Fonction Logarithme Nprien

• La fonction logarithme népérien, notée $ln$, est la fonction réciproque de la fonction exponentielle.

Prérequis

• La fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x = exp(x)$.
• La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Pour tout réel $x$, $e^x > 0$.
• La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $(e^x)' = e^x$.
• Pour tous réels $a$ et $b$, $e^{a+b} = e^a \times e^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ et $e^{na} = (e^a)^n$ pour tout entier relatif $n$.

Définition de la fonction logarithme népérien

• Elle est définie sur $]0; +\infty[$.
• Pour tout réel $x > 0$, $y = ln(x)$ équivaut à $x = e^y$.

Conséquences de la définition

• Pour tout réel $x > 0$, $e^{ln(x)} = x$.
• Pour tout réel $x$, $ln(e^x) = x$.

Propriétés algébriques

• Les propriétés s'appliquent pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$.
• $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$
• $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$
• $ln(\frac{1}{b}) = -ln(b)$
• Pour tout réel strictement positif $a$ et pour tout entier relatif $n$ : $ln(a^n) = n \times ln(a)$

Étude de la fonction logarithme népérien

• La fonction $ln$ est continue et dérivable sur $]0; +\infty[$.
• Pour tout réel $x > 0$, $ln'(x) = \frac{1}{x}$.
• La fonction $ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.

Limites importantes

• $\lim\limits_{x \to +\infty} ln(x) = +\infty$
• $\lim\limits_{x \to 0} ln(x) = -\infty$

Valeurs remarquables

• $ln(1) = 0$
• $ln(e) = 1$

Courbe représentative

• La courbe représentative de la fonction $ln$ est la symétrique de la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à la droite d'équation $y = x$.

Dérivée de fonctions composées

• Si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction $ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Exercices types

• Résolution d'équations et d'inéquations avec la fonction $ln$.
• Étude de fonctions avec la fonction $ln$ (dérivée, limites, variations, signe).
• Calcul d'intégrales avec la fonction $ln$.
• Problèmes concrets utilisant la fonction $ln$.