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Questions and Answers
¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la derivada de una función es verdadera?
¿Cuál es la forma correcta de aplicar la regla del producto a dos funciones derivables f y g?
Al calcular la derivada de una suma de dos funciones, ¿qué propiedad se utiliza?
¿Qué ocurre con la derivada de una función constante?
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En la ecuación de la recta tangente a una función en un punto x=a, ¿qué se necesita para encontrar la pendiente?
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¿Cuál es la relación entre la pendiente de la recta tangente de una función biyectiva y su función inversa?
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Si una función f tiene un punto P con coordenadas (-1, 3) y su pendiente m es -2, ¿cuál es la pendiente m2 de la recta tangente a su función inversa g en el punto Q (3, -1)?
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la derivada de una función inversa es correcta?
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Al calcular la derivada de la función inversa de x = sen y, ¿qué expresión se obtiene al reemplazar según la identidad trigonométrica?
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En la derivación de x = tg y, ¿cuál es el resultado final cuando se aplica la regla de la cadena?
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Study Notes
### Reglas de Derivación
- Las reglas de derivación se aplican para determinar la derivada de funciones producto por un escalar, suma, producto y cociente de funciones
- Las reglas de derivación funcionan en los dominios correspondientes
- Se debe considerar que las funciones f y g son derivables y que se encuentran en determinados dominios
Producto por un Escalar
- La derivada de una función multiplicada por un escalar es igual al escalar multiplicado por la derivada de la función
- Ejemplo: la derivada de 3x² es 6x
- La constante se puede pensar como un producto, incluso si está dividiendo
Suma de Funciones
- La derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de las funciones
- Ejemplo: la derivada de x² + 3x es 2x + 3
Derivada de la Función Inversa
- Si y es función de x, entonces la derivada de y con respecto a x, y', es igual a la derivada de la función inversa multiplicada por la derivada de x con respecto a y
- Ejemplo: la derivada de arc sen x es 1 / √(1 − x²)
Tabla de Derivadas
- La tabla de derivadas es una herramienta útil para encontrar la derivada de funciones comunes
- La tabla incluye funciones como la constante, x^n, sen x, cos x, tg x, etc.
Continuidad y Derivabilidad
- Para determinar la continuidad y la derivabilidad de una función, se debe considerar su dominio y el comportamiento en cada punto
- Se debe analizar la continuidad en cada punto del dominio, tanto en intervalos abiertos como en puntos de frontera
- Se debe analizar la derivabilidad en cada punto del dominio, considerando la existencia de la derivada lateral en los puntos de frontera, y la derivada general dentro de los intervalos abiertos
- Para estudiar la continuidad de una función, se debe analizar la existencia del límite en cada punto del dominio, además de verificar si el límite es igual al valor de la función en ese punto.
- Una función es continua en un punto si el límite en ese punto existe y es igual al valor de la función en ese punto.
- Para estudiar la derivabilidad de una función, se debe analizar la existencia de la derivada lateral en cada punto del dominio.
- Una función es derivable en un punto si la derivada lateral derecha y la derivada lateral izquierda existen y son iguales.
- Si la función es continua pero no derivable en un punto, significa que la curva de la función tiene una esquina, un punto cúspide, o un salto brusco en ese punto.
- La derivada lateral derecha y la derivada lateral izquierda son las pendientes de las tangentes de la curva en el punto desde la derecha y desde la izquierda respectivamente.
Ejercicios Resueltos
- Ejemplo: Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función f(x) = |x|
- Se divide el dominio en dos intervalos: x<0 y x>0
- Para x<0, la función f(x) = -x y para x>0, la función f(x) = x
- La función es continua en todo su dominio, incluyendo x=0
- La función no es derivable en x=0 porque las derivadas laterales son distintas
- La función es derivable en todo su dominio excepto en x=0
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Description
Este cuestionario abarca las reglas de derivación, incluyendo la derivada de funciones producto por un escalar, la suma de funciones y la derivada de funciones inversas. Estudia ejemplos y la aplicación de estas reglas en diferentes dominios. Ideal para estudiantes de cálculo y matemáticas avanzadas.
