Programación Lineal: Optimización de Recursos

Introducción a la Programación Lineal

• La programación lineal es una herramienta esencial en la investigación de operaciones
• Se aplica a empresas para optimizar el uso de recursos
• Este libro ofrece casos prácticos para aplicar conocimientos de inmediato
• El contenido se centra en el aprendizaje significativo con conceptos clave y casos prácticos
• El libro explica los componentes de la programación lineal, ideal para estudiantes de administración
• Se enfoca en la toma de decisiones empresariales y en diversas carreras
• El texto se divide en cinco capítulos
• El primero abarca los principios generales de la programación lineal
• Los capítulos dos al cuatro desarrollan el modelo de programación lineal con los métodos gráfico y Simplex
• El último capítulo trata el método de transporte, incluyendo métodos de inicialización y optimización

Generalidades de la Programación Lineal

• La programación lineal surgió después de la Segunda Guerra Mundial
• En 1947, George Dantzig desarrolló investigaciones y aplicaciones para resolver problemas de programación lineal en operaciones militares
• Se usa para resolver problemas de optimización en diferentes áreas
• Es aplicable a diversos campos
• Para las empresas la programación lineal ayuda a resolver problemas que ponen en riesgo su estabilidad y permanencia en el mercado
• Ayuda a los empresarios a encontrar soluciones factibles, eficientes y rápidas
• Facilita la planificación de actividades para optimizar resultados
• Busca optimizar una función objetivo sujeta a restricciones
• Es una técnica de optimización matemática
• Busca maximizar utilidades o minimizar costos dentro de un área mayor de programación matemática
• Permite obtener soluciones cuantitativas para problemas, mejorando resultados y la toma de decisiones
• Es importante tomar decisiones específicas, representadas por variables de decisión (xj), dentro del modelo
• La función objetivo busca optimizar factores como rendimiento, utilidades, costos, contaminación, participación de mercado o rentabilidad de inversión
• Las restricciones son las condiciones que deben cumplir las variables de decisión
• La resolución de problemas de programación lineal implica tres fases: planteamiento del modelo, resolución del problema y análisis económico de los resultados

Concepto y Características de la Programación Lineal

• La programación lineal usa técnicas matemáticas para asignar recursos limitados a demandas competentes
• Busca maximizar o minimizar una función lineal (función objetivo) sujeta a restricciones lineales
• Se define como un enfoque para tomar decisiones acertadas con un modelo matemático lineal y restricciones no negativas
• Es aplicable en campos como empresarial, textil, transporte, producción y telecomunicaciones
• Apoya a ciencias como la medicina y la nutrición mediante la informática
• Tiene un alto impacto a escala general y se aplica a problemas organizacionales
• Se fundamenta en un criterio de decisión establecido y relaciones lineales entre las variables

Objetivos de la Programación Lineal

• Encontrar soluciones a problemas económico-técnicos con métodos matemáticos y sistemas lineales
• Resolver problemas de combinación óptima de mezclas, asignación de recursos, maximización de beneficios, minimización de costos y transporte

Aplicaciones de la Programación Lineal

• Planeación de operaciones y ventas agregadas para minimizar costos de producción ajustándose a la capacidad y fuerza laboral
• Análisis de la productividad considerando la eficiencia en la producción de bienes o servicios
• Planeación de productos para hallar la composición ideal considerando recursos y costos
• Definición de rutas óptimas en la fabricación de productos procesados secuencialmente
• Programación de cuadrillas para optimizar el uso de recursos como aviones y camiones
• Control de procesos para minimizar desperdicios
• Control de inventarios para determinar la combinación óptima de productos en almacenamiento
• Programación de la distribución para encontrar la combinación óptima de embarques a diferentes destinos
• Estudios para ubicar plantas evaluando costos de embarque, suministros y demanda
• Manejo de materiales para definir rutas y minimizar costos de manejo

Condiciones Básicas de la Programación Lineal

• La programación lineal ha ganado aceptación en la industria debido a la disponibilidad de datos y el interés en optimizar costos e ingresos
• Se considera una opción de planeación avanzada, sincronizada y de optimización de procesos
• Para plantear un problema de programación lineal, hay cinco condiciones básicas:
• Recursos limitados: cantidad limitada de horas de trabajo, equipos, dinero, materiales y suministros
• Objetivo explícito: maximizar utilidades o minimizar costos
• Linealidad: relaciones lineales entre procesos y actividades
• Homogeneidad: productos idénticos elaborados en una maquinaria
• Divisibilidad: productos y recursos pueden subdividirse en fracciones
• La programación lineal se utiliza cuando el objetivo es maximizar o minimizar
• Si existen varios objetivos, se aplica la programación por metas

Modelo de Programación Lineal

Componentes Básicos

• Tres componentes básicos: variables, objetivos y restricciones
• Variables: Se definen correctamente las variables de decisión
• Una vez concluido ese proceso, la tarea de construir la función objetivo (Z) y las restricciones es más directa
• Objetivos: Se establecen los objetivos que se buscan alcanzar
• Restricciones: Se consideran las limitaciones y condiciones que se deben cumplir

Definición Correcta de Variables

• La definición correcta de variables de decisión es el primer paso en el desarrollo del modelo
• Despues de eso, la tarea de construir la función objetivo (Z) y las restricciones es más directa

Problema de Programación Lineal

• Los problemas de la programación lineal se generan por los recursos limitados, que buscan distribuirse de la mejor manera
• Los recursos, al ser limitados, pueden ser distribuidos de diversas maneras como tantas combinaciones matemáticas sean posibles vinculadas a un mismo objetivo
• Crea la necesidad de distribuirlos en forma equilibrada y armónica entre los factores que intervienen en el problema
• Con el propósito de hallar las mejores alternativas de uso, cumpliendo el objetivo establecido
• Implica el sentido de la función, propósito o meta, recursos disponibles y habilidad o forma para comparar y seleccionar la alternativa óptima
• Crea un proceso de optimización en el cual se eligen valores no negativos de una serie de variables de decisión de modo que maximicen o minimicen una función objetivo

Sujeto A Las Restricciones

• Se pueden expresar con signo de igualdad o con signos de mayor o igual que y menor o igual que

Términos Clave En Programación Lineal

• Función objetivo: la variable (Z) que representa lo que se busca optimizar
• Tiene un estrecho vínculo con la pregunta general que se desea responder
• Si hay distintas preguntas, la función objetivo se relaciona con la pregunta de nivel superior
• Variables del problema: variables desconocidas que, al resolver el problema, deben quedar definidas para alcanzar la optimización
• También conocidas como variables de decisión, representan factores controlables del modelo
• Contribuyen a la consecución de la función objetivo
• Coeficientes de la función objetivo: cantidades constantes en la ecuación de la función objetivo

Restricciones

• Constituyen las limitaciones físicas o las condiciones que debe cumplir el problema resuelto mediante programación lineal
• Por ejemplo, la cantidad de materiales, el tiempo o el recurso humano
• Se definen como restricciones funcionales.
• Restricciones no explícitas: información no disponible que debe considerarse
• Importante para el planteamiento y la resolución del problema
• Se denominan variables de no negatividad

Planteamiento de Problemas Con Programación Lineal

• La programación lineal es la base de la investigación operativa, comienza con la definición de variables y la función objetivo, seguido por las restricciones
• Definir variables del problema: determinar las variables, representarlas con letras y definir sus unidades
• Definir la función objetivo: identificar las variables a optimizar (maximizar o minimizar)
• Se representa con la letra Z y se expresa mediante una ecuación matemática en función de las variables del problema y sus coeficientes
• Definir restricciones: establecer una ecuación por cada restricción en relación con las variables del problema
• Usualmente representadas por desigualdades
• Definir restricciones no explícitas: identificar y expresar estas restricciones
• Se debe prestar atención a las unidades de cada ecuación. Las unidades deben ser consistentes en ambos lados de la ecuación

Maximización

• En problemas de maximización, la solución se determina en la parte interior formada por el polígono convexo
• Las restricciones se representarán con la expresión ≤ (menor o igual)
• Implica que no se pueden utilizar más recursos que los disponibles
• Finitud: Proceso de números implícitos y los recursos disponibles corresponden a cantidades finitas conocidas y cuantificables
• La función objetivo se representa mediante un conjunto de rectas paralelas con pendiente

Métodos de Programación Lineal

• Luego de diseñar el modelo de optimización lineal, es necesario solucionarlo
• Existen diferentes métodos de solución como el método gráfico y el método simplex
• El método gráfico soluciona problemas de programación lineal con no más de dos variables
• El método simplex es un método clásico para solucionar problemas de programación lineal, con dos o más variables