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Questions and Answers
Quelle condition doit vérifier un nombre complexe $z$ pour être une solution de l'équation $(z^2 - 2z + 2)^3 + (z^2 - 4z + 8)^3 = (2z^2 - 6z + 10)^3$?
Quelle condition doit vérifier un nombre complexe $z$ pour être une solution de l'équation $(z^2 - 2z + 2)^3 + (z^2 - 4z + 8)^3 = (2z^2 - 6z + 10)^3$?
Qu'est-ce qui caractérise un triangle équilatéral formé par les points d'affixes $a$, $b$, et $c$?
Qu'est-ce qui caractérise un triangle équilatéral formé par les points d'affixes $a$, $b$, et $c$?
Quel est le lien entre la formule d'Euler et la limite de $z_n = ig(1 + rac{i}{n}ig)^n$ quand $n$ tend vers l'infini?
Quel est le lien entre la formule d'Euler et la limite de $z_n = ig(1 + rac{i}{n}ig)^n$ quand $n$ tend vers l'infini?
Quelle est la forme trigonométrique de $z_n = (1 + rac{i}{n})^n$ à mesure que $n$ augmente?
Quelle est la forme trigonométrique de $z_n = (1 + rac{i}{n})^n$ à mesure que $n$ augmente?
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Quelle caractéristique doit avoir une fonction continue $f: ext{C} o ext{C}$ pour satisfaire $f(z+w) = f(z)f(w)$?
Quelle caractéristique doit avoir une fonction continue $f: ext{C} o ext{C}$ pour satisfaire $f(z+w) = f(z)f(w)$?
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Study Notes
Exercice Difficile sur les Nombres Complexes
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Partie 1: Opérations algébriques et résolution d'équations
- L'équation complexe donnée est : $(z^2 - 2z + 2)^3 + (z^2 - 4z + 8)^3 = (2z^2 - 6z + 10)^3$
- Si $z$ est une solution, alors $|z-1|=1$.
- Résoudre l'équation dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$.
Partie 2: Nombres complexes en géométrie
-
Condition pour un triangle équilatéral:
- Trois points $A$, $B$ et $C$ avec affixes respectives $a$, $b$ et $c$ forment un triangle équilatéral si et seulement si : $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$
-
Propriété d'un point quelconque dans un triangle équilatéral:
- Si $ABC$ est équilatéral et $P$ un point d'affixe $p$, alors : $|p-a|^2 + |p-b|^2 + |p-c|^2 = 3|p - \frac{a+b+c}{3}|^2 + \frac{|a-b|^2 + |b-c|^2 + |c-a|^2}{3}$
Partie 3: Formule de Moivre, formule d'Euler et forme trigonométrique
-
Définition de $z_n$: $z_n = (1 + \frac{i}{n})^n$
- Déterminer la forme trigonométrique de $z_n$.
- Calculer la limite de $|z_n|$ et $\arg(z_n)$ quand $n$ tend vers l'infini.
- En déduire la valeur de la limite de $z_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini et l'interpréter à l'aide de la formule d'Euler.
Partie 4: Une équation fonctionnelle
-
Fonction continue $f$:
- Trouver toutes les fonctions $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ continues telles que $f(z+w) = f(z)f(w)$ pour tous $z, w \in \mathbb{C}$.
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Description
Testez vos compétences sur les nombres complexes à travers divers exercices difficiles. Ce quiz couvre des opérations algébriques, des propriétés géométriques, ainsi que la formule de Moivre et la forme trigonométrique. Idéal pour les étudiants avancés en mathématiques cherchant à approfondir leur compréhension des nombres complexes.
