Les échelles de mesure: nominale et ordinale

• Ce cours poursuit l'objectif du premier semestre en ajoutant un deuxième caractère, se concentrant sur les relations entre ces caractères, notamment via l'étude des corrélations et régressions.
• Le concept de distribution conditionnelle permet d'étudier le comportement d'une variable en fonction d'une modalité fixée de l'autre variable.
  • En d'autres termes, cela permet de regarder chaque ligne du tableau de contingence à travers les colonnes.
• Pour les exercices, l'arrondissement à deux chiffres après la virgule est recommandé.
• Ce cours est enseigné par Guillaume Vallet à l'Université Clermont Auvergne (U.F.R. de Psychologie, Sciences Sociales et Sciences de l’Éducation).

Licence de ce Cours

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Objectifs du Cours

• Étendre les concepts statistiques à une série statistique double (deux variables).
• Étudier l'indépendance et la relation entre deux variables (profils, covariance, corrélation).
• Prédire des valeurs en l'absence (ou en présence) d'un prédicteur (régression conditionnelle, linéaire et non linéaire).
• Comprendre l'erreur-type d'estimation et le pourcentage de variance expliquée.
• Produire graphiques et calculs avec un tableur et un logiciel de statistiques.

Logiciel JAMOVI

• Le logiciel d’analyse statistique utilisé est JAMOVI, gratuit, libre, et multiplateforme (https://www.jamovi.org/).
• JAMOVI offre une alternative moderne et intuitive aux logiciels comme SPSS ou Statistica.
• Des ressources additionnelles, comme le guide d'utilisateur officiel (en anglais), une chaîne YouTube de tutoriels, et la liste des ressources de la communauté JAMOVI sont disponibles.
• La dernière version utilisée pour ce cours est la 1.6.9, mais des différences peuvent être constatées avec les versions mises à jour.

Série statistique double

• Une série statistique double implique l'étude conjointe de deux variables dépendantes, obtenues auprès du même échantillon.
• L'introduction d'une seconde variable permet d'examiner les relations entre les variables.
• La terminologie statistique inclut les statistiques univariées (une variable), bivariées (deux variables), et multivariées (plusieurs variables).
• Les données peuvent être de différents types, mais les données numériques sont privilégiées dans ce cours.
• Par convention, les deux séries sont désignées par les lettres X et Y, et les valeurs observées pour un individu sont notées xi et yi.

Tableau de contingence - Explications

• Le tableau de contingence est un tableau à double entrée croisant les données de deux variables.
• Les données peuvent être groupées par modalité de chaque caractère, ou par intervalles pour l'un ou les deux.
• Le tableau peut présenter les effectifs ou les fréquences.
• Les modalités de X sont en lignes et celles de Y en colonnes, le choix des caractères X et Y est libre.
• Des vidéos explicatives sur le tableau de contingence et les distributions conditionnelles sont disponibles sur YouTube.

Données groupées pour des effectifs

• Les données brutes sont regroupées en rapportant le nombre d'observations appartenant à chaque modalité.
• Le nombre de participants qui ont pour valeurs xi et yj est ni,j.
• Un effectif partiel renvoie à l'effectif d'une case particulièrement (n2,3 par exemple).

Distributions Marginales - Explications

• Le tableau de contingence permet d’étudier séparément ou conjointement les deux variables dépendantes.
• La distribution marginale est le compte des effectifs par ligne et par colonne.
• ni,. = ni,1 + ni,2 + ... + ni,q représente l'effectif total dans la modalité xi, soit la somme des effectifs de la ligne.
• n.,j = n1,j + n2,j + ... + np,j représente l'effectif total dans la modalité yj, soit la somme des effectifs de la colonne.
• N = n1,1 + n1,2 + ... + np,q représente l'effectif total, soit la somme de tous les effectifs.
• La somme des effectifs marginaux de X et de Y est égal à N.

Tableau de distribution de fréquences pour deux variables

• Comme avec les tableaux de contingence des effectifs, il est possible de déterminer les fréquences relatives de chaque modalité de chaque variable d'une série double.
• La fréquence est le rapport de l'effectif d'une modalité à l'effectif total (fi = ni/N).
• Les fréquences peuvent être converties en pourcentages en les multipliant par 100.
• L'intérêt des fréquences est de pouvoir se faire une idée de l'importance relative de chaque croisement de modalités.
• La somme de chaque ligne ou de chaque colonne d'un tableau de fréquence doit toujours être égale à 1 (100% de l'effectif).
• Les fréquences marginales sont obtenues par la somme des fréquences partielles.

Distributions Conditionnelles

• Elles consistent à considérer uniquement une variable parmi les deux étudiées en fonction d'une modalité de l'autre variable, permettant d'étudier le comportement d'une variable lorsqu'une modalité de l'autre est fixée.
• L'analyse peut se faire pour les effectifs ou pour les fréquences.
• La modalité fixée sur un tableau de contingence correspond à ne regarder qu'une ligne ou une colonne unique (série conditionnelle ou profil).
  • La somme des fréquences de la série conditionnelle sera toujours égale à 1.
• Les distributions conditionnelles permettent de répondre à des questions concernant la proportion d'une modalité en fonction d'une autre modalité.
• Le tableau des profils en lignes est construit en divisant l’effectif de chaque case par le total de la ligne correspondante.
• Le tableau des profils en colonnes se détermine en divisant l’effectif de chaque case par le total de la colonne correspondante.

Statistiques Conditionnelles

• Toutes les données appartenant à une échelle numérique permettent également de calculer des indices statistiques de position et de dispersion conditionnels.
• Elles correspondent à la moyenne (ou autre indice statistique) des effectifs à travers une des deux variables pour une modalité fixée de la seconde variable.

Liens entre variables

• L'étude de plusieurs variables dépendantes permet de tester si elles sont reliées et d'étudier la liaison entre elles.
• L'indépendance se traduit par des variations non liées entre les variables.
• La connaissance de la valeur d'une variable n'informe pas sur la valeur de l'autre variable si elles sont indépendantes.
• La taille est liée au poids, mais la taille est indépendante du QI.

Indépendance théorique

• Une indépendance parfaite se traduit par des effectifs égaux dans les cases d'un tableau de contingence.
• Cela signifie que les variations dans une variable n'affectent pas l'autre.
• Une telle distribution n'est quasiment jamais observée, d'où le terme de distribution théorique.

Co-variance

• Représente comment les données varient autour de la moyenne.
• C'est la distance moyenne entre les valeurs d'une série et sa moyenne (écart moyen).
• Le calcul de la variance consiste à soustraire la moyenne à chaque valeur, puis à mettre au carré chaque résultat.
  • s² = (1/N) * Σ(xi - x̄)²
• Il existe une formule simplifiée : s² = (1/N * Σx²i) - x̄²
• La covariance est la généralisation de la variance de une à deux variables dépendantes.
• Les statistiques bivariées nécessitent de relever les deux mesures en même temps ou pour un même individu afin d'étudier les liaisons entre les variables.
• La covariance se calcule en calculant la moyenne du produit des écarts de chaque série à sa moyenne
  • COV(X,Y) = sXY = (1/N) * Σ(xi - x̄)(yi - ȳ)
• Il existe une formule simplifiée pour la covariance : COV(X, Y ) = sXY = (1/N * Σxiyi) - x̄ȳ
• La création d'une nouvelle variable (X*Y = X × Y) facilite la compréhension.
• La covariance peut être positive, négative ou nulle.
  • Nulle = les deux variables sont parfaitement indépendantes.
• Positive = quand les valeurs de X augmentent, les valeurs de Y tendent à augmenter également.
• Négative = quand les valeurs de X augmentent, les valeurs de Y tendent à diminuer.
• La covariance de l'anxiété et de la dépression pour les patients vaut 3.16, ce qui signifie que si un patient rapporte un haut niveau d'anxiété, il tend à rapporter un haut niveau de dépression.
• La covariance ne peut se déterminer que pour des données numériques.
• Il faut soustraire 1 à N au dénominateur pour les calculs appliqués à des échantillons.
  • Plus la taille d’échantillon est importante, moins l’écart avec la population sera significatif.
• La variance ne s'interprète pas directement; il faut passer par l'écart-type
• Il faut passer par le cœfficient de corrélation pour l'interprétation de la covariance.

Diagramme de dispersion

• Aussi appelé nuage de points, sert à observer comment se répartissent les observations en fonction de deux variables (X et Y ).
• Chaque observation est représentée par les valeurs obtenues pour chaque variable.
• La forme du nuage de points révèle la relation entre les variables.
• Une forme patatoïdale traduit une absence globale de lien, puisque les valeurs d'une variable ne semblent pas affecter celles de l'autre.
• Une ligne droite horizontale (ou verticale) indique également l'absence de relation.
• Une ligne montante ou descendante suggère une relation linéaire entre les variables.

Corrélation linéaire

• La corrélation ramène la covariance dans un espace normé de -1 à +1.
• Cela permet de comparer directement des associations entre elles.
• Une corrélation ne signifie pas un lien causal.
• Exemples de corrélations :
  • Plus les divorces diminuent, moins il se mange de margarine.
  • Plus les ventes de voitures allemandes augmentent, plus il y a de suicides par accident de voiture.
  • Plus miss America est jeune, plus les meurtres diminuent.
  • Plus les gens achètent d’Iphone, plus il y a de chutes mortelles dans les escaliers.
• Le cœfficient de corrélation linéaire est noté r.
• Il est compris entre -1 et 1 et correspond à la pente de la droite qui passerait par l'ensemble des points.
• Une corrélation est forte quand elle est comprise entre |0,5| et |1|, et faible entre |0| et |0,5|.
• Pour une corrélation positive (r > 0), les deux variables varient dans le même sens. Pour une corrélation négative (r < 0), elles varient dans des sens opposés.
• Calcul du cœfficient de corrélation en normalisant la covariance par rapport à l'écart-type: r = COV (X,Y ) / (Sx Sy)
• Le cœfficient de corrélation linéaire est appelé cœfficient de Pearson. Il existe également des cœfficient de relation non-linéaire comme le rho (ρ) de Spearman.

Prédiction

• L'étude des liaisons entre les variables sert à prédire les valeurs d'une variable à partir de la connaissance de l'autre.
• L'intérêt est de généraliser l'association pour aller au-delà des observations réellement effectuées.

Droite de Régression

• Pour les relations linéaires, elle "représente" au mieux le nuage de points en minimisant les écarts entre chaque point et la droite.
• Les écarts sont appelés "résidus".
• Il faut distinguer deux droites de régressions possibles selon que l’on cherche à minimiser les différences entre la droite de régression et les valeurs de X ou avec les valeurs de Y.
• Il s'agit conceptuellement de l'erreur de l'adéquation de la droite aux données réelles.
• Équation d'une droite : y = ax + b

L'erreur Type

• Les équations des droites de régression simplifient la réalité, car elles ne tiennent pas compte de l'erreur des résidus.
• Le calcul des paramètres (a et b) est une estimation de valeur probable et non une détermination de valeur réelle.
• Cette erreur est appelée erreur type ou erreur standard.
• L'erreur type trouve son origine dans la distribution d'échantillonnage.
• Les indices statistiques déterminés pour un échantillon ne sont que très rarement équivalents aux valeurs réelles qui seraient observées pour la population.
• Plus l'échantillon est important, moins l'erreur sera grande.

Équation de la Droite de Régression

• On utilise la méthode des moindres carrés.
• Calcul du cœfficient directeur (a): a = COV (X,Y ) / s²x
• Le calcul du terme constant (b) est possible par simple résolution d’équation du premier degré:b = y − ax
• Il faut connaître un point de la droite, tel que G, centre de gravité du nuage de point. G représente le point au croisement de la moyenne de X et de la moyenne de Y , soit G(x̄; ȳ).
• Il est possible d'estimer des valeurs qui n'ont pas été observées une fois l'équation de la droite déterminée:
• une valeur de Y sachant une valeur de X : y = ax + b
• une valeur de X sachant une valeur de Y : x = (y-b)/a
• tracer la droite de régression en utilisant deux points lui appartenant.
• En réalité, les équations devraient s’écrire : y = ax + b + Er, où Er représente l’erreur résiduelle (erreur de prédiction).

Prédiction sans Prédicteur

• L'utilisation d'une régression n'est pas toujours possible.
• Lorsque une seule variable est étudiée ou qu'il n'existe pas de relation forte entre les variables disponibles.
• Permet de résoudre le problème des données manquantes.
• Dans ces situations, la meilleure solution est d'utiliser la moyenne de la série considérée.
• Choisir n'importe quelle autre valeur que la moyenne augmente le risque de se tromper davantage par rapport à la valeur qui serait réellement observée.
• Utiliser la moyenne, c'est choisir la valeur qui aura le moins d'incidence sur la série statistique étudiée.
• L'objectif d'une prédiction reste d'être au plus près de la réalité de l'observation visée.
• Si plusieurs variables sont disponibles, il faut utiliser la série considérée mais en tenant compte des éventuels sous-groupes (série conditionnelle).