Metode Numerice - Curs 3, Cap 2: Sisteme Algebrice

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Care este condiția testată pentru verificarea etapei k, pe calculator, în locul verificării dacă pivotul este diferit de zero?

a [kk,k] = 0

a [kk,k] != 0

| a [kk,k] |< 

| a [kk,k] |>  (correct)

Ce se întâmplă cu eliminarea Gaussiană atunci când pivotul este mai mic sau egal cu ?

Eliminarea Gaussiană nu este afectată.

Eliminarea Gaussiană se oprește, dar matricea A nu este singulară.

Eliminarea Gaussiană continuă fără probleme.

Eliminarea Gaussiană eşuează și matricea A este singulară. (correct)

Care este efectul transformării M k asupra celorlalte coloane ale matricei A k?

Toate coloanele matricei A k sunt zerate.

Nici o coloană a matricei A k nu este modificată.

Coloana k este zerată, iar restul coloanelor rămân neschimbate.

Coloana k este zerată, iar celelalte coloane sunt modificate conform formulei din text. (correct)

Care este efectul transformării M k asupra primelor k-1 coloane ale matricei A k?

Primele k-1 coloane rămân nemodificate. Signup and view all the answers

Ce se întâmplă cu coloana k a matricei A k după aplicarea transformării M k?

Coloana k este zerată. Signup and view all the answers

Care dintre opțiunile de mai jos reprezintă o condiție corectă pentru verificarea etapei k, pe calculator?

| a [kk,k] |>  Signup and view all the answers

Ce reprezintă  în contextul verificării etapei k?

Un număr mic reprezentând eroarea de rotunjire pentru numerele reale. Signup and view all the answers

Care este implicația descompunerii L-U a matricei A atunci când submatricea principală de ordin k este singulară?

Descompunerea L-U nu există. Signup and view all the answers

Ce reprezintă descompunerea L-U a matricei A?

O metodă de reducere a matricei A la o formă superioară triunghiulară. Signup and view all the answers

Care este rezultatul metodei de descompunere Cholesky pentru o matrice simetrică pozitiv definită?

Matricea A se descompune sub forma A = L * LT. Signup and view all the answers

Care sunt etapele pentru a rezolva un sistem folosind descompunerea L-U?

Eliminare gaussiană urmată de substituție înainte și substituție inversă. Signup and view all the answers

Câte operații în virgulă mobilă se necesită pentru procedura de triangularizare directă?

de ordinul lui n^3. Signup and view all the answers

Ce se întâmplă dacă matricea A admite o descompunere L-U?

Descompunerea L-U este unică. Signup and view all the answers

Ce transformă matricea 𝑀𝑘 în matricea 𝐴𝑘?

Coloanele 𝑘 + 1, ⋯ , 𝑛 Signup and view all the answers

Ce reprezintă matricea L în procesul de triangularizare?

Matricea inferior triunghiulară unitate Signup and view all the answers

Ce se întâmplă dacă multiplicatorii 𝜇𝑖𝑘 au valori mari?

Se amplifică erorile Signup and view all the answers

Care este primul pas în rezolvarea sistemului 𝐴 ∙ 𝑥 = 𝑏?

Substituția înainte Signup and view all the answers

Ce se modifică în matricea A în timpul triangularizării simple?

Elementele corespunzătoare relației date Signup and view all the answers

Ce simbol reprezintă termenii care rămân nemodificați în matrice?

<ul> <li></li> </ul> Signup and view all the answers

Ce reprezintă relația $a[ijk + 1] = a[ijk] - u_{ik} imes a[kjk]$?

O relație de modificare a elementelor matricei A Signup and view all the answers

Ce se obține la finalul procesului de triangularizare?

O matrice U Signup and view all the answers

Ce caracterizează metodele directe în rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare?

Eliminarea progresivă a necunoscutelor Signup and view all the answers

Ce reprezintă matricea L în decompoziția $A = L imes D imes U$?

O matrice inferioară triunghiulară Signup and view all the answers

Care este rolul matricii D în decompoziția unui sistem de ecuații algebrice liniare?

Să fie o matrice diagonală Signup and view all the answers

Ce condiție trebuie să îndeplinească matricea A pentru a exista o decompoziție de forma $A = L imes D imes U$?

A să aibă toate submatricele principale inversabile Signup and view all the answers

Care metodă este utilizată pentru a transforma matricea A într-o formă triunghiulară?

Triangularizare Signup and view all the answers

În cazul metodelor iterative, cum se definește un șir de aproximații pentru soluția sistemului?

Un șir care convergă la soluția sistemului Signup and view all the answers

Ce reprezintă termenul de triangularizare într-un sistem de ecuații?

Transformarea matricei într-o matrice triunghiulară Signup and view all the answers

Care este o condiție de oprire în metodele iterative?

Să se atingă un anumit nivel de precizie Signup and view all the answers

Ce simbol reprezintă o matrice superioară triunghiulară?

U Signup and view all the answers

Ce se întâmplă cu elementele unei matrice în timpul triangularizării?

Sunt eliminate progresiv Signup and view all the answers

Ce reprezintă matricea $M_k$ în contextul algoritmului de triangularizare directă?

Matrice de transformare elementară de ordin n și indice k Signup and view all the answers

Care este scopul principal al aplicării matricei $M_k$ asupra vectorului $oldsymbol{ u}$?

Să zerorizeze elementele coloanei k Signup and view all the answers

Care dintre următoarele proprietăți nu este adevărată pentru matricile Gauss?

Sunt singulare Signup and view all the answers

În cadrul algoritmului, câte etape parcurge algoritmul de triangularizare directă?

$n - 1$ etape Signup and view all the answers

Ce element trebuie zerorizat prin utilizarea multiplicatorilor Gauss?

Elementele sub diagonala principală Signup and view all the answers

Care este forma matricei $M_k$?

$M_k = I_n - m_k imes e_k^T$ Signup and view all the answers

Ce reprezintă vectorul de multiplicatori pentru algoritmul de triangularizare?

$m_k = oldsymbol{0} o m_n$ Signup and view all the answers

Care este efectul aplicării matricei $M_k$ asupra vectorului $oldsymbol{ u}$?

Se zerorizează elementele sub indicele k Signup and view all the answers

De ce este considerată triangularizarea simplă instabilă numeric?

Din cauza valorii subunitare a multiplicatorilor. Signup and view all the answers

Care este principiul principal al pivotării parțiale în rezolvarea sistemelor prin triangularizare?

Se caută pivotul cu cea mai mare valoare în modul. Signup and view all the answers

Ce se întâmplă dacă pivotul găsit în timpul algoritmului de triangularizare este nul?

Algoritmul nu poate fi completat. Signup and view all the answers

Ce reprezintă matricea $P_k$ în algoritmul de triangularizare cu pivotare parțială?

Matricea de permutare a liniilor. Signup and view all the answers

Care este forma finală a matricei $A$ după aplicarea algoritmului de triangularizare cu pivotare parțială?

O matrice superioară triunghiulară. Signup and view all the answers

Ce reprezintă matricea $L'$ în contextul factorizării unei matrice prin triangularizare?

O matrice inferioară triunghiulară unitate. Signup and view all the answers

Ce operație este utilizată pentru a calcula vectorul $c$ în algoritmul de rezolvare a sistemelor?

Înmulțirea matricei $P$ cu vectorul $b$. Signup and view all the answers

Ce trebuie să se întâmple pentru a efectua triangularizarea cu pivotare parțială în mod corect?

Matricea $A$ trebuie să fie nesingulară. Signup and view all the answers

Care este rolul matricei $M_k$ în procesul de triangularizare?

Produse o matrice superioară triunghiulară. Signup and view all the answers

Ce se întâmplă în etapa de substituție inversă a algoritmului?

Se rezolvă sistemul $U imes x = y$. Signup and view all the answers

Care este scopul tehnicii de pivotare în algoritmii de triangularizare?

Minimizarea erorilor numerice. Signup and view all the answers

Cum se determină matricea $L'$ după aplicarea algoritmului de triangularizare?

Este rezultatul final al multiplicării tuturor $M_k$. Signup and view all the answers

Ce caracteristică au elementele sub diagonala principală ale matricei $L'$?

Au valoarea absolută mai mică sau egală cu 1. Signup and view all the answers

Care este relația între matricea $P$ și matricea $L'$ în triunghiularizarea matricei?

$P imes A = L' imes U$. Signup and view all the answers

Study Notes

Metode Numerice - Curs 3, Cap 2: Sisteme Determinate de Ecuații Algebrice Liniare

Acest capitol prezintă metode numerice pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare determinate.
Metodele sunt împărțite în directe și iterative (indirecte).
Metodele directe rezolvă direct sistemul cu operații elementare, ducând matricea la o formă triunghiulară.
Metodele iterative construiesc o succesiune de aproximări pentru soluție, care converg spre soluția exactă.
Operațiile elementare prin care sistemul se duce la o formă triunghiulară poartă numele de triangularizare.

Rezolvarea Sistemelor prin Triangularizare Directă

Un sistem de n ecuații algebrice liniare cu n necunoscute se poate scrie sub forma A . x = b, unde A ∈ R^n×n și b ∈ R^n×1.
Dacă matricea A are toate submatricele principale inversabile, atunci există matricele L, D, U, astfel încât A = L D U, unde:
- L este matrice inferior triunghiulară
- D este matrice diagonală
- U este matrice superior triunghiulară
Procedura de descompunere a matricei A în aceste trei componente poartă numele de factorizare LU.

Procedura de Triangularizare Directă

Algoritmul de descompunere LU implică o serie de operații elementare de transformare a matricei A, până când devine o matrice triunghiulară superior.
Se utilizează matrice de transformare elementară (matrice Gauss), notate cu Mk.
Aceste matrice sunt folosite pentru a elimina elementele sub diagonala principală ale matricei A, transformând-o treptat într-o matrice triunghiulară.
Operațiile se aplică asupra elementelor matricii inițiale, și se obține matricea triunghiulară superioară (U).

Triangularizare cu Pivotare Parțială

Această metodă se folosește atunci când se preconizează sau constată că elementul de pe diagonala principală este zero sau foarte mic.
Se caută cea mai mare valoare în modul în coloana k începând de pe diagonala principală, apoi se permută linia k-a a matricei cu linia al cărei element de pe coloana respectivă este cel mai mare în modul.
Acest lucru se face utilizând un proces de pivotare, care implică permutarea liniilor.
Necesită o matrice de permutare, , pentru a înlocui linia cu un pivot mai mare.
Aceasta metodă are avantajul că este mai robustă în comparație cu triangularizarea simplă atunci când matricea A prezintă valori mici sau probleme de stabilitate.

Concluzii generale

Metodele de triangularizare sunt esențiale pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.
Ele conduc la o formă mai simplă, triunghiulară, a sistemului inițial, ce permite o rezolvare mai simplă.
Metoda cu pivotare parțială oferă stabilitate numerică mai bună.
Alegerea metodei potrivite depinde de natura sistemului și de resursele computaționale disponibile.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Acest curs se concentrează pe metodele numerice utilizate pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare determinate. Se discută despre metode directe și iterative, precum și procesul de triangularizare. În plus, se analizează condițiile necesare pentru inversabilitatea matricelor.