નેપેરિયન લઘુગણક ફંક્શન

નેપેરિયન લઘુગણક ફંક્શન (Néperian Logarithm Function)

• લઘુગણક નેપેરિયન ફંક્શન, જેને $ln$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે, તે $]0; +\infty[$ પર વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને તે ફંક્શન $x \longmapsto \frac{1}{x}$નું આદિમ ફંક્શન છે, જે 1 પર શૂન્ય થાય છે.

પરિણામો

• $ln$ ફંક્શન $]0; +\infty[$ પર વ્યાખ્યાયિત અને વિકલનીય છે અને બધા $x > 0$ માટે, $ln'(x) = \frac{1}{x} > 0$.
• $ln$ ફંક્શન $]0; +\infty[$ પર સખત રીતે વધે છે.
• $ln$ ફંક્શન ઘાતાંકીય ફંક્શનનું વ્યસ્ત દ્વિરૂપણ છે, એટલે કે:
  • $ln(x) = y \Leftrightarrow e^y = x$
  • બધા $x > 0$ માટે $e^{ln(x)} = x$
  • બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $ln(e^x) = x$.
• $ln(1) = 0$ અને $ln(e) = 1$.

બીજગણિતના ગુણધર્મો

• બધા સકારાત્મક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે અને બધા પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $n$ માટે, આપણી પાસે છે:
  • $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$
  • $ln(\frac{1}{a}) = -ln(a)$
  • $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$
  • $ln(a^n) = n \cdot ln(a)$
  • $ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2}ln(a)$

મર્યાદાઓ

• $\lim\limits_{x \to +\infty} ln(x) = +\infty$
• $\lim\limits_{x \to 0} ln(x) = -\infty$
• $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0$
• $\lim\limits_{x \to 0} x \cdot ln(x) = 0$
• $\lim\limits_{x \to 1} \frac{ln(x)}{x-1} = 1$
• $\lim\limits_{x \to 0} \frac{ln(1+x)}{x} = 1$

વ્યુત્પન્ન

• ધારો કે $u$ એ અંતરાલ I પર એક વિકલનીય અને સકારાત્મક ફંક્શન છે. પછી ફંક્શન $ln(u)$ એ I પર વિકલનીય છે અને આપણી પાસે છે: $(ln(u))' = \frac{u'}{u}$

ઉદાહરણ

• $f(x) = ln(2x^2 - x + 1)$
• $f'(x) = \frac{4x - 1}{2x^2 - x + 1}$

ચલનનું કોષ્ટક અને ગ્રાફિકલ રજૂઆત