스켐프 이해 방식과 폴리아 문제 해결

스켐프의 이해 방식

• 관계적 이해는 무엇을 해야 하는지, 왜 해야 하는지를 아는 상태를 의미하며, 일반적인 수학적 관계에서 특수한 규칙이나 절차를 연역할 수 있음 (무엇을 왜 연역하는지 앎)
  • 장점 : 새로운 과제 적용 용이, 기억 용이, 효과적인 목적 달성, 질적으로 유기적인 관계 스키마 형성
• 도구적 이해는 이유를 모른 채 암기한 규칙을 문제 해결에 적용하는 것을 의미
  • 장점 : 학습 목표의 빠른 달성, 즉각적이고 가시적인 학습 결과 보상, 적은 지식 필요
  • 예시 : 작도 절차만 보고 쉽게 작도하는 것은 도구적 이해, 작도 과정을 직접 거쳐 흐름을 이해하는 것은 관계적 이해

폴리아의 문제 해결 과정

문제 이해 단계

• 구하는 것과 주어진 것을 이해하고 용어를 파악하여 문제를 분석하는 단계
  • 미지수, 주어진 것, 조건 등을 파악하고 그림을 그리거나 기호를 붙여 조건을 분해함

해결 계획 단계

• 구하는 것과 주어진 것 사이의 관계 파악
  • 유사 문제 경험 활용, 더 쉬운 관련 문제 고려, 문제 일반화/특수화, 부분적 해결 시도, 조건의 완전한 활용 여부 확인
  • 보조 문제 고려 : 주어진 것과 구하려는 것 사이의 관련성을 찾기 어려울 때 활용, 보조 문제 해결 방법이 원래 문제 해결의 실마리 제공

계획 실행 단계

• 이해 및 계획 단계를 실행하는 단계
  • 각 풀이 단계의 신중한 실행, 각 단계의 타당성 및 설명 가능성 확인

반성 단계

• 문제 해결 과정 검토, 다른 해결 방법 모색, 더 나은 방법 탐색
  • 결과 점검, 풀이 과정 점검, 다른 방법으로 결과 도출 시도, 결과나 방법의 다른 문제 활용 가능성 모색

수학적 발견술

• 분석법 (파푸스)
  • 결론이 참임을 가정하고, 결론이 성립하기 위한 필요조건을 역순으로 추적하여 가정과 연결
  • 풀이 계획 발견에 유용
• 명제
  • 증명하려는 명제가 이미 성립한다고 가정, 명제를 선행 명제로부터 유도 가능성을 탐색하여 충분조건을 찾음
• 방정식
  • 문제 상황에서 구하려는 것과 주어진 것의 관계를 식으로 나타낸 후, 이 식이 풀렸다고 가정하고 등식의 성질 이용
  • 방정식이 참이 되기 위한 필요조건 탐색
• 작도
  • 주어진 조건을 만족하는 도형을 작도했다고 가정하고, 그 작도에 필요한 도형을 찾아 작도

종합법

• 공리와 공준에 근거하여 가정에서 결론을 도출하는 방법, 계획 실행 과정
• 방정식: 필요조건으로 발견한 해가 충분조건인지 확인하여 필요충분조건 해를 찾음
• 분석법 활용의 수학교육적 의의: 증명 방법 발견 및 증명 과정 파악

귀납 및 연역 추론

• 귀납 추론: 관찰이나 실험을 통해 추론을 정당화하는 방식
• 연역 추론: 형식 논리 규칙에 따라 추론하여 수학적 사실을 정당화하는 방식
• 폴리아는 귀납 추론이 수학적 개연성을 높이고, 이해에 도움을 주므로 경험적 정당화 후 연역 추론을 통해 법칙을 정당화하는 수업이 효과적이라고 주장

APOS 이론

• 행동: 개념 습득을 위한 대상에 대한 개별적 변환 적용
• 과정: 행동의 반복과 반성을 통해 내면화된 정신적 활동, 각 단계를 의식하지 않고 변환 가능
• 대상: 과정을 전체적으로 인식하여 대상화된 개념
• 스키마: 행동, 과정, 대상의 조직화 및 연결을 통해 형성된 일관성 있는 구조, 스키마 상태는 특정 개념 형성 의미

브라운 & 월터 'What-If-Not' 전략

• 출발점 선택
• 속성 열거 : 문제 구성 요소나 속성 나열
• 속성 부정 : 열거된 속성이 그렇지 않다면 어떨지 질문
• 문제 제기 : 앞선 의문을 바탕으로 새로운 문제 구성
• 문제 분석 : 새로운 문제 분석 및 해결

프로이덴탈의 관점

교수학적 현상학

• 수학적 개념과 구조의 본질을 조직의 수단으로 작용하는 현상과 관련지어 기술하고 교수학적으로 적용

반교수학적 진도

• 수학의 연역적 체계만 중시하고 초등화하여 지도하는 것은 지양
• 수학 학습은 구체적인 학생의 현실에서 출발해야 함

사고실험

• 수업 장면 관련 사고실험: 교사나 교과서 저자가 가상 학생의 반응을 예상하며 교수 및 저술
• 수업 내용 관련 사고실험: 수학적 개념 발명 또는 방법 개선 시 수학자의 사고 과정 추측

사고실험의 의의

• 수업 장면 관련: 학생에게 적절한 질문 제공 및 예상치 못한 궁금증 해소
• 수업 내용 관련: 수학자의 접근 방법처럼 개념 설명 가능

국소적 조직화

• 학생이 아는 것에서 출발하여 부분적으로 조직, 학생 스스로 명제 생성 통해 증명의 필요성 부각
• 학생들은 현실로부터 수학화 활동을 통해 주관적 의미를 갖는 수학 내용을 재발명해야 하며
• 이때 수학사를 교육적으로 활용하면 사고실험을 통해 학생들의 재발명을 도울 수 있음

기하 영역에서의 수학화 단계

• 주변 형상을 도형으로 조직
• 도형의 성질 발견
• 국소적 조직화
  • 정의하기 : 여러 성질의 관련성을 조직화하기 위해 기본 성질 설정
  • 증명하기 : 성질들을 증명을 통해 국소적으로 조직화하여 학생 스스로 명제 생성 경험
• 전체적 조직화: 공리화
• 존재론적 결합 끊기: 수학을 완전한 형식 체계로 간주

반 힐레의 기하 학습 수준

기하 학습 5단계

• 시각적 인식 수준: 전체적인 모양새로 도형을 인식하며, 성질에는 주목하지 않음
• 기술적/분석적 인식 수준: 도형의 성질에 주목하여 분석 가능
• 관계적/추상적 인식 수준: 도형의 성질이나 도형 자체가 논리적으로 정렬되지만, 연역 추론에 대한 완전한 이해는 부족
• 형식적 연역 수준: 연역의 의미를 전반적으로 이해
• 엄밀한 수학적 수준: 구체적인 해석을 떠나 형식적인 추론이 가능한 수준

교수 학습 단계

• 탐색 단계: 새로운 학습 주제 소개
• 안내된 탐구 단계: 교사 제공 자료를 통해 학습 주제 탐구 및 구조 점진적 파악
• 명료화 단계: 이전 경험과 교사 힌트를 토대로 자신의 견해 표현 및 체계 형성
• 자유로운 탐구 단계: 다양한 해결 방법 탐색 및 새로운 관련성 발견
• 통합 단계: 탐구 활동 개관을 통해 사고 수준 향상

수와 연산

• 경험론: 사물 또는 그림 관찰을 통한 개념 습득
• 관념론: 기호 규칙 학습만으로 개념 습득 가능
• 음수: 방정식의 일반적인 해법 완성을 위해 형식적으로 도입
• hantel : 형식적 구조로 음수 개념 이해 및 형식 불역의 원리 사용
• 인지 장애 : 작은 수 > 큰 수? 작은 수 제곱 > 큰 수 제곱? 등

음수 지도 모델

• 셈돌 모델 : 검은돌(+1), 흰돌(-1)을 사용하여 덧셈과 뺄셈 설명
• 우체국 모델 : 어음(+), 고지서(-)를 사용하여 음수 필요성, 덧셈, 뺄셈, 곱셈 설명 (나눗셈은 한계)

수직선 모델

• 정수 간 대소 관계 명확, 덧셈, 뺄셈 설명 가능, 음의 부호가 왼쪽/반대 방향, 뺄셈의 다중적 의미 가짐
• 형식불역의 원리: 기존 체계의 성질 유지를 위해 새로운 대수/기하 구조 확장 (x+n=0의 해로 음수 -n 정의)
• 귀납적 외삽법 (프로이덴탈): 자연수의 계산 법칙을 음수에도 적용 (사칙연산 지도 가능)

2022 개정 교육과정

핵심 역량

• 문제 해결 : 조건 분석 및 해결 계획 수립, 실행, 문제 해결 과정을 반성, 새로운 문제 생성
• 추론 : 탐구를 통해 개념, 원리 이해, 추측 제시 및 정당화, 비판적 사고
• 의사소통 : 수학적 표현 정확히 사용, 사고와 전략을 수학적으로 표현, 타인 배려 및 의견 존중
• 연결: 개념, 원리, 법칙 등을 유기적으로 연계하여 새로운 지식 생성, 실생활, 사회 및 자연 현상, 타 교과 내용 연결
• 정보 처리 : 자료 탐색, 수집 및 처리, 합리적인 의사 결정, 교구나 공학 도구 활용

중학교 교육과정

• 수와 연산 : 소인수분해, 정수와 유리수, 제곱근과 실수 등
• 변화와 관계 : 문자와 식, 방정식, 좌표평면과 그래프, 함수 등
• 도형과 측정 : 기본 도형, 작도와 합동, 평면도형 및 입체도형 성질, 피타고라스 정리 등
• 자료와 가능성 : 대푯값, 도수분포표, 경우의 수, 확률, 산포도 등

고등학교 1학년 교육과정

• 공통수학 1: 다항식, 방정식과 부등식, 경우의 수, 행렬
• 공통수학 2: 도형의 방정식, 집합과 명제, 함수와 그래프

고등학교 대수

• 지수함수와 로그함수, 삼각함수, 수열

고등학교 미적분 1

• 함수의 극한과 연속, 미분, 적분

고등학교 확률과 통계

• 경우의 수, 확률, 통계

고등학교 미적분 2

• 수열의 극한, 미분법, 적분법

고등학교 기하

• 이차곡선, 공간도형과 공간좌표, 벡터

성취 기준

수와 연산

• 소인수분해의 뜻을 알고, 자연수를 소인수분해
• 소인수분해를 이용하여 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있다
• 음수의 필요성을 인식하고 개념 이해
• 정수와 유리수의 대소 관계 판단
• 사칙계산 원리 이해 및 계산 가능
• 순환소수 뜻을 알고, 유리수와 순환소수의 관계 설명
• 제곱근 뜻과 성질, 대소 관계 판단
• 무리수 개념 이해 및 유용성 인식
• 실수 대소 관계 판단 및 설명
• 근호를 포함한 식의 사칙계산

변화와 관계

• 문자를 사용한 식의 유용성 인식 및 식의 값 구하기
• 다양한 상황을 식으로 나타낼 수 있다
• 일차식의 덧셈과 뺄셈 원리 이해 및 계산
• 방정식과 해의 뜻 인지, 등식 성질 설명
• 좌표와 순서쌍 이해 및 편리함 인식
• 다양한 상황에서 그래프 해석 및 표현
• 정비례, 반비례 관계 이해 및 표, 식, 그래프로 나타내기
• 지수법칙 이해 및 식 간단히 하기
• 다항식의 덧셈, 뺄셈 원리 이해 및 계산
• 곱셈/나눗셈 원리 이해 및 계산: (단항식)×(다항식), (다항식)÷(단항식)
• 부등식 및 해의 뜻 인지 및 성질 설명
• 일차부등식 풀이 및 문제 해결
• 연립일차방정식 풀이 및 문제 해결 (미지수 2개)
• 함수의 개념 이해 및 함숫값 구하기
• 일차함수 개념 이해 및 그래프 그리기
• 일차함수 그래프 성질 이해 및 문제 해결
• 일차함수와 미지수 2개인 일차방정식의 관계 설명
• 두 일차함수 그래프와 연립일차방정식 관계 설명
• 다항식 곱셈 및 인수분해
• 이차방정식 풀이 및 문제 해결
• 이차함수 개념 이해 및 그래프 그리기

도형과 측정

• 점, 선, 면, 각 이해 및 위치 관계 설명
• 평행선에서 동위각, 엇각의 성질 이해
• 삼각형 작도 및 과정 설명
• 삼각형 합동 조건 이해 및 판별
• 다각형 성질 이해 및 설명
• 부채꼴 중심각, 호 관계 이해 및 길이, 넓이 구하기
• 다면체, 회전체 성질 탐구 및 설명
• 입체도형 겉넓이와 부피 구하기
• 이등변삼각형 성질 이해 및 정당화
• 삼각형 외심, 내심 성질 이해 및 정당화
• 사각형 성질 이해 및 정당화
• 도형 닮음 뜻과 성질 이해 및 닮음비 구하기
• 삼각형 닮음 조건 이해 및 판별
• 평행선 사이 선분 길이 비 구하기
• 피타고라스 정리 이해 및 정당화
• 삼각비 뜻을 알고 값 구하기, 활용
• 원의 현, 접선 성질 이해 및 정당화
• 원주각 성질 이해 및 정당화

자료와 가능성

• 중앙값, 최빈값 뜻을 알고 적절한 대푯값 선택
• 자료를 그림, 표, 그래프로 나타내고 해석
• 상대도수 구하기 및 해석하기
• 통계적 탐구 문제 설정, 분석 및 해석
• 경우의 수 구하기
• 확률 개념 이해 및 확률 구하기
• 분산, 표준편차 구하기 및 자료 분포 설명
• 상자그림으로 나타내고 분포 비교
• 산점도로 나타내고 상관관계 말하기

2015 개정 교육과정 vs 2022 개정 교육과정