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Questions and Answers
प्राइम नंबर को किस प्रकार परिभाषित किया जाता है?
गणित में
किस परिभाषा में
किस अवधारणा के अनुसार, रैखिक समीकरण का प्रयोग किया जाता है?
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त्रिकोणों के किस प्रकार को उनके बिंदुओं की संख्या के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है?
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विभाज्यता के नियम के अनुसार, किस मूल्य पर कोई संख्या 5 से विभाजित होती है?
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किस प्रमेय से भिन्नता और मानक विचलन का संबंध सिद्ध होता है?
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गणित में मॉड्यूलर अंकगणित का क्या मतलब है?
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एक प्राकृतिक संख्या को कहां तक श्रेणीबद्ध किया जाता है ताकि वह एक प्राइम नंबर हो?
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यदि एक समीकरण $x + 5 = 12$ है, तो $x$ का मान क्या होगा?
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त्रिकोण के क्षेत्रफल की गणना का सही सूत्र कौन सा है?
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यदि कुल $200$ में से आपको $20 rac{1}{2} ext{ }%$ लाभ प्राप्त होता है, तो लाभ की राशि क्या होगी?
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एक सर्कल का व्यास $10$ सेमी है, उसका क्षेत्रफल क्या होगा?
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संख्याओं $12$ और $15$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक (GCD) क्या है?
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यदि $2x + 4 = 10$ है, तो $x$ का मान क्या होगा?
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किस प्रकार का समीकरण रैखिक समीकरण कहलाता है?
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किस माप का उपयोग करके हम एक आंकड़े की परिधि का निर्धारण करते हैं?
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Study Notes
Number Theory
- Definition: Study of integers and their properties.
-
Key Concepts:
- Prime numbers: Numbers greater than 1 with no divisors other than 1 and itself.
- Divisibility: Rules determining if one integer divides another.
- Greatest Common Divisor (GCD): Largest integer that divides two or more numbers.
- Least Common Multiple (LCM): Smallest multiple that is evenly divisible by two or more numbers.
- Modular arithmetic: Arithmetic for integers where numbers wrap around upon reaching a certain value (modulus).
Calculus
- Definition: Study of change and motion; focuses on derivatives and integrals.
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Key Concepts:
- Derivative: Measures how a function changes as its input changes (instantaneous rate of change).
- Integral: Represents the accumulation of quantities, area under curves.
- Fundamental Theorem of Calculus: Connects differentiation and integration.
- Limits: Value that a function approaches as the input approaches some value.
Statistics
- Definition: Science of collecting, analyzing, interpreting, and presenting data.
-
Key Concepts:
- Descriptive statistics: Summarizes data (mean, median, mode).
- Inferential statistics: Draws conclusions from data (hypothesis testing, confidence intervals).
- Variance and standard deviation: Measures of data dispersion.
- Probability: Study of randomness and uncertainty.
- Distributions: Normal distribution, binomial distribution, etc.
Algebra
- Definition: Branch of mathematics dealing with symbols and the rules for manipulating those symbols.
-
Key Concepts:
- Variables: Symbols that represent numbers.
- Expressions: Combinations of variables, constants, and operators.
- Equations: Mathematical statements asserting equality (e.g., linear equations).
- Functions: Relationships between sets that assign exactly one output for each input.
- Polynomials: Expressions involving coefficients and variables raised to whole number powers.
Geometry
- Definition: Study of shapes, sizes, and properties of space.
-
Key Concepts:
- Points, lines, and planes: Fundamental building blocks of geometry.
- Angles: Formed by two rays with a common endpoint; types include acute, obtuse, right.
- Triangles: Types (equilateral, isosceles, scalene) and properties (Pythagorean theorem).
- Circles: Properties (radius, diameter, circumference), area calculation.
- Solid geometry: Study of three-dimensional figures (cubes, spheres, cylinders).
Percentage
- Definition: A way of expressing a number as a fraction of 100.
-
Key Concepts:
- Calculation: Percentage = (part/whole) × 100.
- Applications: Used in finance, statistics, and everyday calculations.
- Increase/Decrease: Percentage increase = [(new value - original value)/original value] × 100.
Profit and Loss
- Definition: Concepts used in finance to evaluate the financial performance.
-
Key Concepts:
- Profit: Total revenue - total costs; indicates financial gain.
- Loss: Total costs - total revenue; indicates financial deficit.
- Markup: Amount added to the cost price to determine selling price.
- Discount: Reduction in the original selling price.
- Break-even point: Level of sales at which total revenues equal total costs.
संख्या सिद्धांत
- परिभाषा: पूर्णांकों और उनके गुणों का अध्ययन।
- प्रमुख अवधारणाएँ:
- अभाज्य संख्या: 1 से बड़ी संख्याएँ जिनके विभाजक केवल 1 और स्वयं होती हैं।
- विभाजन संबंधी नियम: यह निर्धारित करते हैं कि क्या एक पूर्णांक दूसरे को विभाजित करता है।
- महानतम समान भाजक (GCD): दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा पूर्णांक जो उन्हें विभाजित करता है।
- न्यूनतम समान गुणज (LCM): दो या अधिक संख्याओं द्वारा समान रूप से विभाजित सबसे छोटी गुणज।
- मापांक अंकगणित: पूर्णांकों के लिए अंकगणित, जहाँ संख्याएँ एक निश्चित मान (मॉड्यूलस) पर पहुँचने पर पुनः आरंभ होती हैं।
कलन
- परिभाषा: परिवर्तन और गति का अध्ययन; व्युत्क्रम और समाकलन पर ध्यान केंद्रित।
- प्रमुख अवधारणाएँ:
- व्युत्क्रम: बताता है कि एक फ़ंक्शन किस प्रकार बदलता है जैसे-जैसे इसका इनपुट बदलता है (तत्कालिक परिवर्तन की दर)।
- समाकलन: मात्राओं का संचय, वक्रों के नीचे का क्षेत्र।
- कलन के मौलिक प्रमेय: व्युत्क्रम और समाकलन को जोड़ता है।
- सीमाएँ: वह मान जो एक फ़ंक्शन उस समय प्राप्त करता है जब इनपुट किसी मान के करीब पहुँचता है।
सांख्यिकी
- परिभाषा: डेटा संग्रह, विश्लेषण, व्याख्या और प्रस्तुति की विज्ञान।
- प्रमुख अवधारणाएँ:
- वर्णात्मक सांख्यिकी: डेटा का सारांश (माध्य, मध्यिका, मोड)।
- अनुमानात्मक सांख्यिकी: डेटा से निष्कर्ष निकालना (परिकल्पना परीक्षण, आत्मविश्वास अंतराल)।
- विविधता और मानक विचलन: डेटा प्रसार के माप।
- संभावना: यादृच्छिकता और अनिश्चितता का अध्ययन।
- वितरण: सामान्य वितरण, बाइनोमियल वितरण आदि।
बीजगणित
- परिभाषा: प्रतीकों और उन प्रतीकों के हेरफेर के नियमों से संबंधित गणित की शाखा।
- प्रमुख अवधारणाएँ:
- चर: वे प्रतीक जो संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
- निरूपण: चर, स्थिरांकों और परिचालकों का संयोजन।
- समीकरण: गणितीय कथन जो समानता का प्रतिपादन करते हैं (जैसे, रेखीय समीकरण)।
- कार्य: सेटों के बीच संबंध जो प्रत्येक इनपुट के लिए एक अद्वितीय आउटपुट निर्दिष्ट करता है।
- बहुपद: वे निरूपण जो पूर्णांक शक्तियों में गुणांक और चर शामिल करते हैं।
ज्यामिति
- परिभाषा: आकार, आकार, और स्थान के गुणों का अध्ययन।
- प्रमुख अवधारणाएँ:
- बिंदु, रेखाएँ, और समतल: ज्यामिति के मौलिक निर्माण खंड।
- कोण: दो किरणों द्वारा निर्मित; प्रकारों में तीव्र, गंभीर, और समकोण शामिल हैं।
- त्रिकोण: प्रकार (समानांतर, इसोक्लेस, स्केलीन) और गुण (पैथागोरस प्रमेय)।
- गोला: गुण (त्रिज्या, व्यास, परिधि), क्षेत्रफल की गणना।
- ठोस ज्यामिति: तीन आयामी आकृतियों का अध्ययन (घन, गोलक, सिलेंडर)।
प्रतिशत
- परिभाषा: किसी संख्या को 100 के अंश में व्यक्त करने का एक तरीका।
- प्रमुख अवधारणाएँ:
- गणना: प्रतिशत = (भाग/सम्पूर्ण) × 100।
- आवेदन: वित्त, सांख्यिकी, और दैनिक गणनाओं में उपयोग किया जाता है।
- वृद्धि/ह्रास: प्रतिशत वृद्धि = [(नई मात्रा - मूल मात्रा)/मूल मात्रा] × 100।
लाभ और हानि
- परिभाषा: वित्त में वित्तीय प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सिद्धांत।
- प्रमुख अवधारणाएँ:
- लाभ: कुल राजस्व - कुल लागत; वित्तीय लाभ को इंगित करता है।
- हानि: कुल लागत - कुल राजस्व; वित्तीय घाटे को इंगित करता है।
- मार्कअप: लागत मूल्य में जोड़ी जाने वाली राशि जो विक्रय मूल्य निर्धारित करती है।
- छूट: मूल विक्रय मूल्य में कमी।
- ब्रेक-ईवन पॉइंट: बिक्री का स्तर जिस पर कुल राजस्व कुल लागत के बराबर होता है।
संख्या सिद्धांत
- परिभाषा: संख्याओं की वह शाखा जो पूर्णांकों और उनकी विशेषताओं से संबंधित है।
- प्राइम संख्या: वे प्राकृतिक संख्याएं जो 1 से अधिक हैं और जिनके कोई सकारात्मक विभाजक नहीं होते, सिवाय 1 और स्वयं के।
- भागात्मकता नियम: ऐसे दिशा-निर्देश जो यह निर्धारित करने में मदद करते हैं कि एक संख्या दूसरी संख्या से विभाज्य है या नहीं (जैसे, यदि संख्या 0, 2, 4, 6, या 8 पर समाप्त होती है तो वह सम होती है)।
- महत्तम समानुपाती (GCD): सबसे बड़ा पूर्णांक जो दो या दो से अधिक संख्याओं को बिना शेषफल के विभाजित करता है।
- न्यूनतम समापवर्त्य (LCM): सबसे छोटी गुणांक जो दो या अधिक संख्याओं द्वारा ठीक से विभाजित होती है।
- मॉड्यूलर अंकगणित: पूर्णांको के लिए अंकगणित का एक सिस्टम, जहाँ संख्याएं एक निश्चित मान (मॉड्यूलस) तक पहुँचकर लपेट जाती हैं।
बीजगणित
- परिभाषा: गणितीय प्रतीकों का अध्ययन और इन प्रतीकों को संभालने के नियम।
- चर: प्रतीक जो अज्ञात मानों का प्रतिनिधित्व करते हैं (सामान्यतः x, y, z)।
- व्यंजना: चर, स्थिरांक और संक्रियाओं का संयोजन (जैसे, 2x + 3)।
- समीकरण: दो व्यंजनों के बीच समानता का वक्तव्य (जैसे, 2x + 3 = 7)।
- कार्य: इनपुट और अनुमत आउटपुट के सेट के बीच संबंध (जैसे, f(x) = x²)।
- रेखीय समीकरण: पहले डिग्री के समीकरण, सामान्यतः y = mx + b के रूप में होते हैं, जहाँ m ढलान और b y-अवरोध है।
ज्यामिति
- परिभाषा: गणित की वह शाखा जो बिंदुओं, रेखाओं, सतहों और ठोस वस्तुओं की विशेषताओं और संबंधों से संबंधित है।
-
मूलभूत आकृतियाँ:
- त्रिभुज: तीन किनारों और श्रेणियों वाला बहुभुज।
- वृत्त: एक स्तर में सभी बिंदुओं का सेट जो केंद्र बिंदु से निश्चित दूरी (त्रिज्या) पर हैं।
- चौकोर: समान भुजाओं और समकोणों वाला चतुरभुज।
- कोण: दो किरणों द्वारा बनाए जाते हैं, जो एक सामान्य समापन बिंदु रखते हैं। डिग्री में मापी जाती है।
- प्रकार: तीव्र (< 90°), समकोण (90°), obtuse (> 90°)।
-
क्षेत्रफल और परिमिति:
- क्षेत्रफल: आकृति के भीतर का स्थान (जैसे, आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई)।
- परिमिति: आकृति के चारों ओर की दूरी (जैसे, आयत का परिमिति = 2(लंबाई + चौड़ाई))।
प्रतिशत
- परिभाषा: किसी संख्या को 100 के अंश के रूप में व्यक्त करने का एक तरीका।
-
गणना:
- संख्या के प्रतिशत को खोजने के लिए: (प्रतिशत/100) × कुल।
- भिन्न को प्रतिशत में परिवर्तित करने के लिए: (अंकन/हर) × 100।
- आवेदन: वित्त, सांख्यिकी, और जनसंख्या अध्ययन में अनुपातों की तुलना के लिए उपयोग किया जाता है।
लाभ और हानि
- लाभ: वह वित्तीय लाभ जो राजस्व के खर्चों से अधिक होने पर प्राप्त होता है।
- सूत्र: लाभ = राजस्व - लागत।
- हानि: जब खर्च राजस्व से अधिक होता है, तब होता है।
- सूत्र: हानि = लागत - राजस्व।
- लाभ प्रतिशत: लागत मूल्य पर लाभ का प्रतिशत।
- सूत्र: लाभ प्रतिशत = (लाभ/लागत मूल्य) × 100।
- हानि प्रतिशत: लागत मूल्य पर हानि का प्रतिशत।
- सूत्र: हानि प्रतिशत = (हानि/लागत मूल्य) × 100।
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Description
यह क्विज संख्यात्मक सिद्धांत और कलन के प्रमुख अर्थों और अवधारणाओं का अध्ययन करता है। इसमें अभाज्य संख्या, विवर्तनीयता, अधिकतम साझा भाजक और न्यूनतम सामान्य गुणांक जैसे महत्वपूर्ण सिद्धांत शामिल हैं। साथ ही, कलन की आधारभूत सैद्धांतिक बिंदुओं पर भी ध्यान केंद्रित किया गया है।
