Funciones algebraicas: lineales y cuadráticas

• Funciones algebraicas son funciones que pueden expresarse en términos de operaciones algebraicas, incluyendo funciones lineales, cuadráticas, cúbicas, racionales y radicales.

Función Lineal

• Una función lineal es una función polinómica de primer grado.
• Se representa generalmente como f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
• La pendiente (m) indica la tasa de cambio de la función, es decir, cuánto cambia y por cada unidad que cambia x.
• La ordenada al origen (b) es el valor de y cuando x es cero, es decir, el punto donde la línea cruza el eje y.
• La gráfica de una función lineal es una línea recta.
• Las funciones lineales son utilizadas para modelar relaciones proporcionales y tasas de cambio constantes.

Función Cuadrática

• Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado.
• Se representa generalmente como f(x) = ax^2 + bx + c, donde a, b y c son constantes, y a ≠ 0.
• La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
• El vértice de la parábola es el punto máximo o mínimo de la función, dependiendo del signo de a. Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba y tiene un mínimo; si a < 0, la parábola se abre hacia abajo y tiene un máximo.
• Las raíces (o ceros) de una función cuadrática son los valores de x para los cuales f(x) = 0. Estas raíces pueden encontrarse utilizando la fórmula cuadrática: x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).
• El discriminante (b^2 - 4ac) determina la naturaleza de las raíces: si es positivo, hay dos raíces reales distintas; si es cero, hay una raíz real (o dos raíces reales iguales); si es negativo, no hay raíces reales.
• Las funciones cuadráticas se utilizan para modelar trayectorias parabólicas, áreas y problemas de optimización.

Función Cúbica

• Una función cúbica es una función polinómica de tercer grado.
• Se representa generalmente como f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, donde a, b, c y d son constantes, y a ≠ 0.
• Las funciones cúbicas tienen al menos una raíz real.
• La gráfica de una función cúbica puede tener hasta dos puntos de inflexión, donde la concavidad cambia.
• El comportamiento a largo plazo de una función cúbica está determinado por el término principal (ax^3). Si a > 0, la función tiende a ∞ cuando x → ∞ y a -∞ cuando x → -∞. Si a < 0, el comportamiento es inverso.
• Las funciones cúbicas se utilizan en modelos de crecimiento y decrecimiento, y en la descripción de fenómenos físicos más complejos.

Función Racional

• Una función racional es una función que puede expresarse como el cociente de dos polinomios.
• Se representa como f(x) = P(x) / Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) ≠ 0.
• El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero (Q(x) = 0). Estos valores de x se conocen como singularidades o asíntotas verticales.
• Las asíntotas horizontales describen el comportamiento de la función cuando x tiende a ∞ o -∞. Si el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x), la asíntota horizontal es y = 0. Si los grados son iguales, la asíntota horizontal es y = (coeficiente principal de P(x)) / (coeficiente principal de Q(x)). Si el grado de P(x) es mayor que el grado de Q(x), no hay asíntota horizontal (o hay una asíntota oblicua).
• Las funciones racionales se utilizan en la modelización de tasas, concentraciones y comportamientos asintóticos.

Función Radical

• Una función radical es una función que contiene una raíz (generalmente una raíz cuadrada, cúbica, etc.)
• La forma más común es f(x) = √n, donde n es el índice de la raíz y P(x) es una expresión algebraica.
• El dominio de una función radical depende del índice n. Si n es par, el radicando (P(x)) debe ser no negativo (P(x) ≥ 0). Si n es impar, el dominio es todos los números reales, siempre que P(x) sea un polinomio.
• La función radical más común es la raíz cuadrada, f(x) = √x. Su dominio es x ≥ 0.
• Las funciones radicales se utilizan para modelar relaciones inversas con potencias, como la velocidad de un objeto en caída libre o la longitud de la diagonal de un cuadrado.
• Las funciones radicales pueden tener transformaciones como desplazamientos, estiramientos y reflexiones, similares a otras funciones.

Este contenido trata sobre funciones algebraicas, incluyendo funciones lineales y cuadráticas. Explica la forma general de cada función, sus componentes (como la pendiente y la ordenada al origen en funciones lineales), y la forma de su gráfica.