Algebra 2024/2025 - Číselné množiny a štruktúry

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Ktoré z nasledujúcich čísel sú prirodzené čísla?

-5

2 (correct)

3 (correct)

Ktoré z nasledujúcich je definícia komplexného čísla?

Číslo typu a - bi

Číslo typu a + bi (correct)

Číslo typu a + b

Číslo typu ra + ib

Ako sa volá reálna časť komplexného čísla?

Zložená časť

Reálna časť (correct)

Imaginárna časť

Základná časť

Aký je výsledok sčítania komplexných čísel (3 + 4i) + (2 + 3i)?

5 + 7i Signup and view all the answers

Aký je výsledok násobenia komplexných čísel (1 + 2i)(3 + 4i)?

−5 + 10i Signup and view all the answers

Ktorá z operácií nie je binárna operácia na množine celých čísel Z?

Delenie Signup and view all the answers

Čo je definované pre mocniny imaginárnej jednotky?

i^2 = -1 Signup and view all the answers

Ktoré z nasledujúcich patrí medzi základné číselné množiny?

Racionálne čísla Q Signup and view all the answers

Aký je neutrálny prvok binárnej operácie sčítania na množine reálnych čísel?

0 Signup and view all the answers

Ktorý z nasledujúcich prvkov je neutrálnym prvkom binárnej operácie definovanej predpisom a ◦ b = a + b - 1?

1 Signup and view all the answers

Ako sa nazýva prvok y, ak existuje k prvku x taký prvok, že x ◦ y = e?

Symetrizačný prvok Signup and view all the answers

Pre binárnu operáciu definovanú predpisom a△b = 2a - b + 1, existuje neutrálny prvok?

Nie, neutrálny prvok neexistuje Signup and view all the answers

Aký je symetrizačný prvok pre reálne číslo a vzhľadom na sčítanie?

-a Signup and view all the answers

Ktorý z nasledujúcich prvkov je inverzným prvkom k číslu a vzhľadom na násobenie?

a^{-1} Signup and view all the answers

Prečo sa operácia a△b = 2a - b + 1 považuje za nekomutatívnu?

Pretože a△b ≠ b△a Signup and view all the answers

Čo je potrebné na to, aby bol prvok e neutrálnym prvkom binárnej operácie?

x ◦ e = e ◦ x = x Signup and view all the answers

Aké sú vlastnosti binárnej operácie, aby mohla byť nazvaná grupa?

Musí mať neutrálny prvok a symetrizačný prvok pre každý prvok. Signup and view all the answers

Ktorý z nasledujúcich príkladov nie je komutatívna grupa?

(R, ·) Signup and view all the answers

Pre akú hodnotu a neexistuje symetrizačný prvok v binárnej operácii △?

a = 1 Signup and view all the answers

Aká je neutrálny prvok pre operáciu ∗ definovanú predpisom a ∗ b = a + b - 2?

2 Signup and view all the answers

Ktorá z nasledujúcich vlastností nepatrí medzi vlastnosti okruhu?

Multiplikatívna operácia je invertibilná pre každý prvok. Signup and view all the answers

Čo je definované ako algebraická štruktúra (X, ◦) nazývaná grupa?

Usporiadaná dvojica, kde binárna operácia je asociatívna, a má neutrálny prvok. Signup and view all the answers

Aký je výsledok operácie a△b pre a, b ∈ R, kde a△b = a + b - ab?

a + b - ab Signup and view all the answers

Čo nazývame symetrizačný prvok pre operáciu ◦?

Prvok, ktorý vracia neutrálny prvok po aplikácii na iný prvok. Signup and view all the answers

Aký je neutrálny prvok aditívnej operácie v okruhu?

nula okruhu Signup and view all the answers

Čo je potrebné na to, aby algebraická štruktúra (X, □, ◦) bola považovaná za pole?

(X, □) musí byť komutatívna grupa Signup and view all the answers

Prečo množina (N, +, ·) nie je ani okruh?

N neobsahuje záporné čísla Signup and view all the answers

Ktorá z uvedených množín nie je pole?

(Z, +, ·) Signup and view all the answers

Čo predstavuje neutrálny prvok danej binárnej aditívnej operácie v kontexte okruhu?

nula Signup and view all the answers

Aká je asociatívnosť operácie ◦ v kontexte binárnych operácií?

platí, že a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c Signup and view all the answers

Aké vlastnosti musí mať operácia ◦, aby sa mohla považovať za základnú operáciu v poli?

musí byť asociatívna a distributívna Signup and view all the answers

Čo sa stane, ak je množina (R − {1}, ◦) komutatívna grupa?

algebraická štruktúra (R, △, ◦) sa stane polom Signup and view all the answers

Čo znamená, že binárna operácia ◦ je komutatívna na množine X?

a◦b = b◦a pre všetky a, b ∈ X Signup and view all the answers

Ktorá z nasledujúcich binárnych operácií je príkladom asociatívnosti?

a ◦ b = a + b - 2 Signup and view all the answers

Aká je definícia distributívnosti binárnej operácie ◦ vzhľadom na operáciu △?

a ◦ (b△c) = (a ◦ b)△(a ◦ c) Signup and view all the answers

Ktorá z nasledujúcich operácií je komutatívna?

a ◦ b = a + b - 2 Signup and view all the answers

Čo platí pre neutrálny prvok binárnej operácie ◦?

Neutrálny prvok vždy závisí od konkrétnej operácie. Signup and view all the answers

Ktoré z nasledujúcich tvrdení je pravdivé pre binárne operácie?

Existujú komutatívne operácie, ktoré nie sú asociatívne. Signup and view all the answers

Aká je výsledná hodnota operácie a ◦ (b△c) pre definované operácie a ◦ b = a + b - ab a b △ c = a + b - 1?

a + b + c - ab - ac - 1 Signup and view all the answers

Ktorý z týchto vzťahov charakterizuje asociatívnosť?

(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) Signup and view all the answers

Study Notes

Algebra 2024/2025 - Číselné množiny a algebraické štruktúry

Základné číselné množiny sú označené takto:
- N: prirodzené čísla (1, 2, 3, 4, 5, ...)
- Z: celé čísla (...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)
- Q: racionálne čísla {a/b; a ∈ Z, b ∈ N}
- R: reálne čísla (racionálne aj iracionálne). Iracionálne čísla nie je možné vyjadriť v tvare a/b, kde a ∈ Z a b ∈ N.
- C: komplexné čísla {a + bi; a, b ∈ R}

Komplexné čísla

Komplexné číslo c sa zapisuje v tvare a + bi, kde a, b ∈ R.
- a je reálna časť čísla c
- b je imaginárna časť čísla c
- i je imaginárna jednotka (i² = -1)

Sčítanie komplexných čísel

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Násobenie komplexných čísel

(a + bi)(c + di) = ac – bd + (ad + bc)i

Delenie komplexných čísel

(a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i

Algebraické štruktúry - binárne operácie

Binárna operácia na množine X je zobrazenie o: X x X → X
- Pre všetky a, b z množiny X, výsledok operácie a ob musí byť aj v množine X.

Vlastnosti binárnych operácií

Komutatívnosť: Pre všetky a, b ∈ X platí a◦ b = b ◦ a
Asociatívnosť: Pre všetky a, b, c ∈ X platí (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).
Distributivita: vzhľadom na operáciu △, pre všetky a, b, c ∈ X platí:
- a ○ (b△c) = (a ○ b)△(a ○ c)
- a ○ (b△c) = (a ○ b)△(a ○ c)

Neutrálny prvok binárnej operácie

Prvok e ∈ X je neutrálny prvok vzhľadom na operáciu ○, ak pre každý prvok x ∈ X platí:
- x ○ e = e ○ x = x

Symetrizačný prvok binárnej operácie

Prvok y ∈ X je symetrizačný k prvku x ∈ X vzhľadom na operáciu ○, ak platí x ○ y = y ○ x = e (kde e je neutrálny prvok).

Algebraická štruktúra s jednou binárnou operáciou

Algebraickou štruktúru (X, ○) nazývame grupa, ak:
- binárna operácia ○ je asociatívna
- binárna operácia ○ má neutrálny prvok e ∈ X
- každý prvok x ∈ X má svoj symetrizačný prvok x⁻¹ ∈ X
Ak je operácia ○ komutatívna, hovoríme o komutatívnej (alebo abelovskej) grupe.
Príklad: (Z,+), (Q,+), (R,+).

Algebraická štruktúra s dvomi binárnymi operáciami

Algebraickú štruktúru (X, ○, *) nazývame okruh, ak:
- (X, ○) je komutatívna grupa
- binárna operácia * je asociatívna
- binárna operácia * je distributívna vzhľadom na operáciu ○
Ak je operácia * tiež komutatívna, hovoríme o komutatívnom okruhu.
Priklady: (Z, +, •), (R, +, •), (C, +, •).
Algebraickú štruktúru (X, ○, *) nazývame pole, ak:
- (X, ○, *) je okruh
- (X - {0}, *) je komutatívna grupa, kde 0 je neutrálny prvok operácie ○.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Objavte základné číselné množiny a ich algebraické štruktúry v tejto úvodnej lekcii. Zamerajte sa na komplexné čísla a naučte sa ich sčítanie, násobenie a delenie. Prehlbujte svoje vedomosti o binárnych operáciách a ich aplikáciách.