Procesos Estocásticos y Ruido (Parte 1) PDF

Ingeniería en Telecomunicaciones Comunicación Digital Procesos Estocásticos y Ruido (Parte 1) Dr. Henry Carvajal M. Objetivos Entender la transmisión de un proceso aleatorio a través de un filtro y las implicaciones matemáticas. Conocer la densidad espec...

Ingeniería en Telecomunicaciones Comunicación Digital Procesos Estocásticos y Ruido (Parte 1) Dr. Henry Carvajal M. Objetivos Entender la transmisión de un proceso aleatorio a través de un filtro y las implicaciones matemáticas. Conocer la densidad espectral de potencia de un proceso aleatorio y cómo calcularla. Contenido 1. Recordando: Procesos Estocásticos. 2. Transmisión de un proceso aleatorio a través de un filtro lineal invariante en el tiempo. 3. Densidad espectral de potencia.  Procesos Estocásticos Ingeniería en Telecomunicaciones Proceso Determinístico No hay incertidumbre acerca del comportamiento del proceso a lo largo del tiempo y en cualquier instante. Recordando: Procesos Proceso Estocástico o Aleatorio Estocásticos Existe incertidumbre acerca del comportamiento del proceso a lo largo del tiempo y en cualquier instante. Su comportamiento se describe en términos probabilísticos. Ejemplo: Señal transmitida Señal transmitida + Ruido tiempo Propiedades: 1. Son funciones del tiempo. Comunicación Digital 2. Son aleatorios, porque antes de llevar a cabo un experimento, no es posible definir con exactitud las formas de onda que se observarán en el futuro. 4  Procesos Estocásticos Ingeniería en Posible resultado del experimento Telecomunicaciones 𝑠1 𝑥1 (𝑡𝑘 ) Recordando: Espacio Muestral (S) Procesos 𝑠2 tiempo Estocásticos 𝑥1 (𝑡1 ) 𝑥2 (𝑡𝑘 ) … 𝑠𝑛 tiempo 𝑥2 (𝑡1 ) … tiempo 𝑥𝑛 (𝑡1 ) 𝑥𝑛 (𝑡𝑘 ) 𝑡1 𝑡𝑘 - Si el espacio muestral está compuesto por funciones que son aleatorias en el tiempo, entonces el espacio muestral se denomina proceso aleatorio o estocástico. - Para un tiempo fijo 𝑡𝑘 el conjunto de muestras 𝑥1 𝑡𝑘 , 𝑥2 𝑡𝑘 , … , 𝑥𝑛 (𝑡𝑘 ) constituye una variable aleatoria 𝑋 𝑡𝑘. - Por lo tanto: Comunicación Digital Para una variable aleatoria, el resultado de un experimento es un número. Para un proceso estocástico, el resultado de un experimento es una forma de onda que es función del tiempo. 5  Procesos Estocásticos Ingeniería en Posible resultado del experimento Telecomunicaciones 𝑠1 Recordando: Espacio Muestral (S) Procesos 𝑠2 tiempo Estocásticos … 𝑠𝑛 tiempo … tiempo Intervalo de tiempo 1 Intervalo de tiempo 𝑘 Proceso estocástico estacionario Si un proceso estocástico es dividido en intervalos de tiempo y en estos intervalos presenta las mismas propiedades estadísticas, entonces se dice que es un proceso estocástico estacionario. Comunicación Digital 6  Procesos Estocásticos Ingeniería en Posible resultado del experimento Telecomunicaciones 𝑠1 𝑥1 (𝑡𝑘 ) Recordando: Espacio Muestral (S) Procesos 𝑠2 tiempo Estocásticos 𝑥1 (𝑡1 ) 𝑥2 (𝑡𝑘 ) … 𝑠𝑛 tiempo 𝑥2 (𝑡1 ) … tiempo 𝑥𝑛 (𝑡1 ) 𝑥𝑛 (𝑡𝑘 ) 𝜏 𝑡1 𝑡𝑘 Proceso estocástico estacionario Si un proceso estocástico es dividido en intervalos de tiempo y en estos intervalos presenta las mismas propiedades estadísticas, entonces se dice que es un proceso estocástico estacionario. En un proceso estacionario en el sentido estricto se cumple que 𝑓𝑋(𝑡𝑘) 𝑥 = 𝑓𝑋(𝑡𝑘+𝜏) 𝑥 para cualquier 𝑡𝑘 y 𝜏, Comunicación Digital dónde 𝑓𝑋(𝑡) (𝑥) es la función densidad de probabilidad (PDF) de la variable aleatoria 𝑋(𝑡). 7  Funciones Media y Autocorrelación Ingeniería en Función Media Telecomunicaciones Para un proceso estacionario en el sentido estricto, definimos la media del proceso 𝑋(𝑡) como el valor esperado de la variable aleatoria obtenida al observar el proceso en un tiempo 𝑡, esto es Recordando: ∞ Procesos 𝜇𝑥 𝑡 = E 𝑋 𝑡 = න 𝑥𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥 𝑡 Estocásticos −∞ En consecuencia, la media de un proceso estrictamente estacionario es una constante, 𝜇𝑥 , pues, 𝑓𝑋 𝑡 𝑥 es la misma para cualquier valor de 𝑡. Función de Autocorrelación La función de autocorrelación de un proceso 𝑋(𝑡) se define como la media del producto de dos variables aleatorias 𝑋(𝑡1 ) y 𝑋(𝑡2 ), obtenidas al observar el proceso 𝑋(𝑡) en los tiempos 𝑡1 y 𝑡2 , respectivamente. 𝑅𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 ) = E[𝑋(𝑡1 )𝑋(𝑡2 )] Si el proceso es estacionario en el sentido estricto, entonces la función de autocorrelación depende únicamente de la diferencia de los tiempos, es decir, 𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1 , pues la variable aleatoria 𝑋 𝑡𝑘 tiene las mismas estadísticas para cualquier 𝑡𝑘 , por lo tanto, usando que 𝑡2 = 𝑡, podemos escribir que 𝑅𝑥 (𝜏) = E[𝑋(𝑡)𝑋(𝑡 − 𝜏)] Si la media de un proceso estocástico es una constante y si su función de autocorrelación depende Comunicación Digital únicamente de la diferencia de los tiempos, es decir, cumple con la ecuación anterior, entonces se denomina 8 proceso estacionario en el sentido amplio (WSS).  Funciones Media y Autocorrelación Ingeniería en Función de Autocorrelación Telecomunicaciones 𝑅𝑥 (𝜏) = E[𝑋(𝑡)𝑋(𝑡 − 𝜏)] Recordando: Propiedades Procesos Estocásticos 1. El valor cuadrático medio del proceso aleatorio se puede obtener usando 𝜏 = 0 en 𝑅𝑥 (𝜏). 𝑅𝑥 0 = E 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 − 0 =E𝑋 𝑡 𝑋 𝑡 = E 𝑋2 𝑡 2. La función de autocorrelación es una función par de 𝜏, es decir, 𝑅𝑥 (𝜏) = 𝑅𝑥 (−𝜏) Recuerde que una función par es simétrica al eje vertical. 3. La función de autocorrelación tiene su magnitud máxima en 𝜏 = 0. 𝑅𝑥 (𝜏) ≤ 𝑅𝑥 (0) 𝑅𝑥 (𝜏) 𝑅𝑥 (𝜏) Comunicación Digital 𝜏 𝜏 9  Funciones Media y Autocorrelación Ingeniería en Función de Autocorrelación Telecomunicaciones 𝑅𝑥 (𝜏) = E[𝑋(𝑡)𝑋(𝑡 − 𝜏)] Recordando: Significado Físico Procesos Estocásticos Proporciona un medio para describir la interdependencia entre dos variables aleatorias obtenidas al observar un proceso aleatorio 𝑋(𝑡) separadas un tiempo de 𝜏 segundos. Interdependencia: Que tan dependientes son la una de la otra. Que tan relacionadas están entre sí. Qué tanto se parecen. Cuanto más rápido cambie en el tiempo el proceso aleatorio 𝑋 𝑡 , entonces más rápido la función de correlación disminuye a partir de su valor máximo en 𝑅𝑥 (0) cuando 𝜏 aumenta. Comunicación Digital 10  Funciones Media y Autocorrelación Ingeniería en Función de Autocorrelación Telecomunicaciones 𝑅𝑥 (𝜏) = E[𝑋(𝑡)𝑋(𝑡 − 𝜏)] Recordando: Significado Físico Procesos Estocásticos Comunicación Digital Atenuación del Canal inalámbrico en función Función de autocorrelación normalizada en función de la 11 de la frecuencia de transmisión frecuencia  Funciones Media y Autocorrelación Ingeniería en Ejemplo 1 Telecomunicaciones Considere una señal 𝑋 𝑡 = 𝐴cos 2π𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃 , dónde 𝐴 y 𝑓𝑐 son constantes y 𝜃 es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 0 y 2𝜋. Determine el valor medio y la función de autocorrelación para el proceso 𝑋 𝑡. Recordando: Procesos Estocásticos Comunicación Digital 12  Funciones Media y Autocorrelación Ingeniería en Ejemplo 1 Telecomunicaciones Considere una señal 𝑋 𝑡 = 𝐴cos 2π𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃 , dónde 𝐴 y 𝑓𝑐 son constantes y 𝜃 es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 0 y 2𝜋. Determine el valor medio y la función de autocorrelación para el proceso 𝑋 𝑡. Recordando: Procesos Estocásticos Comunicación Digital 13  Funciones Media y Autocorrelación Ingeniería en Ejemplo 1 Telecomunicaciones Considere una señal 𝑋 𝑡 = 𝐴cos 2π𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃 , dónde 𝐴 y 𝑓𝑐 son constantes y 𝜃 es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 0 y 2𝜋. Determine el valor medio y la función de autocorrelación para el proceso 𝑋 𝑡. Recordando: Procesos Respuestas Estocásticos 𝐸[𝑋 𝑡 ] = 0 𝐴2 𝑅 𝑋 𝑡 𝑋 𝑡−𝜏 = 𝑅𝑥 𝜏 = cos(2π𝑓𝑐 𝜏) 2 Comunicación Digital 14  Transmisión de un Proceso Aleatorio a través de un filtro LTI Ingeniería en Suponga que un proceso aleatorio 𝑋(𝑡) WSS se aplica como entrada a un filtro (sistema) lineal invariante en Telecomunicaciones el tiempo (LTI) con respuesta al impulso ℎ(𝑡), produciendo un nuevo proceso aleatorio WSS a la salida 𝑌 𝑡. ∞ 𝑋(𝑡) Filtro LTI 𝑌(𝑡) = ℎ 𝑡 ∗ 𝑋(𝑡) = න ℎ 𝜏 𝑋 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 ℎ(𝑡) convolución Transmisión −∞ Proceso Aleatorio a El valor medio de 𝑌(𝑡) es: través de un filtro LTI ∞ ∞ ∞ ∞ 𝜇𝑦 (𝑡) = E 𝑌 𝑡 = 𝐸 න ℎ 𝜏 𝑋 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = න ℎ 𝜏 E[𝑋 𝑡 − 𝜏 ]𝑑𝜏 = න ℎ 𝜏 𝜇𝑥 𝑑𝜏 = 𝜇𝑥 න ℎ 𝜏 𝑑𝜏 −∞ −∞ −∞ −∞ Sistema Estable, 𝑋 𝑡 es WSS Proceso Aleatorio 𝑋(𝑡) 𝜇𝑦 𝑡 = 𝜇𝑦 = 𝜇𝑥 𝐻(0) dónde 𝐻(0) es la respuesta en frecuencia del filtro (sistema) evaluada en 𝑓 = 0. ∞ Comunicación Digital 𝐻 𝑓 = න ℎ 𝜏 exp j2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏 Es una constante −∞ 15  Transmisión de un Proceso Aleatorio a través de un filtro LTI Ingeniería en Suponga que un proceso aleatorio 𝑋(𝑡) WSS se aplica como entrada a un filtro (sistema) lineal invariante en Telecomunicaciones el tiempo (LTI) con respuesta al impulso ℎ(𝑡), produciendo un nuevo proceso aleatorio WSS a la salida 𝑌 𝑡. ∞ 𝑋(𝑡) Filtro LTI 𝑌(𝑡) = ℎ 𝑡 ∗ 𝑋(𝑡) = න ℎ 𝜏 𝑋 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 ℎ(𝑡) convolución Transmisión −∞ Proceso Aleatorio a La función de autocorrelación de 𝑌(𝑡) es: través de un filtro LTI ∞ ∞ 𝑅𝑦 (𝜏) = න න ℎ 𝜏1 ℎ 𝜏2 𝑅𝑥 𝜏 − 𝜏1 + 𝜏2 𝑑𝜏1 𝑑𝜏2 −∞ −∞ Finalmente, el valor cuadrático medio del proceso aleatorio 𝑌(𝑡) es: ∞ ∞ E 𝑌2 𝑡 = 𝑅𝑦 (0) = න න ℎ 𝜏1 ℎ 𝜏2 𝑅𝑥 𝜏2 − 𝜏1 𝑑𝜏1 𝑑𝜏2 −∞ −∞ Comunicación Digital 16  Densidad Espectral de Potencia Ingeniería en A diferencia de lo visto anteriormente, a través de lo cual caracterizamos los procesos aleatorios en el Telecomunicaciones dominio del tiempo, la densidad espectral de potencia (PSD) permite caracterizar a los procesos aleatorios en el dominio de la frecuencia. La densidad espectral de potencia o espectro de potencia, 𝑆𝑥 (𝑓), del proceso aleatorio 𝑋(𝑡) se define como la transformada de Fourier de la función de autocorrelación de dicho proceso, es decir, ∞ 𝑆𝑥 𝑓 = න 𝑅𝑥 𝜏 exp −j2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏 −∞ Significado Físico La PSD indica cómo está distribuida la potencia del proceso aleatorio 𝑋(𝑡) en las distintas frecuencias que lo componen. Densidad Espectral de Potencia PSD (dBm/Hz) PSD (dBm/Hz) Comunicación Digital 17 frecuencia (Hz) frecuencia (Hz)  Densidad Espectral de Potencia Ingeniería en Propiedades Telecomunicaciones 1. La PSD y la función de autocorrelación de un proceso estacionario forman un par de transformadas de Fourier (Relaciones de Einstein-Wiener-Khintchine) ∞ ∞ 𝑆𝑥 𝑓 = න 𝑅𝑥 𝜏 exp −j2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝜏 𝑅𝑥 𝜏 = න 𝑆𝑥 𝑓 exp j2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝑓 −∞ −∞ 2. Si evaluamos la PSD en 𝑓 = 0, entonces obtenemos el área bajo la curva de la función de autocorrelación: ∞ ∞ 𝑆𝑥 0 = න 𝑅𝑥 𝜏 exp −j2𝜋0𝜏 𝑑𝜏 = න 𝑅𝑥 𝜏 𝑑𝜏 −∞ −∞ 3. El valor cuadrático medio de un proceso estacionario es igual al área bajo la curva de la PSD, esto es, ∞ ∞ Densidad E 𝑋2 𝑡 = 𝑅𝑥 0 = න 𝑆𝑥 𝑓 exp j2𝜋𝑓0 𝑑𝑓 = න 𝑆𝑥 𝑓 𝑑𝑓 Espectral de −∞ −∞ Potencia 4. La PSD de un proceso estacionario siempre es no negativa, es decir, 𝑆𝑥 𝑓 ≥ 0 para todo 𝑓. 5. La PSD de un proceso aleatorio de valores reales es una función par, es decir, 𝑆𝑥 (𝑓) = 𝑆𝑥 (−𝑓). 6. La PSD normalizada tiene las propiedades que se asocian a la función densidad de probabilidad. La forma normalizada de la PSD se obtiene de la siguiente manera: Comunicación Digital 𝑆𝑥 𝑓 𝑝𝑥 𝑓 = ∞ 18 ‫׬‬−∞ 𝑆𝑥 𝑓 𝑑𝑓  Densidad Espectral de Potencia Ingeniería en Ejemplo 2 Telecomunicaciones Con base en las propiedades 4 y 5, cuáles de las siguientes funciones podría representar una PSD?. a) b) Densidad Espectral de Potencia c) d) Comunicación Digital 19  Densidad Espectral de Potencia Ingeniería en Suponga que un proceso aleatorio 𝑋(𝑡) WSS se aplica como entrada a un filtro (sistema) lineal invariante en Telecomunicaciones el tiempo (LTI) con respuesta al impulso ℎ(𝑡), produciendo un nuevo proceso aleatorio WSS a la salida 𝑌 𝑡. 𝑋(𝑡) Filtro LTI 𝑌(𝑡) ℎ(𝑡) El valor cuadrático medio del proceso aleatorio 𝑌(𝑡) es: ∞ E 𝑌2 𝑡 = න 𝐻 𝑓 2 𝑆 (𝑓) 𝑑𝑓 𝑥 dónde 𝐻 𝑓 2 es la respuesta en magnitud del filtro al cuadrado. Densidad −∞ Espectral de Potencia Recuerde que si 𝑥 es un número complejo, entonces su magnitud al cuadrado se calcula 𝑥 2 = 𝑥𝑥 ∗ , dónde 𝑥 ∗ representa el conjugado de 𝑥. Finalmente, la PSD del proceso aleatorio 𝑌(𝑡) es: 𝑆𝑦 (𝑓) = 𝐻 𝑓 2 𝑆 (𝑓) Comunicación Digital 𝑥 20  Densidad Espectral de Potencia Ingeniería en Ejemplo 3 Telecomunicaciones Considere una señal 𝑋 𝑡 = 𝐴cos 2π𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃 , dónde 𝐴 y 𝑓𝑐 son constantes y 𝜃 es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 0 y 2𝜋. Determine la PSD para el proceso 𝑋 𝑡. Densidad Espectral de Potencia Comunicación Digital 21  Densidad Espectral de Potencia Ingeniería en Ejemplo 3 Telecomunicaciones Considere una señal 𝑋 𝑡 = 𝐴cos 2π𝑓𝑐 𝑡 + 𝜃 , dónde 𝐴 y 𝑓𝑐 son constantes y 𝜃 es una variable aleatoria uniformemente distribuida entre 0 y 2𝜋. Determine la PSD para el proceso 𝑋 𝑡. Respuesta 𝐴2 𝑆𝑥 𝑓 = 𝛿 𝑓 − 𝑓𝑐 + 𝛿 𝑓 + 𝑓𝑐 4 𝑆𝑥 𝑓 Densidad 𝐴2 Espectral de 4 Potencia −𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑓 Comunicación Digital 22  Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 4 Ingeniería en 1 Telecomunicaciones En la figura, la respuesta en magnitud de un filtro es 𝐻(𝑓) = ቐ2 , 𝑓 ≤ 5 Hz 𝑋(𝑡) Filtro LTI 𝑌(𝑡) 0, caso contrario ℎ 𝑡 , 𝐻(𝑓) y la PSD del proceso aleatorio 𝑋(𝑡) es 𝑆𝑥 𝑓 = sinc 2 𝑓. Determine la potencia media y la PSD del proceso 𝑌(𝑡). Densidad Espectral de Potencia Comunicación Digital 23  Densidad Espectral de Potencia Ejemplo 4 Ingeniería en 1 Telecomunicaciones En la figura, la respuesta en magnitud de un filtro es 𝐻(𝑓) = ቐ2 , 𝑓 ≤ 5 Hz 𝑋(𝑡) Filtro LTI 𝑌(𝑡) 0, caso contrario ℎ 𝑡 , 𝐻(𝑓) y la PSD del proceso aleatorio 𝑋(𝑡) es 𝑆𝑥 𝑓 = sinc 2 𝑓. Determine la potencia media y la PSD del proceso 𝑌(𝑡). Densidad Espectral de Potencia Respuestas E 𝑌2 𝑡 = 0,2449 sinc 2 𝑓 𝑆𝑦 (𝑓) = ቐ , 𝑓 ≤ 5 Hz Comunicación Digital 4 0 , caso contrario 24  Ingeniería en Telecomunicaciones Bibliografía S. Haykin, Sistemas de Comunicación, Limusa Wiley, 2002. Bibliografía Comunicación Digital 25  Ingeniería en Telecomunicaciones Henry Carvajal M. [email protected] http://orcid.org/0000-0003-0529-8224