Algebra 2024/2025 - Číselné množiny a štruktúry
40 Questions
0 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to Lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Ktoré z nasledujúcich čísel sú prirodzené čísla?

  • -5
  • 2 (correct)
  • 3 (correct)
  • 0

Ktoré z nasledujúcich je definícia komplexného čísla?

  • Číslo typu a - bi
  • Číslo typu a + bi (correct)
  • Číslo typu a + b
  • Číslo typu ra + ib

Ako sa volá reálna časť komplexného čísla?

  • Zložená časť
  • Reálna časť (correct)
  • Imaginárna časť
  • Základná časť

Aký je výsledok sčítania komplexných čísel (3 + 4i) + (2 + 3i)?

<p>5 + 7i (A)</p> Signup and view all the answers

Aký je výsledok násobenia komplexných čísel (1 + 2i)(3 + 4i)?

<p>−5 + 10i (C)</p> Signup and view all the answers

Ktorá z operácií nie je binárna operácia na množine celých čísel Z?

<p>Delenie (B)</p> Signup and view all the answers

Čo je definované pre mocniny imaginárnej jednotky?

<p>i^2 = -1 (B)</p> Signup and view all the answers

Ktoré z nasledujúcich patrí medzi základné číselné množiny?

<p>Racionálne čísla Q (B), Reálne čísla R (D)</p> Signup and view all the answers

Aký je neutrálny prvok binárnej operácie sčítania na množine reálnych čísel?

<p>0 (A)</p> Signup and view all the answers

Ktorý z nasledujúcich prvkov je neutrálnym prvkom binárnej operácie definovanej predpisom a ◦ b = a + b - 1?

<p>1 (B)</p> Signup and view all the answers

Ako sa nazýva prvok y, ak existuje k prvku x taký prvok, že x ◦ y = e?

<p>Symetrizačný prvok (D)</p> Signup and view all the answers

Pre binárnu operáciu definovanú predpisom a△b = 2a - b + 1, existuje neutrálny prvok?

<p>Nie, neutrálny prvok neexistuje (A)</p> Signup and view all the answers

Aký je symetrizačný prvok pre reálne číslo a vzhľadom na sčítanie?

<p>-a (B)</p> Signup and view all the answers

Ktorý z nasledujúcich prvkov je inverzným prvkom k číslu a vzhľadom na násobenie?

<p>a^{-1} (C)</p> Signup and view all the answers

Prečo sa operácia a△b = 2a - b + 1 považuje za nekomutatívnu?

<p>Pretože a△b ≠ b△a (C)</p> Signup and view all the answers

Čo je potrebné na to, aby bol prvok e neutrálnym prvkom binárnej operácie?

<p>x ◦ e = e ◦ x = x (B)</p> Signup and view all the answers

Aké sú vlastnosti binárnej operácie, aby mohla byť nazvaná grupa?

<p>Musí mať neutrálny prvok a symetrizačný prvok pre každý prvok. (D)</p> Signup and view all the answers

Ktorý z nasledujúcich príkladov nie je komutatívna grupa?

<p>(R, ·) (C)</p> Signup and view all the answers

Pre akú hodnotu a neexistuje symetrizačný prvok v binárnej operácii △?

<p>a = 1 (A)</p> Signup and view all the answers

Aká je neutrálny prvok pre operáciu ∗ definovanú predpisom a ∗ b = a + b - 2?

<p>2 (A)</p> Signup and view all the answers

Ktorá z nasledujúcich vlastností nepatrí medzi vlastnosti okruhu?

<p>Multiplikatívna operácia je invertibilná pre každý prvok. (A)</p> Signup and view all the answers

Čo je definované ako algebraická štruktúra (X, ◦) nazývaná grupa?

<p>Usporiadaná dvojica, kde binárna operácia je asociatívna, a má neutrálny prvok. (B)</p> Signup and view all the answers

Aký je výsledok operácie a△b pre a, b ∈ R, kde a△b = a + b - ab?

<p>a + b - ab (A)</p> Signup and view all the answers

Čo nazývame symetrizačný prvok pre operáciu ◦?

<p>Prvok, ktorý vracia neutrálny prvok po aplikácii na iný prvok. (A)</p> Signup and view all the answers

Aký je neutrálny prvok aditívnej operácie v okruhu?

<p>nula okruhu (D)</p> Signup and view all the answers

Čo je potrebné na to, aby algebraická štruktúra (X, □, ◦) bola považovaná za pole?

<p>(X, □) musí byť komutatívna grupa (A)</p> Signup and view all the answers

Prečo množina (N, +, ·) nie je ani okruh?

<p>N neobsahuje záporné čísla (D)</p> Signup and view all the answers

Ktorá z uvedených množín nie je pole?

<p>(Z, +, ·) (A)</p> Signup and view all the answers

Čo predstavuje neutrálny prvok danej binárnej aditívnej operácie v kontexte okruhu?

<p>nula (B)</p> Signup and view all the answers

Aká je asociatívnosť operácie ◦ v kontexte binárnych operácií?

<p>platí, že a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c (A)</p> Signup and view all the answers

Aké vlastnosti musí mať operácia ◦, aby sa mohla považovať za základnú operáciu v poli?

<p>musí byť asociatívna a distributívna (D)</p> Signup and view all the answers

Čo sa stane, ak je množina (R − {1}, ◦) komutatívna grupa?

<p>algebraická štruktúra (R, △, ◦) sa stane polom (C)</p> Signup and view all the answers

Čo znamená, že binárna operácia ◦ je komutatívna na množine X?

<p>a◦b = b◦a pre všetky a, b ∈ X (B)</p> Signup and view all the answers

Ktorá z nasledujúcich binárnych operácií je príkladom asociatívnosti?

<p>a ◦ b = a + b - 2 (C)</p> Signup and view all the answers

Aká je definícia distributívnosti binárnej operácie ◦ vzhľadom na operáciu △?

<p>a ◦ (b△c) = (a ◦ b)△(a ◦ c) (D)</p> Signup and view all the answers

Ktorá z nasledujúcich operácií je komutatívna?

<p>a ◦ b = a + b - 2 (D)</p> Signup and view all the answers

Čo platí pre neutrálny prvok binárnej operácie ◦?

<p>Neutrálny prvok vždy závisí od konkrétnej operácie. (D)</p> Signup and view all the answers

Ktoré z nasledujúcich tvrdení je pravdivé pre binárne operácie?

<p>Existujú komutatívne operácie, ktoré nie sú asociatívne. (D)</p> Signup and view all the answers

Aká je výsledná hodnota operácie a ◦ (b△c) pre definované operácie a ◦ b = a + b - ab a b △ c = a + b - 1?

<p>a + b + c - ab - ac - 1 (B)</p> Signup and view all the answers

Ktorý z týchto vzťahov charakterizuje asociatívnosť?

<p>(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) (D)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Komutatívna binárna operácia

Binárna operácia ◦ na množine X sa nazýva komutatívna, ak pre ľubovoľné prvky a, b z množiny X platí, že a◦b = b◦a.

Asociatívna binárna operácia

Binárna operácia ◦ na množine X sa nazýva asociatívna, ak pre ľubovoľné prvky a, b, c z množiny X platí, že (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).

Distributívna binárna operácia

Binárna operácia ◦ sa nazýva distributívna vzhľadom na operáciu △ na množine X, ak pre ľubovoľné prvky a, b, c z množiny X platí, že a ◦ (b△c) = (a ◦ b)△(a ◦ c) a (b△c) ◦ a = (b ◦ a)△(c ◦ a).

Neutrálny prvok binárnej operácie

Prvok e z množiny X sa nazýva neutrálny prvok binárnej operácie ◦ na množine X, ak pre ľubovoľné a z množiny X platí, že a◦e = e◦a = a.

Signup and view all the flashcards

Racionálne čísla (Q)

Množina všetkých prirodzených čísel, ktoré sa dá vyjadriť ako zlomok, kde čitateľ aj menovateľ sú celé čísla.

Signup and view all the flashcards

Iracionálne čísla

Množina všetkých reálnych čísel, ktorá zahŕňa aj čísla nemožné vyjadriť ako zlomok, ako napríklad π alebo odmocnina z 2.

Signup and view all the flashcards

Komplexné čísla (C)

Množina všetkých komplexných čísel, ktoré sa dajú vyjadriť vo forme a + bi, kde a a b sú reálne čísla a i je imaginárna jednotka (√-1).

Signup and view all the flashcards

Reálna časť komplexného čísla

Reálna časť komplexného čísla a + bi je reálne číslo a.

Signup and view all the flashcards

Imaginárna časť komplexného čísla

Imaginárna časť komplexného čísla a + bi je reálne číslo b.

Signup and view all the flashcards

Binárna operácia na množine X

Zobrazenie, ktoré priraďuje každému páru prvkov z množiny X prvok v množine X.

Signup and view all the flashcards

Základne binárne operácie

Prevažne +, -, *, : sú binárne operácie na množinách N, Z, Q, R.

Signup and view all the flashcards

Uzavretie operácie na množine X

Ak s ľubovoľnými dvoma prvkami množiny X je výsledok operácie aj v množine X, t.j. pre ∀a, b ∈ X aj a ◦ b ∈ X.

Signup and view all the flashcards

Príklad neutrálneho prvku

Pre ľubovoľné číslo a zo množiny reálnych čísel platí a + 0 = 0 + a = a a 1 · a = a · 1 = a. 0 vzhľadom na operáciu sčítania a 1 vzhľadom na operáciu násobenia.

Signup and view all the flashcards

Symetrizačný prvok binárnej operácie

Ak má binárna operácia ◦ na množine X neutrálny prvok e a ak k danému prvku x ∈ X existuje prvok y ∈ X tak, že x ◦ y = y ◦ x = e, hovoríme, že y je symetrizačný prvok k prvku x. Označujeme xS.

Signup and view all the flashcards

Opačný a inverzný prvok

Symetrizačný prvok k prvku a vzhľadom na binárnu operáciu sčítania sa nazýva opačný prvok, t.j. -a. Vzhľadom na binárnu operáciu násobenia sa symetrizačný prvok nazýva inverzný, t.j. 1/a.

Signup and view all the flashcards

Symetrizačný prvok

Ak má binárna operácia ◦ na množine X neutrálny prvok e a ak k danému prvku x ∈ X existuje prvok y ∈ X tak, že x ◦ y = y ◦ x = e, hovoríme, že y je symetrizačný prvok k prvku x.

Signup and view all the flashcards

Nula v okruhu

Prvok neutrálny vzhľadom na sčítanie v okruhu. Má túto vlastnosť: pre akýkoľvek prvok a z okruhu platí a + 0 = 0 + a = a.

Signup and view all the flashcards

Jednotka v okruhu

Prvok neutrálny vzhľadom na násobenie v okruhu. Má túto vlastnosť: pre akýkoľvek prvok a z okruhu platí a * 1 = 1 * a = a.

Signup and view all the flashcards

Pole

Algebraická štruktúra (X, □, ◦), ktorá je zároveň okruhom a pre ktorú (X - {e□}, ◦) je komutatívna grupa (kde e□ je neutrálny prvok operácie □). To znamená, okrem iného, že násobenie v poli je komutatívne.

Signup and view all the flashcards

Prečo (Z,+, *) je len okruh?

Množina (Z, +, *), kde + je sčítanie a * je násobenie, je len okruh, nie pole. Prečo? Pretože (Z - {0}, *) nie je komutatívna grupa, pretože 1 má v (Z - {0}, *) inverzný prvok 1, ale nule chýba inverzný prvok.

Signup and view all the flashcards

Prečo (N,+, *) nie je okruh?

Množina (N, +, *), kde + je sčítanie a * je násobenie, nie je ani okruh. Prečo? Pretože (N, +) nie je grupa, pretože v (N, +) chýbajú inverzné prvky. Napríklad, 2 nemá inverzný prvok v (N, +).

Signup and view all the flashcards

Grupa (algebraická štruktúra)

Množina s binárnou operáciou, ktorá spĺňa tri vlastnosti: asociatívnosť, existencia neutrálneho prvku a existencia symetrizačného prvku pre každý prvok.

Signup and view all the flashcards

Komutatívna (abelovská) grupa

Grupa, ktorej binárna operácia je komutatívna.

Signup and view all the flashcards

Okruh (algebraická štruktúra)

Okruh je množina s dvoma binárnymi operáciami, pričom jedna tvorí komutatívnu grupu, druhá je asociatívna a distribučná vzhľadom k prvej.

Signup and view all the flashcards

Aditívna a multiplikatívna operácia v okruhu

Prvá binárna operácia v okruhu sa nazýva aditívna a druhá binárna operácia sa nazýva multiplikatívna.

Signup and view all the flashcards

Study Notes

Algebra 2024/2025 - Číselné množiny a algebraické štruktúry

  • Základné číselné množiny sú označené takto:
    • N: prirodzené čísla (1, 2, 3, 4, 5, ...)
    • Z: celé čísla (...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)
    • Q: racionálne čísla {a/b; a ∈ Z, b ∈ N}
    • R: reálne čísla (racionálne aj iracionálne). Iracionálne čísla nie je možné vyjadriť v tvare a/b, kde a ∈ Z a b ∈ N.
    • C: komplexné čísla {a + bi; a, b ∈ R}

Komplexné čísla

  • Komplexné číslo c sa zapisuje v tvare a + bi, kde a, b ∈ R.
    • a je reálna časť čísla c
    • b je imaginárna časť čísla c
    • i je imaginárna jednotka (i² = -1)

Sčítanie komplexných čísel

  • (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Násobenie komplexných čísel

  • (a + bi)(c + di) = ac – bd + (ad + bc)i

Delenie komplexných čísel

  • (a + bi) / (c + di) = [(ac + bd) / (c² + d²)] + [(bc - ad) / (c² + d²)]i

Algebraické štruktúry - binárne operácie

  • Binárna operácia na množine X je zobrazenie o: X x X → X
    • Pre všetky a, b z množiny X, výsledok operácie a ob musí byť aj v množine X.

Vlastnosti binárnych operácií

  • Komutatívnosť: Pre všetky a, b ∈ X platí a◦ b = b ◦ a
  • Asociatívnosť: Pre všetky a, b, c ∈ X platí (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).
  • Distributivita: vzhľadom na operáciu △, pre všetky a, b, c ∈ X platí:
    • a ○ (b△c) = (a ○ b)△(a ○ c)
    • a ○ (b△c) = (a ○ b)△(a ○ c)

Neutrálny prvok binárnej operácie

  • Prvok e ∈ X je neutrálny prvok vzhľadom na operáciu ○, ak pre každý prvok x ∈ X platí:
    • x ○ e = e ○ x = x

Symetrizačný prvok binárnej operácie

  • Prvok y ∈ X je symetrizačný k prvku x ∈ X vzhľadom na operáciu ○, ak platí x ○ y = y ○ x = e (kde e je neutrálny prvok).

Algebraická štruktúra s jednou binárnou operáciou

  • Algebraickou štruktúru (X, ○) nazývame grupa, ak:
    • binárna operácia ○ je asociatívna
    • binárna operácia ○ má neutrálny prvok e ∈ X
    • každý prvok x ∈ X má svoj symetrizačný prvok x⁻¹ ∈ X
  • Ak je operácia ○ komutatívna, hovoríme o komutatívnej (alebo abelovskej) grupe.
  • Príklad: (Z,+), (Q,+), (R,+).

Algebraická štruktúra s dvomi binárnymi operáciami

  • Algebraickú štruktúru (X, ○, *) nazývame okruh, ak:

    • (X, ○) je komutatívna grupa
    • binárna operácia * je asociatívna
    • binárna operácia * je distributívna vzhľadom na operáciu ○

  • Ak je operácia * tiež komutatívna, hovoríme o komutatívnom okruhu.

  • Priklady: (Z, +, •), (R, +, •), (C, +, •).

  • Algebraickú štruktúru (X, ○, *) nazývame pole, ak:

    • (X, ○, *) je okruh
    • (X - {0}, *) je komutatívna grupa, kde 0 je neutrálny prvok operácie ○.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Quiz Team

Related Documents

Algebra 2024/2025 PDF

Description

Objavte základné číselné množiny a ich algebraické štruktúry v tejto úvodnej lekcii. Zamerajte sa na komplexné čísla a naučte sa ich sčítanie, násobenie a delenie. Prehlbujte svoje vedomosti o binárnych operáciách a ich aplikáciách.

More Like This

Algebra class 10 - Complex Numbers
24 questions

Algebra class 10 - Complex Numbers

SuccessfulVerdelite6023 avatar
SuccessfulVerdelite6023
Algebra 2: Complex Numbers Flashcards
7 questions

Algebra 2: Complex Numbers Flashcards

SolicitousPelican7010 avatar
SolicitousPelican7010
Algèbre et nombres complexes - Equations
10 questions

Algèbre et nombres complexes - Equations

ExcellentLithium9384 avatar
ExcellentLithium9384
Complex Numbers in Algebra
20 questions

Complex Numbers in Algebra

EverlastingMountRushmore5025 avatar
EverlastingMountRushmore5025
Use Quizgecko on...
Browser
Open
Browser
Browser