Calcul Différentiel: Dérivées de Fonctions

Calcul Différentiel

• La diferenciabilidad de una función f en un punto x₀ implica la existencia de un número real L.
• Este número satisface: lim h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀))/h = L, donde h es un número real no nulo y x₀ + h pertenece al intervalo de definición.
• L se denomina la derivada de f en x₀ y se denota f'(x₀).
• La derivada f'(x₀) representa la pendiente de la recta tangente a la curva de f en el punto (x₀, f(x₀)).

Derivadas de Funciones Elementales

• Derivada de una constante (c): 0, válida para todo número real.
• Derivada de x: 1, válida para todo número real.
• Derivada de xⁿ (n ∈ ℕ): nxⁿ⁻¹, válida para todo número real si n ≥ 1 y números reales no nulos si n = 0.
• Derivada de √x: 1/(2√x), válida para reales positivos.
• Derivada de 1/x: -1/x², válida para reales no nulos.
• Derivada de sen(x): cos(x), válida para todo número real.
• Derivada de cos(x): -sen(x), válida para todo número real.
• Derivada de tan(x): 1 + tan²(x) = 1/cos²(x), válida para todos los reales excepto múltiplos impares de π/2.
• Derivada de eˣ: eˣ, válida para todo número real.
• Derivada de ln(x): 1/x, válida para reales positivos.

Operaciones con Derivadas

• Si f y g son diferenciables en un intervalo I, y c es una constante real:
  • Derivada de una suma: (f + g)'(x) = f'(x) + g'(x).
  • Derivada de un producto por constante: (cf)'(x) = cf'(x).
  • Derivada de un producto: (f · g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
  • Derivada de un cociente: (f/ g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]², si g(x) ≠ 0.
  • Derivada de una composición: (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x).

Ejemplos de Aplicaciones

• La derivada de f(x) = x³ + 2sen(x) es f'(x) = 3x² + 2cos(x).
• La derivada de f(x) = eˣcos(x) es f'(x) = eˣcos(x) - eˣsen(x) = eˣ(cos(x) - sen(x)).
• La derivada de f(x) = ln(x² + 1) es f'(x) = (2x)/(x² + 1).

Suites Numériques (Sucesiones Numéricas)

• Una sucesión numérica es una función definida en los enteros naturales (ℕ) o una parte de ℕ, con valores en los reales (ℝ), denotada como (uₙ)ₙ∈ℕ.
• uₙ representa el término general de la sucesión.
• Las sucesiones pueden ser explícitas (uₙ = f(n)) o recurrentes (uₙ₊₁ = f(uₙ) con un u₀ dado).

Convergencia de una Sucesión

• Una sucesión (uₙ) converge a L si para todo ε > 0, existe un N ∈ ℕ tal que para todo n > N, |uₙ - L| < ε, denotado como lim(n→∞) uₙ = L.
• Si una sucesión no converge, diverge.

Ejemplos de Sucesiones

• Sucesión aritmética: uₙ₊₁ = uₙ + r, con término general uₙ = u₀ + nr, donde r es la razón.
• Sucesión geométrica: uₙ₊₁ = q · uₙ, con término general uₙ = u₀ · qⁿ, donde q es la razón.

Théorèmes Importants (Teoremas Importantes)

• Teorema de convergencia monótona: toda sucesión real monótona (creciente o decreciente) y acotada converge.
• Teorema del encaje (de los policías): si vₙ ≤ uₙ ≤ wₙ para todo n a partir de un cierto punto, y lim(n→∞) vₙ = lim(n→∞) wₙ = L, entonces lim(n→∞) uₙ = L.

Ejemplos de Aplicaciones

• La sucesión uₙ = 1/n converge a 0.
• La sucesión uₙ = 2ⁿ diverge a +∞.
• La sucesión definida por uₙ₊₁ = (1/2)uₙ + 1 con u₀ = 0 converge a 2.

Cinética Química

• La velocidad de reacción se define como el cambio en la concentración de un reactivo o producto con respecto al tiempo.

Ley de Velocidad

• La ley de velocidad es una ecuación que relaciona la velocidad de una reacción con las concentraciones de los reactivos.
• Para la reacción: aA + bB → cC + dD, la ley de velocidad es: velocidad = k[A]ᵐ[B]ⁿ.
  • k es la constante de velocidad.
  • [A] y [B] son las concentraciones de los reactivos.
  • m y n son los órdenes de la reacción con respecto a A y B, respectivamente.
  • El orden total de la reacción es m + n.

Determinación de las Leyes de Velocidad

• Método de las velocidades iniciales: consiste en medir la velocidad inicial de una reacción para diferentes concentraciones iniciales de los reactivos.
• Leyes de velocidad integradas: se utiliza el cálculo para relacionar la concentración de un reactivo con el tiempo.

Leyes Integradas de Velocidad

• En reacciones de orden cero: velocidad = k[A]⁰ = k, [A]ₜ = -kt + [A]₀, t₁/₂ = [A]₀ / (2k).
• En reacciones de primer orden: velocidad = k[A]¹ = k[A], ln[A]ₜ = -kt + ln[A]₀, t₁/₂ = 0.693 / k.
• En reacciones de segundo orden: velocidad = k[A]², 1/[A]ₜ = *kt* + 1/[A]₀, t₁/₂ = 1 / (k[A]₀).
  • [A]ₜ es la concentración de A en el tiempo t.
  • [A]₀ es la concentración inicial de A.
  • t₁/₂ es la vida media.

Energía de Activación

• Ecuación de Arrhenius: k = Ae^(⁻Ea/RT).
  • k es la constante de velocidad.
  • A es el factor de frecuencia.
  • Ea es la energía de activación.
  • R es la constante de los gases (8.314 J/mol·K).
  • T es la temperatura en Kelvin.

Determinación de Ea

• Tomando el logaritmo natural de la ecuación de Arrhenius: ln(k) = -Ea/R(1/T) + ln(A).
  • y = ln(k).
  • x = 1/T.
  • m = -Ea/R (pendiente).
  • b = ln(A) (intersección con el eje y).
• Para determinar Ea, se grafica ln(k) contra 1/T y se encuentra la pendiente de la línea.
  • Ea = -R · pendiente

Mecanismo de Reacción

• Un mecanismo de reacción es una serie de pasos elementales que describen cómo ocurre una reacción.
• El paso determinante de la velocidad es el paso más lento del mecanismo.
• La ley de velocidad para la reacción general debe ser consistente con la ley de velocidad para el paso determinante de la velocidad.

Catálisis

• Un catalizador es una sustancia que aumenta la velocidad de una reacción sin ser consumido en la reacción.

Tipos de Catalizadores

• Catalizadores homogéneos: están en la misma fase que los reactivos.
• Catalizadores heterogéneos: están en una fase diferente de los reactivos.
• Enzimas: son catalizadores biológicos.

¿Cómo Funcionan los Catalizadores?

• Los catalizadores proporcionan una vía de reacción alternativa con una energía de activación más baja.

Tasa de Interés y Rendimiento

• La tasa de interés es el porcentaje de un capital prestado que se paga en intereses durante un período de tiempo.
• Refleja el costo de pedir dinero prestado o el rendimiento de una inversión.
• Ejemplo: Si depositas $100 en una cuenta de ahorros con una tasa de interés anual del 5%, ganarás $5 de intereses después de un año.

¿Qué es el Rendimiento?

• El rendimiento mide los ingresos totales que genera una inversión durante un período de tiempo, expresado como un porcentaje del costo inicial de la inversión.
• Incluye intereses, dividendos y ganancias de capital.

Fórmula de Rendimiento

Rendimiento = (Ingreso total / Costo inicial) × 100

Ejemplo de Cálculo del Rendimiento

• Inversión inicial: $1,000
• Intereses recibidos: $50
• Dividendos recibidos: $30
• Ganancia de capital: $20

Ingreso total = 50 + 30 + 20 = 100

Rendimiento = (100/1000) × 100 = 10%

Factores que Influyen en las Tasas de Interés y Rendimientos

Tasas de Interés

• Política monetaria: Los bancos centrales ajustan las tasas de interés para controlar la inflación y estimular la economía.
• Inflación: La inflación elevada generalmente resulta en tasas de interés más altas para compensar la pérdida de poder adquisitivo.
• Riesgo: Los préstamos más riesgosos tienen tasas de interés más altas para compensar el riesgo de incumplimiento.
• Oferta y demanda de crédito: Una fuerte demanda de crédito puede resultar en un aumento de las tasas de interés.

Rendimientos

• Rendimiento de la inversión: Las inversiones más exitosas generan mejores rendimientos.
• Dividendos: Las empresas que pagan dividendos regulares brindan un rendimiento más estable.
• Condiciones económicas: Una economía en crecimiento promueve rendimientos más altos.
• Riesgo: Las inversiones más riesgosas pueden ofrecer rendimientos potencialmente más altos, pero con un riesgo de pérdida mayor.

Tipos de Tasas de Interés

• Tasa Nominal: Tasa de interés anunciada sin tener en cuenta la inflación.
• Tasa Real: Tasa de interés ajustada por la inflación, que refleja el verdadero costo del préstamo o el rendimiento real de una inversión.
• Tasa Fija: Tasa de interés que permanece constante durante todo el plazo del préstamo o la inversión.
• Tasa Variable: Tasa de interés que fluctúa según las condiciones del mercado.

Tipos de Rendimientos

• Rendimiento Actual: Ingreso anual de una inversión dividido por su precio actual.

• Rendimiento al Vencimiento: Rendimiento total esperado de un bono si se mantiene hasta su vencimiento, teniendo en cuenta los intereses y la diferencia entre el precio de compra y el valor nominal.

• Rendimiento Total: Rendimiento general de una inversión, incluidos los ingresos (intereses, dividendos) y las ganancias o pérdidas de capital.

• La comprensión de las tasas de interés y los rendimientos es esencial para tomar decisiones financieras informadas.

• Las tasas de interés influyen en el costo del endeudamiento y el rendimiento de las inversiones, mientras que los rendimientos miden la rentabilidad general de las inversiones.

Teoría Algorítmica de Juegos

¿Qué es la Teoría de Juegos?

• Trata de entornos multi-agente.
• Cada agente: tiene sus propias preferencias, actúa egoístamente.
• Juego: reglas, acciones posibles, resultado.
• Estrategia: forma de jugar el juego.
• Concepto de solución: predicción del comportamiento de los agentes.

Ejemplo: Dilema del Prisionero

• Dos sospechosos son arrestados por un crimen.

• Cada sospechoso puede cooperar o desertar.

• Si ambos cooperan, obtienen una sentencia leve.

• Si ambos desertan, obtienen una sentencia más dura.

• Si uno coopera y el otro deserta, el desertor queda libre y el cooperador obtiene una sentencia muy dura.

  	Sospechoso B Coopera	Sospechoso B Deserta
  A Coopera	-1, -1	-3, 0
  A Deserta	0, -3	-2, -2

Ejemplo: Enrutamiento Egoísta

• Juego: enrutamiento de tráfico en una red.
• Jugadores: usuarios de la red.
• Estrategias: rutas desde el origen hasta el destino.
• Costo: latencia en la ruta.
• Comportamiento egoísta: los usuarios eligen rutas para minimizar su retraso.

Conceptos de Solución

Equilibrio de Nash

• Un conjunto de estrategias, una para cada jugador, tal que ningún jugador tiene incentivos para desviarse.
• Definición: Un perfil de estrategia s = (s₁,..., sₙ) es un equilibrio de Nash si para cada jugador i y cada estrategia sᵢ' del jugador i: uᵢ(sᵢ, s₋ᵢ) ≥ uᵢ(sᵢ', s₋ᵢ).
• s₋ᵢ: las estrategias de todos los jugadores excepto i.
• uᵢ(sᵢ, s₋ᵢ): la utilidad del jugador i al jugar la estrategia sᵢ y los otros jugadores juegan s₋ᵢ.

Existencia de Equilibrios de Nash

• Teorema (Nash, 1950): Todo juego con un número finito de jugadores y un número finito de estrategias tiene al menos un equilibrio de Nash mixto.
• Estrategia mixta: una distribución probabilística sobre estrategias puras.

Precio de la Anarquía

• ¿Cuánto peor es el bienestar social en un equilibrio de Nash en comparación con el resultado óptimo?
• Bienestar social: suma de las utilidades de todos los jugadores.
• Precio de la Anarquía (PoA): PoA = (bienestar social del peor equilibrio de Nash) / (bienestar social óptimo).
• Precio de la Estabilidad (PoS): PoS = (bienestar social del mejor equilibrio de Nash) / (bienestar social óptimo).

Ejemplo: Paradoja de Braess

• Añadir un enlace a una red puede empeorar el bienestar social.

Red Original

• Dos rutas de A a B: A → C → B, A → D → B.
• Costo en cada arista:
• A → C: x
• C → B: 1
• A → D: 1
• D → B: x
• Si 1 unidad de tráfico quiere ir de A a B se dividirá por igual.
• Costo para cada usuario: 1/2 + 1 = 1.5
• Costo total: 1.5

Nueva Red

• Añadir un enlace de C a D con costo 0.
• Ahora todo el tráfico usará la ruta A → C → D → B.
• Costo para cada usuario: 1 + 0 + 1 = 2
• Costo total: 2