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Questions and Answers
Quel est le résultat de la limite $ rac{z_n}{n}$ lorsque $n o ext{infinity}$ ?
Quel est le résultat de la limite $ rac{z_n}{n}$ lorsque $n o ext{infinity}$ ?
Quelle des fonctions suivantes n'est pas une solution de l'équation fonctionnelle $f(z+w) = f(z)f(w)$ ?
Quelle des fonctions suivantes n'est pas une solution de l'équation fonctionnelle $f(z+w) = f(z)f(w)$ ?
Quel est l'argument de $z_n$ à la limite lorsque $n o ext{infinity}$ ?
Quel est l'argument de $z_n$ à la limite lorsque $n o ext{infinity}$ ?
La solution générale de l'équation fonctionnelle $f(z+w) = f(z)f(w)$ peut être formulée comme :
La solution générale de l'équation fonctionnelle $f(z+w) = f(z)f(w)$ peut être formulée comme :
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Quand $n$ devient grand, $|z_n|$ se rapproche de :
Quand $n$ devient grand, $|z_n|$ se rapproche de :
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Si $z$ est une solution de l'équation $(z^2 - 2z + 2)^3 + (z^2 - 4z + 8)^3 = (2z^2 - 6z + 10)^3$, quelle affirmation est vraie ?
Si $z$ est une solution de l'équation $(z^2 - 2z + 2)^3 + (z^2 - 4z + 8)^3 = (2z^2 - 6z + 10)^3$, quelle affirmation est vraie ?
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Quelles sont les solutions de l'équation dans l'ensemble des nombres complexes $ extbf{C}$ ?
Quelles sont les solutions de l'équation dans l'ensemble des nombres complexes $ extbf{C}$ ?
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Quelle condition caractérise un triangle équilatéral formé par les points $A$, $B$, et $C$ aux affixes $a$, $b$, et $c$ ?
Quelle condition caractérise un triangle équilatéral formé par les points $A$, $B$, et $C$ aux affixes $a$, $b$, et $c$ ?
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Si le triangle $ABC$ est équilatéral, alors pour un point $P$ du plan d'affixe $p$, quelle relation est valable ?
Si le triangle $ABC$ est équilatéral, alors pour un point $P$ du plan d'affixe $p$, quelle relation est valable ?
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En considérant la formule de Moivre, quelle affirmation est correcte concernant $z = r e^{i heta}$ ?
En considérant la formule de Moivre, quelle affirmation est correcte concernant $z = r e^{i heta}$ ?
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Study Notes
Opérations algébriques et résolution d'équations
-
L'équation $(z^2 - 2z + 2)^3 + (z^2 - 4z + 8)^3 = (2z^2 - 6z + 10)^3$ est donnée.
-
Les solutions de l'équation sont recherchées dans l'ensemble des nombres complexes.
Partie 1 - Questions liées à l'équation
-
Question 1 : Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont possibles si $z$ est une solution de l'équation ?
- $|z| = 1$
- $|z − 1| = 1$
- $|z − 2| = 2$
- $z$ est réel
-
Question 2 : Les solutions de l'équation dans l'ensemble des nombres complexes sont-elles :
- $1 + i$ et $1 − i$
- $2 + 2i$ et $2 − 2i$
- $3 + i$
- Aucune des précédentes
Partie 2 - Nombres complexes en géométrie
- Trois points du plan complexe, $A$, $B$, et $C$, ont des affixes respectives $a$, $b$, et $c$, distinctes deux à deux.
Partie 2 - Questions Géométriques
-
Question 3 : Le triangle $ABC$ est équilatéral si et seulement si :
- $a + b + c = 0$
- $a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca = 0$
- $\frac{a − b}{c − b} = e^{i\pi/3}$ ou $\frac{a − b}{c − b} = e^{-i\pi/3}$
- $|a − b| = |b − c| = |c − a|$
-
Question 4 : Si le triangle $ABC$ est équilatéral, et $P$ est un point d'affixe $p$ :
- $|p − a| + |p − b| + |p − c| = |a − b|$
- $|p − a|^2 + |p − b|^2 + |p − c|^2 = 3|p − \frac{a + b + c}{3}|^2 + |a − b|^2$
- $|p − a|^2 + |p − b|^2 + |p − c|^2 = 3|p − \frac{a + b + c}{3}|^2 + \frac{|a − b|^2 + |b − c|^2 + |c − a|^2}{3}$
- Aucune des précédentes
Partie 3 - Formule de Moivre, formule d'Euler et forme trigonométrique
- Le nombre complexe $z_n$ est défini par $z_n = (1 + \frac{i}{n})^n$ pour $n ∈ \mathbb{N^*}$.
Partie 3 - Questions relatives à z_n
-
Question 5 : La forme trigonométrique de $z_n$ est :
- $(1 + \frac{1}{n^2})^{n/2} (\cos(n \arctan(\frac{1}{n})) + i \sin(n \arctan(\frac{1}{n})))$
- $(1 + \frac{1}{n^2})^{n/2} (\cos(\arctan(\frac{1}{n})) + i \sin(\arctan(\frac{1}{n})))$
- $(1 + \frac{i}{n})^n$ (forme algébrique)
- Aucune des précédentes
-
Question 6 : $\lim_{n \to \infty} |z_n|$ est égale à :
- 0
- 1
- $e$
- $+\infty$
-
Question 7 : $\lim_{n \to \infty} \arg(z_n)$ est égale à :
- 0
- 1
- $\pi/2$
- $+\infty$
-
Question 8 : $\lim_{n \to \infty} z_n$ est égale à :
- 1
- $e$
- $e^i$
- Aucune des précédentes
Partie 4 - Une équation fonctionnelle
- La fonction $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ est continue et vérifie $f(z + w) = f(z)f(w)$ pour tous $z, w ∈ \mathbb{C}$.
Partie 4 - Question liées à f(z)
-
Question 9 : Parmi les fonctions suivantes, lesquelles vérifient l'équation fonctionnelle ?
- $f(z) = 0$
- $f(z) = 1$
- $f(z) = e^z$
- $f(z) = z$
-
Question 10 : La forme générale des solutions de l'équation fonctionnelle est :
- $f(z) = e^{az}$ pour un certain $a ∈ \mathbb{C}$
- $f(z) = az$ pour un certain $a ∈ \mathbb{C}$
- $f(z) = 0$ ou $f(z) = e^{az}$ pour un certain $a ∈ \mathbb{C}$
- Aucune des précédentes
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Description
Ce quiz explore les opérations algébriques et la résolution d'équations impliquant des nombres complexes. Les participants devront répondre à des questions sur les propriétés des solutions d'équations polynomiales et la géométrie des nombres complexes. Testez vos connaissances sur ces concepts mathématiques avancés.
