A integral \int_{3}^{+\infty} \frac{dx}{x^4 \sqrt{x^2 - 4}} converge e seu valor é:

Steps to Solve

1. Verificar a convergência da integral

Para determinar se a integral converge, consideramos a função integranda:

$$ f(x) = \frac{1}{x^4 \sqrt{x^2 - 4}} $$

Para $x$ grande (tendendo ao infinito), podemos aproximar a função:

$$ f(x) \approx \frac{1}{x^4 \sqrt{x^2}} = \frac{1}{x^4 x} = \frac{1}{x^5} $$

A integral de $\frac{1}{x^5}$ é conhecida e converge, já que

$$ \int \frac{1}{x^5} , dx $$

é uma integral imprópria convergente.

2. Calcular a integral

Agora vamos calcular a integral imprópria:

$$ I = \int_{3}^{+\infty} \frac{dx}{x^4 \sqrt{x^2 - 4}} $$

Fazemos a substituição:

$$ \sqrt{x^2 - 4} = u $$

Logo,

$$ x^2 = u^2 + 4 $$

e, derivando,

$$ 2x , dx = 2u , du \Rightarrow dx = \frac{u , du}{\sqrt{u^2 + 4}} $$

Os limites da integral se transformam: quando $x = 3$, $u = \sqrt{3^2 - 4} = \sqrt{5}$. Quando $x \to \infty$, $u \to \infty$.

3. Substituir na integral

Substituindo na integral:

$$ I = \int_{\sqrt{5}}^{+\infty} \frac{u , du}{(u^2 + 4)^{2} \sqrt{u^2}} $$

Simplificando, temos:

$$ I = \int_{\sqrt{5}}^{+\infty} \frac{du}{(u^2 + 4)^{2}} $$

4. Calcular a nova integral

Agora vamos calcular a integral:

$$ I = \left[ -\frac{1}{8(u^2 + 4)} \right]_{\sqrt{5}}^{+\infty} $$

O limite superior vai a 0 assim que $u$ tende ao infinito:

$$ I = 0 - \left(-\frac{1}{8(\sqrt{5}^2 + 4)}\right) = \frac{1}{8(5 + 4)} = \frac{1}{8 \cdot 9} = \frac{1}{72} $$