Équations Différentielles

Questions and Answers

Quelles sont les solutions de l'équation y' + 2y = x² sans second membre?

y = Ce^{-2x} où C est une constante.

Quelle est la solution particulière de l'équation y' sin x - y cos x + 1 = 0?

yo = cos x

Quelle est la solution générale vérifiant y(π/4) = 1 pour l'équation y' sin x - y cos x + 1 = 0?

y = 1 + C sin x

Quel est le facteur intégrant M(x) pour l'équation xy' - 3y = 3lnx?

M(x) = x^-3 Signup and view all the answers

Quelle est la solution de l'équation y' = -1?

y = -x + C Signup and view all the answers

Quel est le déterminant de la matrice A où A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\ 1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}?

Det(A) = 1 Signup and view all the answers

Quelle est la condition pour que la matrice A soit inversible?

Det(A) doit être différent de 0. Signup and view all the answers

Comment appelle-t-on la matrice B par rapport à A après le calcul de AB?

Matrice associée. Signup and view all the answers

Quelle est l'expression pour z'(x) si z(x) = x + y(x) pour l'équation y' - e^x.e^y = - 1?

z'(x) = 1 + y'(x) Signup and view all the answers

Qu'est-ce que e^(z(x)) en fonction de x et y?

e^(z(x)) = e^x.e^y. Signup and view all the answers

Comment écrire l'équation différentielle y' - e^x.e^y = - 1 en fonction de z et x?

z' - e^x.e^(z - x) = -1. Signup and view all the answers

Comment résoudre cette nouvelle équation en z par la méthode de séparation des variables?

Séparez les variables et intégrez les deux côtés. Signup and view all the answers

Quelle est la solution y(x) de l'équation initiale après avoir déterminé z(x)?

y(x) = z(x) - x. Signup and view all the answers

Quelle est la matrice de passage P pour diagonaliser A où A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3\ 0 & -2 & 0\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}?

La matrice P est à déterminer à partir des vecteurs propres. Signup and view all the answers

Qu'est-ce que la matrice diagonale D après avoir diagonaliser A?

D = \begin{pmatrix} λ_1 & 0 & 0\ 0 & λ_2 & 0\ 0 & 0 & λ_3 \end{pmatrix} où λ_i sont les valeurs propres. Signup and view all the answers

Comment déduire A' après avoir trouvé P et D?

A' = PDP^{-1}. Signup and view all the answers

Study Notes

Difficultés des questions

Catégorisation des questions en trois niveaux : facile, moyen, difficile.

Exercice n°1 : Résoudre des équations différentielles du 1er ordre

Équation 1 : y' + 2y = x²
- Trouver la solution de l'équation homogène (sans second membre).
- Identifier une solution particulière.
Équation 2 : y' sin x - y cos x + 1 = 0
- Démonstration que y₀ = cos x est une solution particulière.
- Déterminer la solution générale avec la condition y(π/4) = 1.

Exercice n°2 : Facteur intégrant

Résoudre les équations à l'aide d'un facteur intégrant M(x).
Équation 1 : xy' - 3y = 3Lnx.
Équation 2 : y' = -1.

Exercice n°3 : Matrice

Calculer le déterminant de la matrice A pour vérifier son inversibilité.
Évaluer le produit AB.
Discuter la relation entre la matrice B et la matrice A.

Exercice n°4 : Petit changement de variable

Étude de l'équation différentielle y' - e^x.e^y = -1 avec le changement de variable z(x) = x + y(x).
Déterminer l’expression pour z'(x).
Exprimer e^(z(x)) en fonction de x et y.
Reformuler l'équation différentielle en termes de z et x uniquement.
Résoudre cette nouvelle équation par la méthode de séparation des variables.
Déduire la solution y(x) de l'équation initiale.

Exercice n°5 : Diagonaliser une matrice

Trouver la matrice de passage P et la matrice diagonale D pour A.
En déduire la forme A' après diagonalisation.

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Description

Ce quiz couvre divers exercices sur les équations différentielles du 1er ordre, y compris la résolution d'équations homogènes et particulières. Il aborde également l'utilisation de facteurs intégrants et des matrices, ainsi qu'un changement de variable pour simplifier certains problèmes. Testez vos compétences et votre compréhension des concepts fondamentaux des équations différentielles.