Algèbre et nombres complexes - Equations

Opérations algébriques et résolution d'équations

• L'équation $(z^2 - 2z + 2)^3 + (z^2 - 4z + 8)^3 = (2z^2 - 6z + 10)^3$ est donnée.

• Les solutions de l'équation sont recherchées dans l'ensemble des nombres complexes.

Partie 1 - Questions liées à l'équation

• Question 1 : Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont possibles si $z$ est une solution de l'équation ?

  • $|z| = 1$
  • $|z − 1| = 1$
  • $|z − 2| = 2$
  • $z$ est réel

• Question 2 : Les solutions de l'équation dans l'ensemble des nombres complexes sont-elles :

  • $1 + i$ et $1 − i$
  • $2 + 2i$ et $2 − 2i$
  • $3 + i$
  • Aucune des précédentes

Partie 2 - Nombres complexes en géométrie

• Trois points du plan complexe, $A$, $B$, et $C$, ont des affixes respectives $a$, $b$, et $c$, distinctes deux à deux.

Partie 2 - Questions Géométriques

• Question 3 : Le triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si :

  • $a + b + c = 0$
  • $a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca = 0$
  • $\frac{a − b}{c − b} = e^{i\pi/3}$ ou $\frac{a − b}{c − b} = e^{-i\pi/3}$
  • $|a − b| = |b − c| = |c − a|$

• Question 4 : Si le triangle $ABC$ est équilatéral, et $P$ est un point d'affixe $p$ :

  • $|p − a| + |p − b| + |p − c| = |a − b|$
  • $|p − a|^2 + |p − b|^2 + |p − c|^2 = 3|p − \frac{a + b + c}{3}|^2 + |a − b|^2$
  • $|p − a|^2 + |p − b|^2 + |p − c|^2 = 3|p − \frac{a + b + c}{3}|^2 + \frac{|a − b|^2 + |b − c|^2 + |c − a|^2}{3}$
  • Aucune des précédentes

Partie 3 - Formule de Moivre, formule d'Euler et forme trigonométrique

• Le nombre complexe $z_n$ est défini par $z_n = (1 + \frac{i}{n})^n$ pour $n ∈ \mathbb{N^*}$.

Partie 3 - Questions relatives à z_n

• Question 5 : La forme trigonométrique de $z_n$ est :

  • $(1 + \frac{1}{n^2})^{n/2} (\cos(n \arctan(\frac{1}{n})) + i \sin(n \arctan(\frac{1}{n})))$
  • $(1 + \frac{1}{n^2})^{n/2} (\cos(\arctan(\frac{1}{n})) + i \sin(\arctan(\frac{1}{n})))$
  • $(1 + \frac{i}{n})^n$ (forme algébrique)
  • Aucune des précédentes

• Question 6 : $\lim_{n \to \infty} |z_n|$ est égale à :

  • 0
  • 1
  • $e$
  • $+\infty$

• Question 7 : $\lim_{n \to \infty} \arg(z_n)$ est égale à :

  • 0
  • 1
  • $\pi/2$
  • $+\infty$

• Question 8 : $\lim_{n \to \infty} z_n$ est égale à :

  • 1
  • $e$
  • $e^i$
  • Aucune des précédentes

Partie 4 - Une équation fonctionnelle

• La fonction $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ est continue et vérifie $f(z + w) = f(z)f(w)$ pour tous $z, w ∈ \mathbb{C}$.

Partie 4 - Question liées à f(z)

• Question 9 : Parmi les fonctions suivantes, lesquelles vérifient l'équation fonctionnelle ?

  • $f(z) = 0$
  • $f(z) = 1$
  • $f(z) = e^z$
  • $f(z) = z$

• Question 10 : La forme générale des solutions de l'équation fonctionnelle est :

  • $f(z) = e^{az}$ pour un certain $a ∈ \mathbb{C}$
  • $f(z) = az$ pour un certain $a ∈ \mathbb{C}$
  • $f(z) = 0$ ou $f(z) = e^{az}$ pour un certain $a ∈ \mathbb{C}$
  • Aucune des précédentes

Ce quiz explore les opérations algébriques et la résolution d'équations impliquant des nombres complexes. Les participants devront répondre à des questions sur les propriétés des solutions d'équations polynomiales et la géométrie des nombres complexes. Testez vos connaissances sur ces concepts mathématiques avancés.