Forelesning uke 38: Sandsynlighetsregning

Introduksjon til Sandsynlighedsregning

• Stokastisk eksperiment defineres som en prosess med uforutsigbare utfall.
• Udfaldsrummet (sample space) består av alle mulige utfall.
• Hændelse er en delmengde av udfaldsrummet som representerer relevante utfall.

Sandsynlighed

• Sandsynligheten for en hændelse ( A ) er forholdet mellom gunstige og totale utfall: P(A)=Antall gunstige utfallTotalt antall utfall P(A) = \frac{\text{Antall gunstige utfall}}{\text{Totalt antall utfall}} P(A)=Totalt antall utfallAntall gunstige utfall​
• Eksempel: Sannsynligheten for å få et jevnt tall ved terningkast er 50% (3 gunstige utfall av 6).

Relativ Hyppighed

• Relativ hyppighed fungerer som en tilnærming til sannsynlighet ved flere forsøk.
• Formelen for relativ hyppighed for en hændelse ( A ): Relativ hyppighed=Antall ganger A inntrefferTotalt antall forsøk \text{Relativ hyppighed} = \frac{\text{Antall ganger A inntreffer}}{\text{Totalt antall forsøk}} Relativ hyppighed=Totalt antall forsøkAntall ganger A inntreffer​

Venn-Diagrammer

• Venn-diagrammer visualiserer forholdet mellom mengder og hændelser.
• Udfaldsrummet vises som en firkant, mens hændelser vises som sirkler.

Regneregler for Sandsynligheder

• Foreningshændelse for to hændelser ( A ) og ( B ): P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B) P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
• Fælleshændelse refererer til sannsynligheten for at begge hændelser inntreffer samtidig.

Betingede Sandsynligheder

• Betinget sandsynlighet ( P(A | B) ) representerer sannsynligheten for ( A ) gitt at ( B ) har inntreffet: P(A∣B)=P(A∩B)P(B) P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​

Uafhængige Hændelser

• To hændelser ( A ) og ( B ) er uafhengige hvis: P(A∩B)=P(A)⋅P(B) P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) P(A∩B)=P(A)⋅P(B)

Simultane og Marginale Sandsynligheder

• Simultane sandsynligheter gjelder for sannsynligheten at to hændelser inntreffer samtidig.
• Marginale sandsynligheter gjelder for sannsynligheten av hver hændelse uavhengig.

Kombinatorikk

• Multiplikasjonsprinsippet gir totalen av mulige sekvenser basert på valg for hvert trinn.
• Antall permutasjoner av ( n ) elementer er ( n! ).
• Antallet kombinasjoner av ( k ) valgte fra ( n ) er: (nk)=n!k!(n−k)! \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} (kn​)=k!(n−k)!n!​

Bayes' Teorem

• Bayes' teorem brukes for å beregne betingede sannsynligheter, formulert som: P(A∣B)=P(B∣A)P(A)P(B) P(A | B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(B∣A)P(A)​

Eksempler og Anvendelser

• Praktiske anvendelser av sannsynlighetsprinsipper inkluderer beregning av sannsynligheter i kortspill og terningkast.