Programmation Dynamique

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Questions and Answers

Quel est le but principal de la programmation dynamique?

Optimiser des calculs redondants (correct)

Résoudre des problèmes de tri

Analyser des données massives

Simplifier les algorithmes de recherche

Quelles sont les deux propriétés fondamentales de la programmation dynamique?

Sous-structure optimale et chevauchement des sous-problèmes (correct)

Diviser et régner, recherche exhaustive

Complexité exponentielle et linéaire

Récursion et itération

Quelle formule définit les nombres de Fibonacci?

F(n) = F(n-1) + F(n-2) (correct)

F(n) = F(n-1) + 2F(n-2)

F(n) = F(n-1) * F(n-2)

F(n) = F(n-1) - F(n-2)

Quelle approche en programmation dynamique utilise la mémoïsation?

Approche descendante Signup and view all the answers

Quel exemple illustre couramment l'application de la programmation dynamique?

Le problème du sac à dos Signup and view all the answers

Quelle est une des limites de la programmation dynamique?

Elle nécessite souvent une grande mémoire Signup and view all the answers

Quelle est la croissance prévue lors du calcul des nombres de Fibonacci?

Exponentielle Signup and view all the answers

Qui a introduit la méthodologie de la programmation dynamique?

Richard Bellman Signup and view all the answers

Quelle est la relation de récurrence pour l'algorithme naïf de Fibonacci ?

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + Θ(1) Signup and view all the answers

Quelle est la complexité temporelle de l'algorithme naïf pour des valeurs de n élevées ?

Θ(2^n) Signup and view all the answers

Quelles sont les implications d'une complexité temporelle exponentielle ?

L'algorithme devient impraticable pour de grandes valeurs de n. Signup and view all the answers

Quelle hypothèse est faite sur T(n-1) et T(n-2) dans le contexte de l'algorithme naïf ?

T(n-1) > T(n-2) Signup and view all the answers

À quelle condition la relation T(n) ≥ 2T(n-2) est-elle appliquée ?

Lorsqu'il est nécessaire de simplifier la récurrence. Signup and view all the answers

Que se passe-t-il lorsque l'on applique la relation T(n) ≥ 2T(n-2) plusieurs fois ?

On trouve une expression de T(n) en fonction de T(0). Signup and view all the answers

Quel est le rôle de Θ(1) dans la relation de récurrence T(n) ?

Il représente un temps constant pour l'addition des résultats. Signup and view all the answers

À quel moment le processus d'analyse de T(n) s'arrête lors de l'application de la relation T(n) ≥ 2T(n-2) ?

Lorsque n-2k = 0. Signup and view all the answers

Quel est le principal problème de l'algorithme naïf de Fibonacci ?

Recalcule plusieurs fois les mêmes sous-problèmes. Signup and view all the answers

Quelle est la complexité temporelle de l'algorithme naïf de Fibonacci ?

Θ(2^n) Signup and view all the answers

Quel est l'objectif principal de la mémorisation dans le contexte de l'algorithme de Fibonacci ?

Stocker les résultats des calculs intermédiaires. Signup and view all the answers

Quelle est la complexité temporelle de l'algorithme récursif avec mémorisation ?

O(n) Signup and view all the answers

Quel avantage l'algorithme avec mémorisation par rapport à l'algorithme naïf offre-t-il ?

Il est plus efficace en évitant la redondance des calculs. Signup and view all the answers

Dans l'algorithme récursif avec mémorisation, que se passe-t-il si mémo[n] est déjà défini ?

On retourne directement mémo[n]. Signup and view all the answers

Quel est le rôle de l'intervalle n ≤ 2 dans l'algorithme de mémorisation ?

Il évite de recalculer F(0) et F(1). Signup and view all the answers

Quel est un autre terme souvent utilisé pour désigner la technique de mémorisation ?

Programmation dynamique Signup and view all the answers

Study Notes

Algorithmique Avancée et Complexité

Cours donné par Dr. Hadi Fairouz
Département d'informatique, Université Ferhat Abbas - Setif 1
Introduction à la Programmation Dynamique

Chapitre 4 : Programmation Dynamique

Méthode incontournable en algorithmique
Introduite par Richard Bellman dans les années 1950
Résolution de problèmes d'optimisation séquentielle
Deux concepts fondamentaux :
- Sous-structure optimale
- Chevauchement des sous-problèmes
Transformation de calculs redondants en une approche optimisée et efficace
Deux approches classiques :
- Approche ascendante (Bottom-Up)
- Approche descendante avec mémoïsation (Top-Down)

Le problème de la suite de Fibonacci

Définition par récurrence :
- F(0) = F(1) = 1
- F(n) = F(n-1) + F(n-2) pour n ≥ 2
Calculer F(n) pour une valeur donnée de n
Exemple de suite : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Croissance exponentielle observée

Relation de récurrence

T(n) = T(n-1) + T(n-2) + O(1)
Complexité temporelle exponentielle O(2^n/2)
Nombreuses répétitions de calculs de sous-problèmes
Inefficacité de l'approche récursive directe

Algorithme naïf

Calcul récursif direct de F(n)
Complexité temporelle exponentielle

Algorithme récursif avec mémorisation (Top-Down)

Utilisation d'une table pour stocker les résultats des sous-problèmes (mémoïsation)
Complexité temporelle linéaire O(n)
Résolution de chaque sous-problème une seule fois

Algorithme itératif (Bottom-Up)

Calcul des termes de la suite Fibonacci dans l'ordre croissant
Utilisation d'un tableau pour stocker les résultats
Complexité temporelle linéaire O(n)

Concepts clés de la programmation dynamique

Décomposition en sous-problèmes
Sous-structures optimales
Chevauchement des sous-problèmes

Approches en programmation dynamique

Top-Down (récursive avec mémorisation)
Bottom-up (itérative)

Critères de choix entre Diviser pour régner et Programmation dynamique

Indépendance vs dépendance/chevauchement des sous-problèmes
Mémorisation nécessaire

Exemples classiques

Problème du sac à dos
Problème de la somme maximale
Problème des chemins dans une grille
Édition de chaîne
Partition de somme égale
Problème de la tour de Hanoi
Problème des escaliers
Palindromes
Problème des pièces

Complexité temporelle

O(n) dans l'approche Bottom-Up (itérative)
Potentiel O(2^n/2) dans l'approche Top-Down (récursive) avec mémorisation imparfaite

Quand utiliser la programmation dynamique ?

Chevauchement des sous-problèmes
Sous-structure optimale

Développer un algorithme de programmation dynamique

Identifier les sous-problèmes
Formuler une relation récursive
Déterminer la valeur des cas de base

Diviser pour régner vs Programmation dynamique

Indépendance des sous-problèmes pour Diviser pour régner
Chevauchement des sous problèmes pour Programmation dynamique

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Description

Ce quiz explore les concepts clés de la programmation dynamique, une méthode essentielle en algorithmique. Apprenez les approches ascendante et descendante et comprenez comment résoudre des problèmes d'optimisation séquentielle, y compris le calcul de la suite de Fibonacci.