ИТОМ Предавање 06 (2024) ver 1 PDF

Избрани теми од математика 2024/2025 1 Избрани теми од математика Множества  3 Вовед во теорија на множества Множество е нов тип на структура, кој претставува неподредена колекција (група) од ниеден, еден или повеќе различни објекти. О...

Избрани теми од математика 2024/2025 1 Избрани теми од математика Множества  3 Вовед во теорија на множества Множество е нов тип на структура, кој претставува неподредена колекција (група) од ниеден, еден или повеќе различни објекти. Објектите во едно множество се наречени елементи, или членови на множеството. Велиме дека множеството ги содржи своите елементи. o Теоријата на множества се однесува на операции, релации и тврдења за множествата. o Множествата се насекаде присутни во компјутерските софтверски системи. o Целата математика може да се дефинира во термини на некој облик на теорија на множества (со користење на предикатната логика) www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  4 Основни ознаки за множества o За означување на множествата ќе користиме променливи со големи латински букви (A, B, C,..., S, T, U, …) o За означување на елементите – мали ракописни латински букви (a, x, y…) o Можеме да го означиме едно множество со запишување на сите негови елементи во големи загради: А = {a, b, c} е множество од некои 3 објекти, означени со a, b, c. Но ако ставиме C = {3, 5, 7, …}. Што е следно? www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  5 Ознаки за поважни множества o N = {0, 1, 2, 3, …} – множество на природни броеви, o Z = {…,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, …} – множеството на цели броеви, o Z+ = {1, 2, 3, …} – множеството на позитивни цели броеви, o Q = {x | x = p/q и p, q Z со q≠0} – множеството на рационални броеви, o Q+ = {x | x = p/q и p, q Z+ } – множеството на позитивни рационални броеви, o R – множеството на реални броеви. o Забелешка: Концептот на datatype, или type во компјутерските науки е изграден по концептот на множество. www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  Специјални множества: Интервали o [a, b] = {x | a ≤ x ≤ b} – затворен интервал o [a, b) = {x | a ≤ x < b} o (a, b] = {x | a < x ≤ b} o (a, b) = {x | a < x < b} – отворен интервал 6 www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  7 Основни поими за множества o Едно множество “содржи“ различни “членови“ или “елементи“ кои го чинат множеството. Ако еден елемент a е член во множество S (или е елемент од S) jа користиме ознаката a  S 4  {1, 2, 3, 4} Ако a не е елемент од S, ја користиме ознаката aS 7  {1, 2, 3, 4} www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  8 Основни својства на множествата  Редоследот на запишување на елементите не е битен (множествата се неподредени колекции) : Ако a, b и c се некои објекти, {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.  Сите елементи се различни (нееднакви), повеќекратното запишување не прави разлика ! Ако a = b, тогаш {a, b, c} = {a, c} = {b, c} = {a, a, b, a, b, c, c, c, c}. Ова множество содржи најмногу 2 елементи! www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  9 Универзално множество o U е универзално множество, множество на сите елементи (или “универзум“) од кое се земаат елементите за било кое множество За множеството {-2, 0.4, 2}, U би биле реалните броеви За множеството {0, 1, 2}, U може да биде N, Z, Q, R во зависност од контекстот За множеството на сите самогласки од азбуката, U би биле сите букви од азбуката www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  10 Венови дијаграми o Графичко претставување на множествата Правоаголникот го претставува универзумот Круговите ги претставуваат множествата o На пример: множеството S од сите самогласки од азбуката b c d f U o Елементите се претставуваат со точки g h j S k l m o Елементите често не се пишуваат n p q a e i r s t o u v w x y z www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  11 Празното множество o Единственото множество кое не содржи ниеден елемент се нарекува празно множество или “null” множество и се означува со .  Според тоа  = {} = { x |  } Без оглед на доменот за кој се говори ја имаме аксиомата x: x Празното множество може да биде елемент на друго множество: {, 1, 2, 3, x} е множество. www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  Дефинирање множества со исказни 12 функции o Ознака на градење на множества: Ги карактеризираме сите елементи во множеството со дефинирање на својството кое мора да го имаат за да бидат членови на множеството. o За секое тврдење P(x) над универзумот на кој се однесува, { x | P(x) } е множеството на сите x за кои важи P(x). D = {x | x е прост број и x > 2} E = {x | x е непарен и x > 2} Вертикалната црта значи “така што“ www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  13 Пример o Определи ги следниве множества: 1. {xZ | x20} Решение: 1. {xZ | x20} = N+ www.finki.ukim.mk www.facebook.com/FINKI.ukim.mk www.twitter.com/FINKIedu  14 Еднаквост на множества За две множества велиме дека се еднакви ако и само ако тие содржат исти елементи. o Поточно не е важно како се дефинирани или означени.  o На пример: Множеството {1, 2, 3, 4} = {x | x е цел број таков што x>0 и x0 и x2