Propiedades de los logaritmos y exponenciales

### Propiedades de los Logaritmos

• loga representa el logaritmo con base a.
• loga M = M si y solo si a^M = M
• loga a = r si y solo si a^r = a
• loga(MN) = loga M + loga N
• loga(M/N) = loga M - loga N
• loga Mr = r loga M
• ax = ex Ina
• Si M = N, entonces loga M = loga N
• Si loga M = loga N, entonces M = N
• Si ln M = ln N, entonces M = N
• loga M = logb M / logb a
• loga M = ln M / ln a
• y = loga x es equivalente a x = ay
• a-n = 1/an
• √am = am/n
• loga(a) = 1
• La base a debe ser mayor que 0 y no igual a 1.
• x debe ser mayor que 0.
• Si no se especifica la base, se asume una base de 10 (por ejemplo, log 8 = log10 8).

Función Exponencial

• y = f(x) = a^x
• La base a es un número positivo, a ≠ 1 (a > 0).
• El exponente x puede tomar cualquier valor real.
• La función exponencial pasa por el punto (0, 1) y no cruza el eje x.
• Dominio: ℝ = (-\infty, \infty)
• Rango: (0, \infty)

Función Logarítmica

• La función logarítmica con base a se define como y = log_a x
• a > 0 y a ≠ 1
• y = log_a x si y solo si x = a^y
• Un logaritmo es un nombre para un cierto exponente.
• y = log_a x representa el exponente al que se debe elevar a para obtener x.
• Dominio: x > 0

Función Cúbica

• y = f(x) = ax^3 + 6x^2 + cx + d
• a, b, c y d son números reales, a ≠ 0
• Dominio: (-∞, +∞)
• Rango: (-∞, +∞)
• La función siempre está en aumento.
• La función es simétrica con respecto al origen.
• Puede tener hasta 3 puntos de intersección con el eje x.

Función Irracional/Función Raíz de Polinomio

• y = f(x) = \sqrt[n]{p(x)}
• p(x) es un polinomio
• n es un número natural, n ≥ 2

Caso 1: n es par

• Las raíces existen solo si p(x) ≥ 0.
• Si f(x) = \sqrt{g(x)}, y g(x) es lineal, el dominio se encuentra resolviendo la desigualdad lineal.
• Si f(x) = \sqrt{g(x)}, y g(x) es una función cuadrática, el dominio se encuentra resolviendo la desigualdad cuadrática.
• Dominio: g(x) ≥ 0
• Rango: [6, +∞)

Caso 2: n es impar

• El dominio y el rango son el conjunto de todos los números reales.

Ecuaciones Logarítmicas

• La mayoría de las ecuaciones logarítmicas requieren manipulación para resolverlas.
• Se deben utilizar las propiedades de los logaritmos.
• En primer lugar, se debe determinar el dominio de la función para evitar soluciones no válidas.

Ecuaciones Exponenciales

• La mayoría de las ecuaciones exponenciales no se pueden expresar con la misma base en ambos lados.
• A veces se pueden utilizar técnicas algebraicas para encontrar soluciones exactas.

Errores a Evitar

• Las ecuaciones logarítmicas se pueden resolver incluso si la base es menor que 1.
• En una ecuación con logaritmos, todos los términos deben tener la misma base para poder resolverla.
• El logaritmo de 1 siempre es 0, independientemente de la base.
• La fórmula de cambio de base para logaritmos también se puede expresar como: log_b x = \frac{\log x}{\log b}

Este cuestionario pone a prueba tus conocimientos sobre las propiedades de los logaritmos y las funciones exponenciales. Aprende y confirma tus comprensiones sobre reglas fundamentales, valores y características de estas funciones matemáticas esenciales. Ideal para estudiantes de matemáticas en la escuela secundaria o en cursos introductorios.