Insiemi: Definizione e Notazione

Insiemi: Definizione e Notazione

• Un insieme è una collezione di oggetti determinati e distinti, percepiti come un tutto unico.
• Gli oggetti all'interno di un insieme sono chiamati elementi.
• Georg Cantor (1845-1918) fu un matematico tedesco che studiò la teoria degli insiemi.

Insiemi: Notazione

• Insiemi: Lettere maiuscole (es. A, B, X, N, Z).
• Elementi: Lettere minuscole (es. a, b, n, h, e).
• Appartiene: ∈ (es. a ∈ A).
• Non appartiene: ∉ (es. a ∉ A).
• Insieme vuoto: Ø (privo di elementi).
• Insieme universo: U (contiene tutti gli altri insiemi).
• Per ogni elemento: ∀.
• Esiste almeno un elemento: ∃.
• Congiunzione: ∧.
• Disgiunzione: ∨.
• Implicazione: →.

Insiemi: Rappresentazione

• Diagramma di Eulero-Venn: Rappresenta graficamente gli insiemi come regioni sovrapposte all'interno di un insieme più grande chiamato universo.
• Elencazione degli elementi: Lista degli elementi dell'insieme (es. F = {p, m, u, a, b, ...}).
• Proprietà caratteristica: Definizione dell'insieme in base a una proprietà che condividono tutti gli elementi (es. F = {x | x è un frutto}).

Insiemi: Relazioni

• Uguaglianza (A = B): Ogni elemento di A è anche elemento di B, e viceversa.
• Inclusione (A ⊂ B): Ogni elemento di A è anche elemento di B. Se A = B, si chiama sottoinsieme improprio. Se A ≠ B , si chiama sottoinsieme proprio.

Insiemi: Numerici

• Insieme dei numeri naturali (N): {0, 1, 2, 3,...}.
• Insieme dei numeri interi (Z): {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}.
• Insieme dei numeri razionali (Q): {a/b | a, b ∈ Z, b ≠ 0}.
• Insieme dei numeri reali (R): Q ∪ I (numeri irrazionali).

Insiemi: Operazioni

• Intersezione (A ∩ B): Insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B.
• Unione (A ∪ B): Insieme degli elementi che appartengono ad A o a B (o ad entrambi).

Insiemi: Alcune Proprietà

• Commutativa: A ∩ B = B ∩ A e A ∪ B = B ∪ A.
• Associativa: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) e (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
• Insieme vuoto: A ∩ Ø = Ø e A ∪ Ø = A.
• Insieme universo: A ∩ U = A e A ∪ U = U.