Complexe Zahlen: Algebraische Form

Nombres Complexes : Forme Algébrique

• Un nombre complexe $z$ s'exprime comme $z = a + ib$, où $a$ et $b$ sont réels et $i^2 = -1$.
• La partie réelle de $z$ est Re$(z) = a$.
• La partie imaginaire de $z$ est Im$(z) = b$.
• Un nombre complexe $z = a + ib$ peut être représenté graphiquement par un point $M(a, b)$. $M$ est l'image de $z$.
• Alternativement on peut le representer avec le vecteur $\overrightarrow{OM}$ d'affixe $z$.
• Le conjugué de $z = a + ib$ est $\overline{z} = a - ib$.
• L'image de $\overline{z}$ est le symétrique de l'image de $z$ par rapport à l'axe des abscisses.
• Le module de $z = a + ib$ est $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, où $|z| = OM$, et aussi $|z| = \sqrt{z\overline{z}}$.

Propriétés des Modules et Conjugués

• $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$
• $\overline{zz'} = \overline{z}\overline{z'}$
• $\overline{(\frac{z}{z'})} = \frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$
• $|\overline{z}| = |z|$
• $|zz'| = |z||z'|$
• $|\frac{z}{z'}| = \frac{|z|}{|z'|}$
• $|z + z'| \leq |z| + |z'|$ (inégalité triangulaire)

Opérations sur les Nombres Complexes

• $z + z' = (a + a') + i(b + b')$
• $zz' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)$
• $\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$

Forme Trigonométrique

• L'argument d'un nombre complexe non nul $z$ est la mesure en radians de l'angle orienté $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{OM})$.
• Notation: arg$(z)$, défini à $2\pi$ près.
• L'argument principal est dans l'intervalle ]$-\pi ; \pi]$.
• Tout nombre complexe non nul $z$ s'écrit $z = r(cos(\theta) + i\ sin(\theta))$, avec $r = |z|$ et $\theta = arg(z)$.
• On pose $e^{i\theta} = cos(\theta) + i\ sin(\theta)$.
• Un nombre complexe non nul $z$ s'exprime sous forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$, avec $r = |z|$ et $\theta = arg(z)$.

Propriétés des Arguments

• arg$(zz')$ = arg$(z)$ + arg$(z')$
• arg$(\frac{z}{z'})$ = arg$(z)$ - arg$(z')$
• arg$(\frac{1}{z})$ = -arg$(z)$
• arg$(\overline{z})$ = -arg$(z)$
• arg$(z^n) = n$ arg$(z)$, pour tout entier relatif $n$.

Formules d'Euler

• $cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$
• $sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

Formule de Moivre

• $(cos(\theta) + i\ sin(\theta))^n = cos(n\theta) + i\ sin(n\theta)$

Equations du Second Degré dans $\mathbb{C}$

• Pour $az^2 + bz + c = 0$ ($a, b, c$ réels, $a \neq 0$), le discriminant est $\Delta = b^2 - 4ac$.
• Si $\Delta > 0$, deux solutions réelles: $z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$, une solution réelle double: $z = \frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$, deux solutions complexes conjuguées: $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Somme et Produit des Racines

• Pour $az^2 + bz + c = 0$ ($a, b, c$ complexes, $a \neq 0$), avec solutions $z_1$ et $z_2$:
• $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$
• $z_1z_2 = \frac{c}{a}$

Le Programme Avancé des Stages (AP) Chimie

• Le programme encourage les élèves qualifiés à suivre des cours et à passer des examens de niveau collégial pendant leurs études secondaires.
• Les examens AP ont lieu en mai et sont notés sur une échelle de 5 points.

Qualifications AP

• 5 : Extrêmement bien qualifié
• 4 : Bien qualifié
• 3 : Qualifié
• 2 : Peut-être qualifié
• 1 : Pas de recommandation

Aperçu du Cours de Chimie AP

• Conçu pour être suivi après un premier cours de chimie au lycée.
• La qualité du cours d'introduction doit assurer une base solide en algèbre et en mathématiques qui seront utilisés tout au long du cours AP.
• Une compréhension approfondie des principes chimiques et la mise en pratique des principes dans le cadre de questions complexes est attendue.

Sujets Abordés en Chimie AP

• Structure atomique
• Liaison chimique
• États de la matière
• Solutions
• Réactions chimiques
• Thermochimie
• Cinétique chimique
• Équilibre chimique
• Acides et bases
• Electrochimie
• Chimie nucléaire
• Chimie organique

Aperçu de l'Examen de Chimie AP

• Un examen de fin de cours de 3 heures et 15 minutes conçu pour évaluer la compréhension des concepts et des compétences par les étudiants.
• L'examen comprend deux sections: un choix multiple et une réponse libre, chacune valant 50% de la note finale.

Structure de l'Examen

• Section I: Questions à Choix Multiple
  • 60 questions en 90 minutes
• Section II: Questions à Réponse Libre
  • 7 questions au total
  • Temps total de 105 minutes

Questions de Chimie AP à Choix Multiple (Exemples)

• Quelle est le degré d'oxydation du souffre dans l'ion thiosulfate, $S_2O_3^{2-}$?

  (A) +2 (B) +3 (C) +4 (D) +5

• Laquelle des configurations électroniques suivantes est la plus correspondante à l'élément de la troisième période ayant la plus grande énergie de première ionisation?

  (A) $1s^22s^22p^63s^23p^1$ (B) $1s^22s^22p^63s^23p^2$ (C) $1s^22s^22p^63s^23p^3$ (D) $1s^22s^22p^63s^23p^4$ (E) $1s^22s^22p^63s^23p^5$

• Un composé contient 30,0 grammes de l'élément X et 70,0 grammes de l'élément Y. Si la masse molaire de l'élément X est de 60,0 g/mol et la masse molaire de l'élément Y est de 70,0 g/mol, quelle est la formule empirique du composé?

  (A) $XY$ (B) $X_2Y$ (C) $XY_2$ (D) $X_2Y_3$ (E) $X_3Y_2$

Questions à Réponse Courte en Chimie AP (Exemples)

• Répondre aux questions suivantes concernant la solubilité de certains composés de fluorure.

  (a) Écrire la formule chimique du fluorure de calcium. (b) À 25°C, la solubilité du fluorure de calcium est de $1.2 \times 10^{-3}$ mol/L. Écrire l'expression de la constante du produit de solubilité, $K_{sp}$ pour le fluorure de calcium. Calculer la valeur de $K_{sp}$ pour le fluorure de calcium à 25°C. (c) Une solution saturée de fluorure de calcium est préparée en ajoutant du fluorure de calcium solide à de l'eau distillée. La concentration de $Ca^{2+}$ dans la solution est de $1.2 \times 10^{-3}$ mol/L. Une solution de fluorure de sodium à 1,0 M est ensuite ajoutée goutte à goutte à la solution saturée, en agitant constamment. Dans la case ci-dessous, compléter une représentation particulaire montrant les ions présents après l'ajout de plusieurs gouttes de la solution de fluorure de sodium et que la solution est à nouveau à l'équilibre. Représenter les ions calcium, fluorure et sodium comme indiqué ci-dessous.

     $Ca^{2+}$ = $\bigcirc$  $F^-$ = $\ominus$ $Na^+$ = $\Box$
  

Chapitre 1: Vecteurs dans $\mathbb{R}^n$

• $\mathbb{R}^n$ est l'ensemble des n-uplets ordonnés de nombres réels $(x_1, x_2,..., x_n)$, appelé espace réel à n dimensions.
• Les $x_i$ sont les coordonnées du vecteur.
• En $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$, on utilise souvent les notations $(x, y)$ et $(x, y, z)$ respectivement.

Opérations Vectorielles

• Deux vecteurs $\vec{u} = (u_1, u_2,..., u_n)$ et $\vec{v} = (v_1, v_2,..., v_n)$ sont égaux si $u_i = v_i$ pour tout $i$.
• La somme de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2,..., u_n + v_n)$.
• La différence de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est $\vec{u} - \vec{v} = (u_1 - v_1, u_2 - v_2,..., u_n - v_n)$.
• La multiplication scalaire de $c \in \mathbb{R}$ sur $\vec{u}$ est $c\vec{u} = (cu_1, cu_2,..., cu_n)$.

Propriétés des Opérations Vectorielles

• $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (Commutativité)
• $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ (Associativité)
• $\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$ ($\vec{0}$ est le vecteur nul)
• $\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$
• $a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u}$
• $a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$
• $(a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$
• $1\vec{u} = \vec{u}$

Combinaisons Linéaires

• $\vec{v}$ est une combinaison linéaire de $\vec{v_1}, \vec{v_2},..., \vec{v_k}$ s'il peut être écrit $\vec{v} = c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} +... + c_k\vec{v_k}$, où $c_i$ sont des scalaires.
• L'ensemble engendré par les vecteurs $\vec{v_1}, \vec{v_2},..., \vec{v_k}$, noté $Vect{\vec{v_1}, \vec{v_2},..., \vec{v_k}}$, est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de ces vecteurs.

Récapitulatif

Espaces de Produits Internes

• Un espace de produit interne est un espace vectoriel $V$ sur $\mathbb{F}$ ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) avec un produit interne $\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{F}$ satisfaisant certains axiomes.
• Exemples: $\mathbb{F}^n$ avec $\langle x, y \rangle = y^*x$, polynômes avec $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) \overline{g(t)} dt$.
• Norme: $||v|| = \sqrt{\langle v, v \rangle}$.
• Inégalité de Cauchy-Schwarz: $|\langle u, v \rangle| \le ||u|| \cdot ||v||$.
• Inégalité du triangle: $||u + v|| \le ||u|| + ||v||$.
• Loi du parallélogramme: $||u + v||^2 + ||u - v||^2 = 2||u||^2 + 2||v||^2$.
• Orthogonalité: $u \perp v \iff \langle u, v \rangle = 0$.
• Ensemble orthonormé: ${v_1,..., v_k}$ où $\langle v_i, v_j \rangle = \delta_{ij}$.
• Procédé de Gram-Schmidt: Convertit une base en une base orthonormée.
• Complément orthogonal: $W^\perp = {v \in V : \langle v, w \rangle = 0 \text{ pour tout } w \in W}$.
• Théorème: $V = W \oplus W^\perp$ pour un sous-espace de dimension finie $W$.

Opérateurs Linéaires sur les Espaces de Produits Internes

• Adjoint: $T^*$ tel que $\langle Tv, w \rangle = \langle v, T^*w \rangle$ pour tout $v, w \in V$.

Propriétés de l'Adjoint

• Théorème: Soient $T, U \in \mathcal{L}(V)$, et $c \in \mathbb{F}$. Alors:
  • a) $(T + U)^* = T^* + U^*$.
  • b) $(cT)^* = \overline{c}T^*$.
  • c) $(T^)^ = T$.

Adjoint d'une Composition

• Théorème: Pour $T, U \in \mathcal{L}(V)$, $(TU)^* = U^T^$.

Espaces Nuls et Images

• Théorème: Soit $T \in \mathcal{L}(V)$. Alors:
  • a) $\text{null }T^* = (\text{range }T)^\perp$.
  • b) $\text{range }T^* = (\text{null }T)^\perp$.
  • c) $\text{null }T = (\text{range }T^*)^\perp$.
  • d) $\text{range }T = (\text{null }T^*)^\perp$.

Opérateurs Auto-Adjoints

• Définition: Un opérateur $T \in \mathcal{L}(V)$ est auto-adjoint si $T = T^*$.
• Noms alternatifs: Hermitien (si $\mathbb{F} = \mathbb{C}$), symétrique (si $\mathbb{F} = \mathbb{R}$).

Théorème

• Si $V$ est un espace de produit interne complexe, alors $T \in \mathcal{L}(V)$ est auto-adjoint si et seulement si $\langle Tv, v \rangle \in \mathbb{R}$ pour tout $v \in V$.

Théorème

• Toutes les valeurs propres d'un opérateur auto-adjoint sont réelles.

Théorème

• Si $T \in \mathcal{L}(V)$ est auto-adjoint, alors les vecteurs propres correspondant à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

Opérateurs Normaux

• Définition: Un opérateur $T \in \mathcal{L}(V)$ est normal s'il commute avec son adjoint, c'est-à-dire, $TT^* = T^*T$.

Champs Électriques

• La force de Coulomb quantifie la force entre deux charges:        $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$.
• $E = \frac{F}{q}$
• Le champ électrique dû à une charge ponctuelle est donné par: $E = \frac{k Q}{r^2}$.
• Le potentiel électrique quantifie l'énergie potentielle par unité de charge:        $V = \frac{U}{q}$.
• Le potentiel électrique dû à une charge ponctuelle est donné par:        $V = \frac{k Q}{r}$.
• La capacité est définie comme la quantité de charge qu'un condensateur peut stocker par unité de tension :        $C = \frac{Q}{V}$.
• Pour un condensateur plan, la capacité est donnée par: $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$.

Champs Magnétiques

• La force magnétique sur une charge se déplaçant dans un champ magnétique est:        $F = q v B \sin \theta$.
• Le champ magnétique dû à un courant est donné par :        $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$.
• L'inductance quantifie la capacité d'un conducteur à induire une tension lorsqu'il est soumis à un courant variable :        $L = \frac{N \Phi}{I}$.

Ondes Électromagnétiques

• La vitesse de la lumière dans le vide est donnée par: $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
• L'énergie(E) d'un photon est liée à sa fréquence (f) par h, qui est la constante de Planck : $E = h f$
• La quantité de mouvement d'un photon est liée à son énergie par la vitesse de la lumière(c) : $p = \frac{E}{c}$

Renforcement de modèle sans contrôle

Prédire

• Objectif : Apprendre la fonction de valeur $V^{\pi}(s)$ pour une politique donnée $\pi$.
• Apprentissage par différence temporelle (TD) : $V(S_t) \leftarrow V(S_t) + \alpha(R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}) - V(S_t))$      * Mettre à jour $V(S_t)$ vers $R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1})$      * $R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1})$ est appelée la cible TD.      *$\delta_t = R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}) - V(S_t)$ est appelée l’erreur TD.

Contrôle

• Contrôle de modèle libre :
  • Apprentissage embarqué
  • Apprentissage hors politique

Méthode de contrôle Monte Carto en politique

• Evaluer $Q^{\pi}(s, a)$.
• Amélioration de la politique en agissant avidement.
• La politique est améliorée vers le désir vis-à-vis de Q : $\pi'(s) = \underset{a}{argmax} Q(s, a)$ où $a = \pi(s)$
• Stratégie d’exploration $\epsilon$-greedy :      * Tous les actions non gourmandes sont essayés avec une certaine probabilité minimale : $\pi(a|s) = \begin{cases} \epsilon / m + 1 - \epsilon & \text{if } a^* = \underset{a \in A}{argmax} Q(s, a) \ \epsilon / m & \text{otherwise} \end{cases}$

Le Renforcement de modèle sans contrôle (résumé)

• Apprentissage embarqué :      * Mettre à jour la fonction de valeur à l’aide de l’expérience générée à partir de l’instruction stratégie utilisée      * Sarsa
• Apprentissage hors politique :      * Mettre à jour la fonction de valeur à l’aide de l’expérience générée à partir d’une stratégie différente.      * Apprentissage Q

Indicateurs SWOT Les plus Récurrents

• Avantages      * Marque reconnue      * Produits de haute qualité.
• Faiblesses      * Investissement bas en Marketing Digital.      * Pas de compétence au sein du personnel dans la gestion des médias sociaux.
• Opportunités      * Croissance du marketing digital.      * Développer des partenariats stratégiques.
• Menaces      * Augmentation de la concurrence en ligne.      * Crises économiques.
• Buts      * Augmenter le trafic web de 50% dans les 6 mois à venir.      * Générer 100 prospects qualifiés chaque mois grâce aux compagnes de marketing.      * Augmenter le suivi sur les réseaux sociaux de 30% dans les 6 mois à venir.
• Stratégies      * Marketing de contenus.      * Réseaux sociaux      * SEO      *Mailing      * Publicité en ligne
• KPIs (Indicateurs Clés de Performance - en anglais)      * Suivi de l’audience digitale.      * Génération de leads.      * Ventes digitales.      * Optimisation SEO.

Dérivées des Fonctions Trigonométriques Inverses

• $\frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2}$
• $\frac{d}{dx}(\csc^{-1}x) = -\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$
• $\frac{d}{dx}(\sec^{-1}x) = \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$
• $\frac{d}{dx}(\cot^{-1}x) = -\frac{1}{1+x^2}$

Exemples

• Pour $f(x) = \sin^{-1}(5x)$, $f'(x) = \frac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$.
• Pour $f(x) = \tan^{-1}(x^2)$, $f'(x) = \frac{2x}{1+x^4}$.
• Pour $f(x) = x^2 \sin^{-1}x$, $f'(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+2x\sin^{-1}x$.
• Pour $f(x) = \sec^{-1}(e^{2x})$, $f'(x) = \frac{2}{\sqrt{e^{4x}-1}}$.

Université Tribhuvan, Institut d'Ingénierie

• Examen de Division du Contrôle
• Année 2079 Chaitra
• Licence, Tous Programmes, Première Année/Première Partie, Premier Semestre
• Matière: Dessin Technique et Graphique
• Total des Points: 100, Points pour réussir: 45, Temps: 4 Heures
• Les candidats doivent répondre dans leurs propres mots autant que possible.
• Tenter toutes les questions.
• Supposer les données nécessaires si besoin.

Questions d'Examen

• a) Construire une échelle simple de 1:40 pour montrer les mètres et les décimètres. L'échelle doit être assez longue pour mesurer jusqu'à 8 mètres. Indiquer aussi une distance de 5.7 mètres sur l'échelle.
• b) Une pièce est de taille $7 m \times 4 m \times 4 m$. Une ampoule électrique est suspendue au centre du plafond. Déterminer le plan et l'élévation de l'ampoule.
• Une pyramide hexagonale, base de $30 \mathrm{~mm}$ de côté et axe de $65 \mathrm{~mm}$ de long, a sa base sur le HP et un bord de la base est parallèle au VP. Un plan de section perpendiculaire au VP et incliné à $45^{\circ}$ par rapport au HP coupe l'axe en deux. Dessiner sa vue de dessus et son élévation en coupe. Trouver également la vraie forme de la section.
• Dessiner une parabole de portée $120 \mathrm{~mm}$ et d'élévation $40 \mathrm{~mm}$ par (a) la méthode du rectangle et (b) la méthode de la tangente.
• La figure montre un objet. Dessiner les vues suivantes en utilisant la méthode de projection du premier angle.
  • i) Vue de face
  • ii) Vue de dessus
  • iii) Vue latérale de droite
• Dessiner une vue isométrique d'un écrou hexagonal de taille $25 \mathrm{~mm}$.

Fonction Logarithme Népérien

• La fonction logarithme népérien, notée $ln$, est définie sur $]0; +\infty[$ comme la primitive s'annulant en 1 de la fonction $x \longmapsto \frac{1}{x}$.

Propriétés Fondamentales

• Pour tout $x > 0$, $ln'(x) = \frac{1}{x}$ (dérivée).
• $ln(1) = 0$.
• $ln(e) = 1$.
• $ln$ est continue et dérivable sur $]0; +\infty[$.
• $ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
• $ln$ est bijective de $]0; +\infty[$ sur $\mathbb{R}$.

Conséquences

• Pour tout $x > 0$, $e^{ln(x)} = x$.
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $ln(e^x) = x$.

Propriétés Algébriques

• $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$
• $ln(\frac{1}{a}) = -ln(a)$
• $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$
• $ln(a^n) = n \cdot ln(a)$
• $ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} ln(a)$

Limites Essentielles

• $\lim_{x \to +\infty} ln(x) = +\infty$
• $\lim_{x \to 0} ln(x) = -\infty$

Croissances Comparées

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$
• $\lim_{x \to 0} x \cdot ln(x) = 0$

Dérivées Composées

• Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$, alors $(ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Tableau de Variations

• La fonction $ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$, partant de $-\infty$ en 0 et tendant vers $+\infty$.