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Questions and Answers
Quelle condition doit vérifier un nombre complexe $z$ pour être une solution de l'équation $(z^2 - 2z + 2)^3 + (z^2 - 4z + 8)^3 = (2z^2 - 6z + 10)^3$?
Quelle condition doit vérifier un nombre complexe $z$ pour être une solution de l'équation $(z^2 - 2z + 2)^3 + (z^2 - 4z + 8)^3 = (2z^2 - 6z + 10)^3$?
- $|z| = 1$
- $|z - 2| = 0$
- $|z + 3| = 2$
- $|z - 1| = 1$ (correct)
Qu'est-ce qui caractérise un triangle équilatéral formé par les points d'affixes $a$, $b$, et $c$?
Qu'est-ce qui caractérise un triangle équilatéral formé par les points d'affixes $a$, $b$, et $c$?
- $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca eq 0$
- $|a-b| = |b-c| = |c-a|$
- $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$ (correct)
- $a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca = 0$
Quel est le lien entre la formule d'Euler et la limite de $z_n = ig(1 + rac{i}{n}ig)^n$ quand $n$ tend vers l'infini?
Quel est le lien entre la formule d'Euler et la limite de $z_n = ig(1 + rac{i}{n}ig)^n$ quand $n$ tend vers l'infini?
- $ ext{lim} z_n = e^{i}$
- $ ext{lim} |z_n| = e$ et $ ext{lim} ext{arg}(z_n) = 0$ (correct)
- La limite n'existe pas
- $ ext{lim} z_n = e^{i rac{ heta}{2}}$
Quelle est la forme trigonométrique de $z_n = (1 + rac{i}{n})^n$ à mesure que $n$ augmente?
Quelle est la forme trigonométrique de $z_n = (1 + rac{i}{n})^n$ à mesure que $n$ augmente?
Quelle caractéristique doit avoir une fonction continue $f: ext{C} o ext{C}$ pour satisfaire $f(z+w) = f(z)f(w)$?
Quelle caractéristique doit avoir une fonction continue $f: ext{C} o ext{C}$ pour satisfaire $f(z+w) = f(z)f(w)$?
Flashcards
Propriété de solutions pour l'équation
Propriété de solutions pour l'équation
Si un complexe $z$ satisfait l'équation, alors sa distance au point 1 est 1.
Condition d'équilatéralité
Condition d'équilatéralité
Le triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si la somme des carrés des côtés est égale à la somme des produits deux à deux des côtés.
Forme trigonométrique de $z_n$
Forme trigonométrique de $z_n$
Calculer la forme trigonométrique d'un nombre complexe en fonction de $n$
Limite du module et de l'argument
Limite du module et de l'argument
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Equation fonctionnelle complexe
Equation fonctionnelle complexe
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Study Notes
Exercice Difficile sur les Nombres Complexes
- Partie 1: Opérations algébriques et résolution d'équations
- L'équation complexe donnée est : $(z^2 - 2z + 2)^3 + (z^2 - 4z + 8)^3 = (2z^2 - 6z + 10)^3$
- Si $z$ est une solution, alors $|z-1|=1$.
- Résoudre l'équation dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$.
Partie 2: Nombres complexes en géométrie
- Condition pour un triangle équilatéral:
- Trois points $A$, $B$ et $C$ avec affixes respectives $a$, $b$ et $c$ forment un triangle équilatéral si et seulement si : $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$
- Propriété d'un point quelconque dans un triangle équilatéral:
- Si $ABC$ est équilatéral et $P$ un point d'affixe $p$, alors : $|p-a|^2 + |p-b|^2 + |p-c|^2 = 3|p - \frac{a+b+c}{3}|^2 + \frac{|a-b|^2 + |b-c|^2 + |c-a|^2}{3}$
Partie 3: Formule de Moivre, formule d'Euler et forme trigonométrique
- Définition de $z_n$: $z_n = (1 + \frac{i}{n})^n$
- Déterminer la forme trigonométrique de $z_n$.
- Calculer la limite de $|z_n|$ et $\arg(z_n)$ quand $n$ tend vers l'infini.
- En déduire la valeur de la limite de $z_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini et l'interpréter à l'aide de la formule d'Euler.
Partie 4: Une équation fonctionnelle
- Fonction continue $f$:
- Trouver toutes les fonctions $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ continues telles que $f(z+w) = f(z)f(w)$ pour tous $z, w \in \mathbb{C}$.
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Description
Testez vos compétences sur les nombres complexes à travers divers exercices difficiles. Ce quiz couvre des opérations algébriques, des propriétés géométriques, ainsi que la formule de Moivre et la forme trigonométrique. Idéal pour les étudiants avancés en mathématiques cherchant à approfondir leur compréhension des nombres complexes.
