Mécanique et thermodynamique des fluides 2018 PDF

Mécanique et thermodynamique des fluides Fluides visqueux incompressibles et introduction à la turbulence Tronc Commun 2A Jean-Bernard CAZALBOU Valérie Ferrand, Guillaume Duf...

Mécanique et thermodynamique des fluides Fluides visqueux incompressibles et introduction à la turbulence Tronc Commun 2A Jean-Bernard CAZALBOU Valérie Ferrand, Guillaume Dufour & Nicolas Gourdain 2018 Sommaire 1 Retour sur la dynamique des fluides visqueux incompressibles 1 1.1 Les deux modes de transfert spatial........................ 1 1.1.1 Un problème monodimensionnel de diffusion pure............ 2 1.1.2 Un problème monodimensionnel d’advection pure............ 4 1.1.3 Effets comparés d’advection et de diffusion............... 6 1.2 Rôles des mécanismes d’advection et de diffusion dans la transition à la tur- bulence....................................... 7 2 Couche limite laminaire 9 2.1 Le concept de couche limite............................ 9 2.2 Le modèle de Prandtl pour la couche limite laminaire à grand nombre de Reynolds...................................... 11 2.2.1 Mise en œuvre du modèle de Prandtl : Le couplage fluide parfait – couche limite................................ 13 2.2.2 Le calcul de couche limite par « couplage faible »............ 15 2.2.3 Réduction de données : Les grandeurs globales caractéristiques d’une couche limite................................ 17 2.2.4 Forme intégrée du modèle de Prandtl : L’équation intégrale de von Kármán................................... 20 2.3 Solutions exactes du modèle de Prandtl et couches limites autosimilaires... 21 2.3.1 Condition d’existence des couches limites autosimilaires........ 22 2.3.2 La solution de Blasius et les propriétés physiques de la couche limite sur plaque plane sans gradient de pression................ 25 2.3.3 Les solutions de Falkner-Skan et la réponse de la couche limite au gradient de pression longitudinal..................... 30 2.4 Résolution approchée des problèmes de couche limite : Méthodes intégrales. 37 2.4.1 Principe de résolution........................... 37 2.4.2 La méthode intégrale de Pohlhausen................... 38 3 Introduction à la turbulence et bases de l’approche statistique 43 3.1 Données préliminaires sur la transition à la turbulence............. 43 3.1.1 Formulation élémentaire d’une analyse de stabilité linéaire....... 44 3.1.2 Propriétés de stabilité des couches limites soumises à un gradient de pression longitudinal............................ 45 3.2 La description statistique de la turbulence.................... 47 3.2.1 Propriétés distinctives du régime de turbulence pleinement développée 47 i  3.2.2 Notion de réalisation et moyenne statistique............... 51 3.3 Le traitement statistique des équations du mouvement............. 55 3.3.1 Forme définitive des équations de Reynolds et interprétation physique 56 3.3.2 Les équations de transport des tensions de Reynolds.......... 58 3.4 Interactions entre les trois classes de mouvement................ 59 3.4.1 Interactions dynamiques.......................... 59 3.4.2 Transferts énergétiques........................... 59 3.5 Modélisation de la turbulence........................... 64 4 Couche limite turbulente 67 4.1 Le modèle de Prandtl pour la couche limite turbulente............. 67 4.1.1 Établissement du modèle ouvert..................... 67 4.1.2 L’équation de von Kármán pour une couche limite turbulente..... 70 4.2 Propriétés de la couche limite turbulente..................... 71 4.2.1 La couche limite turbulente sans gradient de pression......... 71 4.2.2 Réponse de la couche limite turbulente au gradient de pression adverse 76 4.2.3 Distribution de vitesse près de la paroi et unités visqueuses...... 79 ii Notations Théorie générale ~x = [xi ] = [x, y, z] vecteur position en coordonnées cartésiennes t temps P pression ρ masse volumique T température ~ = [Ui ] = [U, V, W ] vecteur vitesse en repère cartésien V h i ∂Uj S = [Sij ] = 12 ∂U i ∂xj + ∂xi tenseur des taux de déformation σ = [σij ] tenseur des contraintes τ = [τij ] tenseur des contraintes visqueuses µ viscosité dynamique ν = µ/ρ viscosité cinématique λ conductivité thermique Cv coefficient de chaleur massique à volume constant Théorie des couches limites s coordonnée curviligne comptée le long de la paroi n coordonnée normale à la paroi δ(x) ou δ99 (x) épaisseur conventionnelle de couche limite δ ∗ (x) ou δ1 (x) épaisseur de déplacement θ(x) ou δ2 (x) épaisseur de quantité de mouvement H(x) = δ /θ ou H12 (x) facteur de forme ∗ η = y/δ coordonnée verticale normalisée PE (x) loi de pression à la frontière de la couche limite (pression ex- térieure) iii Théorie des couches limites (suite) ~E (x) = [UE (x), VE (x)] V loi de vitesse à la frontière de la couche limite (vitesse exté- rieure) Ve (x) vitesse d’entraînement τp (x) = µ ∂U/∂y|y=0 frottement pariétal (paroi de normale y, écoulement suivant x) Cf (x) = 2τp / ρUE2 coefficient de frottement
g(x) longueur de normalisation pour une couche limite autosimilaire g 2 (x) dUE (x) β= ν dx paramètre d’accélération pour une couche limite autosimilaire δ 2 (x) dUE (x) Λ(x) = ν dx premier paramètre d’accélération de Pohlhausen θ 2 (x) dUE (x) K(x) = ν dx second paramètre d’accélération de Pohlhausen Théorie des écoulements turbulents F (α) (x, y, z, t) valeur locale en espace et en temps de la fonction F pour une réalisation α de l’écoulement considéré f (α) (x, y, z, t) fluctuation de la fonction F pour une réalisation α de l’écou- lement considéré F (x, y, z, t) moyenne d’ensemble de la fonction F pour toute réalisation de l’écoulement considéré E = Cv T énergie interne du mouvement moyen (par unité de masse) Ec = U i U i /2 énergie cinétique du mouvement moyen (par unité de masse) k = ui ui /2 énergie cinétique turbulente moyenne (par unité de masse) ε = 2ν sij sij taux de dissipation de l’énergie cinétique turbulente (par unité de masse)  = ν ∂x ∂ui j ∂ui ∂xj pseudo dissipation Pk = −ui uj S ij taux de production de l’énergie cinétique turbulente ν τij = 2µS ij frottement visqueux moyen τij = −ρui uj t frottement turbulent moyen τp = µ ∂U /∂y y=0 frottement moyen pariétal (paroi de normale y, écoulement suivant x) uτ = vitesse de frottement p τp /ρ `ν = ν/uτ échelle de longueur « visqueuse » κ = 0,41 constante de von Kármán iv Chapitre 1 Retour sur la dynamique des fluides visqueux incompressibles L’abandon de l’hypothèse fluide-parfait amène à prendre en compte un second mode de transfert au sein des écoulements. Il s’agit de la diffusion par agitation moléculaire, dont on traduit les effets au niveau macroscopique (milieu continu) par l’introduction de « diffu- sivités ». La viscosité cinématique ν est la diffusivité attachée au transfert de quantité de mouvement par agitation moléculaire et l’importance relative de ce transfert par rapport au transfert inertiel (advection) se mesure à l’aide du nombre de Reynolds. Dans l’écoulement de couche limite qui constitue la principale application visée ici, une valeur généralement élevée du nombre de Reynolds traduit la prédominance du transfert par advection mais n’au- torise pas une simplification de type fluide parfait : nous verrons que la balance précise entre les deux effets gouverne directement la structure et les propriétés des écoulements étudiés. Pour cette raison, nous allons revenir dans ce chapitre sur la nature et les propriétés des phé- nomènes d’advection et de diffusion, voir précisément comment ils se comparent, et quelles sont quelques conséquences d’un déséquilibre au profit des effets inertiels. On s’intéresse es- sentiellement au problème dynamique qui, compte-tenu de l’hypothèse d’incompressibilité, est découplé ici du problème thermique. 1.1 Les deux modes de transfert spatial Une grandeur extensive rapportée à l’unité de volume φ est dite transportable si son équation d’évolution peut s’écrire sous une forme générique similaire à celle introduite dans le cours de première année (paragraphe 2.3.2 du poly 1A) : dφ   ∂ ∂φ (1.1) = Sφ + dφ , dt ∂xi ∂xi ou dφ est la diffusivité de la grandeur φ et Sφ un terme qui peut être localement positif ou négatif et non-nécessairement nul en champ homogène (terme source/puits). En développant la dérivée particulaire et en basculant le terme d’advection au second membre, on obtient 1 l’expression suivante de la dérivée partielle temporelle sous la forme suivante :   ∂φ ∂ui φ ∂ ∂φ = Sφ − + dφ ∂t ∂xi ∂xi ∂xi = Sφ − div F~A − div F~D , où F~A = φ V ~ et ~ φ F~D = −dφ grad sont les vecteurs densité de flux d’advection et de diffusion respectivement. L’intégration sur un volume de contrôle D limité par la surface S donne une meilleure idée de la nature des termes d’advection et de diffusion. En effet, à l’aide du théorème de la divergence, cette intégrale peut se transformer de la manière suivante : ZZZ ZZZ ZZZ ZZZ ∂φ dυ = Sφ dυ − div F~A dυ − div F~D dυ D ∂t D D D ZZZ ZZZ ZZ ZZ ∂ φ dυ = Sφ dυ − F~A · ~n dσ − F~D · ~n dσ. ∂t D D S S | {z } | {z } | {z } | {z } Φ IS IA ID La grandeur Φ représente le montant total de la propriété φ contenue dans D et l’équation montre que sa variation temporelle va résulter, en particulier, des deux intégrales de flux IA et ID. Ces intégrales ne sont autres que des bilans d’entrée/sortie pour le volume de contrôle. Advection et diffusion apparaissent ainsi comme deux modes de transferts de la quantité φ à travers la surface S : le premier est porté par le mouvement macroscopique (vitesse macroscopique V ~ ), et le second par le mouvement d’agitation moléculaire (viscosité ν). On rappellera que ces deux modes de transfert sont qualifiés de conservatifs, ce qui signifie que (i) physiquement, ils s’opèrent sans gain ni perte intrinsèques ; et (ii) mathématiquement, ils interviennent sous forme de divergence dans les équations locales. Au delà de ces similitudes, nous allons voir maintenant à travers l’étude de problèmes modèles que les deux phénomènes présentent des différences essentielles. 1.1.1 Un problème monodimensionnel de diffusion pure Afin d’étudier plus précisément les caractéristiques d’un transfert de type diffusif, il est possible de travailler sur une simplification de l’équation (1.1) obtenue en considérant la diffusion d’un scalaire passif 1 dans un milieu unidimensionnel au repos :   ∂φ ∂ ∂φ = dφ. ∂t ∂x ∂x On considèrera qu’à l’instant t = 0, on dépose ponctuellement en x = 0 une quantité finie Φ0 de la grandeur φ (distribution δ de Dirac). Les conditions initiale et aux limites du problème sont donc : ∀x φ(x, 0) = Φ0 × δ(x) et ∀t lim φ(x, t) = 0. x→±∞ 1. Le terme scalaire passif signifie que la grandeur considérée (φ ici) n’influence pas le champ de vitesse. 2  1.2 (a) (b) t=1 1 t=4 t=9 0.8 0.6 ϕ p F h/ dϕ t ≈ 3,33 0.4 0.2 0 -10 -5 0 5 10 x p x/ dϕ t Figure 1.1 – Répartition spatiale de la grandeur φ dans le problème monodimensionnel de diffusion pure d’un scalaire passif. (a) Réprésentation adimensionnelle, normée par des échelles dépendantes du temps. (b) Représentation dimensionnelle à trois instants différents. Les symboles portés sur les trois courbes de la figure (b) représentent les points où la grandeur φ atteint 50 % de sa valeur maximale dans le champ à l’instant t c.-à-d. φ(0, t). Ce type de problème est bien connu et on peut montrer qu’il admet une solution de la forme Φ0   φ(x, t) x =F avec f (t) = p , g(t) = dφ t et F (η) = exp(−η 2 /4). p f (t) g(t) πdφ t Il s’agit d’une solution dite autosimilaire car le répartition spatiale de φ prend une forme universelle (F ) quand elle est rendue adimensionnelle par des échelles locales en temps : f (t) pour la grandeur φ et g(t) pour la coordonnée spatiale 2. La figure 1.1 en donne une représentation graphique avec, sur la vue de gauche, la preprésentation adimensionnelle indé- pendante du temps. La longueur h, proportionnelle à dφ t, est définie comme le segment sur lequel φ excède 50 % de sa valeur maximale φ(0, t) à l’instant t. À ce titre, elle donne une mesure de l’extension spatiale de la zone contaminée par diffusion moléculaire au bout du temps t. On voit sur la vue de droite comment, à trois instant successifs, cette conta- mination progresse dans l’espace. Dans le même temps, la valeur maximale φ(0, t) diminue jusqu’à s’annuler dans la limite t → ∞. Ceci met en évidence une propriété générale de la diffusion moléculaire qui est d’homogénéiser la répartition spatiale des grandeurs auxquelles elle s’applique. Par ailleurs, une expansion en dφ t de la zone contaminée couplée à une p diminution en 1/ dφ t de la valeur maximale de φ implique que son montant total reparti p dans le champ reste constant au cours de l’évolution et donc égal à celui injecté à l’instant initial, c.-à-d. Z +∞ Φ(t) = φ(x, t) dx = Const. = Φ0. −∞ On a ainsi une illustration évidente du caractère conservatif du phénomène de diffusion. La solution obtenue permet également de mettre en évidence une des conséquences du phéno- 2. La fonction f a la dimension de φ et la fonction g d’une longueur. 3 mène de diffusion relative à l’évolution de « l’énergie » (au sens de la théorie du signal) de la grandeur φ. En effet, si on définit l’énergie de φ sur x ∈ [−∞, +∞] à l’instant t comme Z +∞ E (t) = φ2 (x, t) dx, −∞ on peut écrire Z +∞ E (t) = f 2 (t) g(t) exp −η 2 /2 dη,
−∞ puis, tous calculs faits 3 : √ 2Φ2 E (t) = 2π f 2 (t) g(t) × lim erf(z) = p 0. z→+∞ 2πdφ t On voit que cette « énergie » décroît avec le temps et tend vers zéro dans la limite t → +∞. S’agissant de la diffusion de quantité de mouvement, l’énergie à considérer est l’énergie cinétique du mouvement macroscopique, sa décroissance temporelle est à mettre en relation avec les mécanismes de dissipation. Le résultat obtenu ici montre donc que le phénomène de diffusion se décline à deux niveaux avec des caractéristiques essentiellement différentes, il est : — de nature conservative du point de vue de la dynamique ; — de nature dissipative du point de vue énergétique. En résumé Le phénomène de diffusion moléculaire ou visqueuse est un processus de trans- fert spatial dont les modalités peuvent être précisées de la manière suivante : 1. Ses échelles caractéristiques se construisent à partir de la diffusivité dφ attachée à la grandeur considérée ; on peut ainsi définir — un temps de diffusion sur la distance L : TD ∝ L2 /dφ ,p — une distance de diffusion pendant le temps T : LD ∝ dφ T ; 2. Il tend systématiquement à homogénéiser le champ de la variable trans- portée ; 3. Il est de nature conservative mais dégrade le niveau d’énergie associé à la variable transportée. 1.1.2 Un problème monodimensionnel d’advection pure En reprenant une démarche analogue à celle adoptée dans le paragraphe précédent, on peut définir le problème monodimensionnel d’avection pure d’un scalaire passif. Dans ce cas, on dépose un montant Φ0 au voisinage de l’origine et à l’instant t = 0 de la propriété φ dans −1/2 z R 2 3. La fonction d’erreur est définie comme erf(z) = 2π exp(−ζ ) dζ, sa limite quand z → +∞ est 0 égale à l’unité. 4  t0 = 0 t1 = 1 t2 = 2 ϕ 0 U × t1 U × t2 x Figure 1.2 – Répartition spatiale de la grandeur φ dans le problème monodimensionnel d’advection pure d’un scalaire passif. La répartition initiale (courbe en rouge à t=0) à été choisie arbitrairement. Sa forme n’évolue pas au cours du temps, elle ne fait que se déplacer. un écoulement uniforme à la vitesse U~ex en l’absence de mécanisme de diffusion (dφ = 0). Le problème est gouverné par l’équation ∂φ ∂φ +U = 0, ∂t ∂x avec ∀x φ(x, 0) = φ0 (x) et ∀t lim φ(x, t) = 0. x→±∞ Il est immédiat de vérifier que la solution peut se mettre sous la forme φ(x, t) = G(ξ) avec ξ = x − Ut et donc G(ξ) = φ0 (ξ). Nous sommes donc en présence d’une solution où la répartition de φ à l’instant t est obtenue à partir de sa répartition initiale φ0 par simple translation spatiale d’une valeur U × t. La figure 1.2 illustre cette particularité de la solution pour un problème où la répartition initiale (courbe en rouge à t = 0) a été choisie arbitrairement. En conséquence directe, on vérifie que la solution est conservative pour la variable et également pour son « énergie ». 5  En résumé Le phénomène d’advection est un processus de transfert spatial dont les moda- lités peuvent être précisées de la manière suivante : 1. Ses échelles caractéristiques se construisent à partir de la vitesse macro- scopique U , on peut ainsi définir — un temps d’advection sur la distance L : TA = L/U , — une distance d’advection pendant le temps T : LA = U × T ; 2. Il préserve l’hétérogénéité du champ de la variable transportée ; 3. Il est de nature conservative et maintient le niveau d’énergie associé à la variable transportée. 1.1.3 Effets comparés d’advection et de diffusion La définition des échelles caractéristiques d’advection et de diffusion va nous permettre maintenant de mesurer l’efficacité relative de ces deux phénomènes dans un écoulement donné. Ainsi, si on considère un écoulement de fluide visqueux, de viscosité ν, où la vitesse macroscopique est de l’ordre de UA , on pourra comparer la distance LA d’action d’un trans- fert advectif pendant le temps T à la distance LD d’action du transfert diffusif pendant le même temps. Le rapport de ces deux distances prend la forme LA UA T ∝√ , LD νT soit, en élevant au carré et en reconnaissant que UA T = LA :  2 LA UA LA ∝ = Re. LD T ν De la même manière, on pourra comparer les temps TA et TD nécessaires pour obtenir des transferts par advection et diffusion, respectivement, sur la même distance L. Ce rapport de temps prend la forme TD L2 /ν ∝ , TA L/UA soit, en simplifiant directement :   TD UA L ∝ = Re. TA L ν 6  En conclusion On retiendra que le nombre de Reynolds permet de comparer : 1. Le carré du rapport des longueurs d’advection et de diffusion à même référence de temps ; 2. Le rapport des temps de diffusion et d’advection à même référence de distance. 1.2 Rôles des mécanismes d’advection et de diffusion dans la transition à la turbulence Il reste une différence essentielle entre les phénomènes d’advection et de diffusion qui n’a pas pu être discutée dans les paragraphes précédents du fait de la restriction du cadre d’étude au cas d’un scalaire passif. En effet, si on considère le cas des équations de la dynamique, la variable transportée s’identifie à la vitesse de transport par advection et, tandis que la diffusion garde son caractère linéaire, le phénomène d’advection prend un caractère fortement non-linéaire : ∂ 2 Ui ∂Ui Diffusion ≡ ν et Advection ≡ Uj. ∂xj ∂xj ∂xj Ceci influe en particulier sur la réponse de chacun de ces deux phénomènes à l’introduction de perturbations, et on pourra considérer schématiquement que : 1. Comme dans le cas d’un scalaire passif, la diffusion de quantité de mouvement contri- bue à l’homogénéisation du champ de vitesse après introduction de perturbations localisées dans le champ ; la « puissance » associée à ces perturbations (c.-à-d. leur énergie cinétique) décroît et tend vers zéro en même temps qu’elles sont diffusées spatialement ; 2. S’agissant de l’advection, le cas du scalaire passif montre que les perturbations sont transportées dans le champ sans dégradation de la « puissance » associée ; on observe même, dans le cas non-linéaire, que celle-ci peut augmenter sous certaines conditions. Les deux effets sont donc donc antagonistes et c’est le rapport du terme d’advection au terme de diffusion au sein des équations de la dynamique qui va déterminer si les perturbations injectées peuvent être amplifiées ou amorties. Pour un écoulement caractérisé par une échelle de vitesse U et une échelle de longueur L, on peut considérer qu’en ordre de grandeur : ∂ 2 Ui ∂Ui ν ∼ ν U/L2 et Uj ∼ U 2 /L. ∂xj ∂xj ∂xj Le rapport du terme « destabilisant » au terme « stabilisant » s’écrit donc UL/ν qu’on reconnaît comme l’expression du nombre de Reynolds. 7  On retiendra donc que la réponse d’un écoulement de fluide visqueux à des perturbations injectées localement se détermine en fonction de : — l’effet stabilisant de la diffusion ; — l’effet déstabilisant de l’advection. C’est encore une fois le nombre de Reynolds qui compare ces deux effets et détermine la sensibilité de l’écoulement aux perturbations. On observe ainsi qu’en pratique, pour un écoulement donné, l’augmentation du nombre de Reynolds conduit, à travers une séquence de transition (déstabilisation progressive), d’un régime laminaire à un régime turbulent. Dans le premier de ces régimes, les perturbations — inévitables en pratique — sont systématiquement amorties, tandis que dans le second régime leur amplification non-linéaire conduit à un écoulement où toutes les grandeurs fluctuent dans l’espace et dans le temps sur une large gamme d’échelles. Ces régimes de transition et de turbulence n’admettent pas les simplifications usuelles de stationnarité, bidimensionnalité etc. Nous y reviendrons en détail dans les chapitres 3 et 4. 8 Chapitre 2 Couche limite laminaire Il est possible en théorie, grâce au modèle de Navier-Stokes, d’évaluer tous les effort qui s’exercent sur un obstacle plongé dans un écoulement uniforme, et donc la traînée de frotte- ment. En pratique, la résolution du modèle se heurte cependant à de nombreuses difficultés qui tiennent à la complexité mathématique d’un système d’équations non-linéaires fortement couplées et à l’apparition de solutions turbulentes pour des valeurs du nombre de Reynolds qui peuvent être considérées comme faibles vis-à-vis de celles rencontrées dans la majeure partie des applications qui nous intéressent ici. Il va de soit, par ailleurs, que le modèle fluide-parfait trouve ici ses limites puisque même avec une hypothèse de grand nombre de Reynolds, la dégénérescence de la condition à la limite applicable à une paroi solide — on passe d’une condition d’adhérence en fluide réel à une simple condition d’imperméabilité en fluide parfait — élimine la notion même de frottement à la paroi. La situation en était là au début du XXe siècle, et le modèle fluide parfait restait avec ses limites le seul outil de l’aérodynamique. En 1904, L. Prandtl introduit le concept de couche limite 1 et ouvre ainsi la voie à plusieurs décennies de progrès continu dans le domaine de la mécanique des fluides « faiblement visqueux » (c.-à-d. des écoulements à grand nombre de Reynolds.) Il va s’ensuivre l’élaboration des premières méthodes pratiques d’évaluation de la traînée de frottement et surtout d’un cadre théorique qui, au moment où les méthodes de résolutions des équations de Navier-Stokes vont commencer à se généraliser à la fin des années 80, va perdurer comme le meilleur outil d’analyse physique des écoulements de paroi. 2.1 Le concept de couche limite La conjecture initiale de Prandtl consiste à considérer que, dans l’écoulement à grand nombre de Reynolds d’un fluide visqueux autour d’un obstacle, les effets de viscosité sont confinés dans une couche mince située au voisinage immédiat de la paroi. Au delà de cette région, qu’il baptise couche limite, le comportement du fluide serait assimilable à celui d’un fluide parfait. Cette conjecture trouve sa justification dans l’examen de la dynamique du rotationnel pour le type d’écoulement considéré. En effet, d’après les conclusions du cours de première année (paragraphe 3.2 du poly 1A),la seule possibilité pour un écoulement de fluide visqueux barotrope, initialement irrotationnel, d’acquérir du rotationnel réside dans : 1. L. Prandlt, Dritten Int. Math. Kong., Heidelberg, 1904. Voir aussi NACA TM 452 (1928) pour une traduction anglaise. 9  U∞ y t0 U∞ t1 δ ν x Figure 2.1 – Équilibre temporel advection/diffusion au voisinage d’une plaque plane placée dans un courant uniforme à la vitesse U∞. On s’intéresse à l’évolution du rotationnel porté par une particule fluide issue de l’infini amont à la cote δ, passant à l’aplomb du bord d’attaque à l’instant t0 et affectée significativement par la diffusion de rotationnel depuis la paroi à l’instant t1. — l’existence d’une source de rotationnel à la frontière du domaine fluide ; — son transfert au sein de l’écoulement par diffusion moléculaire. Sachant ceci, on va s’intéresser à l’écoulement autour d’une plaque plane placée dans un courant uniforme à la vitesse U∞ (cf. figure 2.1) et à la manière dont une particule fluide issue de l’infini amont va pouvoir acquérir du rotationnel en passant au voisinage de la plaque. On considère une particule, positionnée initialement à une cote δ au dessus du niveau de la paroi, que sa trajectoire amène à l’instant t0 à l’aplomb du bord d’attaque. À partir de t0 elle est en présence d’une production de rotationnel à la paroi. Cette grandeur va être transférée dans l’écoulement par diffusion moléculaire dans l’écoulement pour atteindre la cote δ au bout d’un temps TD ∝ δ 2 /ν. Dans le même temps TD , la particule fluide considérée se sera déplacée parallèlement à la paroi d’une longueur x égale à la longueur d’advection à vitesse U∞. On peut en déduire que x ∝ U∞ TD puis x ∝ U∞ δ 2 /ν, relation qui peut être inversée pour donner : r νx (2.1) δ∝. U∞ On voit ainsi apparaître une distance verticale δ, fonction de x, au delà de laquelle les particules fluides issues de l’infini amont ne sont pas affectées par la production de rotationnel à la paroi. Dans cette zone dite d’écoulement « libre », l’équation de la dynamique prise sous forme vectorielle pour un fluide visqueux incompressible 2 peut se simplifier en annulant divergence et rotationnel : ~ = − 1 grad ~ P + ν 4 grad ∂V~  2 V     ~ + grad +Ω ~ ∧V ~ divV ~ − rot ~ Ω~ ∂t 2 ρ 3 ~ 1 ~  2 ∂V ~ V ⇒ + grad = − grad P. ∂t 2 ρ 2. Voir § 5.1.1. du poly 1A 10 Cette équation, bien qu’écrite pour un fluide visqueux, est strictement identique à celle obtenue pour un fluide parfait. On en déduit que la viscosité, bien que présente, est sans effet dans l’écoulement libre. En deçà de la courbe δ(x), aucune simplification de ce type n’est admissible : nous sommes dans la région de couche limite. En récrivant l’équation (2.1) sous la forme δ 1 U∞ x ∝√ avec Rex = , x Rex ν on voit que la région de couche limite est d’autant plus « étirée » que le nombre de Reynolds est élevé. Ceci valide de manière indiscutable la conjecture de Prandtl. En résumé Dans l’écoulement à grand nombre de Reynolds d’un fluide visqueux au voisi- nage d’un obstacle, advection et diffusion s’effectuent à même échelle de temps. Cet équilibre temporel induit l’existence de deux zones bien distinctes au sein de l’écoulement : 1. L’écoulement libre dégagé de la paroi, où le mouvement est assimilable à celui d’un fluide parfait ; 2. La région de couche limite au contact de la paroi, où les effets visqueux ne peuvent être négligés. L’épaisseur de couche limite δ croît avec la distance x parcourue le long de l’obstacle. La distortion géométrique de cette région, mesurée par le rapport δ/x de son épaisseur à sa longueur, est d’autant plus prononcée que le nombre de Reynolds est élevé. 2.2 Le modèle de Prandtl pour la couche limite lami- naire à grand nombre de Reynolds Nous allons voir maintenant qu’il est possible de simplifier le modèle de fluide visqueux incompressible applicable dans la couche limite en tenant compte de la distortion géomé- trique qui caractérise cette région. Pour ceci, on part du modèle écrit pour un écoulement bidimensionnel-plan et permanent sous la forme ∂U ∂V + = 0, ∂x ∂y 1 ∂P  2 ∂2U  ∂U ∂U ∂ U U +V =− +ν + , ∂x ∂y ρ ∂x ∂x2 ∂y 2 1 ∂P  2 ∂2V  ∂V ∂V ∂ V U +V =− +ν +. ∂x ∂y ρ ∂y ∂x2 ∂y 2 On introduit ensuite deux paramètres  et 0 qui traduisent, respectivement, la distorsion géométrique de la couche limite et la distortion cinématique de l’écoulement en son sein :  = y/x et 0 = V /U. 11 Le paramètre  peut d’ores et déjà être considéré comme « petit paramètre » puisque, dans la couche limite y est toujours inférieur à δ et que le rapport δ/x devient très petit devant l’unité dès que le nombre de Reynolds est suffisamment grand. La dépendance au nombre de Reynolds sera de plus prise en compte en posant  = Re−m et 0 = Re−n , où les exposants m et n sont, pour l’instant, indéterminés et où le nombre de Reynolds est défini à l’aide de la vitesse de l’écoulement à l’infini amont (U∞ ) et une dimension caractéristique de l’obstacle (L). Nous allons maintenant rechercher une forme asymptotique non-dégénérée, du modèle lorsque le nombre de Reynolds tend vers l’infini. On introduit pour ceci le changement de variable suivant : x y y x∗ = , y∗ = = Rem , L L L U V U P U∗ = , V∗ = = Ren et P ∗ = , U∞ 0 U∞ U∞ ρ U∞2 qui, si les exposants m et n sont convenablement choisis, permet de régulariser les distorsions géométrique et cinématique en produisant des variables sans dimension (étoilées) du même ordre de grandeur dans les deux directions. Application du changement de variable à l’équation de continuité : On obtient une équation sans dimension de la forme ∂U ∗ m−n ∂V ∗ + Re = 0, ∂x∗ ∂y ∗ qui ne dégénère pas quand Re tend vers l’infini si et seulement si m = n. On voit que les distorsions géométrique et cinématique sont nécessairement de même ordre. Application du changement de variable à l’équation de la dynamique dans la direction longitudinale : On obtient une équation sans dimension, dont la forme ∂U ∗ m−n ∗ ∂U ∗ ∂P ∗ 2 ∗ −1 ∂ U 2 ∗ 2m−1 ∂ U U∗ + Re V = − + Re + Re , ∂x∗ ∂y ∗ ∂x∗ ∂x∗2 ∂y ∗2 amène les remarques suivantes : 1. Avec m = n, les deux termes d’advection sont du même ordre ; 2. Le terme de diffusion dans la direction longitudinale tend vers zéro quand Re tend vers l’infini ; 3. L’équilibre advection/diffusion ne dégénère pas quand Re tend vers l’infini si et seule- ment si 2m − 1 = 0. Ceci achève la détermination des exposants et on retiendra : m = n = 1/2. 12 Application du changement de variable à l’équation de la dynamique dans la direction transversale : L’équation sans dimension prend la forme ∂V ∗ ∂V ∗ ∂P ∗ ∂2V ∗ ∂2V ∗ U∗ ∗ + Rem−n V ∗ ∗ = −Rem+n ∗ + Re−1 ∗2 + Re2m−1. ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∗2 Puis, avec m = n = 1/2 : ∂V ∗ ∂V ∗ ∂P ∗ ∂2V ∗ ∂2V ∗ U∗ ∗ + V ∗ ∗ = −Re ∗ + Re−1 ∗2 +. ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∗2 Quand Re tend vers l’infini, le terme de diffusion longitudinale devient négligeable devant les termes d’advection, et de diffusion dans la direction transversale qui sont tous trois de l’ordre de l’unité. On pourra en déduire que ∂P ∗ ∂P ∗ Re ∼ 1, puis que → 0 quand Re → ∞. ∂y ∗ ∂y ∗ En finale, La seule forme asymptotique non-dégénérée possible s’écrit de la manière sui- vante : ∂U ∗ ∂V ∗ ∗ + = 0 ∂x ∂y ∗ ∂U ∗ ∂U ∗ ∂P ∗ ∂2U ∗ U∗ ∗ + V ∗ ∗ = − ∗ + ∂x ∂y ∂x ∂y ∗2 ∂P ∗ = 0 ∂y ∗ ou, de manière équivalente, en revenant sous forme dimensionnelle : ∂U ∂V + = 0 ∂x ∂y ∂U ∂U 1 ∂P ∂2U U +V = − +ν 2 ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ∂P = 0 ∂y Ce système d’équation est connu sous le nom de modèle de Prandtl. Il est applicable dans la région de couche limite et se distingue du modèle de Navier-Stokes par deux particularités : 1. La disparition du terme de diffusion dans la direction longitudinale, négligeable vis- à-vis de la diffusion dans la direction transversale ; 2. La dégénérescence de l’équation de quantité de mouvement dans la direction trans- versale qui montre qu’à x fixé, la pression ne varie pas à travers la couche limite. 2.2.1 Mise en œuvre du modèle de Prandtl : Le couplage fluide parfait – couche limite À ce stade, nous disposons d’un modèle spécifique à chacune des deux régions identifiées dans le champ d’écoulement. Le raccordement s’opère le long de la courbe δ(x) et on notera PE (x) = P (x, δ(x)) et V ~E (x) = V ~ (x, δ(x)) , 13  (a) y Écoulement (b) y Écoulement libre libre U∞ P∞ U (x, y) P (x, y) Couche UE (x) Couche PE (x) limite limite x x Figure 2.2 – Condition de raccordement entre l’écoulement libre et la couche limite, (a) pour le champ de vitesse et (b) pour le champ de pression. comme illustré sur la figure 2.2. Les valeurs de raccordement V ~E et PE vérifient les équations du fluide parfait et, à ce titre, sont liées par la relation de Bernoulli : 1 2 PE + ~E ρ V = Const. 2 2 soit, en différenciant par rapport à x et en considérant que V ~E ≈ UE2 : 1 dPE dUE − = UE. ρ dx dx Dans la couche limite la pression ne varie pas en y, elle est donc égale à sa valeur à la frontière et on pourra considérer que ∀y ∈ [0, δ(x)] P (x, y) = PE (x). On dit que la pression extérieure « s’imprime » à travers la couche limite. En conséquence directe, on pourra récrire le modèle de Prandtl sous l’une ou l’autre des deux formes suivantes qui sont celles utilisées en pratique. ∂U ∂V (2.2) + =0 ∂x ∂y ∂U ∂U 1 ∂PE ∂2U (2.3) U +V =− +ν 2 ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ∂U ∂V (2.4) + =0 ∂x ∂y ∂U ∂U ∂UE ∂2U (2.5) U +V = UE +ν 2 ∂x ∂y ∂x ∂y 14 D’un point de vue mathématique, le modèle est devenu parabolique dans la direction longi- tudinale (disparition des dérivées secondes dans cette direction) mais reste elliptique dans la direction transversale. De ce fait, sa résolution nécessite la spécification de conditions initiale et aux limites : 1. La condition initiale est de la forme ∀y ∈ [0, δ(x0 )] U (x0 , y) = U0 (y), où la fonction U0 (y) est une donnée du problème ; 2. Les conditions aux limites s’expriment sous la forme ∀x U (x, 0) = 0, V (x, 0) = 0 et U (x, δ(x)) = UE (x). Même si, à ce stade, le problème est bien posé du point de vue mathématique, la diffi- culté pratique à laquelle se heurte sa résolution est l’indétermination de la frontière δ(x) et des valeurs de raccordement UE (x) et/ou PE (x). C’est pour cette raison que nous allons in- troduire maintenant la notion de couplage faible, comme une approximation suffisante pour résoudre avec un bon degrés de précision les problèmes de couches limites non-décollées à grand nombre de Reynolds. 2.2.2 Le calcul de couche limite par « couplage faible » Pour palier à l’indétermination de l’épaisseur de couche limite et des valeurs de raccor- dement, et généraliser le modèle au cas de parois faiblement courbées, on met à profit le fait qu’à grand nombre de Reynolds l’épaisseur δ est faible vis-à-vis des caractéristiques géomé- triques de l’obstacle : dimension L et rayon de courbure de la paroi R. De ce fait, la solution fluide parfait représente une bonne approximation du champ de vitesse extérieure obtenu en fluide visqueux dans l’écoulement libre. Ces hypothèses se traduisent de la manière suivante. Hypothèses 1 La condition δ  L se décline en deux volets, illustrés sur la figure 2.3 : a. Le champ qui s’établit dans la région d’écoulement libre est assimilable à celui qui s’y établirait en l’absence de couche limite ; b. Les grandeurs de raccordement UE (x) et PE (x) sont assimilables aux valeurs de vitesse et pression données par la solution fluide parfait au contact de l’obstacle. Hypothèse 2 La condition δ  R permet d’assimiler : — la direction longitudinale x à l’abscisse curviligne s comptée le long de la paroi ; — la direction transversale y à la distance normale à la paroi n. La formulation finale qui en découle pour le modèle de Prandtl est la suivante, ∂Us ∂Un + = 0, ∂s ∂n ∂Us ∂Us 1 ∂PE ∂ 2 Us Us + Un =− +ν , ∂s ∂n ρ ∂s ∂n2 ∂UE ∂ 2 Us = UE +ν , ∂s ∂n2 15  (a) y Écoulement (b) y Écoulement libre libre U∞ U∞ U (x, y) ≈ U FP (x, y) UE (x) Couche Couche limite limite ≈ U FP (x, 0) x x Figure 2.3 – Hypothèses de couplage faible consécutives à la condition δ  L. (a) Le champ extérieur est assimilable à la solution fluide parfait. (b) La valeur de raccord UE (x) est assimilable à la solution fluide parfait au contact de l’obstacle. où Us et Un représentent les projections du vecteur vitesse sur la tangente et la normale à la paroi, respectivement. Méthode de résolution La résolution d’un problème de couche limite abordé par une approche de couplage faible se fait en deux étapes, détaillées et illustrées ci-dessous. Étape 1 : Calcul du champ fluide parfait Modèle L Fluide parfait incompressible ν Écoulement U∞ — Bidimensionnel-plan — Permanent UE Résultat PE Le gradient extérieur de pression, donné ∂UE ∂x >0 ∂UE ∂x