Matemáticas Básicas PDF

Matemáticas Básicas  Tabla de Contenido Tabla de Contenido Tabla de Contenido.......................................................................................................................................... 2 Gráficas y fu...

Matemáticas Básicas  Tabla de Contenido Tabla de Contenido Tabla de Contenido.......................................................................................................................................... 2 Gráficas y funciones.......................................................................................................................................... 3 La función........................................................................................................................................................ 3 Característica de una función.................................................................................................................... 3 Representación gráfica de una función................................................................................................... 5 Logaritmos......................................................................................................................................................... 11 Introducción.................................................................................................................................................. 11 Aplicaciones a la electrónica................................................................................................................... 11 2  Gráficas y funciones Gráficas y funciones La función Las cantidades que intervienen en toda cuestión matemática pueden dividirse en: constantes y variables. Constante es aquella cantidad que tiene un valor fijo y determinado, mientras que variable, es aquella cantidad que puede tomar distintos valores, comprendidos todos ellos dentro de un conjunto, que se llama campo de variabilidad. A la vez las variables se clasifican en: independientes y dependientes. Variable independiente es aquella que puede tomar arbitrariamente cualquier valor comprendido dentro de su campo de variabilidad. Variable dependiente es aquella que no puede tomarse arbitrariamente, siendo sus valores dependientes de otra u otras variables independientes. Ejemplo: Un coche circula a una velocidad de 60 Km/h. Calcular el espacio recorrido en un cierto tiempo. Sabemos que el espacio recorrido por un móvil que circula a una velocidad determinada, viene definido por la fórmula: E = V·t (espacio = velocidad x tiempo) Considerando que V = 60 Km/h, resulta: E = 60·t En esta expresión: la velocidad (60 Km/h) es la constante. El tiempo (t), es la variable independiente y el espacio (e), cuyos valores dependen del tiempo transcurrido, la variable dependiente. Sea que consideremos dos variables: x e y, una de las cuales es la variable dependiente y, en tanto que la otra es la variable independiente x. Según lo expresado en la pregunta anterior, la variable independiente x puede tomar valores arbitrariamente dentro de un conjunto denominado campo de variabilidad. Mientras que, los valores de la variable dependiente, dependen del valor que tomase la variable independiente. Característica de una función La relación de dependencia x e y, se expresa mediante la fórmula: y = f (x) que indica que “y es función de x”. Se llama característica de la función a la letra f, que representa el total de operaciones que han de realizarse con un valor de la variable independiente x, para obtener el valor correspondiente de la variable dependiente y. 3  Gráficas y funciones Valor numérico de una función: valor que toma una función y = f (x), para un determinado valor de la variable x. Así el valor numérico de la función y = f (x) para un determinado valor de x: (x = a), se obtiene sustituyendo en la función x por a: y = f (a) Ejemplo: El valor numérico de: y = 2x – 3, para x = 8, se obtiene sustituyendo x por 8: y = 2.8 – 3 = 16 – 3 = 13. Representación gráfica de una función Coordenadas cartesianas Es el conjunto formado por dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto origen. Las rectas perpendiculares se llaman ejes de coordenadas. El punto origen donde se cortan los ejes se llama origen de coordenadas. El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje de las x. Se representa por la letra X. El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje de las y. Se representa con la letra Y. Representación de un punto En el eje X se consideran positivos los valores que están a la derecha del origen y negativos los que está a la izquierda. En el eje Y se consideran positivos los valores que están sobre el origen y negativos los que están bajo él. El punto A (4,3) tiene de abscisa: x = 4, y de ordenada: y = 3. Representación gráfica de puntos. En la figura anterior se han representado, además del punto A (4,3), los puntos: B (5,1); C (-4,2); D (- 2,-5); E (1,-4). 4  Gráficas y funciones Representación gráfica de una función Se llama representación gráfica a la línea o conjunto de líneas que se obtiene al unir todos los puntos que satisfacen a una determinada función. Para determinar la gráfica de una función: y = f (x), se siguen los pasos que a continuación se detallan: 1. Se dan valores a x, obteniendo los correspondientes de y. 2. Con los valores obtenidos se forma una tabla de valores. 3. Se representa gráficamente los valores de la tabla. Con ello obtenemos una serie de puntos, ya que cada dos valores (el de x y el correspondiente de y) de la tabla, definen un punto. 4. Se unen los puntos representados en el apartado anterior. La función lineal Se llama función lineal o función de primer grado, a toda expresión de la forma: y = a.x + b Su representación gráfica es siempre una línea recta. Ejemplo: Veamos la representación gráfica de la función lineal Y = 2.x – 3. 1. Se dan valores: para x = 2 y = 2. (2) –3 = 1 para x = 0 y = 2. 0 –3 = -3 para x = 4 y = 2. 4 – 3 = 5 2. Se toma la tabla de valores: X Y 2 1 0 -3 4 5 3. Se representan los puntos según la figura 1-2. 4. Se unen los puntos, resultando la gráfica. Como en toda función lineal es una línea recta. Gráfica de la función lineal: y = 2x – 3. 5  Gráficas y funciones Consideraciones de la gráfica de la función lineal En toda función lineal y = a.x + b, El valor a, se llama pendiente de la recta, y de él depende el ángulo que forma con el eje X. Dos rectas con la misma pendiente (mismo valor de a), son paralelas. El valor b, se llama ordenada en el origen y define el punto en que la recta corta al eje Y. Dos rectas que tienen igual ordenada en el origen (mismo valor de b), cortan al eje Y en el mismo punto. La gráfica de la función lineal es una línea recta y, por tanto, para definirla bastarán sólo dos de sus puntos. Distintos casos de rectas. La función exponencial Se denomina función exponencial a toda función de la forma: y = ax Donde a > 0, que está perfectamente definido para todo valor real de la variable independiente. Podemos poner como ejemplos de funciones exponenciales: y = (½)x ;y = ex ;y = 5x ; y = 2x Estudio intuitivo de la función exponencial La función exponencial presenta las siguientes propiedades: Para x = 0, la función toma el valor y = 1. Ejemplo: El valor de la función exponencial Y = ax para x = 0 es y = a0 = 1. Para x = 1, la función toma el valor y = a. Ejemplo: El valor de la función exponencial Y = ax para x = 1 es y = a1 = a. Los valores que toma la función exponencial para cualquier valor real de la variable independiente son siempre positivos. Si la base es mayor que la unidad (a > 1), la función exponencial es monótona creciente, esto es, la función crece constantemente al crecer la variable independiente. Si la base es menor que la unidad (0 < a < 1), la función exponencial es monótona decreciente, esto es, decrece constantemente al crecer la variable independiente. Representación gráfica La representación gráfica de la función exponencial presenta dos formas perfectamente diferenciadas, según que la base sea mayor o menor que la unidad. 1. La base es mayor que la unidad: la representación gráfica de la función exponencial es una curva constantemente creciente. Ejemplo: y = 2x. La representación gráfica es la de la figura: 6  Gráficas y funciones Gráfica de la función y = 2x 2. La base es menor que la unidad: la representación gráfica de la función exponencial es una curva constantemente decreciente. Ejemplo: y = (½)x. La representación gráfica es la de la figura: Gráfica de la función y = (½)x La función logarítmica Consideremos la función exponencial: y = ax Y sea que deseamos obtener su función inversa, a cuyo efecto, se comienza por despejar la variable independiente: y = ax x = logay Para, a continuación, cambiar las variables: y = logax La función así obtenida es la inversa de la función exponencial y recibe el nombre de función logarítmica. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. En el estudio de la función logarítmica, es fundamental considerar que, de acuerdo con el concepto de logaritmo, la base “a”, debe ser siempre un número positivo y distinto de la unidad. 7  Gráficas y funciones Ejemplos de logaritmos: y = log2 x, y = log x, y = ln x. Estudio intuitivo de la función logarítmica De la consideración del concepto de logaritmo, y siempre teniendo en cuenta que la base es un número positivo distinto de la unidad, se deduce que la función logarítmica presenta las siguientes peculiaridades: Para x = 1, cualquiera que sea la base, la función toma el valor y = 0. Para x = a, siendo a la base, la función toma el valor y = 1. Para x = am, siendo a la base, la función toma el valor y = m. Para x < 0, la función no existe dentro del campo de los números reales. Para x = 0 la función no existe. Si la base es mayor que la unidad (a > 1), para x > 1, la función toma valores positivos, en tanto que para x < 1, la función toma valores negativos. Si la b ase es menor que la unidad (a < 1), para x > 1, la función toma valores negativos, en tanto que para x < 1, la función toma valores positivos. Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas son aquellas en las que la variable independiente se encuentra afectada por alguna razón trigonométrica. En general, las funciones trigonométricas son funciones periódicas, es decir, sus valores se repiten periódicamente. Por lo tanto, a la hora de realizar su estudio, es suficiente concentrarse en un período e ir replicándolo. Las funciones trigonométricas más importantes, que se corresponden con las razones trigonométricas fundamentales son: y = sen x; y = cos x; y = tag x. La función seno La función seno, se expresa de la forma: y = sen x Es una función periódica, siendo su período de 2 radianes, ya que: sen (x + 2 ) = sen (x + 360) = sen x. En consecuencia, de acuerdo con lo anteriormente expuesto, para realizar su estudio se considera un período tal que el comprendido entre 0 y 2 radianes. Analizando las variaciones que experimenta el seno a medida que el ángulo toma los valores correspondientes al mencionado intervalo, se observa que: Cuando el ángulo es igual a cero, el valor de la función es cero. Cuando el ángulo va aumentando desde 0 hasta /2, los valores de la función son positivos y van aumentando hasta alcanzar el máximo valor posible, esto es, 1. Cuando el ángulo va aumentando desde /2 hasta , los valores de la función son positivos y van disminuyendo hasta alcanzar el valor cero. Cuando el ángulo va aumentando desde hasta 3 /2, los valores de la función son negativos y van disminuyendo hasta alcanzar el mínimo valor posible, esto es, -1. Por último, cuando el ángulo va aumentando desde 3 /2 hasta 2 , los valores de la función son negativos y van aumentando hasta alcanzar de nuevo el valor cero. 8  Gráficas y funciones La representación gráfica de la función seno, puede representarse asignando valores a la x obteniendo los correspondientes de la y. Sin embargo, en este caso, es aconsejable utilizar el procedimiento basado en la definición geométrica del seno de un ángulo sobre una circunferencia trigonométrica. Según esta definición, en una circunferencia de radio unidad, el seno es la distancia, entre el extremo del arco y el eje horizontal. Para desarrollar este procedimiento, en principio se divide una circunferencia de radio unidad en un determinado número de partes; doce por ejemplo. A continuación, se considera un sistema cartesiano, cuyo eje de abscisas se hace coincidir con el diámetro horizontal de la circunferencia, y se toma en dicho eje un segmento de longitud 2 , el cual se divide en el mismo número de partes que la circunferencia. Finalmente, tomando como ordenada de cada una de las divisiones del eje de abscisas la longitud del segmento que en la circunferencia le corresponde al seno, se obtiene un conjunto de puntos, de cuya unión resulta la gráfica de la figura: Gráfica de la función y = sen x. La función coseno La función coseno, que se expresa de la forma: y = cos x Es una función periódica, siendo su período de 2 radianes, ya que: cos(x + 2 ) = cos (x + 360º) = cos x. Para realizar la representación gráfica de esta función es conveniente repetir las operaciones anteriores. En ellas se dividía la circunferencia en doce partes y, a continuación, se estudiaban y representaban estos doce puntos. Gráfica de la función y = cos x. 9  Gráficas y funciones La función tangente La función tangente que se expresa de la forma: y = tag x Es una función periódica de período radianes, ya que: tag (x + ) = tag (x + 180º) = tag x. Nuevamente para realizar la representación gráfica de la función, se divide la circunferencia en doce partes y se hace un estudio de cada uno de esos doce puntos. Gráfica de y = tag x. 10  Logaritmos Logaritmos Introducción Como ya se estudió en el apartado de funciones logarítmicas, la función del logaritmo se representa mediante y = logax Dado que la función logarítmica y la exponencial son funciones inversas, una de las grandes ventajas que lleva consigo el manejo de los logaritmos es la posible solución de ecuaciones exponenciales, que sin el uso de los logaritmos de debía resolver por tanteo. Aplicaciones a la electrónica Conceptos de ganancia y atenuación El Nivel de Transmisión indica la cantidad de potencia eléctrica con que se está transmitiendo. La señal se transmite por sistemas y equipos a través de canales guiados (cable o fibra óptica) o no guiados (aire). Durante esta transmisión la señal pierde potencia, debido a la propagación y a las interferencias conocidas como ruido. Esta pérdida de potencia de la señal es conocida como atenuación. En otras palabras, si la señal entra en un sistema con una determinada potencia y al salir, la señal sale con menor potencia, entonces es que se ha producido una atenuación. Mientras que si la señal entra en un sistema con una determinada potencia y al salir, la señal sale con mayor potencia, entonces es que se ha producido una ganancia. Relación de potencias. El decibelio La unidad básica de transmisión es el DECIBELIO, que se representa mediante dB. Esta unidad representa una relación entre dos magnitudes, la que se estudia respecto de la que se referencia. En una conversación normal, la potencia de transmisión habitual (voz), está en torno a las 10 microwatios. Si hubiese un receptor a 1 metro de distancia y otro receptor a 2 metros. En el caso de que el primero recibiese la señal con una potencia de 8 microwatios exactamente, el segundo la recibiría con menos de 6 microwatios. La razón se debe a que la atenuación no es lineal sino logarítmica. La fórmula de calcular los DECIBELIOS es: dB = 10 log (P1/ P2) Donde si P1 es mayor que P2, los dB's serán positivos, y negativos si P1 es menor que P2, entendiéndose que en el primer caso existe una ganancia, y en el segundo una atenuación, expresando el signo tal calificación (signo negativo = atenuación; signo positivo = ganancia). Si la formula anterior se proyecta sobre un elemento, ya sea una vía de transmisión o un equipo específico, la identificación de las potencias será: la potencia P2 es la de entrada y la P1 de salida. En cualquier caso, el valor en decibelios siempre expresa una relación entre dos potencias y nunca el valor absoluto de ellas. Ejemplo: de cálculo de la relación de la potencia en un sistema de 10 dB: 11  Logaritmos 10dB = 10log(P1/P2), dividiendo por 10 quedaría, 1= log (P1/P2), pero como (1=log10), podemos poner la expresión como: 10log10= log (P1/P2) luego 10 = P1/P2 O lo que es lo mismo, la salida del sistema es 10 veces superior a la entrada, luego es lógico que se diga que presenta una ganancia de 10 dB. Otra unidad de nivel de transmisión es el Neper, basado en el logaritmo neperiano y cuya equivalencia con el dB es la siguiente: 1 dB = 0,115 1 Neper = 8,686dB Niveles de referencia Los calificativos de los que antes se hablaba con relación al dB, dan un significado muy específico del modo en el que se está operando, o las condiciones con las que se trabaja. -NIVEL dBm Esta unidad se define como el nivel de potencia en decibelios, con relación a 1 miliwatio. Está basada en la necesidad de indicar la potencia absoluta mediante una unidad logarítmica, tomando para ello el miliwatio como potencia de referencia. De esta manera, la potencia de cualquier señal será mayor o menor en tantos decibelios que dicho valor de referencia. Sustituyendo, estos conceptos, en la fórmula del dB, y para un miliwatio de ruido (P2), se tiene: dBm = 10 log (P1/1mW) dBm = 10 log(P1) (P1 en mw) En este caso, el dBm es una unidad de potencia absoluta y no una relación entre potencias, ya que se toma con respecto a un valor específico (1 miliwatio). De tal modo que la conversión en potencia puede ser casi inmediata, ya que si tenemos una lectura de 10 dBm podremos asegurar que: “la potencia medida es 10 veces superior que un miliwatio”, luego: 10 dBm =10 miliwatios 20 dBm =100 miliwatios 30 dBm =1.000 miliwatios Estas unidades, pueden asociarse a sistemas con valores de ganancia o atenuación directa, así, si una señal de 35 dBm se aplica a un amplificador de 20 dB, tendremos a la salida una potencia de 55 dBm. Si por el contrario resulta ser un atenuador de similar valor (20 dB), tendremos a la salida una señal de 15 dBm. -NIVEL dBr Esta unidad se utiliza para establecer niveles relativos, con respecto al punto de referencia origen. dBr, expresa esta relación entre la potencia del punto en el que se está midiendo, y la potencia de referencia origen. En el punto de referencia origen los dBr son cero, luego resultará que: dBm = dBm0 + dBr Ejemplo: En un circuito con 10 dBm0, se mide en un punto del mismo una potencia de -5 dBm. Los dBr del circuito serán: 12  Logaritmos dBr = dBm – dBm0 = -5 - 10 = -15 dBr Luego el punto está 15 dB por debajo del punto de referencia 0. 13