‌توانیم مقدار $b$ را با استفاده از معادله‌ی ریشه‌ها پیدا کنیم:
$$ b = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} $$
- نتیجه‌گیری
اکنون مقامات $a$ و $b$ را مشخص کرده‌ایم: $a = -1$ و $b = \frac{1}{4}$.
$a = -1$, $b = \frac{1}{4}$
More Information
زمانی که معادله یک ریشه مضاعف دارد، به این معنی است که آن ریشه همواره یک بار تکرار می‌شود. در اینجا ما ریشه مضاعف $x = \frac{1}{2}$ را داشتیم که سبب شد دو پارامتر $a$ و $b$ را به سادگی محاسبه کنیم.
Tips
- فراموش کردن شرط دلتا برای ریشه مضاعف.
- اشتباه در محاسبه مقدار $b$ از روی مقادیر ریشه‌ها.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
