Números complejos: forma algebraica, operaciones y más

Capítulo 1: Números complejos

Forma Algebraica

• El conjunto de los números compléjos se define como: $\mathbb{C} = { z = a + bi \mid (a, b) \in \mathbb{R}^2 }$.
• $a$ es la parte real de $z$, y se denota Re$(z)$.
• $b$ es la parte imaginaria de $z$, y se denota Im$(z)$.
• $i$ es la unidad imaginaria, definida por $i^2 = -1$.
• Ejemplo: Para $z = 3 - 2i$, Re$(z) = 3$ e Im$(z) = -2$.

Operaciones

• Si $z = a + bi$ y $z' = a' + b'i$:
  • Suma: $z + z' = (a + a') + (b + b')i$
  • Multiplicación: $z \times z' = (aa' - bb') + (ab' + ba')i$

Conjugado

• El conjugado de $z = a + bi$ se define como $\overline{z} = a - bi$.
• Propiedades del conjugado:
  • $\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}$
  • $\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}$
  • $z \times \overline{z} = a^2 + b^2 \in \mathbb{R}$

Módulo

• El módulo de $z = a + bi$ se define como $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{z \times \overline{z}}$.
• Propiedades del módulo:
  • $|z \times z'| = |z| \times |z'|$
  • $|z + z'| \leqslant |z| + |z'|$ (Desigualdad triangular)

Argumento

• Si $z \neq 0$, existe un $\theta \in \mathbb{R}$ tal que: $z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)$.
• $\theta$ se llama un argumento de $z$, y se denota arg$(z)$.
• arg$(z)$ se define a $2\pi$ cerca.
• Fórmula de Euler: $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$.

Forma trigonométrica (o exponencial)

• $z = [r, \theta] = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$, donde $r = |z|$ y $\theta = \arg(z)$.
• Operaciones en forma trigonométrica:
  • $z \times z' = [r \times r', \theta + \theta']$
  • $\frac{z}{z'} = [\frac{r}{r'}, \theta - \theta']$
  • $z^n = [r^n, n\theta]$ (Fórmula de Moivre)

Fórmulas de Euler

• $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$
• $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

Resolución de ecuaciones

• Raíces n-ésimas de la unidad: Las soluciones de $z^n = 1$ son $e^{\frac{2ik\pi}{n}}$, $k = 0, 1,..., n-1$.
• Raíces cuadradas de un complejo: Para resolver $z^2 = a + bi$, se establece $z = x + yi$, se eleva al cuadrado, y se identifican las partes reales e imaginarias.

Lección 19: Ecuaciones de Maxwell

Corriente de Desplazamiento

Introducción

• La Corriente de Desplazamiento y su importancia en la comprensión de las ecuaciones de Maxwell.

Inconsistencia de la Ley de Ampere

• La ley de Ampere establece: $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{enc}$
• Esta ley exhibe inconsistencia cuando se trata de campos eléctricos variables en el tiempo.
  • Considere un capacitor que se está cargando. La corriente $I$ fluye hacia el capacitor, pero no hay corriente real entre las placas.
  • Al aplicar la Ley de Ampere al bucle amperiano que se muestra, se encuentra un problema. La corriente encerrada por el bucle depende de la superficie elegida.
    • Superficie 1: $I_{enc} = I$
    • Superficie 2: $I_{enc} = 0$
• Esta ambigüedad implica que la Ley de Ampere, en su forma original, está incompleta.

Corriente de Desplazamiento: La Solución de Maxwell

• Maxwell introdujo el concepto de corriente de desplazamiento ($I_d$) para resolver esta inconsistencia.
• La corriente de desplazamiento está relacionada con el flujo eléctrico cambiante:
  • $I_d = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$, donde $\Phi_E = \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}$ es el flujo eléctrico.

Ley de Ampere Modificada

• Con la introducción de la corriente de desplazamiento, la Ley de Ampere se modifica a:
  • $\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 (I_{enc} + I_d)$
• Ahora, la Ley de Ampere modificada se cumple independientemente de la superficie elegida.
  • Superficie 1: $I_{enc} = I$, $I_d = 0$
  • Superficie 2: $I_{enc} = 0$, $I_d = I$
• La corriente total ($I_{enc} + I_d$) sigue siendo la misma para ambas superficies, resolviendo la inconsistencia.

Importancia

• La corriente de desplazamiento juega un papel crucial en la comprensión de las ondas electromagnéticas.
• Un campo eléctrico cambiante crea un campo magnético, y viceversa, lo que lleva a la propagación de ondas electromagnéticas a través del espacio.

Las Ecuaciones de Maxwell

Introducción

• Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones fundamentales que describen el comportamiento de los campos eléctrico y magnético.
• En Forma Diferencial:
  1. Ley de Gauss para la Electricidad: $\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$
  2. Ley de Gauss para el Magnetismo: $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$
  3. Ley de Inducción de Faraday: $\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
  4. Ley de Ampere-Maxwell: $\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

Ecuaciones de Maxwell en Forma Integral

• Donde:
  • $\mathbf{E}$ es el campo eléctrico.
  • $\mathbf{B}$ es el campo magnético.
  • $\rho$ es la densidad de carga.
  • $\mathbf{J}$ es la densidad de corriente.
  • $\epsilon_0$ es la permitividad del espacio libre.
  • $\mu_0$ es la permeabilidad del espacio libre.
  • $Q_{enc}$ es la carga encerrada.
  • $\Phi_E$ es el flujo eléctrico.
  • $\Phi_B$ es el flujo magnético.

Importancia

• Las ecuaciones de Maxwell son la base del electromagnetismo clásico.
• Unifican la electricidad, el magnetismo y la óptica, proporcionando una descripción completa de los fenómenos electromagnéticos.
• Predicen la existencia de ondas electromagnéticas, que viajan a la velocidad de la luz ($c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$).
• Tienen implicaciones de gran alcance en varios campos, incluyendo las telecomunicaciones, la electrónica y la física.

Álgebra Lineal

1. Vectores

1.1 Definiciones básicas

• Escalares: $\alpha, \beta, \gamma... \in \mathbb{R}$
• Vectores: $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}... \in \mathbb{R}^n$
  • $\vec{u} = \begin{bmatrix} u_1 \ u_2 \ \vdots \ u_n \end{bmatrix}$, $\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}$
• Espacio vectorial: $\mathbb{R}^n = {\begin{bmatrix} u_1 \ u_2 \ \vdots \ u_n \end{bmatrix} | u_1, u_2,..., u_n \in \mathbb{R} }$

1.2 Operaciones básicas

• Adición: $\vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \ u_2 + v_2 \ \vdots \ u_n + v_n \end{bmatrix}$
• Multiplicación escalar: $\alpha \vec{u} = \begin{bmatrix} \alpha u_1 \ \alpha u_2 \ \vdots \ \alpha u_n \end{bmatrix}$

1.3 Propiedades

• $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$
• $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$
• $\exists \vec{0} \in \mathbb{R}^n, \vec{u} + \vec{0} = \vec{u}$
• $\exists -\vec{u} \in \mathbb{R}^n, \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$
• $\alpha (\beta \vec{u}) = (\alpha \beta) \vec{u}$
• $(\alpha + \beta) \vec{u} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{u}$
• $\alpha (\vec{u} + \vec{v}) = \alpha \vec{u} + \alpha \vec{v}$
• $1 \vec{u} = \vec{u}$

2. Combinación lineal

2.1 Definición

• Dado un conjunto de vectores ${\vec{v}_1, \vec{v}_2,..., \vec{v}_k}$, una combinación lineal se define como:
  • $\vec{u} = \alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 +... + \alpha_k \vec{v}_k$
• donde $\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_k$ son escalares.

2.2 Ejemplos

• $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}$, $\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix}$
  • $\vec{u} = 2 \vec{v}_1 + 3 \vec{v}_2 = 2 \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 3 \ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \ 16 \end{bmatrix}$

3. Independencia lineal

3.1 Definición

• Un conjunto de vectores ${\vec{v}_1, \vec{v}_2,..., \vec{v}_k}$ es linealmente independiente si la única solución a la ecuación
  • $\alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 +... + \alpha_k \vec{v}_k = \vec{0}$
• es $\alpha_1 = \alpha_2 =... = \alpha_k = 0$.

3.2 Ejemplos

• $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix}$, $\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix}$
  • $\alpha_1 \begin{bmatrix} 1 \ 2 \end{bmatrix} + \alpha_2 \begin{bmatrix} 2 \ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$
  • $\begin{bmatrix} \alpha_1 + 2\alpha_2 \ 2\alpha_1 + 4\alpha_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$
  • $\alpha_1 + 2\alpha_2 = 0$
  • $2\alpha_1 + 4\alpha_2 = 0$
  • $\Rightarrow$ Una infinidad de soluciones, por entonces $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ son linealmente dependientes.

4. Base y Dimension

4.1 Base

• Un conjunto de vectores ${\vec{v}_1, \vec{v}_2,..., \vec{v}_k}$ forma una base de $\mathbb{R}^n$ si:
  1. ${\vec{v}_1, \vec{v}_2,..., \vec{v}_k}$ son linealmente independientes.
  2. Todo vector de $\mathbb{R}^n$ puede ser escrito como una combinación lineal de ${\vec{v}_1, \vec{v}_2,..., \vec{v}_k}$.

4.2 Dimension

• La dimensión de $\mathbb{R}^n$ es el número de vectores en una base de $\mathbb{R}^n$.

4.3 Ejemplos

• $\vec{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}$, $\vec{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}$ forman una base de $\mathbb{R}^2$.
  • $\vec{v} = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2$
  • $\implies$ dimension de $\mathbb{R}^2$ es 2.

Complejidad algorítmica

• Es la cantidad de recursos necesarios para ejecutarlo.

  • Complejidad temporal: cantidad de tiempo necesario para un algoritmo.
  • Complejidad espacial: cantidad de espacio ocupado por un algoritmo.

• Hay varios tipos de complejidades:

  • Complejidad en el peor de los casos
  • Complejidad en el caso promedio
  • Complejidad en el mejor de los casos

• La notación Big O se utiliza para clasificar los algoritmos de acuerdo con cómo su tiempo de ejecución o espacio crece a medida que crece el tamaño de la entrada.

Complejidades comunes

Complejidad constante - O(1)

• El número de operaciones es fijo y no depende del tamaño de la entrada.

def complejidad_constante(lista_):
    return lista_

Complejidad logarítmica - O(log n)

• Estos algoritmos reducen el tamaño de los datos de entrada en cada paso.

def complejidad_logaritmica(lista_, valor):
    izquierda, derecha = 0, len(lista_) - 1
    while izquierda