Análisis Matemático I - Apuntes de Clase - Unidad 3: Derivada y Diferencial PDF

**ANALISIS MATEMÁTICO I** **APUNTES DE CLASE** []{#_Toc62031299.anchor}**UNIDAD 3: DERIVADA Y DIFERENCIAL** **Objetivos:** al finalizar la unidad podrás: - Distinguir entre razón de cambio promedio e instantánea de una función en un punto dado e interprete su significado geométrico y f...

**ANALISIS MATEMÁTICO I** **APUNTES DE CLASE** []{#_Toc62031299.anchor}**UNIDAD 3: DERIVADA Y DIFERENCIAL** **Objetivos:** al finalizar la unidad podrás: - Distinguir entre razón de cambio promedio e instantánea de una función en un punto dado e interprete su significado geométrico y físico. - Resolver problemas sencillos y/o ejercicios de aplicación sobre razón de cambio promedio e instantánea de una función. - Definir derivada y distinguir entre función derivada y derivada en un punto. - Obtener la ecuación de la recta tangente y normal a una función en un punto dado. - Diferenciar entre funciones derivables y no derivables en un punto. - Enunciar y demostrar el teorema que relaciona derivabilidad y continuidad. - Reconocer cuándo es necesario el uso de derivadas laterales. - Conocer las reglas de derivación para emplearlas en el cálculo de derivadas de diferentes funciones. - Usar derivación logarítmica y derivación de funciones dadas en forma implícita cuando sea necesario. - Identificar la relación entre la derivada de una función y la de su función inversa. - Definir y calcular derivadas sucesivas. - Comprender el concepto de aproximación lineal y utilizarlo en ejercicios. - Definir diferencial e interpretarlo geométricamente. - Relacionar el concepto de diferencial con el de aproximación lineal. [[UNIDAD 3: DERIVADA Y DIFERENCIAL] 1](#_Toc62031299) [[El problema de la velocidad] 3](#_Toc62031300) [[El problema de la recta tangente] 4](#_Toc62031301) [[Función derivada] 8](#_Toc62031302) [[Derivadas laterales] 10](#_Toc62031303) [[Funciones derivadas] 12](#_Toc62031304) [[Reglas de derivación (álgebra de derivadas)] 16](#_Toc62031305) [[Producto por un escalar] 16](#_Toc62031306) [[Suma de funciones] 17](#_Toc62031307) [[Producto de funciones] 19](#_Toc62031308) [[Cociente de funciones] 21](#_Toc62031309) [[Tabla de derivadas] 23](#_Toc62031310) [[Algunos ejercicios resueltos utilizando los conceptos dados] 23](#_Toc62031311) [[Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena] 34](#_Toc62031312) [[Composición de funciones] 34](#_Toc62031279) [[Derivada de una función inversa] 38](#_Toc62031313) [[Derivación logarítmica] 42](#_Toc62031314) [[Derivación implícita] 45](#_Toc62031315) [[Diferencial] 46](#_Toc62031316) **¿Qué necesitás saber para estudiar la unidad? (conocimientos previos)** - Manejo de funciones. Funciones elementales (todo lo visto en la unidad 1) - Concepto de límite. - Técnicas de cálculo de límites. - Límites laterales. - Manejo algebraico de expresiones algebraicas enteras, fraccionarias y de funciones. []{#_Toc62031300.anchor}**El problema de la velocidad** Claqueta con relleno sólido Planteamos ahora un problema similar al del video. Sea la distancia recorrida por un objeto que cae desde un edificio de 450 m. Queremos calcular la velocidad del objeto en el instante t = 2. Primero observemos la función: es una función en contexto y nos brinda la distancia que el objeto recorre (y no la distancia al suelo). Por ejemplo: en el primer segundo el objeto recorrió 5 metros y su distancia al suelo es de 445m. En el segundo 2 el objeto recorrió 20m y su distancia al suelo es de 430m, y así sucesivamente). Para calcular el dominio de esta función debemos tener en cuenta que el objeto no puede recorrer más de 450m, con lo que: (tomamos tiempo positivo). Entonces podemos decir que: Para calcular la velocidad en t = 2 comenzamos hallando las velocidades medias en intervalos de la forma \[2, t\] o \[t, 2\]. Tengamos en cuenta que: Velocidad media = t \[2,t\] ------- ------------- ----------------------------------- ------- ----------- 3 \[2,3\] s(3)-s(2)=45-20=25 1 25m/s 2.5 \[2,2.5\] s(2.5)-s(2)=31.25-20=11.25 0.5 22.5m/s 2.1 \[2,2.1\] s(2.1)-s(2)=22.05-20=2.05 0.1 20.5m/s 2.01 \[2,2.01\] s(2.01)-s(2)=20.2005-20=0.2005 0.01 20.05m/s 2.001 \[2,2.001\] s(2.001)-s(2)=20.02005-20=0.02005 0.001 20.005m/s Tomemos t \< 2 t \[t, 2\] ------- ------------- --------------------------------- ------- ----------- 1 \[1,2\] s(2)-s(1)=20-5=15 1 15m/s 1.5 \[1.5,2\] s(2)-s(1.5)=20-11.25=8.75 0.5 17.5m/s 1.9 \[1.9,2\] s(2)-s(1.9)=20-18.05=1.95 0.1 19.5m/s 1.99 \[1.99,2\] s(2)-s(1.99)=20-19.8005=0.1995 0.01 19.95m/s 1.999 \[1.999,2\] s(2)-s(2.001)=20-19.98=0.019995 0.001 19.995m/s Si observamos la última columna de las dos tablas, a medida que t se acerca a t = 2, las velocidades promedio se acercan a 20 m/s. Estamos haciendo un proceso de límite, entonces es de esperar que definamos velocidad instantánea como límite de las velocidades medias: Lo que observamos en la tabla lo demostramos analíticamente. Entonces definimos: []{#_Toc62031301.anchor}**El problema de la recta tangente**  Analizamos un problema similar al del video con la función anterior, pero ahora fuera de contexto, es decir: Queremos observar qué significa gráficamente los cocientes que estuvimos calculando como velocidades medias. Tengamos en cuenta que llamamos recta secante a una recta que une dos puntos cualesquiera de una curva. Por ejemplo, el primer cociente representa la pendiente de la recta secante que está graficada en rojo y que une los puntos P(2, f(2)) y Q (3, f(3)). El gráfico de la función y esta recta secante es: Gráfico, Gráfico de líneas Descripción generada automáticamente Figura 1. Función y recta secante. Entonces para la pendiente de la recta secante que une P (2, f(2)) y Q (x, f(x)) es: Pendiente de la recta secante = Usamos otra notación porque en el ejemplo de la velocidad trabajamos con un problema en contexto. Si pedimos ahora calcular la pendiente de las rectas secantes para valores cada vez más cercanos a a= 2, las tablas anteriores serán las mismas (sin unidades). Es decir, para x \> 2: x ∆y = f(x)-f(2) ∆x = x-2 ------- ----------------------------------- ---------- -------- 3 f(3)-f(2)=45-20=25 1 25 2.5 f(2.5)-f(2)=31.25-20=11.25 0.5 22.5 2.1 f(2.1)-f(2)=22.05-20=2.05 0.1 20.5 2.01 f(2.01)-f(2)=20.2005-20=0.2005 0.01 20.05 2.001 f(2.001)-f(2)=20.02005-20=0.02005 0.001 20.005 Y para x \< 2: x ∆y = f(2)-f(x) ∆x = 2-x ------- --------------------------------- ---------- -------- 1 f(2)-f(1)=20-5=15 1 15 1.5 f(2)-f(1.5)=20-11.25=8.75 0.5 17.5 1.9 f(2)-f(1.9)=20-18.05=1.95 0.1 19.5 1.99 f(2)-f(1.99)=20-19.8005=0.1995 0.01 19.95 1.999 f(2)-f(2.001)=20-19.98=0.019995 0.001 19.995 Como vemos anteriormente en la última columna de las dos tablas, a medida que x se acerca a a = 2, las pendientes de las rectas secantes se acercan a el valor 20. Estamos haciendo un proceso de límite que probaremos en forma analítica (comparar con lo efectuado anteriormente): Definimos "recta tangente" como la posición límite de las rectas secantes a medida que x tiende a. Por lo que la pendiente de dicha recta será el límite de las pendientes de las rectas secantes que ya calculamos, es decir el valor 20. Vamos a graficar la recta tangente a f en y la curva. Podemos obtener la ecuación de dicha recta ya que conocemos la pendiente (m = 20) y pasa por el punto (2,20): Hacemos pasar la recta por (2,20): Luego la ecuación de t es: y = 20x-20  Figura 2. Recta tangente y función. **Generalizando:** Tomemos una curva cualquiera: y un punto perteneciente a la misma. En los dos casos analizados (posición de un objeto y su velocidad, recta tangente y su pendiente) trabajamos con los siguientes conceptos (con diferente simbología): - COCIENTE INCREMENTAL: velocidad media/pendiente de la recta secante. - LIMITE DEL COCIENTE INCREMENTAL: velocidad instantánea/pendiente de la recta tangente. Extendiendo estos conceptos a una función cualesquiera y con la simbología adecuada tenemos: Cociente de incrementos o cociente incremental = Y su límite: A dicho límite lo llamamos **derivada de f en x = a** (si existe finito). **Su interpretación geométrica es la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.** Se simboliza: Otra notación: si en vez de x utilizamos la variable x = a+h, tenemos: **(1)** **RESUMEN** +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | **Concepto** | **Definición | **Interpretació | **Interpretació | | | analítica** | n** | n | | | | | geométrica** | | | | **Física** | | +=================+=================+=================+=================+ | Cociente | | Velocidad media | Pendiente recta | | incremental en | | | secante | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ | Derivada de f | | Velocidad | Pendiente recta | | en | | instantánea | tangente en | +-----------------+-----------------+-----------------+-----------------+ **Observación:** a partir de la definición y suponiendo que existe podemos escribir: Es decir es un infinitésimo en. A su vez para tenemos: o lo que es lo equivalente con otra notación: donde cuando **(2)** []{#_Toc62031302.anchor}**Función derivada** Claqueta con relleno sólido Si ahora quisiéramos hallar por ejemplo la derivada en a = 1 de la función tendríamos que plantear el límite en dicho punto. Para evitar estar calculando límites en diferentes puntos, se toma "a" genérico en la definición **(1)** de tal manera que el resultado obtenido es una función, que se llama **función derivada** y cuyo dominio es el conjunto de números reales pertenecientes al dominio de f para los cuales dicho límite existe finito. En símbolos: Por ejemplo, en la función dada será: Cuyo dominio es el conjunto de números reales. Ahora si queremos calcular la derivada en x = 2 bastará reemplazar en por 2, en nuestro caso: (como habíamos obtenido anteriormente). Otros valores: , ; etc. Podemos graficar la función y su función derivada:  Figura 3. Función cuadrática y su función derivada. [Teorema:] Sea f una función tal que f es derivable en x = a (es decir existe ) entonces f es continua en x = a. D\) Recordemos que f es continua en x = a Esto es lo que tenemos que demostrar sabiendo que la función tiene derivada en x = a. Multiplicamos y dividimos por x-a aplicamos propiedad del límite de un dentro del límite producto (ambos son finitos) Luego **Observación** El recíproco del teorema es FALSO. Es decir, podemos encontrar una función que sea continua en un punto de abscisa x = a y no sea derivable en dicho punto. Daremos un ejemplo de esta situación: Estudiemos en a = 0. En dicho punto la función es continua, en efecto: Calculemos f '(0): Cuando llegamos a este paso nos damos cuenta de que necesitamos calcular límites laterales: Como los límites laterales son distintos el límite no existe y por lo tanto la función NO tiene derivada en a = 0. Lo realizado anteriormente nos permite definir: []{#_Toc62031303.anchor}**Derivadas laterales** Derivada por derecha de f en x = a: Derivada de f en x = a por izquierda: [Propiedad] f es derivable en sí y sólo si las derivadas laterales existen finitas y son iguales. **Continuando** con el ejemplo de la función observemos las rectas secantes de uno y otro lado de a = 0. Grafiquemos la función: Gráfico, Gráfico de líneas Descripción generada automáticamente Figura 4. Función módulo. Pensemos el resultado anterior en registro gráfico. Si tomamos un punto del lado izquierdo de (0,0), por ejemplo (-3,3) y graficamos la recta secante, podemos observar que coincide (es igual) con el lado izquierdo de la función, es decir, la recta de ecuación y = -x. Graficamos la secante en rojo para que se comprenda: Figura 5. Rectas secantes y tangente en la función módulo en a = 0. Esto sucede con cualquier punto de la curva tal que x \< 0: la recta secante es la recta y = -x. Si pensamos en la interpretación geométrica de la derivada y tomamos el límite de estas rectas secantes para x ⇾ 0^-^ (por izquierda), al ser todas iguales la posición límite es y = -x. Siguiendo un razonamiento similar, pero del lado derecho, todas las rectas secantes son la recta de ecuación y = x, con lo que su posición límite también (en azul en la figura 5). Al ser la posición límite diferente del lado izquierdo y del derecho NO existe posición límite de las rectas secantes por lo que la función NO es derivable en a = 0. **Otros dos ejemplos interesantes se encuentran en el siguiente video:**  **En el siguiente video calculamos la función derivada de una función definida por partes.** Claqueta con relleno sólido **¿Cuáles son los pasos que seguir a partir de ahora?** Hasta ahora definimos derivada en un punto y función derivada de una función dada. El límite planteado en esta última definición es complicado de resolver para algunas funciones, entonces lo que haremos es obtener las funciones derivadas de las funciones básicas (prototipos vistos en la unidad 1) y a partir de las mismas, más propiedades que luego demostraremos, podremos obtener la función derivada de muchas otras funciones. Armaremos una tabla con las funciones derivadas obtenidas que iremos ampliando a medida que avancemos en el estudio. []{#_Toc62031304.anchor}**Funciones derivadas** **1.** Función constante: **2.** Función identidad: **3.** Función cuadrática: **4.** Función cúbica: **5.** Función logarítmica:  **6.** Función trigonométrica seno: Claqueta con relleno sólido Propiedad del límite de un producto y límite notable. **7.** Función trigonométrica coseno: Propiedad del límite de un producto y límite notable. **8.** Función exponencial: producto potencias de igual base Cambio de variables en el límite: z = e^h^ -- 1 con lo que h = ln (z+1) **9.** Función raíz cuadrada: Multiplicamos y dividimos por el conjugado: Para x = 0 calculamos la derivada por definición: Por lo que f no es derivable en x = 0 por derecha. Luego podemos armar nuestra primera tabla de funciones derivadas: Función f Dominio de f Función derivada f' Dominio de f' ----------- --------------------- --------------------- --------------- R R R R R (si n es natural) R R^+^ R^+^ R R R R R R \[0, +∞) (0, +∞) []{#_Toc62031305.anchor}**Reglas de derivación (álgebra de derivadas)** En este apartado vamos a obtener las funciones derivadas de funciones producto por un escalar, suma, producto y cociente de dos funciones dadas (que son derivables). En todo el desarrollo suponemos que f y g son funciones definidas en un determinado dominio y f' y g' son sus funciones derivadas. En todos los casos trabajamos en los dominios correspondientes.  []{#_Toc62031306.anchor}**Producto por un escalar** D) Haremos varios ejemplos aplicando reglas de derivación en los cuales NO nos detendremos en los dominios de la función y su derivada. Suponemos que cada función tiene su dominio y su función derivada también. ------------- Ejemplo 3.1 ------------- Calcular las funciones derivadas de: a. b. c. d. a) propiedad tabla de derivadas b) Observemos que la constante está dividiendo, pero podemos aplicar la misma propiedad ya que la podemos pensar como un producto. No es necesario hacer todos los pasos. c) d\) (podemos agregar a la tabla de derivadas) []{#_Toc62031307.anchor}**Suma de funciones** D) definición de función suma Agrupamos convenientemente y aplicamos propiedad del límite (recordemos que los dos límites existen por ser funciones derivables): ------------- Ejemplo 3.2 ------------- Calcular las funciones derivadas de: a. b. c. a) combinamos las dos propiedades b) c) Claqueta con relleno sólido []{#_Toc62031308.anchor}**Producto de funciones** D) definición de función producto Sumamos y restamos el término para poder "armar" los dos cocientes incrementales: uno de f y el otro de g: Factores en común propiedades de límite El primer límite es igual a g(x) porque si la función es derivable es continua, los demás límites son las definiciones de función derivada para f y g respectivamente. ------------- Ejemplo 3.3 ------------- Derivar las siguientes funciones a. b. c. Antes de aplicar una regla de derivación pensemos cuál es la operación principal de la expresión, esa será la primera regla para aplicar. a\) (operación principal producto, aplicamos regla del producto) (en el primer factor aplicamos constante por función) b\) (operación principal producto) (en el segundo sumando aplicaremos regla de la suma y constante por función) c\) (la operación principal es una suma, es la primera regla que aplicaremos, luego en el primer sumando tenemos un producto y en el segundo, constante por función) []{#_Toc62031309.anchor}**Cociente de funciones** D) Restamos y sumamos el término para poder "armar" los dos cocientes incrementales: uno de f y el otro de g: La última igualdad se justifica por propiedades de límite (sabiendo que las funciones f y g son derivables), y porque g al ser derivable es continua. ------------- Ejemplo 3.4 ------------- Calcular las derivadas de las siguientes funciones: a. b. c. a) Esta derivada nos permitirá completar la tabla. Se deja al lector demostrar que la función derivada de es b) Dejamos al lector probar que c) Esto nos muestra que si pensamos la función de la forma: estamos aplicando la misma regla que para exponentes naturales. De allí que podemos poner: Por ejemplo, si queremos derivar: lo pensamos como y aplicamos lo anterior: Incorporando las demostraciones hechas podemos construir la siguiente tabla: []{#_Toc62031310.anchor}**Tabla de derivadas** Función f Función derivada f' ----------- --------------------- []{#_Toc62031311.anchor}**Algunos ejercicios resueltos utilizando los conceptos dados** ------------- Ejemplo 3.5 ------------- Estudiar la continuidad y la derivabilidad de las siguientes funciones en su dominio. Graficar la función y su derivada. a) **b)** **a) La función f tiene dominio el conjunto de números reales. Grafiquémosla:**  **Figura 6. Gráfico ejemplo 3.5 a)** **Como vemos gráficamente la función es continua salvo en el punto de abscisa x = -1. Lo demostraremos analíticamente:** - **Tomemos a \< -1** **(por propiedad de límite)** **Por lo que f es continua en el intervalo (-∞, -1)** - **a = -1** **Los límites laterales son distintos, la función no es continua en a = -1 (posee discontinuidad de salto finito), por lo tanto, no puede ser derivable en dicho punto.** - **Sea -1 \< a \< 2** **por lo que f es continua en (-1,2)** - **a = 2** **por lo que** **La función es continua en a = 2.** - **Tomemos a \> 2** **Por lo que f es continua en el intervalo (2, +∞)** **Estudiemos la derivabilidad, debemos considerar los mismos intervalos analizados anteriormente salvo en a = -1 que la función no es continua.** - **Tomemos x \< -1** **Podemos derivar por reglas de derivación, por lo que** - **-1 \< x \< 2** **De la misma manera** - **Tomemos a = 2** **En este caso necesitamos derivadas laterales (observemos que la derivada lateral es puntual, no se plantea genérica como función derivada):** **Como los límites laterales son iguales existe el límite y por lo tanto la derivada en x = 2, podemos decir que.** - **x \> 2** **Por regla de derivación** **Con todos los casos analizados podemos hacer un resumen y dar la expresión de la función derivada de f:** **cuyo gráfico es:** Gráfico, Gráfico de líneas Descripción generada automáticamente **Figura 7. Gráfico de la función derivada del ejemplo 3.5 a)** **b)** **La función g tiene dominio el conjunto de números reales. Su gráfico es:**  **Figura 8. Gráfico ejemplo 3.5 b)** **Como observamos es continua en su dominio. Probémoslo:** - **Tomemos a** **(por propiedad de límite)** **Luego g es continua en R. Para estudiar la derivabilidad debemos escribir esa función en partes:** - **x \< ½** **y' = -1** - **x = ½** **Necesitamos calcular derivadas laterales** **Como las derivadas laterales son diferentes la función no es derivable en x = ½.** - **x \> ½** **y' = 7** **Resumiendo** **Gráficamente:** Gráfico Descripción generada automáticamente **Figura 9. Gráfico de la función derivada del ejemplo 3.5 b)**  ------------- Ejemplo 3.6 ------------- **¿En qué puntos de la gráfica de** **existe una recta tangente horizontal? ¿Y una recta tangente paralela a la recta de ecuación y = 3x-4? En cada uno de los casos hallar la ecuación de cada recta y graficar la función y su recta tangente en ese punto.** **derivémosla usando la regla del producto:** **cuyo dominio es el mismo que el de f** **Para hallar el o los puntos de recta tangente horizontal tenemos que pensar que dicha recta tiene pendiente cero y que la pendiente de la recta tangente es la derivada en el punto. Es decir, estamos buscando un punto de derivada cero, por lo que:** **Para completar el punto calculamos** **Es decir que el punto de tangente horizontal es P (e^-1^, -e^-1^)** **Para hallar la ecuación de la recta tangente en P sabiendo que tiene pendiente m = 0 será** **Gráficamente:** Gráfico, Gráfico de líneas Descripción generada automáticamente **Figura 10. Gráfico de la función del ejemplo 3.6 y la recta tangente horizontal.** **En el otro caso, como la recta tangente debe ser paralela a y = 3x -- 4, su pendiente será m = 3, por lo tanto, el punto que estamos buscando tiene derivada igual a 3:** **Es decir, el punto es Q (e^2^, 2 e^2^) Para hallar la ecuación de dicha recta hacemos:** Luego **Gráficamente:**  **Figura 11. Gráfico de la función, la recta tangente en Q y la recta y = 3x-4.** ------------- Ejemplo 3.7 ------------- **¿La recta normal a la parábola** **en el punto P (2; 0) se cruza con la parábola una segunda vez? Justificar tu respuesta. Graficar.** **Si f es una función derivable en P, llamamos recta normal a f en P, a la recta perpendicular a la recta tangente a la curva f en P que pasa por P. Ahora hallaremos la ecuación de esta recta en este ejemplo. Primero debemos hallar la pendiente de la recta tangente, para esto derivamos la función:** **Es decir, la recta tangente a la curva en P tiene pendiente m~t~ = -2 por lo que la recta normal tendrá pendiente m~n~ = ½ (por ser perpendiculares) A su vez P pertenece a la recta normal, por lo que:** **Luego la ecuación de n es** **Para buscar las intersecciones entre dicha recta y la parábola debemos resolver el sistema:** **Por igualación** **Como el enunciado dice "por segunda vez" (debido a que siempre hay intersección e P), elegimos el punto A = (-1/2, -5/4) Gráficamente:** Gráfico, Gráfico de líneas Descripción generada automáticamente **Figura 12. Gráfico de la función del ejemplo 3.7, la recta normal hallada y la recta tangente.**  ------------- Ejemplo 3.8 ------------- La ecuación que sigue da la posición de una partícula donde *t* se mide en segundos y *s* en metros. a. Encuentra la velocidad en el instante *t*. b. ¿Cuál es la velocidad después de 2 y 4 segundos? c. ¿Cuándo está en reposo la partícula? d. ¿Cuándo se mueve hacia delante (en sentido positivo)? e. Dibuja un diagrama que represente el movimiento de la partícula. f. Encuentra la distancia total recorrida por la partícula en los primeros 5 segundos. Primero tengamos en cuenta que el dominio de la función, al ser la variable tiempo, es Grafiquemos la función y analicemos el movimiento de la partícula: Gráfico, Gráfico de líneas Descripción generada automáticamente Figura 13. Gráfico ejemplo 3.8 El problema indica que se grafica "la posición" de la partícula y no "el espacio recorrido". Es decir, hay un punto que se tomará como inicial y luego se grafique a cuántos metros está la partícula de ese punto en cada instante. Por ejemplo: s(1) = 4, por lo que la partícula está a 4 metros del punto inicial en el instante t = 1. Ahora s(3) = 0, significa que la partícula está a 0 metros del punto inicial, es decir está en el punto inicial (volvió al mismo). a\) Para encontrar la velocidad en el instante t, como vimos en el comienzo de la unidad, hay que derivar la función posición: b\) La velocidad en dos y cuatro segundos será: es decir, la partícula retrocede (signo negativo) con velocidad 3m/s En este caso la partícula está avanzando (signo positivo) a una velocidad de 9m/s. c\) La partícula está en reposo cuando la velocidad es cero, por lo tanto: En los instantes t = 1 y t = 3 la partícula está en reposo (observemos la tangente horizontal en esos dos instantes). d\) La partícula se mueve hacia delante (avanza) cuando la velocidad es positiva, es decir: Teniendo en cuenta que el tiempo siempre es positivo, la partícula avanza en el intervalo e\) Ya realizado f\) En los primeros 5 segundos la partícula se mueve de la siguiente manera: - Recorre 4 metros hasta el instante t = 1 avanzando - Vuelve a recorrer esos cuatro metros retrocediendo hasta llegar al punto inicial en el instante t = 3. - Luego vuelve a avanzar hasta llegar a recorrer 20 metros en el instante t = 5 (f(5)). Sumando todos estos metros que la partícula recorrió en ese intervalo llegamos a que son 28 metros.  ------------- Ejemplo 3.9 ------------- Hallar a y b para que la función dada sea derivable en todo su dominio. Graficar f y f ' El dominio de f es el conjunto de números reales. Para que f sea derivable en dicho conjunto debe ser continua en el mismo. El único punto conflictivo es x = 3: - f (3) = 9 - De lo que deducimos que llamaremos **E1** (ecuación 1) A su vez f tiene que ser derivable en todo R. Hallemos su función derivada: - x \< 3 - x = 3 tomamos derivadas laterales **E1** (usamos continuidad) Luego debe ser a = 6 **E2** (ecuación 2) - x \> 3 Si tenemos en cuenta las dos ecuaciones obtenidas **E1** y **E2**, a = 6 y b = -9. Entonces Gráfico, Gráfico de líneas Descripción generada automáticamente **Figura 14. Gráficos de f y su derivada ejemplo 3.9** []{#_Toc62031312.anchor}**Derivada de una función compuesta. Regla de la cadena** Podemos observar que hasta ahora no hemos derivado funciones que se obtienen de componer dos o más, por ejemplo o , etc. Para poder derivar este tipo de funciones primero tenemos que definir composición de funciones. Es conveniente mirar el siguiente video:  []{#_Toc62031279.anchor}**Composición de funciones** [Definición:] sean dos funciones, llamamos composición de f con g a la siguiente función (cuidado con la notación) A B C -------------- Ejemplo 3.10 -------------- Sean y Hallar y Hagamos primero R R^+^ (-∞, 4\] \[0, +∞) Como la imagen de f no está incluida en el dominio de g, tenemos que restringir dominio de f. Planteamos la condición: Luego el domino de f restringido es: Escribimos la respuesta: Rta: Ahora hacemos (-∞, 4\] \[0, +∞) R R^+^ Se puede componer ya que la imagen de g está incluida en el dominio de f. Luego escribimos la respuesta: Rta: Ahora vamos a la regla de la cadena: Sea , con g derivable en x = a y f derivable en g(a). Vamos a demostrar que Sea donde. Como g es derivable en es continua y por lo tanto cuando Además, por definición de derivada **(3)** Tenemos dos casos: - En este caso por **(3)** para h pequeño k ≠ 0 y podemos escribir: - Si k = 0 Si k ≠ 0 Con lo cual para las dos posibilidades de k es:. Luego queda demostrado. **Observación:** Si llevamos la igualdad a función derivada (considerando que las funciones deben ser derivables: g derivable en x y f derivable en u = g(x)), podemos escribir: **(4)** Claqueta con relleno sólido -------------- Ejemplo 3.11 -------------- Derivar las siguientes funciones (no hacemos análisis de dominio para no alargar cada explicación, pero aclaramos que siempre trabajamos en los dominios correspondientes): a. b. c. d. e. f. a\) en este caso tenemos que u = senx por lo que queda y = ln (u). Aplicando la fórmula (4): b\) en este caso tenemos que por lo que queda Aplicando la fórmula (4): c\) por lo que u = x^2^ y nos queda y = sen u, entonces: d\) entonces u = sen x y por lo tanto y = u^2^, entonces: e\) con lo que y = e^u^ siendo u = 3x, entonces: f\) en este caso se componen tres funciones. Pensamos: y = cos u siendo u = ln (x^2^+1), por lo que: Cuando calculamos u' volvemos a aplicar la regla de la cadena, por lo tanto:  []{#_Toc62031313.anchor}**Derivada de una función inversa** Claqueta con relleno sólido Como consecuencia de la regla de la cadena podemos hallar la derivada de una función conociendo la de su función inversa. Primero veamos el siguiente ejemplo: -------------- Ejemplo 3.12 -------------- Supongamos que queremos calcular la función derivada de. En la página 14 demostramos la función derivada de su función inversa. Entonces procedemos de la siguiente manera: Inversa derivadando (por tabla y regla de la cadena, recordemos que y es función de x) Luego despejando y' que es lo que queremos calcular y reemplazando y por su igualdad: Función que podemos agregar a nuestra tabla. En general: Consideremos una función biyectiva y derivable de manera que es su función inversa de la cual conocemos su derivada. Entonces derivando y teniendo en cuenta la regla de la cadena: Luego: **(5)** -------------- Ejemplo 3.13 -------------- Calcular las derivadas de las funciones inversas trigonométricas a) Entonces **(6)** (por **(5)**, ya que x = g(y) = sen y) Ahora bien, si dejamos así la derivada nos queda en función de la variable dependiente. Vamos a tratar de escribirla en función de x sabiendo que x = sen y. Por identidad: Como y es un ángulo que está en el intervalo su coseno es positivo, con lo cual podemos sacar las barras de módulo anteriores quedando: **(7)** Reemplazando **(7)** en **(6)** tenemos: Un razonamiento similar se aplica para obtener b) Entonces **(8)** (por **(5)**, ya que x = g(y) = tg y) Teniendo en cuenta que (identidad trigonométrica) y que x = tg y. Reemplazando en **(8)** **Observación:** retomemos la expresión **(5)** y analicémosla desde el punto de vista de interpretación geométrica. Sea f una función derivable en un punto P (x~0~, y~0~) y tal que f es biyectiva, es decir admite función inversa que llamaremos g. Sea m la pendiente de la recta tangente a f en P, es decir: El punto Q (y~0~, x~0~) está en la función g (por ser inversa) y por (5): Con lo que la pendiente de la recta tangente a la función inversa g en el punto Q es recíproca de la pendiente de la recta tangente a f en el punto P. -------------- Ejemplo 3.14 -------------- Sea una función f biyectiva (con inversa g) y derivable en P (-1,3) tal que la recta tangente en ese punto tiene ecuación ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a g en el punto Q (3,-1)? Por lo analizado anteriormente si m = -2 es la pendiente de la recta tangente a f en P entonces m~2~ = 1/(-2) = -1/2 es la pendiente de la recta tangente a g en Q. Su ecuación será: Luego -------------- Ejemplo 3.15 -------------- **Si un tanque contiene 3000 litros de agua que salen por el fondo en 60 minutos, la ley de Torricelli expresa el volumen V del agua que queda en el tanque después de t minutos:** 0 [ ≤ *t*  ≤ 60]{.math.inline} a. Hallar el dominio y la imagen de la función V(t) bajo el contexto del problema. b. ¿Cuánta agua queda luego de 20 minutos? ¿Cuánta agua sale después de 30 minutos? c. Calcular la razón o tasa promedio de la cantidad de agua que queda en el tanque entre los 20 y 30 minutos. d. Calcular la razón o tasa instantánea de la cantidad de agua que queda en el tanque cuando han transcurrido 20 minutos. ¿Qué significado tiene el signo negativo de la tasa instantánea en t = 20 minutos bajo el contexto del problema? a\) El dominio de la función está dado en el enunciado, es el intervalo de tiempo (en minutos) \[0,60\]. El tanque en el instante t = 0 está lleno (3000 litros) luego se vacía en una hora, llegando en el instante t = 60 a estar vacío, por lo que la imagen de la función es \[0,3000\]. Luego  Figura 15. Gráfico ejemplo 3.15 b\) La función da la cantidad de agua que queda en el tanque después de t minutos. Por lo que V(20) = 4000/3 litros, es decir aproximadamente quedan 1333,3 litros después de 20 minutos. Después de 30 minutos salieron 3000 -- V(30) = 3000 -- 750 = 2250 litros. c\) Razón o tasa promedio en el intervalo \[20,30\]: **d) La razón instantánea es la derivada de la función en el punto en cuestión. Primero derivemos (aplicamos constante por función y regla de la cadena):** **Con lo que** **V'(20) = -200/3 ≈ -66,7 l/min** **El signo negativo significa que la función decrece, es decir que hay cada vez menos agua en el tanque.** []{#_Toc62031314.anchor}**Derivación logarítmica** Claqueta con relleno sólido Hasta ahora, en cuestiones potencias, sabemos derivar funciones de la forma: **O** **Nos falta estudiar el caso en que:** **(f (x) \> 0, f y g derivables)** **Es decir, tanto exponente como base son funciones de x (con su determinado dominio de definición). Para esto seguimos los siguientes pasos:** ---------------------------------------- -- **Tomamos logaritmo a ambos miembros** **Aplicamos propiedad del logaritmo** **Derivamos ambos lados** **Despejamos y'** **Reemplazamos y** ---------------------------------------- -- Este método se llama derivación logarítmica y NO es necesario recordar la fórmula, sino que podemos seguir los pasos en cada ejemplo particular. -------------- Ejemplo 3.16 -------------- Con esta herramienta podemos demostrar la función derivada de ---------------------------------------- -- **Tomamos logaritmo a ambos miembros** **Aplicamos propiedad del logaritmo** **Derivamos ambos lados** **Despejamos y'** **Reemplazamos y** ---------------------------------------- -- Así con todo lo visto, podemos completar nuestra tabla: Función f Función derivada f' ----------- --------------------- -------------- Ejemplo 3.17 -------------- Hallar la derivada de **Haciendo cada paso:** ---------------------------------------- -- **Tomamos logaritmo a ambos miembros** **Aplicamos propiedad del logaritmo** **Derivamos ambos lados** **Despejamos y'** **Reemplazamos y** ---------------------------------------- -- -------------- Ejemplo 3.18 -------------- Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva de ecuación en el punto de abscisa x = 0. Para hallar la ecuación de la recta necesitamos el punto P (0, f(0)) y la pendiente m = f '(0). Para hallar m debemos derivar la función y para esto tenemos que aplicar derivación logarítmica: ---------------------------------------- -- **Tomamos logaritmo a ambos miembros** **Aplicamos propiedad del logaritmo** **Derivamos ambos lados** **Despejamos y'** **Reemplazamos y** ---------------------------------------- -- Luego La ecuación de la recta tangente es: []{#_Toc62031315.anchor}**Derivación implícita** Las relaciones y/o funciones pueden darse en forma implícita, es decir aquellas donde la variable dependiente "y" no está despejada en función de la variable independiente x. En estos casos no es necesario despejar y (que en algunas ocasiones no se puede) para obtener la derivada, se puede hacer de la manera que explicaremos a continuación con un ejemplo:  -------------- Ejemplo 3.19 -------------- Sea la elipse de ecuación **Calcular la ecuación de la recta tangente en el punto P (4,** Vamos a derivar la expresión sin despejar y (no es una función sino una relación) siguiendo todas las reglas estudiadas. Cuando lleguemos a algún término en el que aparece la variable dependiente "y" debemos tener cuidado y aplicar regla de la cadena: Derivando: Dejamos la derivada expresada en las dos variables. Para hallar la pendiente de la recta tangente reemplazamos los valores de las correspondientes coordenadas del punto P: Luego la ecuación buscada es: Gráfico Descripción generada automáticamente Figura 16. Gráfico ejemplo 3.19 []{#_Toc62031316.anchor}**Diferencial. Linealización** La diferenciabilidad de una función en un punto permite estimar las variaciones de ***f*** a través de las variaciones de ***su recta tangente***, en efecto, si L(x) es la recta tangente a f en x = a (también llamada linealización de f), entonces: Se puede demostrar que: También podemos escribir: Esta variación de la linealización es un concepto sumamente importante en el Cálculo: el diferencial [Definición:] Dada y = f(x) una función diferenciable, se denomina **diferencial de la variable dependiente y,** al producto de la derivada por el incremento de la variable independiente. En símbolos: **(9)** Por otra parte, La igualdad define el incremento de la variable independiente cualquiera sea la función diferenciable f(x). Reemplazando en (9): Otra expresión para el diferencial De ésta deducimos que Esta igualdad expresa que la derivada de una función se puede calcular a partir del cociente entre dos diferenciales. A esta notación se la llama notación de Leibnitz. A diferencia de la variable independiente dx, la variable dy siempre es una variable dependiente. Depende de x y de dx. Si se da un valor específico a dx y x es un número particular en el dominio de la función f, entonces el valor numérico de dy está determinado y tiene su interpretación geométrica. **Valor numérico para el diferencial** Para que dy tome un valor numérico debemos dar dos valores: uno el del punto x = a y otro el del incremento , entonces en (9) (f diferenciable en x = a): **Interpretación geométrica** Sea f diferenciable en x = a. Demos un incremento , con lo que obtenemos el punto y tracemos la recta tangente a la curva en como muestra la figura (la recta forma un ángulo α con el eje de las x positivo):  Figura 18. Interpretación geométrica diferencial en un punto y con incremento dado. Miremos el triángulo rectángulo PSR: Entonces, geométricamente, el diferencial dy es el cambio en la linealización de f cuando x = a cambia por una cantidad Cuando tenemos ese incremento hay dos cambios: uno de la función original, que pasa del valor f(a) al valor f(a+h), ese cambio o incremento lo simbolizamos Otro es el incremento de la recta tangente o linealización, ese incremento es el diferencial: Veamos en el gráfico: ----------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- Gráfico, Gráfico de líneas Descripción generada automáticamente  ----------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------- Figura 19. Comparación de ∆y con dy Claqueta con relleno sólido