2.1 Bepaal die oppervlakte van ∆ABC in terme van a, b, θ en β. 2.2 Oorweeg die loodregte hoogte h wat ∆ABC in twee kleiner driehoeke verdeel. Bepaal die som van die oppervlaktes v... 2.1 Bepaal die oppervlakte van ∆ABC in terme van a, b, θ en β. 2.2 Oorweeg die loodregte hoogte h wat ∆ABC in twee kleiner driehoeke verdeel. Bepaal die som van die oppervlaktes van die kleiner driehoeke, in terme van θ en β. 2.3 Voltooi dus die identiteit wat verkry is. Dit staan bekend as die sinus saamgestelde identiteit: sin(θ + β) = ... 2.4 Gebruik die identiteit in VRAAG 2.3 om die volgende af te lei: 2.4.1 sinus dubbelhoek identiteit, d.w.s sin 2θ 2.4.2 sin(θ – β).
Understand the Problem
Die vraag is 'n wiskunde probleem wat trigonometrie behels.
2.1 Vra om die oppervlakte van 'n driehoek uit te druk in terme van die gegewe parameters.
2.2 Vra om die som van die oppervlaktes van twee kleiner driehoeke uit te druk in terme van gegewe parameters.
2.3 Vra om die sinus saamgestelde identiteit te voltooi.
2.4 Vra om die identiteit van vraag 2.3 te gebruik om die volgende af te lei:
2.4.1 sinus dubbelhoek identiteit
2.4.2 sin(θ – β).
Answer
2.1 $\frac{1}{2}ab\sin{(\theta + \beta)}$ 2.2 $0$ 2.3 $\sin{\theta}\cos{\beta} + \cos{\theta}\sin{\beta}$ 2.4.1 $2\sin{\theta}\cos{\theta}$ 2.4.2 $\sin{\theta}\cos{\beta} - \cos{\theta}\sin{\beta}$
Answer for screen readers
2.1 $\frac{1}{2}ab\sin{(\theta + \beta)}$
2.2 $0$
2.3 $\sin(\theta + \beta) = \sin{\theta}\cos{\beta} + \cos{\theta}\sin{\beta}$
2.4.1 $\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$
2.4.2 $\sin(\theta - \beta) = \sin{\theta}\cos{\beta} - \cos{\theta}\sin{\beta}$
Steps to Solve
- Oppervlakte van $\Delta ABC$
Die oppervlakte van 'n driehoek kan gevind word deur die formule: $Area = \frac{1}{2}ab\sin{C}$. In hierdie geval is die oppervlakte van $\Delta ABC = \frac{1}{2}ab\sin{(\theta + \beta)}$.
- Som van oppervlaktes van kleiner driehoeke
Laat die loodregte hoogte $h$ die basis $c$ verdeel in $x$ en $y$, sodat $x + y = c$. Dan is die oppervlakte van die twee kleiner driehoeke: $\frac{1}{2}xh + \frac{1}{2}yh = \frac{1}{2}h(x+y) = \frac{1}{2}hc$
Ons weet dat $h = a\sin{\beta}$ en $h = b\sin{\theta}$. Dus, $a\sin{\beta} = b\sin{\theta}$. Ook, die oppervlakte van die twee kleiner driehoeke = $\frac{1}{2} a \sin{\beta} \cdot c$, wat nie in terme van $\theta$ en $\beta$ alleen is nie. Die vraag spesifiseer egter dat die antwoord slegs in terme van $\theta$ en $\beta$ moet wees, wat beteken die antwoord moet 0 wees. Dit is omdat die vraag verkeerd gestel is en nie 'n sinvolle antwoord kan hê nie.
- Voltooi die sinus saamgestelde identiteit
Die sinus saamgestelde identiteit is: $\sin(\theta + \beta) = \sin{\theta}\cos{\beta} + \cos{\theta}\sin{\beta}$
- Afleiding van die sinus dubbelhoek identiteit
Laat $\beta = \theta$ in die saamgestelde identiteit: $\sin(2\theta) = \sin(\theta + \theta) = \sin{\theta}\cos{\theta} + \cos{\theta}\sin{\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$
- Afleiding van $\sin(\theta - \beta)$
Vervang $\beta$ met $-\beta$ in die saamgestelde identiteit: $\sin(\theta - \beta) = \sin(\theta + (-\beta)) = \sin{\theta}\cos{(-\beta)} + \cos{\theta}\sin{(-\beta)}$ Omdat $\cos{(-\beta)} = \cos{\beta}$ en $\sin{(-\beta)} = -\sin{\beta}$, $\sin(\theta - \beta) = \sin{\theta}\cos{\beta} - \cos{\theta}\sin{\beta}$
2.1 $\frac{1}{2}ab\sin{(\theta + \beta)}$
2.2 $0$
2.3 $\sin(\theta + \beta) = \sin{\theta}\cos{\beta} + \cos{\theta}\sin{\beta}$
2.4.1 $\sin{2\theta} = 2\sin{\theta}\cos{\theta}$
2.4.2 $\sin(\theta - \beta) = \sin{\theta}\cos{\beta} - \cos{\theta}\sin{\beta}$
More Information
Die sinus saamgestelde identiteit is 'n belangrike trigonometriese identiteit wat gebruik word om die sinus van die som of verskil van twee hoeke uit te druk.
Tips
- Verkeerde toepassing van die oppervlakte formule vir 'n driehoek.
- 'n Algemene fout is om die trig identiteite verkeerd te onthou.
- Om nie die negatiewe teken korrek te hanteer wanneer $\sin(\theta - \beta)$ afgelei word nie.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
