a) Beräkna halten efter 5 timmar. b) Med hur många procent minskar halten per timme? c) Hur länge dröjer det innan halten har minskat till 10 % av vad den var från början?

Steps to Solve

1. Beräkna halten efter 5 timmar

För att beräkna halten efter 5 timmar använder vi funktionen $m(t) = 20 \cdot 0,86^t$. Så vi sätter in $t = 5$:

$$ m(5) = 20 \cdot 0,86^5 $$

2. Utför beräkningen

Nu beräknar vi $0,86^5$ först:

$$ 0,86^5 \approx 0,5132 $$

Och sedan multiplicerar vi med 20:

$$ m(5) = 20 \cdot 0,5132 \approx 10,264 \text{ gram per m}^3 $$

3. Beräkna procentuell minskning per timme

För att beräkna den procentuella minskningen per timme, tar vi värdet vid $t=0$ och $t=1$:

• $m(0) = 20$
• $m(1) = 20 \cdot 0,86^1 = 20 \cdot 0,86 = 17,2$

Så den procentuella minskningen från $t=0$ till $t=1$ är:

$$ \text{Procentuell minskning} = \frac{m(0) - m(1)}{m(0)} \cdot 100 = \frac{20 - 17,2}{20} \cdot 100 $$ $$ = \frac{2,8}{20} \cdot 100 = 14% $$

4. Beräkning av tid tills halten minskar till 10% av ursprunglig halt

Vi letar efter $t$ där $m(t) = 0,1 \cdot 20 = 2$:

$$ 2 = 20 \cdot 0,86^t $$

Dividera båda sidor med 20:

$$ 0,1 = 0,86^t $$

Nu tar vi logaritm av båda sidor:

$$ \log(0,1) = t \cdot \log(0,86) $$

Lös för $t$:

$$ t = \frac{\log(0,1)}{\log(0,86)} $$

5. Utför beräkningen av t

Vi kan nu använda en kalkylator för att beräkna:

$$ t \approx \frac{-1}{-0,0672} \approx 14,85 \text{ timmar} $$