6 Distribuzione t di Student e Normale
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Questions and Answers

Qual è la principale differenza tra la distribuzione normale standardizzata e la distribuzione t di Student?

  • La distribuzione t di Student segue la distribuzione normale per ogni campione.
  • La distribuzione t di Student ha code più spesse e è più piatta. (correct)
  • La distribuzione normale è sempre simmetrica.
  • La distribuzione t di Student ha code più sottili.

    • Cosa rappresentano i gradi di libertà (GL) nella distribuzione t di Student?

  • La differenza tra il numero di osservazioni e il numero di parametri stimati. (correct)
  • Un valore fisso indipendente dal campione.
  • Il numero totale di campioni in una popolazione.
  • La quantità di dati utilizzati per il campione.

    • Quale affermazione è vera riguardo la distribuzione t di Student all'aumentare dei gradi di libertà?

  • Diventa più piatta e le code più spesse.
  • Rimane invariata indipendentemente dai gradi di libertà.
  • Diventa simile a una distribuzione uniforme.
  • Si avvicina alla distribuzione normale. (correct)

    • Cosa succede se sia σ che μ sono sconosciute in una popolazione?

    <p>Si utilizza la deviazione standard del campione per calcolare t.</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'area totale sotto la curva della distribuzione t di Student?

    <p>Uguale a 1.</p> Signup and view all the answers

    Qual è una delle caratteristiche della distribuzione delle medie campionarie?

    <p>La media della distribuzione delle medie campionarie è uguale alla media μ della popolazione.</p> Signup and view all the answers

    Cosa succede alla variabilità delle medie campionarie all'aumentare di n?

    <p>Diminuisce.</p> Signup and view all the answers

    Qual è il teorema che afferma che la distribuzione delle medie campionarie tende a una distribuzione normale quando n è grande?

    <p>Teorema del limite centrale.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la relazione tra l'errore standard della media e la deviazione standard della popolazione?

    <p>È direttamente proporzionale alla deviazione standard della popolazione.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la forma della distribuzione delle medie campionarie quando n è abbastanza grande?

    <p>Normale.</p> Signup and view all the answers

    Che cosa indica la notazione maiuscola nella distribuzione delle medie campionarie?

    <p>La media dei valori della variabile casuale X.</p> Signup and view all the answers

    Quale affermazione è vera riguardo alla variabilità delle medie campionarie rispetto alle osservazioni individuali?

    <p>C’è una minor variabilità tra le medie campionarie rispetto alle osservazioni individuali.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la deviazione standard della distribuzione delle medie campionarie?

    <p>È pari a σ/√n.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la principale difficoltà nel campionamento statistico?

    <p>Conoscere i parametri esatti della popolazione.</p> Signup and view all the answers

    Quale affermazione descrive gli errori sistematici nel campionamento?

    <p>Avvengono sempre nello stesso senso: per difetto o per eccesso.</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'obiettivo principale della scelta di un campione corretto?

    <p>Evitare distorsioni nello stimatore.</p> Signup and view all the answers

    Cosa definisce l'errore standard della media?

    <p>La distribuzione delle medie campionarie estratte da una popolazione.</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'effetto di un numero insufficiente di unità campionarie in un'analisi statistica?

    <p>Riduce la precisione degli stimatori.</p> Signup and view all the answers

    Perché non si può affermare con certezza che i risultati ottenuti su un campione siano trasferibili a una popolazione?

    <p>Perché gli errori sistematici e casuali influenzano i risultati.</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alla scelta di un campione?

    <p>Ogni individuo deve avere la stessa probabilità di essere selezionato.</p> Signup and view all the answers

    Cosa si ottiene estraendo tutti i possibili campioni di una certa dimensione da una popolazione?

    <p>Una distribuzione delle medie campionarie.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la relazione corretta tra errore standard e deviazione standard?

    <p>L'errore standard si calcola dividendo la deviazione standard del campione per la radice quadrata della dimensione del campione.</p> Signup and view all the answers

    Quando si costruisce un intervallo di confidenza a 95%, quale affermazione è corretta?

    <p>L'intervallo si ottiene posizionando la media tra i limiti inferiori e superiori.</p> Signup and view all the answers

    Quale affermazione descrive meglio il significato dell'errore standard?

    <p>Indica quanto siamo sicuri di avere stimato la media vero.</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'utilizzo dell'errore standard nel contesto della statistica?

    <p>Stimare la media della popolazione tramite la media campionaria.</p> Signup and view all the answers

    In un esempio di calcolo dell'errore standard, quale valore è necessario?

    <p>La deviazione standard del campione e la dimensione del campione.</p> Signup and view all the answers

    Quale dei seguenti fattori influisce sull'errore standard?

    <p>Sia la dimensione del campione che la deviazione standard del campione.</p> Signup and view all the answers

    Nell'esempio fornito, qual è l'errore standard per un campione di 256 bovine con deviazione standard di 2352 kg?

    <p>147 kg</p> Signup and view all the answers

    Per quale motivo si esclude la conoscenza di σ nel calcolo dell'errore standard?

    <p>Perché si stima l'errore standard con la deviazione standard del campione.</p> Signup and view all the answers

    Cosa rappresenta il valore di tn-1 in una tabella della distribuzione T di Student?

    <p>Il valore che delimita il α% della distribuzione</p> Signup and view all the answers

    Quando si utilizza la distribuzione T di Student rispetto alla distribuzione normale?

    <p>Quando la deviazione standard della popolazione è sconosciuta</p> Signup and view all the answers

    Qual è la formula per stimare l'intervallo di confidenza della media con σ non nota?

    <p>Media ± t * (s/√n)</p> Signup and view all the answers

    Se un campione ha una media di 34.8 ng/ml e una deviazione standard di 13 ng/ml, cosa occorre per calcolare l'intervallo di confidenza al 95%?

    <p>La dimensione del campione e il valore di t corrispondente a 95%</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo all'intervallo di confidenza?

    <p>L'intervallo di confidenza fornisce un'idea dell'incertezza della media stimata</p> Signup and view all the answers

    Qual è il significato di α in un intervallo di confidenza?

    <p>La probabilità di errore di tipo I</p> Signup and view all the answers

    Qual è il livello di probabilità associato all'intervallo di confidenza del 95%?

    <p>0.05</p> Signup and view all the answers

    Se un campione casuale è composto dai valori 1.8, 1.2, 0.5, 0.3, 0.2, -0.1, -0.7, -1.2, quale informazione è necessaria per calcolare l'intervallo di confidenza della media?

    <p>La media, la deviazione standard, e la dimensione del campione</p> Signup and view all the answers

    Qual è la formula per calcolare la proporzione di un campione?

    <p>$p = \frac{#elementi\ selezionati}{n}$</p> Signup and view all the answers

    Cosa rappresenta la variabile q nel calcolo di un intervallo di confidenza per una proporzione?

    <p>$1 - p$</p> Signup and view all the answers

    Qual è il valore critico per un intervallo di confidenza del 95%?

    <p>1.96</p> Signup and view all the answers

    Qual è la dimensione del campione dell'esempio riguardante i bovini?

    <p>115</p> Signup and view all the answers

    Qual è la proporzione p dei bovini risultati positivi all'esame?

    <p>0.313</p> Signup and view all the answers

    Se nel campione di 80 soggetti, 60 affermano che voteranno 'Si', quale sarebbe la proporzione p?

    <p>$\frac{60}{80} = 0.75$</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo alla distribuzione di una proporzione?

    <p>È normalmente distribuita se il campione è di dimensione sufficientemente grande.</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'intervallo di confidenza per la proporzione dei votanti 'Si' basato su un campione di 80 soggetti con 60 risposte positive, utilizzando un livello di fiducia del 95%?

    <p>0.613 - 0.887</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Informatica e Biostatistica - Anno Accademico 2024-2025

    • Corso tenuto dal Dott. Alberto Bertoncini
    • Università degli Studi di Milano

    Intervalli di Confidenza

    • Processo: Si estrapolano conclusioni su un'intera popolazione da un campione.
    • Difficoltà: Determinare i parametri della popolazione è complesso.
    • Errori: Il campionamento comporta errori, sia casuali che sistematici.
      • Errori Casuali: Variano in modo imprevedibile da una misura all'altra, influenzando il risultato a volte per eccesso o difetto.
      • Errori Sistematici: Avvengono sempre nello stesso senso (sempre per eccesso o sempre per difetto).
    • Generalizzazione: I risultati di un campione non possono essere affermati con certezza per l'intera popolazione, ma possono essere generalizzati in termini medi usando metodi statistici appropriati.

    Intervalli di Confidenza - Campioni

    • Campione: Sottoinsieme della popolazione utilizzato per stimare i parametri di quest'ultima.
    • Obiettivo: Conoscere approssimativamente la media, la varianza, e altri parametri della popolazione.
    • Procedura:
      • Scelta del campione: Eseguire una scelta casuale per evitare distorsioni (bias) e assicurare che ogni individuo abbia la stessa probabilità di far parte del campione.
      • Dimensione del campione: Un numero adeguato di unità campionarie riduce l'errore casuale.
      • Elaborazione degli stimatori: Stabilire con precisione le stime del campione.
      • Errore Standard: Una misura della precisione degli stimatori del campione.

    Errore Standard della Media

    • Serie di medie campionarie: Selezionare tutti i possibili campioni di dimensione n da una popolazione con media μ e deviazione standard σ. La serie di valori ottenuta rappresenta le medie campionarie.
    • Distribuzione di probabilità: La distribuzione di queste medie viene chiamata distribuzione delle medie campionarie.
    • Proprietà della distribuzione delle medie campionarie:
      • La media di questa distribuzione corrisponde alla media μ della popolazione.
      • La deviazione standard (errore standard della media) è pari a σ/√n, dove n è la dimensione del campione.
      • Con campioni sufficientemente grandi, la forma della distribuzione delle medie campionarie si avvicina ad una distribuzione normale (Teorema del Limite Centrale).

    Errore Standard della Media - Proprietà (continua)

    • Proporzione diretta/inversa:
      • Proporzionale alla deviazione standard della popolazione.
      • Inversamente proporzionale alla radice quadrata della dimensione del campione.
    • Minor variabilità: La variabilità delle medie campionarie è minore rispetto alla variabilità delle singole osservazioni.
    • Aumentare la dimensione: Aumentare la dimensione del campione riduce la variabilità delle medie campionarie.
    • Distribuzione Normale: per campioni sufficientemente grandi (n >30), la distribuzione delle medie campionarie diventa approssimativamente normale.

    Teorema del Limite Centrale

    • Campioni grandi: con un campione sufficientemente grande (generalmente n > 30), la distribuzione delle medie campionarie tende ad una distribuzione normale, qualunque sia la distribuzione di partenza della popolazione.
    • Media, deviazione standard: La media della distribuzione delle medie campionarie è uguale alla media della popolazione, e la deviazione standard è pari a σ/√n.
    • Standardizzazione: La distribuzione delle medie campionarie standardizzata ha una media di 0 e una deviazione standard di 1.

    Intervallo di Confidenza

    • Definizione: Un intervallo di valori entro il quale si stima che cada la media vera della popolazione con un certo livello di confidenza (ad esempio, il 95%).
    • Ampiezza: La larghezza dell'intervallo. Ampio = bassa precisione; Stretto = alta precisione.
    • Livello di Confidenza: La probabilità che l'intervallo calcolato contenga la vera media della popolazione.
    • Area tratteggiata sotto la curva: Riflette il livello di confidenza (ad esempio, 95% = 2.5% in ogni coda).
    • Formula (media conosciuta): X ± Z * (σ/√n) dove:
    • X = media campionaria
    • Z = valore critico dalla distribuzione normale (per il livello di confidenza scelto)
    • σ = deviazione standard della popolazione
    • n = dimensione del campione

    Intervallo di Confidenza con σ non nota

    • σ non nota: Quando σ (deviazione standard della popolazione) è sconosciuta, si sostituisce con s (deviazione standard del campione).
    • Distribuzioni t di Student: Per stimare l'intervallo di confidenza vengono usate le distribuzioni t di Student, che assumono una forma simile alla distribuzione normale ma con code più spesse.
      • I gradi di libertà (GL) influenzano la forma della distribuzione t di Student.
    • Formula (con s): X ± t(n-1) * (s/√n) dove:
    • X = media campionaria
    • t(n-1) = valore critico dalla distribuzione t di Student (per il livello di confidenza scelto e n−1 gradi di libertà)
    • s = deviazione standard del campione
    • n = dimensione del campione

    Proporzioni

    • Definizione: Una proporzione è la percentuale di elementi in un campione che possiedono una determinata caratteristica.
    • Stima puntuale: La proporzione del campione (p = numero di elementi con la caratteristica / dimensione del campione) è la miglior stima puntuale della proporzione della popolazione.
    • Distribuzione approssimativamente normale: La distribuzione delle proporzioni campionarie, per un gran numero di campioni, sono approssimativamente normali.

    Intervallo di Confidenza delle Proporzioni

    • Formula: p ± Z * √((p*(1-p))/n)
    • p = proporzione del campione
    • Z = valore critico della distribuzione z (per il livello di confidenza richiesto)
    • n = dimensione del campione

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    Questo quiz esplora le differenze tra la distribuzione normale standardizzata e la distribuzione t di Student. Verranno inoltre esaminati concetti fondamentali come i gradi di libertà e il teorema del limite centrale. Metti alla prova le tue conoscenze sui concetti statistici chiave.

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