Programación Lineal: Optimización de Recursos

• La programación lineal es fundamental en la investigación de operaciones, aplicable para optimizar recursos en cualquier empresa.
• Este texto es práctico y usa el aprendizaje significativo basado en conceptos y casos prácticos.
• El objetivo principal es dar a conocer los componentes de la programación lineal como fuente de consulta para estudiantes, especialmente en carreras administrativas, enfocada en la toma de decisiones empresariales.
• El texto se compone de cinco capítulos que tratan las generalidades de la programación lineal, el modelo de programación lineal, métodos de resolución como el método gráfico y Simplex y el método de transporte que incluye la inicialización y optimización.

Generalidades de la Programación Lineal

• La programación lineal surgió después de la Segunda Guerra Mundial; en 1947, George Dantzig la desarrolló para problemas de operación militar, y actualmente sirve para resolver problemas de optimización en diversas áreas.
• Es una herramienta aplicable en diversos campos donde las empresas buscan soluciones factibles, eficientes y rápidas para sus problemas, los cuales a menudo ponen en riesgo su estabilidad económica.
• La programación lineal ayuda a planear actividades para lograr los mejores resultados entre las alternativas de solución y optimizar la función objetivo sujeta a restricciones.
• La programación lineal es una técnica de optimización matemática que busca maximizar o minimizar un objetivo establecido, como utilidades o costos.
• Es considerada una herramienta importante para obtener soluciones cuantitativas y mejorar la toma de decisiones.
• En la programación lineal, la toma de decisiones se representa con variables xj en el modelo.
• La función objetivo busca optimizar el rendimiento total, nivel de utilidades, costos, contaminación, participación en el mercado o rentabilidad de una inversión.
• Las restricciones son las condiciones que deben cumplir las variables de decisión.
• La resolución de problemas de programación lineal se lleva a cabo en tres fases: planteamiento del modelo, resolución del problema y análisis económico de los resultados.
• Técnicas matemáticas para la asignación óptima de recursos limitados a demandas competentes, es lo que se conoce como programación lineal
• Es una técnica de optimización que busca maximizar o minimizar una función lineal, llamada función objetivo, sujeta a restricciones lineales no negativas.
• Es útil en campos como el empresarial, textil, transporte, producción y telecomunicaciones.

Características de la Programación Lineal

• Debe establecerse un criterio de decisión.
• Las relaciones entre las variables deben ser lineales.

Objetivos de la Programación Lineal

• Encontrar soluciones a través de métodos matemáticos.
• Resolver casos de combinación óptima de mezclas de producción, maximización de beneficios, asignación de recursos, minimización de costos o transporte.

Aplicaciones de la Programación Lineal

• Planeación de operaciones y ventas agregadas que tiene el costo mínimo, construyendo un plan para un período determinado (entre tres y seis meses) que, al enfrentar las limitaciones de la capacidad de producción deseable y el tamaño de la fuerza de trabajo, satisfagan la demanda esperada
• Se consideran salarios, nuevas contrataciones, posibles despidos y costos de manejo de inventarios
• Análisis de la productividad: considera la eficiencia de la manufactura o el servicio en comparación con otras unidades, sugiriendo el análisis envolvente de datos.
• Planeación de productos: halla la composición recomendable de productos considerando costos y recursos, por ejemplo, la mezcla óptima de elementos químicos para pinturas o alimentos.
• Rutas de los productos: define el camino óptimo para fabricar un producto procesado en secuencia a través de distintos procesos y maquinaria con costos y características de producción.
• Programación de cuadrillas: encuentra una ruta óptima para utilizar recursos como aviones, buses o cuadrillas en servicios de transporte.
• Control de procesos que minimiza los desperdicios generados.
• Control de inventarios que determina la combinación óptima de productos a almacenar.
• Programación de la distribución que encuentra la combinación óptima de embarques para los diferentes destinos.
• Estudios para ubicar la planta: define la ubicación correcta evaluando costos de embarque, fuentes de suministros y demanda.
• Manejo de materiales: define rutas para minimizar los costos en el manejo de materias y maquinarias.

Condiciones Básicas de la Programación Lineal

• Recursos limitados: cantidad limitada de horas de trabajo, equipos, dinero, materiales y suministros.
• Objetivo explícito: maximización de utilidades o minimización de costos.
• Linealidad: todo proceso, actividad o relación utilizada es lineal.
• Homogeneidad: los productos elaborados en una maquinaria son idénticos o todas las horas de trabajo de un obrero son igual de productivas.
• Divisibilidad: tanto productos como recursos se pueden subdividir en fracciones.
• Si existe un único objetivo (maximización o minimización), se usa la programación lineal. Para varios objetivos, se aplica la programación por metas.

Modelo de Programación Lineal

• Todo modelo de investigación operativa, incluida la programación lineal, posee tres componentes básicos: variables, objetivos y restricciones.
• La definición correcta de variables de decisión es el primer paso en el desarrollo del modelo.
• Los problemas de programación lineal se generan por los recursos limitados, que buscan distribuirse de la mejor manera.
• Los recursos, al ser limitados, pueden ser distribuidos de diversas maneras como tantas combinaciones matemáticas vinculadas a un mismo objetivo.
• Un problema de programación lineal implica el sentido de la función, propósito o meta, recursos disponibles y habilidad o forma para comparar y seleccionar la alternativa óptima.
• Formalmente, crea un proceso de optimización en el cual se eligen valores no negativos de una serie de variables de decisión de modo que maximicen o minimicen una función objetivo.

Términos Claves

• Función objetivo: variable (Z) que representa lo que se busca optimizar y está vinculada a la pregunta general del problema.
• Variables del problema: variables desconocidas que deben definirse al resolver el problema para optimizar la función objetivo, también conocidas como variables de decisión.
• Coeficientes de la función objetivo: constantes que aparecen en la ecuación de la función objetivo.
• Restricciones: limitaciones físicas o condiciones que debe cumplir el problema.
• Restricciones no explícitas: información no disponible que debe considerarse, también llamadas variables de no negatividad.

Planteamiento de Problemas

• Definir las variables del problema, representarlas con letras y definir sus unidades.
• Identificar las variables a optimizar (maximización o minimización) y expresarlas en una ecuación matemática.
• Establecer una ecuación para cada restricción en relación con las variables, generalmente representadas por desigualdades.
• Identificar y expresar las restricciones no explícitas en el planteamiento del problema.
• Es importante prestar atención a las unidades de cada ecuación planteada.

Maximización

• En problemas de maximización, la solución se determina en la parte interior formada por el polígono convexo, donde las restricciones se representan con la expresión ≤ (menor o igual), lo que indica que no se pueden usar más recursos de los disponibles.
• Finitud: el número de los procesos implícitos y los recursos disponibles corresponden a cantidades finitas, conocidas y cuantificables.
• La función objetivo puede representarse mediante un conjunto de rectas paralelas con pendiente
• M = C1/C2 Dónde C1 es el coeficiente de X1, y C2 el coeficiente de X2. Cada recta representa un conjunto de puntos que proporcionan un beneficio idéntico.

Métodos de Programación Lineal

• Después de diseñar el modelo de optimización lineal, es necesario solucionarlo, utilizando diferentes métodos, siendo los más difundidos:
• Método gráfico: soluciona problemas de programación lineal con no más de dos variables.
• Método Simplex: es el primer método para la solución de problemas de programación lineal y puede considerar dos o más variables.