Unidad 8: Los Procesos Estocásticos: PDF

Fuente: Imagen creada por bing con tecnología DALL-E Unidad 8 Los Procesos Estocásticos: El Caso de los Modelos de Espera en Fila MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA TOMA DE DECISIONES...

Fuente: Imagen creada por bing con tecnología DALL-E Unidad 8 Los Procesos Estocásticos: El Caso de los Modelos de Espera en Fila MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA TOMA DE DECISIONES Autor: Iñiguez Patricia A., Arburua Mariana | Versión 1 | 2024  1. Nociones sobre la Naturaleza de los Procesos Estocásticos. En la unidad referida a Gestión de Stock, se revisaron modelos en los que la principal variable era aleatorias, particularmente los dos casos con demanda aleatoria. Obsérvese que en ellos se analizaba el comportamiento de la demanda (salida del Stock) de un cierto artículo a lo largo del tiempo. Esto implica, que no sólo existe una variable que puede asumir valores en forma aleatoria, sino que lo hace a medida que transcurre el tiempo. Un proceso estocástico es una sucesión de experimentos que puede ser sometido a un análisis estadístico. Pero es interesante destacar PROCESO ESTOCÁSTICO la palabra sucesión en un sentido como el que sigue: como serie de sucesos y que su comportamiento es de tipo aleatorio. Entonces, sin mayor rigor, aquellos fenómenos en los que intervienen magnitudes aleatorias, es decir, magnitudes a cuyos valores se les puede asociar una probabilidad de presentación y están vinculadas a algún parámetro que, por lo general, representa el transcurso del tiempo, se denominan procesos estocásticos. En general se puede decir que un proceso estocástico presenta INDEPENDENCIA DE una o más variables aleatorias que pueden ser independientes y que LOS VALORES DE LA están asociados a algún parámetro. La independencia (o no) de los VARIABLE valores que asume la variable a medida que el parámetro va midiendo ALEATORIA magnitudes, se refiere a que el valor que asumirá la variable en el próximo experimento no depende en absoluto (o todo lo contrario) del que haya asumido en el experimento anterior. Entonces se pueden observar muchos fenómenos que presentan las características enunciadas: por ejemplo, si se observan las lámparas que iluminan las aulas de la Universidad, sabiendo que ellas se queman después de algún tiempo, puede pensarse que su agotamiento es una sucesión de eventos que se produce a lo largo del tiempo y el hecho de que se queme en este instante la cuarta lámpara del aula 37, no condiciona la probabilidad de que se queme la novena del aula magna en los siguientes 10 minutos. ¿O no? Volviendo al caso de los stocks con demanda aleatoria, puede observarse en ellos que la variable que la representa asume valores a lo largo del tiempo. Puede que se establezca una dependencia ente los valores que asume la demanda en cada período, o puede que no. Pero lo 1 importante de notar es que se trata de un proceso aleatorio a través del tiempo. 2. Los Fenómenos de Espera en Fila. Los fenómenos de Espera en Fila son problemas cotidianos que implican un gran conjunto de adversidades en lo personal y en lo colectivo: a las personas, a las organizaciones, a los estados, etc. Estos fenómenos son estudiados por una parte de la Investigación Operativa denominada Teoría de las Colas de Espera. Las colas FENÓMENOS DE ESPERA EN COLA constituyen un mal necesario de los tiempos modernos: hacen cola las personas en los bancos para hacer sus trámites, en la consulta médica, en los restaurantes, en los supermercados, etc. Hacen cola los aviones esperando una pista para decolar o aterrizar, los camiones en los puertos para descargar la mercadería en las dársenas, los barcos para entrar a los puertos, las líneas telefónicas para otorgar el "pase" de una llamada, en el acceso a un sitio de Internet y un sin fin de circunstancias más que pueden observarse a simple vista o que están disimuladas en cuanto proceso se nos ocurra. Se admite, entonces, la existencia de las colas, pero puede pensarse en poner en acción algún medio para disminuir o atenuar los costos y las pérdidas de tiempo que traen aparejadas. En general, las colas o líneas de espera son fenómenos que presentan las siguientes características: 1. Llegadas de unidades a intervalos regulares o irregulares de tiempo, a un punto dado denominado Sistema (y dentro de él, al Centro de Servicio). 2. Uno o varios canales de Servicios o Estaciones, reunidos en el Centro de Servicio. Las entradas o llegadas de unidades al Centro de Servicio, pueden estar: LAS LLEGADAS AL SISTEMA a) Separadas por intervalos de tiempo iguales. b) Separadas por intervalos de tiempo desiguales pero determinados. c) Separadas por intervalos de tiempo desiguales y aleatorios, de probabilidad conocida. 2  Por otra parte, interesa saber el tiempo de duración del servicio o, simplemente, tiempo del servicio. Este puede ser: EL TIEMPO DE SERVICIO a) Constante. b) Variable pero determinado. c) Aleatorio. Entonces un sistema de espera puede esquematizarse de la siguiente manera: SISTEMA DE ESPERA 1) SECTOR FUENTE: Conjunto de unidades potenciales de requerir el servicio. Este sector representa a todas las unidades que pueden necesitar ser atendidas, aunque en el mismo puedan estar las que nunca lo harán. Es necesario destacar lo último, pues como lo indica la definición, son las unidades que potencialmente pueden hacerlo. 2) SISTEMA DEL FENOMENO O SISTEMA: Está formado por las siguientes secciones: el Centro de Espera y el Centro de Servicio. Fuente Sistema Centro de Espera Centro de Servicio S v j n m Figura 1 El Centro de Espera es donde (física o virtualmente) se encuentran las unidades que requieren el servicio y están esperando por él. Es decir 3 que es un conjunto compuesto por los elementos que van a recibir el servicio y deben esperarlo. El Centro de Servicio es donde (física o virtualmente) se encuentran las unidades prestadoras de servicio. Es entonces un conjunto de estaciones que prestan el servicio de un fenómeno determinado. Si se observa el esquema de la Figura 1 se advierte un conjunto de variables que surgen con facilidad y a los que se requiere identificar y VARIABLES DE UN definir: FENÓMENO DE ESPERA m: Número de unidades del fenómeno. Puede ser finito o infinito. Se lo considera infinito en fenómenos que abarcan un número muy grande de unidades y tienen gran permanencia en el tiempo. n: Número de unidades en el sistema. v: Número de unidades en el centro de espera (filas) j: Número de unidades en el centro de servicio. S: Número de estaciones de servicio. : Número de estaciones ociosas o desocupadas. Se tienen así las siguientes relaciones: n = v + j si n>S n=j si nS RELACIONES ENTRE LAS VARIABLES =S-j Pero hay un par elementos que tienen alta significación y que, a primera vista, no se observan como sustanciales en este fenómeno. Primero se debe pensar por qué se forma una cola, esto es, reflexionar LAS LLEGADAS y LOS TIEMPOS DE que llegan unidades al centro a un determinado ritmo y que allí son SERVICIO DEL atendidas a cierto otro ritmo o al mismo con que ingresan. SISTEMA Esto indica que pueden definirse dos tasas que son centrales en este asunto: : Tasa Media de Llegadas. Representa el número medio de 4 unidades que llegan al sistema por unidad de tiempo. Quiere decir que es una media de llegadas por cada unidad de tiempo que se elija para COMPORTAMIENTO DE LAS VARIABLES determinarla. ALEATORIAS : Tasa media de Servicio. Representa el número medio de unidades que reciben el servicio por unidad de tiempo, pero considerada sólo en los momentos en que las estaciones están prestando servicio. Véase ahora el siguiente análisis: Si  > , o sea que la cantidad de unidades que llegan, en promedio, supera la cantidad de unidades que RELACIÓN ENTRE son atendidas, se deduce fácilmente que la cola tiende a crecer LAS TASAS MEDIAS indefinidamente. DE LLEGADA Y SERVICIO Por otra parte, daría la sensación de que si   , no se produciría la cola pues la cantidad de unidades entrante es igual o inferior que la que es atendida por unidad de tiempo. La primera conclusión es correcta. Aún cuando de promedios se trata, es tautológico que, si al sistema ingresan más unidades de la que salen por unidad de tiempo, más temprano o más tarde, la cola comienza a extenderse al infinito. La segunda es falsa. ¿Por qué? Porque tanto  como  son valores promedios, razón por la cual ocurren lo que se denominan "llegadas en andanadas" o bien, "valores extremos de servicio". El fenómeno de espera analizable es el que se produce cuando la Tasa Media de Servicio supera o es igual a la Tasa Media de Llegadas. Cuando ocurre lo contrario, lo que se debe pensar es en aumentar la primera para dar vuelta la relación, pues de lo contrario la cola tiende a crecer indefinidamente, problema éste, que no posee solución. Ahora, si se observan los casos enunciados, es evidente que los que responden a nuestro interés son aquéllos que presentan llegadas y servicios aleatorios pues son verdaderos procesos estocásticos. Los SISTEMA DE ESPERA ESTOCÁSTICO demás constituyen procesos mecánicos. El siguiente paso será centralizar la problemática en llegadas y servicios aleatorios, por tanto, serán aleatorios n, v, j y , luego, resultará VARIABLES DE UN necesario determinar los valores medios o esperados de estas variables. FENÓMENO DE ESPERA Si se utiliza la expresión pn para denominar a la probabilidad de ESTOCÁSTICO que haya n unidades en el sistema, surge el siguiente cuadro que refleja 5 el recorrido de cada una de las variables aleatorias: n pn v J  0 p0 0 0 S 1 p1 0 1 S -1 2 p2 0 2 S -2 3 p3 0 3 S -3......................... S pS 0 S 0 S+1 pS+1 1 S 0 S+2 pS+2 2 S 0......................... k pk k-S S 0.................................................. m pm m-S S 0 El cuadro muestra las alternativas que son factibles de observar en un sistema de espera con S estaciones de servicio: En la primera fila se analiza el sistema cuando no hay unidades en él (n=0). Esta situación está asociada a su probabilidad de presentación, esto es p0. Y las restantes variables asumirán los siguientes valores: no hay unidades en espera (v=0), no hay unidades siendo atendidas (j=0) y, obviamente, todas las estaciones de servicios están desocupadas u ociosas. En la segunda fila se analiza el sistema cuando hay una unidad en él (n=1). Esta situación está asociada a su probabilidad de presentación, esto es p1. Ahora las restantes variables asumirán los siguientes valores: no hay unidades en espera (v=0) porque la única que está en el sistema está siendo atendida. (j = 1) y, ahora, no todas las estaciones de servicios están desocupadas, una está ocupada, luego =S-1. Situaciones que siguen idéntico razonamiento se observan hasta que n=S, es decir, cuando en el Sistema hay tantas unidades como estaciones de servicio. Ello está remarcado con "gris" en la tabla y marca un punto de cambio, pues a partir de allí, v dejará de asumir el valor nulo y comienzan a aparecer unidades en la fila (v>0). Nótese que hasta aquí, v es nulo en todos los casos, en tanto que j y  varían según n. A partir de este nivel, comienza a variar (crecer) v y se hacen constantes j y , quedando la primera a valor de las estaciones totales y la segunda, nula. En efecto, cuando n=S+1, está asociado a su probabilidad de 6 presentación, esto es pS+1. Las restantes variables son: una en espera (la que no puede ocupar estación de servicio, (v=1), S unidades siendo atendidas (j=S) y, obviamente, todas las estaciones de servicio están ocupadas =0. Así sucesivamente, situación que se generaliza haciendo n=k para observar la ley de formación de los valores de las variables y, finalmente, para cuando n=m, siendo m todas las unidades que potencialmente pueden concurrir al sistema. Con este cuadro, se pueden formular las esperanzas matemáticas de cada variable, pues se cuenta con sus recorridos y las probabilidades asociadas. Esto se realiza simplemente aplicando la definición de MEDIA DE LAS VARIABLES Esperanza Matemática, así se tiene: ALEATORIAS _ m n=  n pn n=0 _ m v=  (n − S ) p n n= S+1 _ S m j=  n pn + S  pn n=0 n= S+1 _ S =  (S − n) p n n=0 Se ha logrado así un conjunto de descriptores del fenómeno. Esto es, un conjunto de parámetros estadísticos (medias) que describen las principales cualidades del sistema y que proveen información sustancial acerca del mismo. Este conjunto no es exhaustivo, pero permite obtener, además, otras relaciones que explicitan aún más la conformación y funcionamiento de aquél. Se puede, además, demostrar que n = v + S −  , que se deja como una ejercitación para el estudiante. Hágalo solo, ¿eh? 3. El Modelo Clásico. El modelo más común que se presenta en la literatura sobre estos problemas es el que tiene las siguientes características: la variable aleatoria llegadas al sistema tiene una distribución de probabilidad de Poisson, en tanto que la variable tiempo de servicio se distribuye en forma exponencial. 7  El modelo (descriptivo) asume los supuestos indicados siguiendo la Ley de Nacimiento-Muerte de Poisson, por ser éste un proceso LLEGADAS Y estocástico que responde a supuestos que se ajustan fuertemente a SERVICIOS situaciones como las que se presentan en la formación de una cola con ALEATORIOS CON variables aleatorias. Ello no implica que todo fenómeno de este tipo DISTRIBUCIÓN tenga tales características, pero es importante reconocer la fortaleza de POISSON este supuesto para diseñar un modelo que haga las veces de modelo. En rigor, cuando la distribución de probabilidad de las llegadas sigue la Ley de Poisson, el tiempo que media entre dos llegadas consecutivas se distribuye en forma exponencial, como se verá en lo que sigue. Y respecto del servicio, ocurre otro tanto: las unidades son servidas con distribución Poisson y los tiempos que median entre dos servicios consecutivos (tiempo de servicio) se distribuyen en forma exponencial. Esta relación entre distribuciones es demostrable matemáticamente, aunque en este curso se obviará tal demostración. Para que se entienda cómo es el planteo “poissoniano”, se hace la siguiente presentación: A. El proceso estocástico de Poisson1. Sea una secuencia de acontecimientos E que resultan de la repetición de una misma experiencia y que se suceden en el tiempo. EL PROCESO DE POISSON Con la letra n se representa el número de sucesos que se producen en un intervalo de tiempo t. Obviamente n es una variable aleatoria que se denomina N(t). La probabilidad de que N(t) = n, se denomina con pn(t) y se hacen los siguientes supuestos: 1-pn(t) depende sólo del intervalo de tiempo y no depende del instante inicial (homogeneidad o estacionariedad en el tiempo). 2-La probabilidad de que el suceso E se produzca más de una vez en un intervalo de tiempo t que tiende a 0 (cero), se aproxima a 0 (cero) con mayor velocidad o intensidad que t. O, dicho de otro modo, 1 Se advierte al lector que, por haberse eliminado el concepto de infinitésimo del programa de Análisis Matemático I, todo lo que sigue será explicado mediante otro lenguaje que no es estrictamente correcto ni riguroso. No obstante, en clase se aclarará mediante ejemplos la conceptualización de las definiciones donde ha debido eliminarse el concepto de infinitésimo. 8 la velocidad para acercase a 0 (cero) es más que proporcional a t. 3-La probabilidad de que E acontezca una única vez en un intervalo de tiempo t que tiende a 0 (cero), es proporcional a t, se le denota con  t ( es, por ahora, la constante de proporcionalidad) y esto implica que tal probabilidad se aproxima a 0 (cero) con la misma velocidad o intensidad que t. Entonces la variable aleatoria N(t) es tal que: N(t) permanece constante cuando E no acontece. N(t) aumenta una unidad cuando E acontece. N(t) es inicialmente nula. Esta variable aleatoria es una función de t, que puede asumir los valores 0, 1, 2,..., n,..., en los siguientes instantes aleatorios t1, t2,..., tn,... y salta bruscamente de 0 a 1, de 1 a 2, etc., tal como se muestra en la Figura 2. N(t) 0 t1 t2 t3 t4 t Figura 2 O sea que un incremento de n acontecimientos en un intervalo  tiene las siguientes propiedades: Su probabilidad es pn() Es independiente de los valores de N(t) antes de t = 0. Pues bien, si se dan estas condiciones, la variable aleatoria N(t) delimita un proceso de Poisson y está enteramente definida por la probabilidad pn(t) que, según puede demostrarse, tiene la siguiente expresión analítica: 9  (t)n e −t pn (t) = n! Y como es sabido tiene como parámetros a: x = t; 2 = t y = t Como ya se insinuó, ocurre que cuando una variable aleatoria responde a un proceso de Poisson, aparece una segunda variable definida como el tiempo que media entre dos sucesos consecutivos. Este lapso de tiempo, obviamente es aleatorio, y siendo poissoniano el suceso, se distribuye en forma exponencial como sigue: Llamando  a la variable aleatoria que representa esos intervalos, se puede fácilmente demostrar que la función de densidad es: f () =  e −   Siendo sus parámetros:  = 1/  2 = 1/2 B. El Modelo Básico: Una cola, una estación de servicio y llegadas y servicios Poisson. Con esta introducción se pasa a ver el modelo propiamente dicho. Es un modelo descriptivo que proporciona la información sustancial del sistema. Esa información puede permitir ajustes o correcciones en algunos aspectos, pero la base del sistema no quedará alterada. Este modelo describe a un sistema de filas en que se dan las siguientes condiciones: CARACTERÍSTICAS DEL SISTEMA DE Existe una única fila de espera en el Sistema. ESPERA Existe una única estación de servicio en el Sistema. El número de unidades que potencialmente pueden requerir el servicio es innumerable. Las llegadas al Sistema siguen la Ley de Poisson. Los intervalos de tiempo que median entre dos llegadas consecutivas, se 10  distribuyen exponencial. Los finales de servicios siguen la Ley de Poisson. Los intervalos de tiempo que median entre dos finales consecutivos, se distribuyen exponencial. Las últimas dos características se fundan en el hecho que tanto las llegadas al sistema como los finales del servicio son eventos que resultan de la repetición de una misma experiencia y que se suceden en el tiempo al igual que el evento E del proceso estocástico de Poisson antes descripto. Por tanto, ambas variables presentan distribución Poisson y los intervalos que median entre dos eventos consecutivos, que también son aleatorios, presentan distribución exponencial. La tasa media de llegada es  y la tasa media de servicio es  y los supuestos que se sientan son los del proceso estocástico de Poisson, con las adaptaciones del caso: La probabilidad de que una unidad llegue al sistema en un intervalo t que tiende a 0 (cero), también tiende a 0 (cero) con velocidad proporcional a la de t y es igual a t, donde  es el número medio de llegadas por unidad de tiempo. La probabilidad de que un final de un servicio se produzca en un intervalo t que tiende a 0 (cero), también tiende a 0 (cero) con velocidad proporcional a la de t y es igual es t, en donde  es la tasa media de tiempo de servicio y su reciproca 1/ es el intervalo medio de tiempo de servicio. La probabilidad de varias llegadas al sistema o de varios fines de servicio, en el intervalo t que tiende a 0 (cero), también tiende a 0 (cero) pero con mayor velocidad o intensidad que t y, por lo tanto, es despreciable (se la considera nula).  <  o / < 1 condición necesaria para que el fenómeno tenga un régimen estable. LA DESCRIPCIÓN DEL FENÓMENO. Ahora, para poder describir el fenómeno, es necesario determinar los principales parámetros del mismo, estos son, las esperanzas ESTIMACIÓN DE LAS matemáticas enunciadas al inicio. Pero no se cuenta con un elemento MEDIAS DE LAS VARIABLES básico: la expresión de pn. ALEATORIAS Se puede demostrar – aquí no se realiza – que, dados los supuestos 11 anteriormente indicados y determinadas simplificaciones, tales como que pn(t) es independiente de t, la expresión de pn, en términos algebraicos, resulta ser: n    PROBABILIDAD DE pn =    1 −  QUE HAYA n    UNIDADES EN EL SISTEMA  Finalmente, haciendo (psi)  = , la expresión analítica de pn  queda como: p n = ( )n (1 −  )  se denomina usualmente “intensidad de tráfico” y representa el servicio esperado por unidad de tiempo medido en unidades Erlangs. Como ahora se tiene la expresión analítica de pn, se está en condiciones de calcular los principales parámetros: A. El número medio de unidades en el sistema. _ m Recordando que n =  np n y como el caso tratado se lo n= 0 considera de población infinita n será: _  n =  npn. n=0 O sea: _   n =  n n (1 −  ) = (1 −  )  n n n=0 n=0 ( ) _  n =. (1 −  )  1 + 2 + 32 +....... Observando la formación del último paréntesis del segundo miembro, se puede realizar un artificio matemático para simplificar la resolución. En efecto, la formación de cada término de dicho paréntesis responde a la derivada de xn, por tanto, pueden ponerse las primitivas de tales expresiones afectadas por el operador derivada: 12  ( ) _ d n = (1 −  )  +  2 +  3 +....... d Ahora, el segundo paréntesis del segundo miembro representa una serie geométrica de razón menor a 1, entonces: _ d     n = (1 −  )   d  1 −   Derivando _ (1 − ) − (−1)  n = (1 −  )  (1 − )2 De donde se concluye que: _  n= 1−  B. El número medio de unidades en la fila. _ m v =  (n − S)p n n= S+1 Como en este caso la población es infinita y S=1 se tiene: _   v =  (n − 1)p n =  (n − 1)p n n= 2 n=1 _   v=  npn −  pn n=1 n=1 _   v=  npn −  p n n=0 n=1 _ _ v = n− (1 − p 0 ) 13  _ _ v = n− 1 + p 0 _  Pero como p 0 = 1 −  y n = 1−  _  v= − 1+ 1−  1−  _  − (1 −  ) v= 1−  _ - + 2 v= 1-  _ 2 v= 1−  C. Relaciones en de unidades en el sistema. _  n 1− 1 = = _ 2  v 1− de donde: _ 1 _ _  _ n= v , por lo tanto n = v   _ _ n _v n = v  =   Ahora es importante determinar los tiempos de espera asociados al fenómeno por cuanto, si se observa con detenimiento, en estos casos ESTIMACIÓN DE LOS TIEMPOS MEDIOS puede no interesar tanto cuántas unidades, en promedio, están esperando o están en el sistema, sino cuánto tiempo deben, en promedio, permanecer en el sistema, la fila o en el servicio. Porque en rigor, si bien la fila o el sistema pueden presentar gran cantidad de unidades, puede, también, que las mismas no deban esperar mucho. Y la recíproca puede también producirse. 14  Además, cuando se asocian costos, éstos suelen estar directamente relacionados con los parámetros que representan las demoras medias. Así se definen los siguientes tiempos: _ A. Tiempo Medio de Espera en Fila: t f Intuitivamente puede observarse, aunque es perfectamente demostrable, que si se conoce el tiempo medio de espera en la fila se verifica que: _ _ tf  = v pasa al servicio 1ª hora 2ª hora 3ª hora 4ª hora Figura 3 Siendo =2 unidades por hora y el tiempo de espera en fila igual a tres horas, puede verse en la Figura 3 que, en promedio, la cola es de 6 unidades, pues cuando el primero que llegó al sistema pasa al servicio es, aproximadamente el momento en que está llegando el 7º. Obviamente este es un razonamiento intuitivo, pero debe quedar en claro que es demostrable matemáticamente, sólo que aquí se omite tal demostración. Entonces: _ 1_ tf = v  O sea: _ 1 2 1  tf = ó  1−   1−  B. Tiempo Medio de Espera en el Sistema: ts Con un razonamiento análogo al del punto anterior, se puede 15 poner: _ _ ts  = n _ 1 _ ts = n  1   ts =  1− Puede resultar no del todo claro la preponderancia de la tasa de llegadas y no de la tasa de servicio en el cálculo de los tiempos medios. El razonamiento intuitivo se afirmaría en el hecho de que si el servicio es más rápido la espera será más corta. Pero lo que sucede, es que en los valores promedio de tiempo, tanto en la fila como en todo el sistema, la tasa  es, además, la tasa de salidas. Esto puede comprobarse, considerando las salidas sin tener en cuenta lo sucedido en el sistema, puesto que si bien  representa las salidas del servicio, ello sólo ocurre cuando este está funcionando. Pero el promedio de salidas del sistema, debe computarse aún en los intervalos de inactividad y lógicamente, del sistema no pueden salir ni más ni menos unidades de las que han ingresado. C. Tiempo Medio de Espera en el Servicio: tss. Resulta obvio indicar que es la diferencia entre ts y tf _ _ _ 1  1 2 t ss = t s − t f = −  1−   1−  _ 1    2  t ss = −   1 −  1 −   _ 1  −  2 1 (1 −  ) t ss = =  1−   1−  _ 1 1 t ss = =   _ 1 t ss =  16  ¡¡¡No podía resultar de otra cosa!!! Si  es la tasa media de servicio, es decir, el número promedio de unidades que son atendidas por unidad de tiempo, su recíproca será el intervalo medio de tiempo de servicio:  = 6 por hora 1/ = 1/6 de hora, o sea 10 minutos. Además, como se estableció en las hipótesis, el intervalo medio de tiempo de servicio, sigue la estructura de una distribución exponencial asociada a llegadas poissonianas. O sea que si  es la cantidad media de unidades servidas por unidad de tiempo, su recíproca es el tiempo medio que cada unidad está en servicio. Finalmente, otro elemento descriptivo muy importante es la determinación de la probabilidad de la existencia de un número ESTIMACIÓN DE LAS PROBABILIDADES determinado en el Sistema, esto es: ACUMULADAS n0 p(n  n 0 ) =   n (1 −  ) n=0 n0 = (1 −  )   n n=0 ( = (1 −  ) 1 +  +  2 +.......  n0 ) El segundo paréntesis es la suma de n+1 términos de una 1 − qn + 1 progresión geométrica, que se calcula con la fórmula: a , donde 1− q a es el primer término de la progresión y q la razón de la misma. Entonces, reemplazando el segundo paréntesis: 1 −  n0 + 1 = (1 − ) 1−  p(n  n0 ) = 1 −  n 0 + 1 de donde se deduce también: p(n  n0 ) = 1 −  n 0 , p(n  n0 ) =  n 0 y p(n  n0 ) =  n 0 + 1 17  4. Algunas consideraciones sobre los costos asociados a las líneas de espera. Es de destacar que en estos fenómenos inciden dos tipos de costos: el costo de la prestación del servicio y, por ende, el costo marginal que implica la aceleración del mismo para disminuir el tamaño de las filas y los tiempos de espera y, por otro costado, el costo de la espera propiamente dicho. Estos dos costos pueden recaer en el mismo ente (caso de una fabrica con un departamento de reparaciones de herramienta) donde tanto el mejoramiento del servicio se suma a la espera de las unidades, espera que genera costo para el propio ente. En estos casos, el costo total suele expresarse como la suma simple de ambos y se facilita el análisis a través de funciones lineales. Pero puede ocurrir que sea una función de balance, puesto que los objetivos servicio versus espera, en términos de costo, aparecen como objetivos antagónicos. En otros casos, el prestador tiene el primer costo, en tanto que el segundo es claramente el costo de la unidad que recibe el servicio. Sin embargo, cuando así resulta y existe competencia, el segundo costo, el de espera, aparece como un costo para el prestador en el sentido que, si no mejora el servicio, el cliente disgustado se transforma en cliente perdido. Y esto debe ser evaluado criteriosamente. El enfoque en modelos de líneas de espera en sectores sin fines de lucro no suele ser el que busca equilibrar el costo del servicio con el de las unidades que deben esperar. El costo de activar más el servicio es bastante claro. El de espera no lo es tanto. La primera impresión es que el costo de espera de las unidades sería irrelevante, a excepción de lo que atañe a la buena disposición de aquéllos para usar el servicio. Realmente no importa quién esté esperando (un profesional especializado y reconocido, que cobra por sus servicios $ 2000 la hora, o un desempleado sin costos de oportunidad) a menos que el tiempo de espera persuada al cliente a usar, si existe, otro sistema que le brinda el mismo servicio. Esta observación explica por qué ciertos monopolios como áreas de gobierno y de servicios públicos puedan ser tan indiferentes con los tiempos de espera. ¡No hay otro lugar donde ir! Las situaciones del tipo de sistemas de colas que requieren la toma 18 de decisiones de activación del servicio, son aquellas en las que se tiene en claro la posibilidad de pérdida de clientes al servicio que prestan, tal como se indicara en los primeros párrafos. Estos casos tienen las siguientes características: conocen el costo de adicionar estaciones de servicio, pero no pueden calcular con certidumbre el de la espera de las unidades. Sin embargo, la percepción, en los casos de competencia, puede hacer que los responsables de las decisiones intenten mejorar el servicio so pena de disminuir sus ingresos por falta de buen servicio en términos de espera. Finalmente, los entes que tienen los servidores y las unidades a ser servidas dentro de su propio sistema, deben - y pueden - estudiar ambos costos, para balancear el costo total. Por ejemplo, es el caso de un departamento de reparaciones y mantenimiento interno de máquinas y equipos. El servicio tiene su costo, pero también se calcula el costo que, por ejemplo, genera una máquina fuera de servicio que es menester reparar. En estos casos, suele ser adaptado el modelo referido como d) de los identificados como clásicos. 5. El Estudio de las Filas. Control de las hipótesis. Al recoger los datos para estimar la distribución del número de llegadas o la de los tiempos de duración del servicio, el número de llegadas y los intervalos de tiempo de servicio son registrados en función del tiempo. Es una tarea en la que se debe poner el mayor esmero. Del grado de bondad que tengan los cálculos de estos parámetros, depende el éxito de la capacidad de descripción del modelo. Estas mediciones deben estar sujetas a control estadístico mediante dócimas de hipótesis. Se aconseja la prueba 2 como mejor control de hipótesis. De cualquier manera, todo el "arsenal" disponible para su control estadístico, no debe ser despreciado y debe ser utilizado para mejorar la estimación. A continuación, se enuncian algunos de los casos que se han convertido en clásicos y que han sido resueltos matemáticamente: a) Una estación: entradas Poisson-servicio a intervalos 19  constantes. b) Una estación: entradas Poisson-servicio Erlang. c) Una estación: entradas Poisson-servicio arbitrario. d) Una estación: entradas Poisson-servicio exponencial-dos líneas(una con prioridad absoluta sobre la otra) e) Una estación: entradas Poisson-servicio exponencial-clientes impacientes y elegidos al azar. f) Una estación: entradas con intervalos regulares-servicio exponencial. g) Varias estaciones en paralelo: entradas Poisson-servicio constante. h) Varias estaciones en paralelo: entradas Poisson-servicio exponencial. i) Ídem a los dos anteriores con líneas con prioridades ordenadas, pero sin prioridades absolutas. j) Dos estaciones en cascadas: entradas Poisson-servicio exponencial. 20 Bibliografía Hillier F. S. y Lieberman G. J. (2010): Introducción a la Investigación de Operaciones. 9na. Edición. McGracw Hill. México. Saaty, Thomas L. (1967): Elementos de la Teoría de Colas. Aguilar. España. Shamblin, James E. y Stevens G. T. (1975): Investigación de Operaciones. Un Enfoque Fundamental. McGraw Hill. México. 21