Investigación de Operaciones: Programación Lineal

Investigación de Operaciones: Programación Lineal

• Definición: La programación lineal es una técnica matemática utilizada para optimizar un objetivo lineal sujeto a restricciones lineales.

• Elementos Clave:

  • Función Objetivo: Expresión lineal que se desea maximizar o minimizar (ej. maximizar ganancias o minimizar costos).
  • Variables de Decisión: Variables que se ajustan para optimizar la función objetivo.
  • Restricciones: Condiciones lineales que limitan los valores que pueden tomar las variables de decisión.

• Forma Estándar:

  • La función objetivo se expresa en la forma:
    • Maximizar (o minimizar) ( Z = c_1x_1 + c_2x_2 + ... + c_nx_n )
  • Las restricciones se expresan como:
    • ( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \leq b_1 )
    • ( a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \leq b_2 )
    • ( x_i \geq 0 ) (no negatividad)

• Métodos de Solución:

  • Método Gráfico: Se utiliza para problemas de dos variables; implica graficar las restricciones y encontrar la región factible. El óptimo se encuentra en los vértices de esta región.
  • Método Simplex: Algoritmo iterativo utilizado para resolver problemas de programación lineal con más de dos variables. Mejora la solución en cada paso hasta alcanzar la óptima.
  • Métodos de Punto Interior: Alternativa al método Simplex que busca soluciones en el interior de la región factible.

• Aplicaciones:

  • Industria: Optimización de procesos productivos, asignación de recursos.
  • Logística: Rutas de transporte, distribución de mercancías.
  • Finanzas: Gestión de carteras de inversión, minimización de riesgos.

• Ventajas:

  • Proporciona soluciones óptimas cuando las relaciones son lineales.
  • Herramienta efectiva para la toma de decisiones en múltiples campos.

• Limitaciones:

  • Solo aplica a problemas donde las relaciones son lineales (no puede manejar relaciones no lineales).
  • Sensible a cambios en las restricciones y parámetros de la función objetivo.

• Software de Soporte:

  • Herramientas como LINDO, CPLEX, y Excel Solver pueden ser utilizadas para resolver modelos de programación lineal.

Definición de Programación Lineal

• Técnica matemática para optimizar un objetivo lineal bajo restricciones lineales.

Elementos Clave

• Función Objetivo: Representa el objetivo a maximizar o minimizar, como ganancias o costos.
• Variables de Decisión: Son ajustables y se utilizan para lograr la optimización de la función objetivo.
• Restricciones: Establecen límites lineales a los valores de las variables de decisión.
• Forma Estándar:
  • La función objetivo se formula como ( Z = c_1x_1 + c_2x_2 +...+ c_nx_n ).
  • Las restricciones tienen la forma:
    • ( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +...+ a_{1n}x_n \leq b_1 )
    • ( a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +...+ a_{2n}x_n \leq b_2 )
    • ( x_i \geq 0 ) (no se permiten valores negativos).

Métodos de Solución

• Método Gráfico: Apropiado para dos variables; consiste en graficar restricciones y determinar la región factible, donde el óptimo se ubica en los vértices.
• Método Simplex: Algoritmo iterativo que resuelve problemas con más de dos variables, mejorando la solución en cada iteración.
• Métodos de Punto Interior: Alternativa al Simplex que busca soluciones dentro de la región factible.

Aplicaciones

• Industria: Optimización de procesos productivos y asignación eficiente de recursos.
• Logística: Determinación de rutas de transporte y distribución de mercancías.
• Finanzas: Gestión de carteras de inversión y estrategias para minimizar riesgos.

Ventajas

• Ofrece soluciones óptimas para relaciones lineales.
• Herramienta eficaz para la toma de decisiones en varios sectores.

Limitaciones

• Restricción a problemas con relaciones únicamente lineales; incapacidad para manejar relaciones no lineales.
• Sujeto a sensibilidad con cambios en restricciones y parámetros de la función objetivo.

Software de Soporte

• Se pueden utilizar herramientas como LINDO, CPLEX y Excel Solver para resolver modelos de programación lineal.