Rappels statistiques L1S1 PDF

U.F.R. de Psychologie Statistiques 2 L1S2 Université Clermont Auvergne G. T. Vallet Rappels statistiques L1S1 1 Echelles de mesure Échelle n...

U.F.R. de Psychologie Statistiques 2 L1S2 Université Clermont Auvergne G. T. Vallet Rappels statistiques L1S1 1 Echelles de mesure Échelle nominale Définition : Une échelle nominale (/nom/inale) est une échelle constituée d’éléments qui ne sont pas intrasèquement quantitatifs (sans valeur numérique) et qui ne possèdent pas de rapport d’ordre (d’importance) les uns par rapport aux autres. Propriétés Les données basées sur des échelles nominales sont les plus basiques, elles peuvent seulement être comptées (fréquences, pourcentages). Exemple : — Le sexe : homme ou femme — Les couleurs : bleu, vert, rouge, violet... — Les arbres : sapin, épicéa, tilleul... — Les animaux : chien, chat, poisson rouge... Échelle ordinale Définition : Une échelle ordinale (/ord[re]/inale) est une échelle constituée d’éléments qui entretiennent une relation d’ordre, de grandeur, entre eux. Ces éléments peuvent être ob- jectivement classés les uns par rapport aux autres, il existe une hiérarchie. Néanmoins, l’écart (l’intervalle) entre deux items successifs n’est pas constant, il est alors impossible de dire que l’item en deuxième position est deux fois moindre (ou supérieur) que l’item en position 4. Propriétés Toutes les propriétés des échelles nominales s’appliquent aux échelles ordinales. De plus, il est possible de calculer la moyenne de données ordinales, mais cette moyenne représentera un rang moyen. Exemples : — Le jugement d’un film : très mauvais, mauvais, passable, bon, très bon, excellent — Les résultats d’un concours : 1er , 2e , 3e... 58e — Le niveau de santé global : mauvaise, moyenne, bonne — Echelle de Likert pour donner son avis : de 1 : pas du tout d’accord à 5 : tout à fait d’accord Rappels L1S1 Page 1 sur 5 U.F.R. de Psychologie Statistiques 2 L1S2 Université Clermont Auvergne G. T. Vallet Échelle numérique Définition : Une échelle numérique (num comme numéro) est une échelle constituée d’éléments qui non seulement entretiennent une relation d’ordre, mais dont l’intervalle qui sépare deux éléments est constant. Autrement dit, la distance, ou l’écart, entre deux items successifs est le même qu’entre deux autres items successifs. Les échelles relatives (ou d’intervalles) comportent un 0 arbitraire (comme le degré Celsius), alors que les échelles absolues (ou de rapport) possèdent un 0 absolu (comme le degré Kelvin). La conséquence est que 20 degrés Celsius n’est pas forcement deux fois plus chaud que 10 degrés Celsius, alors que ce sera le cas pour des degrés Kelvin. Propriétés Toutes les propriétés des échelles nominales et ordinales s’appliquent aux échelles nu- mériques. Les échelles numériques permettent d’effectuer tous les calculs possibles, dont la moyenne, la variance, etc. Exemples : — Les notes universitaires : de 0 à 20 (0 absolu et échelle continue) — Le nombre de frères et sœurs : de 0 à 30 (0 absolu et échelle discrète) — Le Q.I. : échelle discrète avec 0 relatif (modalités variables selon les tests) — Notes à QCM régressif : de -20 à +20 (0 relatif et échelle continue) 2 Paramètres de position Le mode Définition : Le mode, aussi appelé valeur dominante, désigne la modalité du caractère étudié ayant le plus grand effectif (valeur qui se répète le plus souvent). Propriétés Une série peut avoir un ou plusieurs modes (unimodale pour une seule modalité qui sera la plus fréquente, bimodale pour deux, etc.). Pour un groupement par intervalles, il faut pour tenir compte des éventuelles différences de longueur de ceux-ci, le mode est alors l’intervalle de plus grande densité. Exemples : — Série unimodale de valeur 6 : 7 ; 6 ; 8 ; 6 ; 5 ; 7 ; 8 ; 6 — Série bimodale de valeurs 13 et 15 : 10 ; 13 ; 11 ; 15 ; 13 ; 13 ; 10 ; 15 ; 16 ; 15 Rappels L1S1 Page 2 sur 5 U.F.R. de Psychologie Statistiques 2 L1S2 Université Clermont Auvergne G. T. Vallet Les quantiles Définition : Les quantiles correspondent aux modalités du caractère qui permettent de découper la série statistique en portions équivalentes, de deux portions à une infinité. La médiane est le quantile qui coupe en portion équivalente une série statistiques, alors que les quartiles scindent la séire en 4, les déciles en 10 et les centiles en 100 portions équivalentes, etc. Formule : Le quantile d’intérêt correspond à la modalité de la quantième observation, déterminé en multipliant par le quantile voulu l’effectif total (N ) divisé par le nombre de portions. Propriétés Les quantiles ne peuvent être déterminés que pour des échelles ordinales et numériques puisqu’il faut pouvoir classer les observations. Exemples : — Médiane : modalité pour l’observation située à la N2 position — 7e décile : modalité pour l’observation située à la 7N 10 position — 3e quartile : modalité pour l’observation située à la 3N4 position La moyenne Définition : La moyenne est un nombre qui caractérise une série statistique simple dont la valeur serait celle observée si toutes les observations étaient identiques. Autrement dit, la moyenne synthétise un ensemble de nombres pour donner une valeur représentative de la série. Formule : P xi x̄ = N Avec xi la valeur de caractère x à la ie position et N l’effectif total. Propriétés La moyenne, contrairement à la médiane, est sensible aux valeurs extrèmes. Exemples : P x — Moyenne de la série 13 ; 15 ; 17 ; 11 ; 13 : x̄ = N i = 13+15+17+11+13 5 = 13.8 — Moyenne de la série 3 ; 4 ; 6 ; 5 ; 3 ; 4 ; 4 ; 6 : x̄ = 3+4+6+5+3+4+4+6 8 = 4.375 Rappels L1S1 Page 3 sur 5 U.F.R. de Psychologie Statistiques 2 L1S2 Université Clermont Auvergne G. T. Vallet 3 Paramètres de dispersion L’étendue Définition : L’étendue est l’écart entre les modalités extrêmes. Formule : Plus grande modalité – plus petite modalité ou [ plus petite modalité ; plus grande modalité ] Exemples : — L’étendue de la série 7 ; 6 ; 8 ; 6 ; 5 ; 7 ; 8 ; 6 : 8 − 5 = 3 ou [5 ; 8] — L’étendue de la série 10 ; 13 ; 11 ; 15 ; 13 ; 13 ; 10 ; 15 ; 16 ; 15 : 16 − 10 = 6 ou [10 ; 16] L’intervalle interquartiles Définition : L’intervalle interquartiles représente les effectifs contenus entre le 1er et 3e quartile (noté [Q1 ; Q3 ]). Formule : L’intervalle interquartiles se calcule en déterminant le 1er (Q1 ) et le 3e (Q3 ) quartiles, soit les observations aux positions N4 et 3N 4 (avec N l’effectif total). Propriétés L’intervalle interquartiles contient environ la moitié des observations, et celles qui ne sont pas dedans sont répartis équitablement des deux côtés de l’intervalle. Exemples : — Intervalle interquartiles de la série 7 ; 6 ; 8 ; 6 ; 5 ; 7 ; 8 ; 6 : Q1 : N4 = 84 soit la 2e valeur donc 6 et Q3 : 3N 4 = 3×8 4 soit la 6e valeur donc 7, L’intervalle vaut [6 ; 7] — Intervalle interquartiles de la série 10 ; 13 ; 11 ; 15 ; 13 ; 13 ; 10 ; 15 ; 16 ; 15 : Q1 : N4 = length(notes) 4 soit la 3e valeur donc 11 et Q3 : 3N 4 = 3×104 soit la 8e valeur donc 15, L’intervalle vaut [11 ; 15] La variance et l’écart-type Définition : La variance représente la distance moyenne entre les valeurs d’une série par rapport à la moyenne de la série, notée s2 ou σ 2 (sigma). Autrement dit, c’est la manière dont varient les valeurs d’une série statistique. L’écart-type est la racine carrée de la variance (notée s ou σ). Rappels L1S1 Page 4 sur 5 U.F.R. de Psychologie Statistiques 2 L1S2 Université Clermont Auvergne G. T. Vallet Formule : 1 n √ s2 = (xi − x̄)2 donc s = s2 P N i=1 ou n √ 2 ( N1 x2i ) − x̄2 donc s = s2 P s = i=1 Propriétés — La variance (comme l’écart-type) est toujours positive ou nulle. — La variance (comme l’écart-type) d’une série est égale à zéro si, et seulement si, la série ne contient qu’une seule valeur (il n’y a aucune dispersion des données). Exemples : — Variance de la série 13 ; 15 ; 17 ; 11 ; 13 : n 2 2 2 +(11−13.8)2 +(13−13.8)2 s2 = N1 (xi − x̄)2 = (13−13.8) +(15−13.8) +(17−13.8) P 5 = 4.16 i=1 — Ecart-type de la série 3 ; 4 ; 6 ; 5 ; 3 ; 4 ; 4 ; 6 : q 32 +42 +62 +52 +32 +42 +42 +6 √ s= 7 − 4.3752 = 1.234375 = 1.11102430216445 Rappels L1S1 Page 5 sur 5