Множествата и нивните карактеристики

Избрани теми од математика 2024/2025

• Темата е за избрани теми од математика за 2024/2025 година.

Множества

• Множеството е структура што претставува неподредена колекција од елементи.
• Елементите на множеството се нарекуваат членови.
• Множествата можат да содржат ниеден, еден или повеќе различни елементи.
• Теоријата на множества е важна за компјутерските науки.
• Во математиката, целите математички идеи можат да се дефинираат преку множества.

Основни ознаки за множества

• Множествата се означуваат со големи латински букви (на пример, A,B,C).
• Елементите на множествата се означуваат со мали латински букви (на пример, a,b,c).
• Множествата се означуваат со елементите во загради (на пример, A = {a,b,c}).

Ознаки за поважни множества

• Природни броеви (N)
• Цели броеви (Z)
• Позитивни цели броеви (Z+)
• Рационални броеви (Q)
• Позитивни рационални броеви (Q+)
• Реални броеви (R)

Специјални множества: Интервали

• Затворен интервал [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
• Полуотворен интервал [a, b) = {x | a ≤ x < b}
• Полуотворен интервал (a, b] = {x | a < x ≤ b}
• Отворен интервал (a, b) = {x | a < x < b}

Основни поими за множества

• Множеството ги содржи сите свои елементи.
• Елементите се уникатни.

Основни својства на множествата

• Редоследот на елементите не е важен
• Ако един елемент се повторува во множество, тоа не е разлика.

Универзално множество

• Универзалното множество е множество што содржи сите елементи на размислувањето во одреден контекст.
• Множествата во одреден проблем можат да имаат различна универзална множества.

Венови дијаграми

• Графички начин за претставување на множества со кругови.
• Елементите на множеството се претставуваат со точки.

Празното множество

• Празното множество е множество што не содржи никакви елементи.
• Запишува се со Ø или со {}.

Дефинирање множества со исказни функции

• Множество може да се дефинира со исказна функција.
• Дефинирањето ги наведува барањата што мора да ги исполнуваат елементите на множеството.

Пример

• Примери за дефинирани множества

Еднаквост на множества

• Две множества се еднакви ако и само ако содржат исти елементи.

Внимание!

• Разликата меѓу Ø и {Ø}.
• Првото е празно множество, а второто е множество што содржи едно празно множество како елемент.

Подмножества

• Множество А е подмножество од множество В ако секој елемент на множество А е и елемент на множество В.
• А⊆В
• Вистинско подмножество

Вистинско подмножество

• Множество А е вистинско подмножество од множество В, означено со A⊂B, ако A е подмножество од В, но А и В не се еднакви.

Множества можат да бидат елементи на друго множество

• Множествата можат да се користат како елементи на други множества

Кардиналност и конечност

• Кардиналноста на множеството е бројот на елементи што ги содржи.
• Конечно множество е множество што има конечно (броиво) мерено број на елементи.
• Бесконечно множество е множество што не е конечно.

Партитивно множество

• Партитивното множество на множество S, (P(S)), е множество на сите подмножества на S.

Подредени n-торки

• Подредени n-торки се низи со ред.
• Редоследот на елементите е важен.
• Дупликатите се дозволени.

Директен (Картезиев, Декартов) производ на множества

• Декартовиот производ на два множества А и В е множество на сите можни подредени парови (a, b) каде a е елемент на А и b е елемент на В. A×B= {(a,b)| a∈Aʌ b∈B}

Унија на множества

• Унијата на две множества, А∪В, е множеството што содржи сите елементи од А или В (или и од двете).

Примери за унија

• Примери за пресметување на унијата на множества

Својства на операцијата унија на множества

• Својства на операциите на множества (правила).

Пресек на множества

• Пресекот на две множества A∩B е множеството што содржи сите елементи што се во и А и во В.

Примери на пресек

• Примери за пресметување на пресекот на множества.

Својства на пресек

• Својства на операциите за пресек на множества (правила).

Својства на унија и пресек

• Дистрибутивни закони за множества.

Дисјунктност

• Две множества се дисјунктни ако нивниот пресек е празен.

Дисјунктни множества

• Примери за дисјунктивни множества.

Принцип на влучување и исклучување

• Како се пресметуваат елементите на унијата на два множества.

Разлика на множества

• Разликата меѓу две множества A − B е множеството што содржи сите елементи во множеството A, но не и во множеството B.

Венов дијаграм за разлика на множества

• Визуелизација на разликата на множества со Венов дијаграм.

Примери за разлика

• Примери за пресметување на разликата на множества.

Својства на разлика

• Разликата на множества не е комутативна операција.

Симетрична разлика на множества

• Симетричната разлика на множествата содржи елементи од двете множества, но не и од нивниот пресек.

Комплемент на множество

• Комплементот на множество А во однос на универзалното множество е множеството што содржи сите елементи на универзалното множество, но не и елементите на множеството А.

Својства на комплемент

• Својства на комплемент на множество (правила).

Врска меѓу разлика и комплемент

• Формула за стекнување на разлика со комплемент.

Идентитети со множества

• Својства и формули за множества.

Докажување на идентитети

• Методи за докажување на идентитети во теорија на множества.

Метод 1: Доказ со користење на основните својства

• Доказ со користење на основните својства на множества.

Метод 2: Разгледување на сите случаи

• Метод на разгледување на сите случаи за докажување на идентитети во теорија на множества.

Метод 2: Со таблица на припадност

• Докажување со таблица на припадност

Доказ со таблица на припадност

• Доказ со таблица на припадност

Метод 3: Докажување дека едното множество е подмножество од другото и обратно

• Докажување со техники за компарација и инклузија на множества.

Метод 4: Со ознаки за множества

• Доказ со ознаки за множества

Заклучоци во врска со множества

• Поврзани тврдења за множества.

Обопштени пресеци

• Математички идеи за обопштени пресеци.

Обопштени унии

• Математички идеи за обопштени унии.