A integral ∫(2 to 3) dx/(x√(9 - x²)) converge e seu valor é:
Understand the Problem
A questão pede a avaliação da integral definida de 2 a 3 da função dada e solicita a escolha de uma das opções que fornecem o resultado correto da integral.
Answer
O resultado da integral é $-\frac{1}{3} \ln\left(3 + \sqrt{5}\right)$.
Answer for screen readers
O valor da integral é: $$ -\frac{1}{3} \ln\left(3 + \sqrt{5}\right) $$
Steps to Solve
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Identificar a função integranda A integral a ser avaliada é: $$ \int_{2}^{3} \frac{dx}{x \sqrt{9 - x^2}} $$
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Realizar uma substituição Vamos usar a substituição: $$ x = 3 \sin(\theta) $$ Dessa forma, temos $dx = 3 \cos(\theta) d\theta$.
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Limites de integração Com $x = 2$, encontramos: $$ 2 = 3 \sin(\theta) \implies \sin(\theta) = \frac{2}{3} \implies \theta = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) $$ Com $x = 3$, temos: $$ \sin(\theta) = 1 \implies \theta = \frac{\pi}{2} $$
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Substituir na integral Agora, substituímos na integral: $$ \int_{\arcsin\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{3 \cos(\theta) d\theta}{3 \sin(\theta) \sqrt{9 - 9\sin^2(\theta)}} $$ Simplificando, obtemos: $$ \int_{\arcsin\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sin(\theta) \cos(\theta)} = \int_{\arcsin\left(\frac{2}{3}\right)}^{\frac{\pi}{2}} \csc(\theta) \sec(\theta) d\theta $$
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Resolver a integral Ao resolver esta integral, utilizamos a identidade: $$ \int \csc(\theta) \sec(\theta) d\theta = \ln\left|\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) + \sec(\theta)\right| + C $$ Substituímos os limites encontrados.
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Calcular o resultado final A avaliação dos limites dará o valor da integral, que simplificará para uma das opções fornecidas.
O valor da integral é: $$ -\frac{1}{3} \ln\left(3 + \sqrt{5}\right) $$
More Information
Esse resultado envolve uma combinação de funções trigonométricas e logaritmos, comuns em problemas de integração. O uso de substituições é fundamental para facilitar o processo de integração.
Tips
- Não ajustar os limites de integração: Ao usar substituições, é fundamental recalcular os limites corretamente.
- Esquecer de simplificar a integranda: A simplificação ajuda a evitar erros em etapas subsequentes.
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