Dérivées : 1re STD2A

• Calcul de dérivées, tangente à une courbe, sens de variation d'une fonction et optimisation sont des notions clés liées à la dérivée en 1re STD2A.
• Les dérivées permettent d'analyser le comportement des fonctions et de résoudre des problèmes d'optimisation.

Calcul de Dérivées

• La dérivée d'une fonction mesure le taux de variation instantané de cette fonction en un point donné.
• La dérivée de f(x) se note f'(x).
• Les règles de dérivation de base incluent :
  • La dérivée d'une constante est zéro.
  • La dérivée de x est 1.
  • La dérivée de x^n est nx^(n-1).
  • La dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
  • La dérivée d'un produit par une constante est la constante multipliée par la dérivée.
• Dérivées de fonctions usuelles :
  • Si f(x) = k (constante), alors f'(x) = 0.
  • Si f(x) = x, alors f'(x) = 1.
  • Si f(x) = x^n, alors f'(x) = nx^(n-1).
  • Si f(x) = √x, alors f'(x) = 1/(2√x).
  • Si f(x) = 1/x, alors f'(x) = -1/x².
• Règles opératoires sur les dérivées :
  • (u + v)' = u' + v'
  • (ku)' = ku' (où k est une constante)
  • (uv)' = u'v + uv'
  • (u/v)' = (u'v - uv')/v²

Tangente à une Courbe

• La dérivée en un point donne la pente de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
• L'équation de la tangente au point d'abscisse a est y = f'(a)(x - a) + f(a).
• Pour déterminer l'équation de la tangente à une courbe en un point :
  • Calculer la dérivée de la fonction f'(x).
  • Évaluer la dérivée au point d'abscisse 'a' pour trouver la pente de la tangente : m = f'(a).
  • Calculer l'ordonnée du point de tangence : f(a).
  • Utiliser la formule de l'équation de la tangente y = f'(a)(x - a) + f(a).

Sens de Variation d'une Fonction

• Le signe de la dérivée indique le sens de variation de la fonction :
  • Si f'(x) > 0, alors f(x) est croissante.
  • Si f'(x) < 0, alors f(x) est décroissante.
  • Si f'(x) = 0, alors f(x) a un extremum local (maximum ou minimum).
• Pour étudier les variations d'une fonction :
  • Calculer la dérivée f'(x).
  • Déterminer les valeurs de x pour lesquelles f'(x) = 0 (points critiques).
  • Étudier le signe de f'(x) dans les intervalles définis par les points critiques.
  • Construire le tableau de variations de f(x).

Optimisation

• L'optimisation consiste à trouver le maximum ou le minimum d'une fonction.
• Les extrema locaux se trouvent aux points où la dérivée s'annule ou n'est pas définie.
• Pour résoudre un problème d'optimisation :
  • Définir la fonction à optimiser.
  • Calculer la dérivée de la fonction.
  • Trouver les points critiques.
  • Vérifier si ces points critiques sont des maximums ou des minimums (en utilisant la dérivée seconde ou en étudiant le signe de la dérivée).
  • Conclure en donnant la valeur optimale.

Applications Concrètes

• La dérivée a de nombreuses applications concrètes dans divers domaines.
• En physique, elle permet de calculer la vitesse et l'accélération.
• En économie, elle peut être utilisée pour maximiser les profits ou minimiser les coûts.
• En design, elle peut être utilisée pour optimiser les formes et les structures.
• Exemples d'applications :
  • Optimisation de la surface d'un objet.
  • Calcul de la vitesse et de l'accélération d'un mobile.
  • Maximisation du profit d'une entreprise.
  • Minimisation des coûts de production.
  • Conception de formes optimales pour des objets.
• L'optimisation peut être utilisée dans des contextes tels que :
  • Maximisation de l'aire d'une surface avec un périmètre donné.
  • Minimisation du matériau utilisé pour construire un objet.
  • Optimisation des dimensions d'un emballage.
• Dans le contexte de STD2A, les applications peuvent inclure :
  • Optimisation de la forme d'un objet de design.
  • Analyse de la courbure d'une surface.
  • Modélisation de phénomènes physiques.