Statisztikai alapfogalmak: Áttekintés

Statisztikai Alapfogalmak

• A statisztika az adatok elemzését és értelmezését segítő tudomány.
• Alapvető statisztikai fogalmak: átlag, módus, medián, terjedelem és szórás.
• E fogalmak kulcsfontosságúak az adatok összefoglalásához és eloszlásuk megértéséhez.

Átlag (Számtani Közép)

• Az átlag az adatok összegzésének egyik leggyakorlatiasabb módszere.
• Kiszámítása: az összes adat összege osztva az adatok számával.
• Példa: Egy osztály tanulóinak jegyei: 85, 90, 75, 88, 92, így az átlag: (85+90+75+88+92)/5 = 88.

Modus (Módusz)

• A módus az az érték, amely egy adathalmazban a leggyakrabban fordul elő.
• Példa: Egy boltban eladott napi péksütemények száma: 50, 60, 70, 70, 80, ahol a módus 70, mert ez szerepel kétszer.

Medián

• A medián az az érték, amely egy adathalmaz közepén található, ha az értékeket sorba rendezzük.
• Példa: Egy munkahelyen a dolgozók fizetései (ezer dollárban): 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, tehát a medián 60 ezer dollár.

Terjedelem (Tartomány)

• A terjedelem az adathalmaz legnagyobb és legkisebb értéke közötti különbséget mutatja.
• Példa: Egy étel elkészítési idejei (perc): 25, 30, 35, 40, 60, tehát a terjedelem 60 - 25 = 35 perc.

Szórás (Standard Deviáció)

• A szórás az eredmények átlagtól mért átlagos távolságát fejezi ki.
• A szórás kiszámításának lépései:
• Számítsuk ki az adatok számtani közepét (átlagát).
• Számítsuk ki az adatok eltérését az átlagtól (adat - átlag).
• Emeljük négyzetre minden eltérés értékét.
• Határozzuk meg a négyzeteltérések átlagát.
• Vonjunk négyzetgyököt az átlagos négyzeteltérésekből.

Következtetés

• Az átlag az értékek középértékét, a módusz a leggyakoribb értéket, a medián a középső értéket, a terjedelem a legmagasabb/legalacsonyabb adatok közti különbséget határozza meg. A szórás az adatok átlagtól mért távolságát mutatja.
• Ezen fogalmak fontosak a statisztikai elemzésekhez, döntéshozatalhoz és az adatok értelmezéséhez.

Diákok Matematikai Teszteredményei – Példa

• Adott pontszámok: 78, 85, 92, 88, 92, 78, 90, 85, 88, 96, 78, 92
• Átlag: (78+85+92+88+92+78+90+85+88+96+78+92) / 12 = 87
• Módus: 78 és 92 (mindkettő kétszer fordul elő)
• Medián: A növekvő sorrendbe rendezett eredmények (78, 78, 78, 85, 85, 88, 88, 90, 92, 92, 92, 96) középső értéke 88.
• Terjedelem: 96 (legnagyobb) - 78 (legkisebb) = 18

Szórás Számítása a Példában

• Átlag: (78 + 85 + 92 + 88 + 92 + 78 + 90 + 85 + 88 + 96 + 78 + 92) / 12 = 83.42
• Eltérések az átlagtól: -5.42, 1.58, 8.58, 4.58, 8.58, -5.42, 6.58, 1.58, 4.58, 12.58, -5.42, 8.58
• Eltérések négyzetei: 29.39, 2.50, 73.72, 21.00, 73.72, 29.39, 43.43, 2.50, 21.00, 158.92, 29.39, 73.72
• Az eltérések négyzetének átlaga: (29.39 + 2.50 + 73.72 + 21.00 + 73.72 + 29.39 + 43.43 + 2.50 + 21.00 + 158.92 + 29.39 + 73.72) / 12 = 48.02
• Szórás: √48.02 ≈ 6.94

Adathalmazok Felosztása és Százalékos Mérőszámok

• Szükség van az adatok eloszlásának és szóródásának megértésére az adatok elemzése során.
• A medián, tercilisek és kvartilisek statisztikai értékek, melyek részletesebb elemzést tesznek lehetővé.

Medián

• A medián az adathalmaz középső értéke.
• A medián meghatározása: Az adathalmaz rendezése után megkeressük a középső értéket.
• Páros számú adathalmaz esetén a medián a két középső érték átlaga.

Kvartilisek

• Vannak alsó (Q1), középső (Q2) és felső (Q3) kvartilisek.
• Az alsó kvartilis az adatok alsó 25%-át, a középső az 50%-át, a felső a felső 25%-át jelöli.
• A kvartilisek négy egyenlő részre osztják az adathalmazt.

Tercilisek

• A tercilisek a adathalmazt három egyenlő részre osztják.
• Alsó tercilis, középső tercilis, felső tercilis.

Kvintilisek

• A kvintilisek az adathalmazt öt egyenlő részre osztják.
• Részletesebb analízist tesz lehetővé.
• Az alsó kvintilis az alsó 20%-át jelöli, a középső a középső 20%-át, és így tovább.

Szextilisek

• A szextilisek az adathalmazt hat egyenlő részre osztják.
• Az alsó szextilis az adatok alsó 16,67%-át jelzi.

Deszilisek

• A deszilisek az adathalmazt 10 egyenlő részre osztják.
• Lehetővé teszik az adatok rendkívül részletes eloszlását.

Következtetés

• Az adathalmazok felosztása és a százalékos mérőszámok segítik az adatok részletes elemzését, eloszlásukat és terjedésüket.
• Ezen mérőszámok fontosak a statisztikai elemzésben és a döntéshozatal során.
• A megfelelő mérőszám kiválasztása lehetővé teszi pontosabb és részletesebb információk megszerzését.

Medián - Példa

• Egy csoport hallgató által elért pontszámok: 85, 92, 76, 88, 90, 78, 94.
• Rendezve: 76, 78, 85, 88, 90, 92, 94.
• A medián 88.

Kvartilisek - Példa

• Egy vállalatnál a dolgozók fizetései (növekvő sorrendben): $3,500, $4,200, $4,800, $5,600, $6,200, $7,000, $9,000
• Alsó kvartilis (Q1): $4,200
• Középső kvartilis (Q2): $5,600
• Felső kvartilis (Q3): $7,000

Tercilisek - Példa

• Egy tanuló évközi pontjai: 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95
• Alsó tercilis: 60, 65, 70
• Középső tercilis: 75, 80, 85
• Felső tercilis: 90, 95

Kvintilisek - Példa

• Futási idő (másodpercben): 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95
• Alsó kvintilis: 50, 55
• Második kvintilis: 60, 65
• Harmadik kvintilis: 70, 75
• Negyedik kvintilis: 80, 85
• Felső kvintilis: 90, 95

Szextilisek - Példa

Éttermbe érkező vendégek várakozási ideje (perc): 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50.

• Alsó szextilis: 10, 15, 20
• Második szextilis: 25, 30, 35
• Harmadik szextilis: 40, 45, 50

Deszilisek - Példa

Választási eredmények százalékban: 12%, 18%, 22%, 28%, 34%, 40%, 46%, 52%, 58%, 64%.

• Alsó deszilis: 12%, 18%
• Második deszilis: 22%, 28%
• Harmadik deszilis: 34%, 40%
• Negyedik deszilis: 46%, 52%
• Ötödik deszilis: 58%, 64%

Sportklub Edzések Időtartamának Elemzése Példán Keresztül

• Rögzített adatok: 30, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 90, 100 (perc)
• A medián 65 perc.
• Kvartilisek segítségével a futási idők terjedelme meghatározható.
• Alsó kvartilis (Q1): 45 perc (az edzések alsó 25%-a rövidebb ennél)
• Középső kvartilis (Q2): 65 perc
• Felső kvartilis (Q3): 80 perc (az edzések felső 25%-a hosszabb időtartamú)

Sportklub Edzések Időtartamának További Statisztikai Adatai

• Tercilisekkel további részletek nyerhetők:
  • Alsó tercilis: 45, 50, 55 perc
  • Középső tercilis: 60, 65, 70 perc -Felső tercilis: 75, 80, 90 perc
• Kvintilisek még finomabb részletességet mutatnak, kezdve az alsó kvintilissel: 45 perc, 50 perc
• Szextilisek: Nagyon finom felbontást teszt lehetővé:
  • Alsó szextilis 45 perc, a második 50 perc stb
• Deszilisek segítségével még alaposabban feltárható az edzések időtartamának megoszlása.
• A százalékos mérőszámok segítségével jobban megérthetők az edzések jellemzői és döntéseket lehet hozni az edzésekkel kapcsolatban.