Tema 4. Balance Microscópico de Energía PDF

Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 01 TEMARIO FENÓMENOS DE TRANSPORTE AVANZADOS BLOQUE A. PRINCIPIOS MATEMÁTICOS Y BALANCES Tema 1. Introducción a los fenómenos de transp...

Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 01 TEMARIO FENÓMENOS DE TRANSPORTE AVANZADOS BLOQUE A. PRINCIPIOS MATEMÁTICOS Y BALANCES Tema 1. Introducción a los fenómenos de transporte Tema 2. Balance microscópico de materia Tema 3. Balance microscópico de cantidad de movimiento Tema 4. Balance microscópico de energía BLOQUE B. DISTRIBUCIONES DE PROPIEDAD Y APLICACIONES Tema 5. Distribuciones de velocidad Tema 6. Distribuciones de temperatura Tema 7. Distribuciones de concentración Tema 8. Transporte de interfase y analogías Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 02 ÍNDICE TEMA 4. BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA 4.1 Introducción 4.2. Ecuación general del balance microscópico de energía 4.3. Ecuación de conservación de la energía calorífica 4.3.1. Otras expresiones del balance de energía 4.3.2. Simplificaciones del balance de energía calorífica 4.4. Conservación de la energía en régimen turbulento: ecuación de conservación de la energía de tiempo ajustado. 4.5. Ecuación de movimiento de Boussinesq para convección natural y forzada Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 03 BIBLIOGRAFÍA TEMA 4. BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL Bird, R.B.; Stewart, W.E.; Lightfoot, E.N. “Fenómenos de Transporte”. 2ª Ed. Limusa Wiley (2006). BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA Costa, E.; et al. “Ingeniería Química, volumen II: Fenómenos de Transporte”. Ed. Alhambra (1984). Welty, J.R.; Wicks, C.E.; Wilson, R.E. & Rorrer, G.L. “Fundamentals of Momentum, Heat, and Mass Transfer”. 5ª Ed. John Wiley & Sons (2008) Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 04 4.1. INTRODUCCIÓN FORMAS DE ENERGÍA Hay dos formas diferentes de energía asociadas a la materia: ENERGÍA CINÉTICA asociada al movimiento macroscópico del sistema ENERGÍA POTENCIAL asociada a la posición relativa en un campo de energía potencial La ENERGÍA INTERNA está asociada con el movimiento (cinética) o posición (potencial) de las moléculas, átomos y partículas subatómicas constitutivas de la materia y, por tanto, corresponden a la versión a escala microscópica de ambos tipos de energía. La energía asociada a la materia (ENERGÍA CINÉTICA, POTENCIAL e INTERNA) son funciones de estado. El CALOR y el TRABAJO corresponden a formas de energía en tránsito CALOR fluye debido a una diferencia de temperaturas TRABAJO fluye debido a la acción de las fuerzas mecánicas El CALOR y el TRABAJO no son funciones de estado y sus valores dependen de la trayectoria o camino seguido en la transformación. Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 05 4.1. INTRODUCCIÓN MECANISMOS DE TRANSMISIÓN DE CALOR Las formas mediante las cuales se produce la transmisión de calor se considera generalmente que son tres: CONDUCCIÓN CONVECCIÓN RADIACIÓN En términos rigurosos, sin embargo, sólo la conducción y la radiación deben tomarse como tales formas, ya que tienen su origen en una diferencia de temperaturas como única causa. La convección no cumple con este requisito pues en ella está implicado un proceso de transferencia de materia. Se trata del desarrollo de los otros dos mecanismos en el seno de fluidos en movimiento. Si bien estas formas de transmisión del calor son diferentes en cuanto a su naturaleza, en muchas ocasiones se presentan simultáneamente, siendo necesario analizar el proceso en orden a determinar cuantitativamente la participación de cada una de ellas. Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 06 4.1. INTRODUCCIÓN CONDUCCIÓN La conducción es el mecanismos de transmisión de calor entre dos sistemas en contacto, o entre dos partes de un mismo sistema, a diferente temperatura y se produce a escala molecular transmitiéndose energía interna desde aquellas moléculas de mayor energía interna hasta aquellas otras de menor energía. T0 La transmisión de calor por conducción es atribuida t=0 a un intercambio de energía entre moléculas y electrones adyacentes en el medio conductor, sin T1 transferencia macroscópica de materia, es decir, sin T0 un desplazamiento visible de partículas. T (y, t) En los materiales sólidos la conducción del calor se T1 produce por transferencia de energía de vibración de T0 una molécula a otra, si bien en los metales la elevada conductividad calorífica se debe a la difusión T (y, t) T1 de electrones libres de la zona caliente a la fría. T0 En los fluidos, la conducción se produce además como consecuencia de la transferencia de energía T (y) T1 cinética. En cualquier caso, la conducción es un proceso lento en comparación con la convección y la T0 T1 radiación. Q T T k  qy   k Ley de Fourier A Y y 𝑞Ԧ = −𝑘 ∇ 𝑇 k = conductividad térmica (W/m·K) Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 07 4.1. INTRODUCCIÓN CONVECCIÓN La convección es un proceso de transmisión de calor debido al desplazamiento y mezcla de porciones de fluido con distinta temperatura La transmisión de calor por convección en los fluidos se produce como consecuencia de un transporte macroscópico de materia que conlleva una cantidad de entalpía definida. Por tanto, la transmisión de calor por convección debe considerarse como un flujo de entalpía y no como un flujo de calor. Para que se produzcan desplazamientos en el seno de un fluido es necesaria la existencia de fuerzas impulsoras capaces de vencer la resistencia debida a la fricción. En la convección natural la fuerza impulsora es originada por diferencias de densidades debidas a gradientes de temperaturas en el seno del fluido, como consecuencia de las cuales las partes calientes, menos densas, ascienden, y las frías, más densas, descienden. La circulación que se produce por este efecto explica el calentamiento uniforme de un fluido cuando se pone en contacto con una superficie sólida a mayor temperatura. En la convección forzada el movimiento del fluido es originado por un dispositivo mecánico, como un agitador, o por los remolinos característicos de una corriente en régimen turbulento al ser impulsado el fluido por una bomba. En ocasiones, ambos tipos de convección pueden presentarse simultáneamente, siendo ésta última la que proporciona mayores velocidades de transmisión del calor. Q Ley de enfriamiento de Newton  h T A h = coeficiente convectivo de transmisión de calor (W/m2·K) Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 08 4.1. INTRODUCCIÓN RADIACIÓN La transmisión de calor por radiación se produce a través del espacio mediante ondas electromagnéticas, en un intervalo de longitudes de onda que va desde 0,1 a 100 micras, y no requiere un medio material como portador. r Si la radiación térmica se transmite en el vacío no se transforma en calor o en otra forma de energía y se propaga en línea recta y a la velocidad de la luz. Cuando la radiación térmica incide sobre un cuerpo, puede ser parcialmente reflejada (r), transmitida (t) o absorbida (a), siendo ésta última la que se transforma cuantitativamente en calor. La radiación absorbida interacciona con los constituyentes a materiales del sistema (moléculas, átomos y partículas t subatómicas) y aumentan su energía interna. a+r+t=1 Todos los sólidos, líquidos y gases emiten radiación térmica, y si dos cuerpos se sitúan en una cámara cerrada, se establece un intercambio entre ellos, intercambio que no cesa aún cuando se alcance el equilibrio térmico, solo que entonces cada uno de ellos radia y absorbe en la misma cantidad. Ley de Stefan-Boltzmann Q  W  qs   e  T 4   cte Boltzmann  5, 67·108  2 4  m T  A  e 1  CUERPO NEGRO e  emisividad  e  f T   Absorbancia  CUERPOS GRISES Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 09 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Expresión del balance a un elemento de volumen estático a través del que fluye un fluido: (x+x,y+y,z+z) Z y y z (x,y,z) x X  Velocidad de   Velocidad de   Velocidad de   Velocidad de   Velocidad neta             acumulación   entrada de   salida de   entrada neta   de trabajo   de energía    energía cinética    energía cinética    de energía    comunicado             cinética   e int erna por   e int erna por   calorífica   al sistema por los   e int erna   advección   advección   por conducción   alrededores             Velocidad de entrada   Velocidad de entrada       neta de energía   neta de energía   cinética e int erna por   calorífica por       transporte advectivo   transporte molecular  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 10 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Expresión del balance a un elemento de volumen estático a través del que fluye un fluido: Z y  Velocidad de   Velocidad de   Velocidad neta     Velocidad de entrada       acumulación   neta de energía   entrada neta   de trabajo   de energía       de energía    comunicado     cinética e int erna por      z  cinética   transporte advectivo   calorífica   al sistema por los   e int erna       alrededores  Y    por conducción    x X - La energía cinética corresponderá a aquella asociada con el movimiento observable o global del fluido:  energía cinética  1 2    EC  v  específica  2 -La energía interna corresponderá a aquella asociada con los movimientos internos y de traslación de las moléculas así como la energía de intreracción entre las mismas:  Energía int erna     U  f Tlocal ,  fluido   específica  - La energía potencial del fluido no se incluye de forma explícita ya que se encuentra (implícitamente) en el término de trabajo del balance Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 11 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA En el sistema sólo pueden acumularse aquellas formas Velocidad de de energía asociadas a la materia: Energía cinética, acumulación de Energía interna y Energía potencial energía cinética e interna en el elemento La energía potencial no se considerará en este término ya que se considerará incluida en el término de trabajo de volumen realizado por el campo gravitatorio sobre el sistema.  Velocidad de       acumulación         1 2  1   de energía     ·  x  y  z     U  v     x  y  z    U   v2    t   2  t  2   cinética  masa  energía   e int erna   específica     Velocidad de     acumulación  U  Energía interna específica   de energía     x  y  z    U   v 2  1   t  2   cinética   e int erna  V  velocidad local del fluido   Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 12 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Velocidad neta de entrada de energía 𝑛𝑥 ቚ𝑥 = 𝜌 · 𝑣𝑥 ቚ𝑥 𝑛𝑥 ቚ = 𝜌 · 𝑣𝑥 ቚ 𝑥+∆𝑥 𝑥+∆𝑥 interna y cinética Δz por advección al elemento de Δy volumen x x+Δx  Velocidad de entrada   entrada o salida de   sup erficie de   energía cinética específica        entrada o de salida     o de salida de energía   densidad de flujo ·    energía int erna específica ·   cinética e int erna por   de materia por   de la componente   en la corriente de entrada o           transporte advectivo  x  transporte advectivo  x  x del vector n   salida del elemento de volumen   Velocidad de entrada     de energía     v   ·  y  z  · U  1 v 2    y  z v   U  1  v 2     cinética e int erna por   x x   x   2 x   2 x    caudal másico entrada  transporte advectivo  x energía específica  Velocidad de salida        de energía   1  1     vx  x x  ·  y  z  · U  v 2    y  z v x   U   v 2    cinética e int erna por   2  x x   2  x x    caudal másico salida  transporte advectivo  x x energía específica Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 13 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA (x+x,y+y,z+z) Velocidad neta de entrada de Z y energía interna y cinética por advección al elemento de volumen y z (x,y,z) x X  Velocidad de entrada       neta de energía    y  z v   U  1  v 2   v   U  1  v 2   x  x   cinética e int erna por    2 x  2  x  x     transporte advectivo    1   1    x  z v y   U   v 2   v y   U   v 2     2 y  2  y  y    1   1    x  y v z   U   v 2   v z   U   v 2     2 z  2  z  z  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 14 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Velocidad neta de entrada de energía 𝑞𝑥 ቚ 𝑞𝑥 ቚ 𝑥 𝑥+∆𝑥 calorífica por Δz conducción al elemento de volumen Δy x x+Δx  Velocidad de entrada   entrada de   sup erficie de       entrada de la   neta de energía    densidad de flujo  ·   calorífica por   de energía por   componente x         conducción x  conducción x  de q   Velocidad de     entrada neta   de energía    sup erficie      y  z qx x  qx x  x   x  z q y y  qy y  y    x  y q z z  qz z  z   calorífica  densidad de flujo  por conducción  por conducción  E   S    Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 15 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Velocidad neta de trabajo realizado sobre el fluido por los alrededores En la evaluación de este término hay que tener en cuenta los siguientes trabajos realizados sobre el elemento de fluido: velocidad de producción de trabajo de la fuerza de gravedad velocidad de producción de trabajo de la presión estática velocidad de producción de trabajo de las fuerzas viscosas La obtención de la expresión correspondiente a cada uno de estos aspectos puede obtenerse considerando el producto de la fuerza que provoca el trabajo por la velocidad en la dirección de aplicación de la misma.  Velocidad de producción   velocidad enla dirección      Fuerza aplicada     de trabajo   dela fuerza  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 16 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Velocidad neta de trabajo realizado sobre el fluido por los alrededores. Fuerzas de volumen La fuerza de volumen que actúa sobre el sistema es la fuerza gravitatoria: Fuerza peso = masa · gravedad…………. 𝐹𝑔 = 𝑚 · 𝑔Ԧ Por tanto, la velocidad de producción de trabajo de la fuerza gravitatoria vendrá dada por el producto de esta fuerza por la velocidad en la dirección de la fuerza:  Velocidad de producción        x  y  z  g  ·v  de trabajo de la     fuerza gravitatoria      masa fuerza peso Producto escalar (o producto punto) de dos vectores  v1    u ·v   u1 , u2 , u3  ·  v2   u1v1  u2 v2  u3v3 v   3  Velocidad de producción     de trabajo de la      x  y  z   vx g x  v y g y  vz g z   fuerza gravitatoria    Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 17 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Velocidad neta de trabajo realizado (x+x,y+y,z+z) Z sobre el fluido por los alrededores y Fuerzas de superficie: fuerzas de presión y z Velocidad de producción de Fuerzas de (x,y,z) x trabajo por la = velocidad presión fuerza de presión X Velocidad de producción de trabajo por la = superficie Presión velocidad fuerza de presión La componente en la dirección x será:            Velocidad de producción                 P  vx    y z P    neto de trabajo de la      y  z       vx x x      x     sup erficie  x x    presión estática  x   sup erficie  x          fuerza de presión     fuerza de presión    ENTRADA   SALIDA  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 18 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Velocidad neta de trabajo realizado (x+x,y+y,z+z) Z sobre el fluido por los alrededores y Fuerzas de superficie: fuerzas de presión y z Reordenando : (x,y,z) x  Velocidad de producción      X  neto de trabajo de la    y  z   P vx  x   P vx  x  x     presión estática x Extendiendo el tratamiento anterior a las tres direcciones del espacio:  Velocidad de producción       de trabajo de la    y  z   P v x  x   P v x  x  x      presión estática    x  z   P vy    P vy    y y  y     x  y  P vz  z   P vz  z  z    Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 19 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA (x+x,y+y,z+z) Velocidad neta de trabajo realizado Z y sobre el fluido por los alrededores Fuerzas de superficie: fuerzas viscosas y z superficie La velocidad de (x,y,z) x producción de trabajo Densidad de flujo por la fuerza de = de cantidad de X superficie debida a movimiento las fuerzas viscosas velocidad Densidad de flujo Fuerza superficie de cantidad de = viscosa movimiento Producto vectorial (o producto de punto) de un tensor por un vector El producto punto del tensor de esfuerzo cortante (densidad de flujo de cantidad de movimiento) por la velocidad resulta en el vector “densidad de flujo de trabajo”   xx  xy  xz   vx     yz · v y    xx vx   xy v y   xz vz  ,  yx vx   yy v y   yz vz  ,  zx vx   zy v y   zz vz     yx  yy        zx  zy  zz   vz  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 20 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Velocidad neta de trabajo realizado sobre el fluido por los alrededores Fuerzas de superficie: fuerzas viscosas La componente x del producto de la densidad de flujo de trabajo por la superficie (vector de superficie) :  Velocidad de producción             neto de trabajo de las       y  z   xx v x   xy v y   xz v z        y  z   xx vx   xy v y   xz vz   X   X X         fuerzas vis cos as X  ENTRADA SALIDA  Velocidad de producción     neto de trabajo de las     y  z   xx v x   xy v y   xz v z  x   xx v x   xy v y   xz v z  x x       fuerzas vis cos as X Extendiendo el tratamiento anterior a las tres direcciones del espacio:  Velocidad de producción     de trabajo de las     y  z   xx vx   xy v y   xz vz  x   xx vx   xy v y   xz vz   x  x    fuerzas vis cos as    x  z   yx vx   yy v y   yz vz    yx vx   yy v y   yz vz    y y  y     x  y   zx vx   zy v y   zz vz   z   zx vx   zy v y   zz vz   z  z    Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 21 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA ACTIVIDAD PROPUESTA: Agrupar las expresiones obtenidas de los distintos términos de la ecuación general del balance de energía y deducir la expresión final de la misma en forma vectorial. Solución:    1 2      1 2       U  v        ·   v  U  v       · q     v · g     · p v      ·  ·v   t   2      2   Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 22 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Sustituyendo todos los términos: ACUMULACIÓN   1 2   x  y  z  U   v   t  2    ENTRADA NETA POR       v2    1 1   y  z v x   U    vx   U   v 2   FLUJO ADVECTIVO     2  x  2  x  x              v2    1 1    x  z v y   U    vy   U   v2         2  y  2  y  y      ENTRADA NETA POR        v2     TRANSPORTE MOLECULAR 1 1    x  y v z   U    vz   U   v 2        2  z  2  z  z       y  z qx    x  qx x  x    x  z q y y  qy y  y    x  y q z z  qz z  z       x  y  z   vx g x  v y g y  vz g z    TRABAJO POR FUERZAS GRAVITATORIAS  y  z  P v    x  z  P v       x  x   P v x  x  x    y  P v  y y  y    TRABAJO POR  y  FUERZAS DE    x  y  P v z    P v z      z z  z   PRESIÓN      yz   v   v   v    v   v   v   xx x xy y xz z x xx x xy y xz z x   x         TRABAJO POR     x  z  yx vx   yy v y   yz vz    yx vx   yy v y   yz vz       y  y    FUERZAS  y    VISCOSAS   v   v   v    v   v   v     x  y   zx x zy y zz z zx x zy y zz z z  z     z  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 23 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Dividiendo por Δx·Δy·Δz    1 2  1 2      1 2  1 2   vx   U   v   v x   U   v   v y   U   v   v y   U   v       1  2     2 x  2  x  x      2 y  2  y  y    U v  t  2  x y    2  2     q   q 1 1 vz   U   v   v z   U   v      2 z  2  z  z     x q  x  qx x  x y y  qy y  y z z  qz z  z    z  x y z     P v    P v    P v y    P v y          vx g x  v y g y  vz g z       x x x x  x y y  y x y  P v    P v     xx vx   xy v y   xz vz    xx vx   xy v y   xz vz    z z z z  z     x x  x    z  x   v   v   v    yx vx   yy v y   yz vz    v   v   v    zx vx   zy v y   zz vz     yx x   yy y yz z y y  y     zx x zy y zz z z   z  z   y z   Si se toman límites cuando Δx→0; Δy→0 y Δz→0  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 24 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA   1 2  U   v   t  2    1 2  1 2    1 2  1 2  vx   U   v   v x   U   v   v y   U   v   v y   U   v     2 x  2  x  x    2 y  2  y  y  lim   lim  x 0 x y 0 y   1 2  1 2  vz   U   v   v z   U   v     2 z  2  z  z   lim   z 0 z     lim   qx x  qx x  x  lim qy  qy y y  y   lim q z z  qz z  z    x 0 x y 0 y z 0 z     P v    P v    P v    P v         vx g x  v y g y  vz g z    lim    lim  y  y  x x x x  x y y  y x 0 x y 0 y  P v    P v     v   v   v    xx vx   xy v y   xz vz    lim  z z z z  z    lim  xx x xy y xz z x x  x    x 0 z 0 z  x   v   v   v    yx vx   yy v y   yz vz    v   v   v    zx vx   zy v y   zz vz     yx x yy y yz z  lim  y y  y    lim  zx x zy y zz z z   z  z   y 0 y z 0 z   Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 25 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA  1 2    1 2     1 2     1 2     U  v    vx   U   v     v y   U   v     vz   U   v     t  2   x   2   y   2   z   2     qx  q y  qz     P vx    P v y    P vz           vx g x  v y g y  vz g z        x y z    x y z          xx vx   xy v y   xz vz    yx vx   yy v y   yz vz    zx vx   zy v y   zz vz   x y z  Utilizando la notación vectorial/tensorial:    1 2      1 2       U  v        ·   v  U  v       · q     v · g     · p v      ·  ·v   t   2      2   Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 26 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Ecuación de la energía total para un elemento de volumen fijo en el espacio     1 2      1 2       U  v       ·  v  U  v       · q     v · g     · p v      ·  ·v   t   2      2   Significado de los términos del balance de energía     1 2     Velocidad de ganancia deenergía por unidad de      U  v      t   2    volumen para un elemento de volumen fijo     1     Velocidad de entrada de energía por unidad de     ·   v U  v2         2    volumen por flujo advectivo   Velocidad de entrada de energía por unidad de     ·q      volumen por conducción   Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de   v · g      volumen debido a la fuerza gravitatoria   Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de    · p v       volumen debido a las fuerzas de presión   Velocidad de trabajo comunicado al fluido por unidad de     ·  · v      volumen debido a las fuerzas vis cos as  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 27 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Ecuación de la energía total para un elemento de volumen fijo en el espacio     1 2      1 2       U  2 v        ·   v  U  2 v       · q     v · g     · p v      ·  ·v   t          (A) (B) Utilizando la ecuación de continuidad para la materia total en el sistema y transformando los términos de la ecuación anterior     1 2      1 2   1 2   (A)     U  v       U  v    U  v  t   2   t  2   2  t     (B)   ·   v  U  1 v 2        v ·   U  1 v 2      U  1 v 2    ·   v         2       2    2  Sustituyendo:    1   1      1     U  v2    U  v2       v ·    U  v 2     t  2   2  t    2    1    U  v 2    ·   v     · q     v · g     · p v      ·  ·v    2  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 28 4.2. ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE MICROSCÓPICO DE ENERGÍA Reordenando:    1 2     1 2    1      U  v      v   ·  U  v     U  v2   t  2     2    2  t     U  v 2    ·   v     · q     v · g     · p v      ·  ·v   1  2        1 2     1 2     1 2    0     U  v     v  ·    U  v     U  v     ·  v    t  2     2    2   t    definición de derivada sus tan cial   ecuación continuidad  0    · q     v · g     · p v      ·  ·v   Ecuación para un elemento de volumen que se desplaza siguiendo el movimiento global del fluido  1 2 v      · q     v · g     ·  p v      ·  · v   D   U  Dt  2  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 29 4.3. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CALORÍFICA Ecuación de conservación de energía total  1 2 v      · q     v · g     ·  p v      ·  · v   D   U  Dt  2  En el tema anterior se dedujo la ecuación de conservación de la energía mecánica, como el producto escalar de los términos de la ecuación de movimiento por la velocidad, cuyos términos tienen dimensiones de energía por unidad de tiempo y unidad de volumen Ecuación de conservación de energía mecánica D 1 2   v     ·  p v   p   ·v    ·   · v       :  v     v· g  Dt  2  Restando ambas se obtiene la ecuación de conservación de energía calorífica: Primer miembro D  1 2 D 1 2 DU   U  v     v    Dt  2  Dt 2  Dt Segundo miembro    · q     v · g     ·  p v      ·  · v    =   · q   p  · v      :  v    ·  p v   p   · v    ·   · v      :  v     v· g  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 30 4.3. ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CALORÍFICA Ecuación de conservación de energía calorífica D U       · q   p   · v     :  v  Dt D U   Velocidad de ganancia de energía interna por unidad de volumen Dt    ·q  Velocidad de entrada de energía interna por unidad de volumen debido al transporte por conducción  p  · v  Velocidad de aumento de energía interna, de forma reversible, por unidad de volumen debido a compresión o expansión del sistema   :  v  Velocidad de aumento de energía interna, de forma irreversible, por unidad de volumen debido a la disipación viscosa Los dos últimos términos son comunes a los balances de energía mecánica y de energía calorífica y aparecen en ambas ecuaciones de conservación con signos contrarios El término  p   · v  representa un intercambio REVERSIBLE de energía mecánica y calorífica y será positivo o negativo según que el fluido se expansione o se comprima. El término no tiene importancia para fluidos incompresibles ya que según la ecuación de continuidad   · v   0  El término   :  v  es siempre positivo ya que se trata de un intercambio IRREVERSIBLE de energía mecánica en calorífica debido a la disipación viscosa. Representa la degradación de la energía mecánica en calor.  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 31 4.3.1. OTRAS EXPRESIONES DEL BALANCE DE ENERGÍA EXPRESIÓN DE LA ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA TOTAL EN FUNCIÓN DE LA ENERGÍA TOTAL DEL SISTEMA  1 2 v      · q     v · g     ·  p v      ·  · v   D   U  Dt  2  g   (energía potencial por unidad de masa ϕ = 𝑔ℎ)  D   D   v · g     v ·        ya que   v ·   Dt t  Dt t En esta ecuación  aparece, explícitamente,   f t   0 la variación del contenido t energético total del  D  sistema tanto energía   v · g      v ·         interna y cinética como  Dt  potencial Sustituyendo esta expresión en la ecuación de partida resulta:  1 2  D      ·  p v      ·  · v   D   U  v      · q     Dt  2   Dt         · q     ·  p v      ·  · v   D 1 2   U  v   Dt  2  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 32 4.3.1. OTRAS EXPRESIONES DEL BALANCE DE ENERGÍA EXPRESIÓN PARA EL CÁLCULO DE PERFILES DE TEMPERATURA EN EL SISTEMA La expresión aplicable para el cálculo de los perfiles de temperatura en el sistema resulta de expresar la ecuación de conservación de la energía calorífica en función de: La TEMPERATURA del fluido El CALOR ESPECÍFICO del fluido  U   U   como U  f V , T   dU    d V    dT   V T   T V Esta expresión puede transformarse utilizando conceptos termodinámicos:  U  S  d U T d S  p d V    T   p   V T   V T  U   p     T   p S   p    V T   T V y la relación de Maxwell         V T   T V  U  Por otra parte:    CV   T V Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 33 4.3.1. OTRAS EXPRESIONES DEL BALANCE DE ENERGÍA EXPRESIÓN PARA EL CÁLCULO DE PERFILES DE TEMPERATURA EN EL SISTEMA Sustituyendo las expresiones termodinámicas en la ecuación de partida:  U   U    p   dU    dV    d T  T    p  d V  CV d T   V T   T V    T V  DU    p   DV DT  T    p   CV Dt    T V    Dt Dt Sustituyendo en la ecuación de conservación de la energía calorífica: D U       · q   p   · v     :  v  Dt resulta:    p   DV DT     T    p   C     · q   p  · v     : v    T V V     D t Dt     p   DV DT   T   p     C    · q   p  · v     : v   V   T V  D t D t Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 34 4.3.1. OTRAS EXPRESIONES DEL BALANCE DE ENERGÍA EXPRESIÓN PARA EL CÁLCULO DE PERFILES DE TEMPERATURA EN EL SISTEMA Teniendo en cuenta que:  DV      D D 1 1     1  2 D     1 D Dt Dt Dt  Dt   Dt DV    ·v D Dt Y la ecuación de continuidad:      ·v  Dt Sustituyendo:   p   DT T    p    · v    C    · q   p  · v     : v   V   T V  D t  p  DT T     · v   p   · v    C    · q   p  · v     : v   V  T V D t DT  p   CV    · q   T     ·v      :  v  Dt   T V La ecuación representa la CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA CALORÍFICA expresada en función de la temperatura del fluido y permite calcular los perfiles de temperatura que se establecen en el sistema. Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 35 4.3.1. OTRAS EXPRESIONES DEL BALANCE DE ENERGÍA Componentes de la densidad de flujo de energía (Ley de Fourier) Coordenadas rectangulares: T T T qx  k qy  k qz   k x y z Coordenadas cilíndricas: T 1 T T qr   k q   k qz   k r r  z Coordenadas esféricas: T 1 T 1 T qr   k q   k qz   k r r  r sen   Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 36 Recordatorio básico de notación de cálculo vectorial y tensorial Los tres tipos principales de magnitudes a considerar pueden expresarse en forma matricial: Escalares s  s Matriz de orden (1 x 1)  vx    matriz de orden (1 x 3) v   vx , v y , vz  ó v   vy  El orden de la matriz se Vectores ó representa como (n x m) v   z matriz de orden (3 x 1) que significa que se trata de “n x m” elementos  xx  xy  xz  dispuestos en “n” filas y   “m” columnas Tensores    yx  yy  yz  matriz de orden (3 x 3)    zx  zy  zz  Multiplicación de matrices: Para que dos matrices puedan multiplicarse, el número de columnas de la primera (segundo índice) debe ser igual al número de filas de la segunda (primer índice) y el resultado es una nueva matriz cuyo orden corresponde al número de filas de la primera por el número de columnas de la segunda A (n x m) · B (m x p) = C (n x p)  b11 b12   a11 a12 a13     a11 b11  a12 b21  a13 b31 a11 b12  a12 b22  a13 b32    · b b    a21 a22 a23   21 22   a21 b11  a22 b21  a23 b31 a21 b12  a22 b22  a23 b32   b31 b32  (2 x 3) (3 x 2) (2 x 2) Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 37 Producto vectorial (punto) de un vector por un escalar 𝜕 (3 x 1) · (1 x 1) = (3 x 1) 𝜕𝑥 𝜕 𝜕𝑇 𝜕𝑇 𝜕𝑇 GRADIENTE DE LA ∇·𝑇 = · 𝑇 = , , 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 TEMPERATURA 𝜕 Producto escalar (punto) de dos vectores 𝜕𝑧 (1 x 3) · (3 x 1) = (1 x 1)  T   T   T   qx  k     k     k          qx  qy  qz  x   y   z   · q    , , · q   y  x       x y z  q  y z x y z  z  2 T 2 T 2 T  k  cte    ·q    k  2    Producto escalar (punto) de dos vectores  x y 2 z 2  (1 x 3) · (3 x 1) = (1 x 1)  vx          vx  vy  vz DIVERGENCIA DE  · v    , ,  ·  vy      x y z    x y z LA VELOCIDAD  z v Producto vectorial (punto) de un tensor por un vector (3 x 3) · (3 x 1) = (3 x 1)   xx  xy  xz   vx    xx vx   xy v y   xz vz       · v    yx  yy  yz  ·  v y    yx vx   yy v y   yz vz    zx  zy  zz   vz    zx vx   zy v y   zz vz   Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 38 PRODUCTOS QUE NO SIGUEN LA REGLA DE MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Producto diádico (sin punto) de dos vectores (3 x 1) (1 x 3) = (3 x 3)            vx vy vz   x   x x x          v   y   v x , v y , v z    y vx y vy y vz                 vx vy vz   z   z z z  Producto escalar (doble punto) de dos tensores (3 x 3) : (3 x 3) = (1 x 1)  vy   vx  vz    x x x  v v v v v   xx  xy  xz    xx x   xy x   xz x   yx y   yy y     v  vy  vz  x y z x y   : v     yx  yy  yz  :  x    y y y  v y vz vz vz   zx  zy  zz            vy  vz  z x y z yz zx zy zz v  x   z z z  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 39 4.3.1. OTRAS EXPRESIONES DEL BALANCE DE ENERGÍA La ecuación de energía en coordenadas rectangulares (en función de las densidades de flujo)  T T T T   q x q y q z   Cˆv   vx  vy  vz         t x y z   x y z   p   v x v y v z   v x v y v z  T          xx   yy   zz   T    x y z   x y z    v v y   v x v z    v y v z      xy  x     xz      yz      y x    z x    z y   La ecuación de energía en coordenadas cilíndricas (en función de las densidades de flujo)  T T v  T T  1  1 q  q z   Cˆv   vr   vz     r r ( rq )   z  r   t  r r   z   r   p   1  1 v  v z   v r 1  v   v z  T    (rv r )      rr r    r    v r    zz z    T   r  r r  z          v   1 v r   v z v r   1 v z v      r   r   r  r     rz      z       r      r  z   r   z  Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 40 4.3.1. OTRAS EXPRESIONES DEL BALANCE DE ENERGÍA La ecuación de energía en coordenadas esféricas (en función de las densidades de flujo)  T T v  T v  T   Cˆv   vr     t r r  r sen    1  2 1  1 q    2 (r qr )    q sen      r  r r sen   r sen     p   1  2 1  1 v   T    (r v r )  v  sen      T    r 2 r r sen   r sen     v r  1 v  v r   1 v  v r v  cot      rr                r  r  r   r sen   r r     v 1 v r v    v  1 v r v     r         r        r r  r    r r sen   r   1 v  1 v  cot        v   r  r sen   r   Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 41 4.3.2. SIMPLIFICACIONES DEL BALANCE DE ENERGÍA CALORÍFICA DT  p   CV    · q   T     ·v      :  v  Dt   T V 1. Fluidos newtonianos con conductividad calorífica constante Usando: q   k  T  La ley de Fourier para expresar la densidad de flujo de energía calorífica en función del gradiente de temperatura Esfuerzo cortante  en función del gradiente de velocidad   : v    v (utilizando la función de disipación viscosa v válida para fluidos newtonianos) DT  p   CV    ·  k  T   T     ·v    v Dt   T V k = cte      · q     ·   k  T   k   ·  T   k  2 T divergencia  p del gradiente DT  cv  k T T   · v    v 2 Dt transmisión de calor   T V calentamiento por por conducción disipación vis cos a efectos debidos a exp ansión o compresión Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 42 ACTIVIDAD PROPUESTA: Determinar la expresión de la función de disipación viscosa 𝜙V en el caso de fluidos newtonianos. v    : v   Ley de Newton de viscosidad en coordenadas cartesianas v x 2  v x v y   xx  2    ·v   yx   xy      x 3   y  x  v y 2  v z v y   yy  2    ·v   yz   zy      y 3   y  z  v z 2  v v   zz  2    ·v   xz   zx    z  x  z 3  x z  Solución:    v 2   v 2   v 2    v  v 2   v  v 2   v  v 2 2   v  v  v  2  v  2  x    y    z     y  x    z  y    x  z    x  y  z      x    y    z     x  y    y  z    z  x  3   x  y  z   Tema 4. Balance microscópico de energía FTA Nº 43 CÁLCULO DE   : v    v Ley de Newton de viscosidad en coordenadas cartesianas v x 2  v v y   xx  2 x    ·v   yx   xy    x  3  y x    xx  xy  xz     yy  2 v y 2 y  v z v y     ·v   yz   zy      z      yx  yy  yz  3  y    zz v 2  v  2 z    ·v   xz   zx    z  v x     