Algorithmen und Datenstrukturen 1 - SS 2024
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Questions and Answers

Was ist die Funktion der Binärsuche?

  • Sie findet die Anzahl der Elemente in einem Array.
  • Sie sucht eine Zahl in einem aufsteigend sortierten Array. (correct)
  • Sie sucht eine Zahl in einem unsortierten Array.
  • Sie sortiert die Elemente eines Arrays.

Was passiert, wenn das Array nicht sortiert ist?

  • Eine lineare Suche wird durchgeführt. (correct)
  • Die Suche bricht sofort ab.
  • Die Binärsuche wird trotzdem angewandt.
  • Das Array wird automatisch sortiert.

Wie wird der Mittelwert in der Binärsuche berechnet?

  • Mitte = (oben - unten) / 2
  • Mitte = oben - 1
  • Mitte = (unten + oben) / 2 (correct)
  • Mitte = unten + 1

Was wird zurückgegeben, wenn die Zahl nicht gefunden wird?

<p>Eine Nachricht, dass die Zahl nicht gefunden wurde. (C)</p> Signup and view all the answers

Welcher Teil des Arrays wird bei der Binärsuche inspiziert?

<p>Die linke oder rechte Hälfte des Arrays. (D)</p> Signup and view all the answers

Was ist der Basisfall der vollständigen Induktion für die Korrektheit der Binärsuche?

<p>d = 0. (D)</p> Signup and view all the answers

Was geschieht im Rekursionsschritt der Binärsuche, wenn A[mitte] != x?

<p>Die linke Hälfte wird durchsucht, wenn x &lt; A[mitte]. (A)</p> Signup and view all the answers

Warum ist die Korrektheit der Binärsuche wichtig?

<p>Um sicherzustellen, dass die Zahl gefunden wird. (C)</p> Signup and view all the answers

Wie viele k-elementige Teilmengen existieren in der Menge {1,..., n}?

<p>n! / (k! * (n-k)!) (D)</p> Signup and view all the answers

Was ist eine korrekte Aussage über den binomischen Lehrsatz?

<p>(a + b)^n = ∑ (n über k) a^k b^(n-k) (A)</p> Signup and view all the answers

Was passiert im Induktionsschritt für k-elementige Teilmengen von {1,..., n, n + 1}?

<p>Es gibt genau k + (k - 1) Teilmengen. (A)</p> Signup and view all the answers

Welche Formel beschreibt die Anzahl der Permutationen einer Menge S mit n Elementen?

<p>n! (C)</p> Signup and view all the answers

Was ist der Wert von k, wenn k = 0 oder k = n im Kontext der Binomialkoeffizienten?

<p>k = 0 (A), k = n (D)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Anzahl der Teilmengen einer n-elementigen Menge?

<p>2^n (A)</p> Signup and view all the answers

Welches der folgenden Szenarien führt zur Unterscheidung zwischen k-elementigen Teilmengen mit und ohne n + 1?

<p>Es wird eine Auswahl getroffen, um k Element zu wählen. (C)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Formel n! / (k!(n-k)!)?

<p>Die Anzahl der k-elementigen Kombinationen. (D)</p> Signup and view all the answers

Wie groß ist die maximale Anzahl inspizierter Zellen in der Binärsuche für ein Array mit n = 2k − 1 Zellen?

<p>k (D)</p> Signup and view all the answers

Was ist die rekursive Definition von T(n) für ein Array mit n Zellen, wenn n = 2k − 1?

<p>T(n) := T(n−1) + 1 (A)</p> Signup and view all the answers

Wie wird die Laufzeit der Binärsuche im Vergleich zur linearen Suche beschrieben?

<p>Die Laufzeit der Binärsuche ist exponentiell schneller. (D)</p> Signup and view all the answers

Was ist das Ergebnis der Induktionsannahme für T(n), wenn n = 2k − 1?

<p>T(2k − 1) = k (A)</p> Signup and view all the answers

Wie lauten die Bedingungen für den Logarithmus loga(x)?

<p>a &gt; 1 und x &gt; 0 (B)</p> Signup and view all the answers

Was wird durch die Regel loga(x · y) = loga x + loga y ausgedrückt?

<p>Die Summe von zwei Logarithmen. (D)</p> Signup and view all the answers

Was geschieht, wenn man von Basis a in Basis b bei Logarithmen umrechnet?

<p>Es wird eine Umrechnungsformel verwendet. (A)</p> Signup and view all the answers

Was ist der Einfluss der Eingabelänge auf ein Programm?

<p>Die Laufzeit kann unterschiedlich je nach Problemstellung zunehmen. (B)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt Pseudocode am besten?

<p>Er ist eine Mischung aus Umgangssprache und mathematischer Notation. (B)</p> Signup and view all the answers

Was wird bei der Laufzeitanalyse meist vernachlässigt?

<p>Konstante Faktoren. (C)</p> Signup and view all the answers

Was ist das Ziel des Teilfolgenproblems?

<p>Die maximale Teilfolgensumme zu berechnen. (A)</p> Signup and view all the answers

Welche Operationen führen die Algorithmen für das Teilfolgenproblem aus?

<p>Additionen und/oder Vergleichsoperationen. (B)</p> Signup and view all the answers

Wie wird die worst-case Rechenzeit eines Algorithmus A geschätzt?

<p>Die Summe von Vergleichen und Additionen. (B)</p> Signup and view all the answers

Was ist ein Beispiel für eine Anwendung des Teilfolgenproblems?

<p>Berechnung des größten Gewinns für ein Zeitintervall. (A)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Funktion $f(i, j)$ im Teilfolgenproblem?

<p>Die Summe von Elementen zwischen $i$ und $j$. (C)</p> Signup and view all the answers

Was bedeutet die Notation $loga n = Θ(logb n)$?

<p>Die Logarithmen sind asymptotisch gleich. (A)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Laufzeit von A4?

<p>Laufzeit ist linear. (B)</p> Signup and view all the answers

Welches der folgenden Elemente sollte bei der Laufzeitanalyse nicht gezählt werden?

<p>Iterative Anweisungen (C)</p> Signup and view all the answers

Welche Aussage zur Zählung von Zuweisungen ist korrekt?

<p>Zuweisungen zu einfachen Variablen sind einfach zu zählen. (C)</p> Signup and view all the answers

Was wird bei der worst-case Laufzeitanalyse betrachtet?

<p>Die maximale Laufzeit für die schlechteste Eingabe. (A)</p> Signup and view all the answers

Wodurch kann der Aufwand innerhalb einer Schleife variieren?

<p>Durch die Kondition der Auswahl-Anweisungen. (B)</p> Signup and view all the answers

Im Beispiel der Matrizenmultiplikation wie viele Schleifen werden verwendet?

<p>Drei Schleifen. (C)</p> Signup and view all the answers

In der Analyse von C++ Programmen, was ist grundlegend für die Laufzeit

<p>Die Anzahl ausgeführter elementarer Anweisungen. (C)</p> Signup and view all the answers

Wie wird die Laufzeit von Auswahl-Anweisungen behandelt?

<p>Sie muss nicht gezählt werden. (B)</p> Signup and view all the answers

Was gilt für loga (n) in Bezug auf logb (n)?

<p>loga (n) = Θ(logb (n)). (A)</p> Signup and view all the answers

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit die Regel von de l’Hospital angewendet werden kann?

<p>lim f(n) = lim g(n) ∈ {0, ∞}. (D)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Beziehung lim (f (n) ◦ g(n)) für die Operation ◦?

<p>Die Grenzwerte müssen existieren und endlich sein. (D)</p> Signup and view all the answers

Wie lautet die Beziehung für lim ln(n) wenn n gegen ∞ geht?

<p>lim ln(n) = ∞. (C)</p> Signup and view all the answers

Was bedeutet loga (n) = o(n) für jedes a > 1?

<p>Der Logarithmus wächst langsamer als jede Potenz von n. (B)</p> Signup and view all the answers

Wie wird das Limit von n³ + n·(n+1)/2 beschrieben?

<p>lim n³ + n·(n+1)/2 = Θ(n³). (B)</p> Signup and view all the answers

Welche Aussage über log2 (n) ist korrekt?

<p>log2 (n) wächst langsamer als n selbst. (D)</p> Signup and view all the answers

Welche Funktion hat im Limiting-Verhalten die höchste Ordnung: n³ oder n·(n+1)/2?

<p>n³ hat die höhere Ordnung. (A)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, k Elemente aus einer Menge von n Elementen auszuwählen.

Binomialer Lehrsatz

(a + b)n = Σ(k=0 bis n) (n über k) * ak * bn-k

k-elementige Teilmengen

Eine Teilmenge aus einer Menge, die genau k Elemente enthält.

Permutationen

Alle möglichen Anordnungen einer Menge von Elementen.

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Induktion

Eine mathematische Beweismethode, um Aussagen für alle natürlichen Zahlen zu zeigen.

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Menge der Größe k

Alle Mengen mit exakt k Elementen aus einer gegebenen Gesamtmenge.

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Teilmengen einer Menge

Eine Sammlung von Elementen, die aus einer gegebenen ursprünglichen Menge ausgewählt werden können.

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Direkter Beweis

Ein Beweis, der eine mathematische Aussage direkt aus den Definitionen und Axiomen herleitet.

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Binärsuche

Eine Methode, um eine bestimmte Zahl in einem sortierten Array zu finden.

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Sortierte Arrays

Arrays, in denen die Elemente in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind.

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Lineare Suche

Methode zur Suche in einem unsortierten Array, indem jedes Element nacheinander geprüft wird.

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Binärsuche Algorithmus

Teilt das Array rekursiv in zwei Hälften und prüft das mittlere Element.

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Korrektheit Binärsuche

Die Binärsuche findet die gesuchte Zahl korrekt im sortierten Array oder gibt zurück, dass sie nicht vorhanden ist.

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Induktionsanfang

Der erste Schritt bei einem Beweis durch vollständige Induktion, bei dem der Basisfall überprüft wird.

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Induktionsschritt

Der Schritt, in dem angenommen wird, dass die Aussage für einen Wert d gilt, um zu zeigen, dass sie auch für d+1 gilt.

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Zeitkomplexität

Gibt an, wie sich die Ausführungszeit eines Algorithmus mit zunehmender Eingabegröße verändert.

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Binärsuche: Maximale Inspektionen

In einem Sortierten Array mit n = 2^k - 1 Elementen, ermittelt die Binärsuche maximal k Elemente.

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Rekursive Definition von T(n)

T(n) repräsentiert die maximale Anzahl inspizierter Zellen in der Binärsuche für ein Array mit n Zellen. T(0) = 0 (Rekursionsanfang) T(n) = T(n/2) + 1 (Rekursionsschritt)

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Induktionsbeweis für T(2k-1)

Beweis durch vollständige Induktion, dass die maximale Anzahl der inspizierten Zellen in der Binärsuche für ein Array mit n = 2^k - 1 Elementen genau k beträgt.

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Binärsuche vs. Lineare Suche

Die Binärsuche benötigt maximal k Schritte, während die lineare Suche bis zu 2^k - 1 Schritte benötigt.

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Logarithmus: Basiswechsel

Die Formel loga(x) = (loga(b)) * (logb(x)) ermöglicht es, den Logarithmus von x zur Basis a in den Logarithmus von x zur Basis b zu übersetzen.

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Logarithmus: Vereinfachung

Die Gleichungen (a) a^(loga(x)) = x und (d) loga(x) = (loga(b)) * (logb(x)) können verwendet werden, um Logarithmen zu vereinfachen.

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Eingabelänge

Die Eingabelänge beschreibt die Größe des Problems, das ein Programm lösen soll.

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Skalierbarkeit

Skalierbarkeit beschreibt, wie gut sich ein Programm an steigende Eingabelängen anpasst, d.h. wie stark die Laufzeit mit zunehmender Eingabelänge ansteigt.

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Pseudocode

Eine Mischung aus Alltagssprache, Programmiersprache und mathematischer Notation, die Algorithmen einfacher verständlich macht, als Code in einer konkreten Programmiersprache.

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Worst-Case Laufzeit

Die längste Ausführungszeit eines Algorithmus für eine bestimmte Eingabegröße.

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Skalierung der Laufzeit

Wie sich die Ausführungszeit eines Algorithmus mit zunehmender Eingabegröße verändert.

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Teilfolgenproblem

Finde die maximale Summe einer zusammenhängenden Teilfolge in einer Zahlenfolge.

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AdditionenA(n)

Die maximale Anzahl an Additionen eines Algorithmus A für eine Eingabe der Länge n.

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VergleicheA(n)

Die maximale Anzahl an Vergleichen eines Algorithmus A für eine Eingabe der Länge n.

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ZeitA(n)

Die worst-case Rechenzeit eines Algorithmus A, die aus der Anzahl der Additionen und Vergleiche für eine Eingabe der Länge n besteht.

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Θ(logb n)

Die Laufzeit wächst logarithmisch mit der Eingabegröße.

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Asymptotische Laufzeit

Die Beschreibung des Wachstumsverhaltens eines Algorithmus mit zunehmender Eingabegröße.

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Elementare Anweisungen

Einfache Anweisungen in einem Programm, die in konstanter Zeit ausgeführt werden, z. B. Zuweisungen, Auswahl-Anweisungen.

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Schleifendurchlauf

Eine einzelne Ausführung des Codes innerhalb einer Schleife.

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Array-Variable

Eine Variable, die eine Sammlung von Daten elementweise speichert.

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Bedingung in Auswahl-Anweisung

Der Ausdruck, der in einer Auswahl-Anweisung (if-else oder switch) ausgewertet wird, um zu entscheiden, welcher Code-Block ausgeführt wird.

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Gesamtaufwand

Die Gesamtzahl der ausgeführten elementaren Anweisungen in einem Programm.

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Maximale Anzahl ausführbarer Anweisungen

Die maximale Anzahl von Anweisungen, die innerhalb einer Schleife ausgeführt werden können, unabhängig von der Eingabegröße.

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Was bedeutet Θ(logb n)?

Die Funktion loga(n) hat das gleiche Wachstum wie logb(n), wobei a, b > 1 sind. Das bedeutet, dass beide Funktionen in etwa gleich schnell wachsen, wenn n gegen unendlich geht.

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Was ist der Unterschied zwischen o(n) und Θ(n)?

o(n) bedeutet ‚kleiner‘ als n, während Θ(n) ‚gleich‘ n ist. Mit anderen Worten: o(n) wächst langsamer als n (für große n), während Θ(n) mit der gleichen Rate wächst wie n.

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Wie verhält sich loga(n) zu n für große n?

loga(n) wächst langsamer als jede noch so kleine Potenz von n (nb, wo b > 0 ist). Zum Beispiel wächst ln(n) langsamer als n, n1/2, n1/10, usw.

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Was ist die Regel von de l'Hospital?

Die Regel von de l'Hospital hilft, die Grenzwerte von Brüchen zu berechnen, wenn sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0 oder ∞ gehen. Es besagt, dass der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

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Wie hilft de l'Hospital beim Bestimmen des Wachstums von loga(n)?

Mit de l'Hospital kann man zeigen, dass loga(n) = o(n) ist. Dies liegt daran, dass der Grenzwert von ln(n)/n, wenn n gegen unendlich geht, 0 ist.

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Welche Operationen lassen sich mit dem Grenzwert von Funktionen kombinieren?

Die Operationen + (Addition), - (Subtraktion) und * (Multiplikation) von Funktionen können im Zusammenhang mit Grenzwerten verwendet werden.

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Wie lässt sich der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen berechnen?

Der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte, falls diese existieren und der Nenner-Grenzwert nicht 0 ist.

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Welche Anwendungen hat die Regel von de l'Hospital?

Die Regel von de l'Hospital kann verwendet werden, um Grenzwerte unbestimmter Ausdrücke zu berechnen (z.B. 0/0, ∞/∞). Sie ist ein wichtiges Werkzeug in der Analysis und findet Anwendung im Bereich der Mathematik und Informatik.

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Study Notes

Algorithmen und Datenstrukturen 1 - Sommersemester 2024

  • Vorlesungsthema: Algorithmen und Datenstrukturen 1
  • Sommersemester: 2024
  • Dozent: Ulrich Meyer
  • Veranstaltungsort: ALGO1 - Grundlagen

Dozenten und Koordinatoren

  • Dozent: Ulrich Meyer (Vorlesungen), [email protected], R 304 – RMS 11-15
  • Übungskoordination: Alex Schickedanz, Daniel Allendorf, [email protected], R312, R311 – RMS 11-15
  • Tutoren: Amelia Linek, Anastasia Navodkina, Arne Gideon, Arne Riester, Boris Senatov, Elias Meinecke, Gerome Stiller, Hoai Vy Nguyen, Jannis Achtnich, Joshua Kannenberg, Lukas Geis, Paul Dallwig, Sebastian Beckmann, Viktor Rieß, Zeno Weil

Webseite und Kontakt

  • Webseite für Kontakt und Informationen: ae.cs.uni-frankfurt.de/algo124
  • Umfragen: https://aeffm.de/vote (im Browserfenster halten)

Studierende

  • Studiengang:
    • (A) Informatik Bachelor
    • (B) Bioinformatik
    • (C) Wirtschaftsinformatik
    • (D) Informatik als Nebenfach
    • (E) Informatik Lehramt
    • (F) Sonstiges
  • Fachsemester: A≥ 1, B≥ 2, ... (i-tes Fachsemester)
  • Besuche der Vorlesung (ALGO-1 bzw. Datenstrukturen): A≥ 1, B≥ 2, ... (i-ter Besuch)

Worum geht's?

  • Abstrakte Datentypen und Datenstrukturen
  • Häufig auftretende Operationen (Einfügen und Entfernen von Schlüsseln)
  • Datenstrukturen: Stack, Schlange (Queue), Heap
  • Effizienz: Laufzeit und Speicherplatzverbrauch minimieren
  • Eingabelängen: Wie skalieren die Ressourcen?
  • Asymptotische Analyse von Laufzeit und Speicherplatzverbrauch

Algorithmenentwurf und Datenstrukturen

  • Graphenalgorithmen (Zusammenhangskomponenten, minimaler Spannbaum, kürzester Weg)
  • Generelle Entwurfsmethoden (Greedy, Divide & Conquer, Dynamische Programmierung, Paarweises Alignment)
  • Diskrete Modellierung (Vollständige Induktion, Beweismethoden)
  • Grundlagen der Programmierung 1 (elementare Datenstrukturen)
  • Lineare Algebra und Analysis (Logarithmen, Grenzwerte, asymptotische Notation)

Literatur

  • Skripte und Folien zur Vorlesung auf der Webseite der Veranstaltung
  • T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein: „Introduction to Algorithms", 2002
  • M. T. Goodrich, R. Tamassia, D. M. Mount: „Data Structures and Algorithms in C++", 2003
  • M. Dietzfelbinger, K. Mehlhorn, P. Sanders: "Algorithmen und Datenstrukturen, die Grundwerkzeuge", 2014
  • R. Sedgewick: „Algorithmen in C++", 2002
  • J. Kleinberg, E. Tardos: "Algorithm Design", 2013

Übungsbetrieb

  • Anmeldung zu Übungen im AUGE-System bis Donnerstag, 18.04.
  • Übungsblätter i.d.R. jeden Montag auf der Webseite
  • Lösungen (als PDF) nach einer Woche online über SAP-System abzugeben
  • Individuelle Abgabelinks per Email
  • Übungsgruppen starten nächste Woche Donnerstag, 25.04.

Klausurtermine

  • Hauptklausur: Montag, 29. Juli 2024, ab 9:00 Uhr
  • Zweitklausur: Mittwoch, 25. September 2024, ab 9:00 Uhr
  • Übungspunkte zählen mit 10% zum Klausurergebnis
  • Bestehen der Klausur (mind. 50% Punkte) und Gesamtpunktzahl sind entscheidend für die Note

Weitere Themen

  • Vollständige Induktion
  • Binärsuche
  • Mathematische Grundlagen
  • Binomialkoeffizienten
  • Logarithmus
  • Laufzeitmessung
  • Asymptotische Notation (O, Ω, Θ)
  • Teilfolgenproblem (Algorithmen A1, A2, A3, A4)
  • Rekursionsgleichungen, Mastertheorem

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Description

Dieses Quiz befasst sich mit Algorithmen und Datenstrukturen im Sommersemester 2024. Es behandelt die Grundlagen und Konzepte, die im Rahmen der Vorlesung von Ulrich Meyer eingeführt werden. Ideal für Studierende der Informatik und verwandter Studiengänge.

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