Modelo de Poisson en Colas con Variables Aleatorias

Modelo Descriptivo de Poisson

• El modelo asume los supuestos de la Ley de Nacimiento-Muerte de Poisson, que se ajusta fuertemente a situaciones con variables aleatorias.
• La distribución de probabilidad de las llegadas sigue la Ley de Poisson, y el tiempo que media entre dos llegadas consecutivas se distribuye en forma exponencial.
• Las unidades son servidas con distribución Poisson, y los tiempos que median entre dos servicios consecutivos (tiempo de servicio) se distribuyen en forma exponencial.

Proceso de Poisson

• Es un proceso estocástico que se ajusta a una secuencia de acontecimientos que se suceden en el tiempo.
• La variable aleatoria N(t) delimita un proceso de Poisson y está enteramente definida por la probabilidad pn(t).
• La probabilidad pn(t) tiene la expresión analítica: (λt)^n e^(-λt) / n!
• La variable aleatoria θ, que representa los intervalos entre sucesos consecutivos, se distribuye en forma exponencial con función de densidad f(θ) = λ e^(-λθ).

Modelo Básico

• El modelo básico es un modelo descriptivo que proporciona la información sustancial del sistema.
• El modelo describe un sistema de filas con una única fila de espera, una única estación de servicio, y un número innumerable de unidades que pueden requerir el servicio.
• La condición necesaria para que el fenómeno tenga un régimen estable es λ < μ o λ/μ < 1.

Parámetros del Sistem

• La expresión analítica de pn es: pn = (λ/μ)^n (1 - λ/μ)
• La intensidad de tráfico ψ se define como ψ = λ/μ y representa el servicio esperado por unidad de tiempo.
• El número medio de unidades en el sistema es n = v / (1 - ψ).

Tiempos de Espera

• El tiempo de espera asociado al fenómeno es importante para determinar los costos relacionados con las demoras medias.
• Los tiempos de espera se definen como: W = 1 / (μ - λ) para el tiempo de espera en el sistema, y Wq = λ / (μ(μ - λ)) para el tiempo de espera en la fila.

Costos Asociados

• Hay dos tipos de costos: el costo de la prestación del servicio y el costo de la espera propiamente dicho.
• El costo total puede expresarse como la suma simple de ambos costos, o como una función de balance, en función de los objetivos servicio versus espera.
• El enfoque en modelos de líneas de espera en sectores sin fines de lucro no suele ser el que busca equilibrar el costo del servicio con el de las unidades que deben esperar.