Programación Lineal: El Método Gráfico

• El método gráfico es una técnica para resolver problemas de programación lineal que tienen dos variables de decisión.

• Se basa en la representación gráfica de las restricciones del problema en un plano cartesiano.

• La región factible se define como el área donde se cumplen todas las restricciones simultáneamente.

• La solución óptima se encuentra en uno de los vértices de la región factible.

Pasos para resolver un problema de programación lineal mediante el método gráfico:

• Definir las variables de decisión: Identificar las variables que representan las cantidades que se desean optimizar (maximizar o minimizar).

• Establecer la función objetivo: Expresar matemáticamente el objetivo del problema en función de las variables de decisión.

• Plantear las restricciones: Definir las limitaciones del problema mediante desigualdades lineales que involucran las variables de decisión.

• Graficar las restricciones: Representar cada restricción como una línea recta en un plano cartesiano. Para cada restricción, se despeja una de las variables en función de la otra, se asignan valores arbitrarios a una de las variables para encontrar los correspondientes valores de la otra, y se traza la línea recta que pasa por esos puntos.

• Identificar la región factible: Determinar el área del plano que satisface todas las restricciones simultáneamente. Esta región está delimitada por las líneas rectas que representan las restricciones y puede ser un polígono convexo o una región no acotada.

• Determinar los vértices de la región factible: Identificar los puntos donde se intersectan las líneas rectas que delimitan la región factible. Estos puntos representan las soluciones factibles extremas del problema.

• Evaluar la función objetivo en cada vértice: Sustituir las coordenadas de cada vértice en la función objetivo para calcular el valor correspondiente.

• Encontrar la solución óptima: Seleccionar el vértice que proporciona el mejor valor para la función objetivo, ya sea el máximo (en problemas de maximización) o el mínimo (en problemas de minimización). Este vértice representa la solución óptima del problema.

Limitaciones del método gráfico:

• Solo se puede utilizar para problemas con dos variables de decisión, ya que es difícil visualizar y resolver gráficamente problemas con más variables.

• La precisión de la solución depende de la exactitud con la que se grafican las restricciones y se identifican los vértices de la región factible.

• En problemas con muchas restricciones, la región factible puede ser muy pequeña o inexistente, lo que dificulta la identificación de la solución óptima.

Ventajas del método gráfico:

• Permite visualizar el problema y comprender la relación entre las variables de decisión, las restricciones y la función objetivo.

• Es una herramienta útil para entender los conceptos básicos de la programación lineal y el significado de la solución óptima.

• Puede ser utilizado como una herramienta de enseñanza y aprendizaje para comprender los fundamentos de la optimización lineal.

Casos especiales en el método gráfico:

• Soluciones múltiples: Cuando la función objetivo es paralela a una de las restricciones que delimitan la región factible, existen múltiples soluciones óptimas en el segmento de línea que representa la restricción.

• Solución no acotada: Cuando la región factible se extiende indefinidamente en alguna dirección, la función objetivo puede crecer o decrecer sin límite, lo que indica que el problema no tiene una solución óptima finita.

• Solución infactible: Cuando no existe ninguna región que satisfaga todas las restricciones simultáneamente, el problema no tiene solución factible.

Interpretación de la solución óptima:

• El valor de la función objetivo en la solución óptima indica el máximo beneficio (en problemas de maximización) o el mínimo costo (en problemas de minimización) que se puede obtener, dadas las restricciones del problema.

• Los valores de las variables de decisión en la solución óptima indican las cantidades de cada variable que se deben producir o utilizar para alcanzar el objetivo óptimo.

• Es importante verificar que la solución óptima satisface todas las restricciones del problema y que tiene sentido en el contexto del problema real.

El método gráfico resuelve problemas de programación lineal con dos variables. Representa restricciones en un plano cartesiano para encontrar la región factible. La solución óptima se halla en un vértice de esta región.