رياضيات 1 (ENG 021) (الكتاب) PDF

‫جامعة قناة السويس‬ ‫كليـة الهندســة‬ ‫رياضيات ‪1‬‬ ‫‪ENG 021‬‬ ‫إعداد‬ ‫د‪ /.‬مؤنس عبد التواب‬ ‫د‪ /.‬محمد خليل الجيار‬ ‫د‪ /.‬عمرو حسن أحمد‬ ‫‪2021- 2022‬‬ ‫‪2024-2025...

‫جامعة قناة السويس‬ ‫كليـة الهندســة‬ ‫رياضيات ‪1‬‬ ‫‪ENG 021‬‬ ‫إعداد‬ ‫د‪ /.‬مؤنس عبد التواب‬ ‫د‪ /.‬محمد خليل الجيار‬ ‫د‪ /.‬عمرو حسن أحمد‬ ‫‪2021- 2022‬‬ ‫‪2024-2025‬‬ ‫‪1‬‬  ‫الجزء األول‬ ‫الهندسة التحليلية‬ ‫‪2‬‬  ‫المحتويات‬ ‫‪4‬‬ ‫مقدمة‬ ‫نظم اإلحداثيات‬ ‫الباب االول‬ ‫‪6‬‬ ‫اإل حداثيات في المستوي‬ ‫‪17‬‬ ‫اإل حداثيات في الفضاء ثالثي األبعاد‬ ‫‪28‬‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫الباب الثاني‬ ‫‪46‬‬ ‫المستوى‬ ‫الباب الثالث‬ ‫‪54‬‬ ‫أزواج المستقيمات‬ ‫الباب الرابع‬ ‫‪68‬‬ ‫الدائرة‬ ‫الباب الخامس‬ ‫‪99‬‬ ‫القطاعات المخروطية‬ ‫الباب السادس‬ ‫‪102‬‬ ‫القطع المكافئ‬ ‫‪123‬‬ ‫القطع الناقص‬ ‫‪142‬‬ ‫القطع الزائد‬ ‫‪3‬‬  ‫مقدمة‬ ‫الهندسة التحليلية أوالهندسة اإل حداثية هي ذلك الفرع من علم الرياضي ات الذي ي ربط بي ن‬ ‫فرعي الهندسة والجبر أو أنه ذلك العلم الذي يدرس كيفية حل المساءل الهندس ي ة بطرق‬ ‫جبرية والتي كانت تحل قبل ذلك بطرق تقريبية‪.‬‬ ‫ويرجع الفضل إلى العالم الفرنسي رينية ديكارت )‪ (1596-1650‬في إيجاد ذلك الدمج بين‬ ‫علمي الجبر والهندسة التقليدية ووضع القواعد األساسية لما يعرف اآلن بإسم الهندسة‬ ‫التحليلية‪.‬فقد كان ديكارت هو أ ول من اكتشف عالقة التناظر بين األعداد الحقيقية والنقاط‬ ‫علي الخط المستقيم والذي عرف بعد ذلك بخط األعداد‪ ،‬كما أنه حدد موضع كل نقطة ف ي‬ ‫المستوى ببعديها عن مستقيمين ثابتين متعامدين ومتقاطعين في نقطة تسمى بنقطة األصل‪،‬‬ ‫كما يسمي المستقيمان المتعامدان بمحوري اإلحداثيات‪.‬‬ ‫وعلى الرغم من أن دراسة ديكارت إقتصرت على الربع اإلحداثي األول إال أن إكتشافه قد‬ ‫نقل الهندسة الى مرحلة جديدة متطورة تمكن فيها العلماء من حل العديد من المسائل بطرق‬ ‫تحليلية مما أعطاها دقة لم تك ن متوفرة لدى العلماء قبل ذلك‪.‬‬ ‫وبواسطة الهندسة التحليلية أمكن أيضا حل بعض العالقات الجبرية هندسيا وإعطاء تفسير‬ ‫هندسي واضح لكثير من المعادالت الجبرية‪ ،‬غير أن اإلنجاز األ عظم للهندسة التحليلية‬ ‫كان في إمكانية التعبير عن األشكال الهندسية بمعادالت رياضية ودراسة هذه األشكال وفقا‬ ‫لمعادالتها‪.‬‬ ‫وقد هدفنا من تجميع هذه المادة العلمية إلى تقديم مرجعا ُ مبسطا ُ في الهندسة التحليلية‬ ‫ويكون متاحا ُ لطلبة كلية الهندسة وذلك باحتوائه على المواضيع التالية‪:‬‬ ‫نظم االحداثيات في المستوى والفراغ ثالثي األبعاد‪ ،‬والهندسة التحليلية للدائرة والخط‬ ‫المستقيم‪ ،‬المعادلة العامة من الدرجة الثانية و القطاعات المخروطية‪.‬‬ ‫‪4‬‬  ‫الباب األول‬ ‫نظم اإلحداثيات‬ ‫‪Coordinate Systems‬‬ ‫‪5‬‬  ‫نـظــم اإلحـداثيــات في المستوي‬ ‫”‪“Coordinate Systems in the Plane‬‬ ‫اإلحداثيات هي قيم عددية تصف المكان النسبي لنقطة ما في المستو ي أو الفضاء‬ ‫الهندسي‪.‬ف على سبيل المثال االرتفاع بالنسبة لسطح البحر هي إحداثية تفيد في تحديد‬ ‫االرتفاع النسبي لنقطة ما من األرض ‪.‬وفي الهندسة التحليلية المستوية تكون نقطة البداية‬ ‫هي تعيين ن ظام إح داثيات عددي لكل نقطة في المستوى حيث يلزمنا هنا تحديد عددين‬ ‫حقيقيين لكل نقطة حتى يتم تحديدها تحديداُ تاماُ‪.‬وبمعرفة هذه اإلحداثيات فإنه يكون من‬ ‫السهل تمثيل المعادالت الجبرية ذات المجهولين كمنحنيات هندسية كما في حالة الخطوط‬ ‫المستقيمة‪.‬‬ ‫وسوف نستعرض هنا نظامي اإلحداثيات الكارتيزية والقطبية للنقط في المستوى والعالقة‬ ‫بينهما وذلك كمقد مة لدراسة بعض المنحنيات الهامة في المستوى فيما بعد ثم‬ ‫سنقدم بشئ من االيجاز كال من اإلحداثيات الكارتيزية وال قطبية والكروية في الفضاء‬ ‫ثالثي األبعاد لما لها من أهمية في التطبيقات الفيزيائية‪.‬‬ ‫اإلحداثيات الكارتيزية في المستوى‪:‬‬ ‫‪Cartesian Coordinates in the plane‬‬ ‫تكون الخطوة األولي في اإلحداثيات‬ ‫الكارتيزية أو المستطيلة هي تحديد‬ ‫مستقيمين متعامدين يتقاطعان في نقطة‬ ‫تسمى نقطة األصل ( ‪ )origin‬والتي‬ ‫يرمز لها عادة بالرمز )‪ ،O(0,0‬أما‬ ‫بالنسبة للمستقيمان فإننا نعتبر اتجاه‬ ‫أحدهما هو االتجاه األفقي ويسمى بمحور‬ ‫‪ )x-axis( x‬أو المحور السيني وبذلك يكون اتجاه المستقيم اآلخر هو االتجـاه الرأسي‬ ‫ويسمى بمحـــور ‪.)y-axis( y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫و يسمى المستوي الذي يحتوي هذا النظام المتعامد من المحاور بمستوى اإلحداثيات‬ ‫‪ Coordinate plane‬وباستخدام الرمزين ‪ x, y‬فإن المســتوى الناتج يسمى‬ ‫‪( xy-plane‬انظر الشكل السابق)‪.‬‬ ‫وفي حالة استخدام رمزين آخرين كـ ‪ t, s‬مثالُ‪ ،‬فيسمي المستوى في هذه الحالة‬ ‫‪ ،ts-plane‬كما يمكننا بالمثل استخدام أي رمزين آخرين‪.‬‬ ‫وتمثل أي نقطة في المستوى ولتكن النقطة ‪ P‬بواسطة زوج وحيد من األعداد الحقيقية‬ ‫يرمز له بالرمز )‪ (x,y‬والذي يسمي‬ ‫بالزوج المرتب حيث تمثل القيـمة ‪x‬‬ ‫االحداثي الســيني )‪(x-coordinate‬‬ ‫وهي عبارة عن البعد بين النقطة ‪P‬‬ ‫والمحـور الرأسـي بينمـــــا تمثـــل‬ ‫القـــيمة ‪ y‬االحــــــداثي الصـــــــــادي‬ ‫)‪ (y-coordinate‬وهي عبارة عن‬ ‫البعد بين النقطة ‪ P‬والمحور األفقي كما‬ ‫بالشكل‪.‬‬ ‫ويمكن مالحظة أن محوري اإلحداثيات في النظام الكارتيزي يقسما المستوى إلى أربعة‬ ‫أجزاء متساوية يسمى كل منها ربعا ُ أو‬ ‫‪ Quadrent‬حيث تختلف اشارة اإلحداثيات‬ ‫تبعا ُ للربع الذي تقع فيه النق طة‪.‬‬ ‫ففي الربع األول والربع الثالث تكون اشارة‬ ‫كال من اإلحداثي السيني واإل حداثي الصادي‬ ‫متشابهتان فتكون اإلشارة موجبة في األول‬ ‫وسالبة في الثالث بينما تختلف االشارتين في‬ ‫الربعين الثاني والرابع فيكون اإلحداثي السيني‬ ‫‪7‬‬ ‫في الربع الثاني سالبا ُ واالحداثي الصادي موجبا ُ بينما يحدث العكس في الربع الرابع كما‬ ‫هو مبين بالشكل‪.‬‬ ‫)‪(3,-2) , (-1.5,-2.5) , (-3,1) , (2,3‬‬ ‫وعلى ذلك فإننا عند تمثيل النقط‬ ‫سوف نجد اآلتي‪:‬‬ ‫ النقطة )‪ (2,3‬تقع في الربع األول حيث أن كال اإلحداثيان موجبان ‪.‬‬ ‫ النقطة )‪ (-3,1‬تقع في الربع الثاني حيث اإلحداثي السيني سالبا ُ بينما اإلحداثي‬ ‫الصادي موجباُ‪.‬‬ ‫ النقطة )‪ (-1.5,-2.5‬تقع في الربع الثالث حيث أن كال اإلحداثيين سالباُ‪.‬‬ ‫ بينما تقع النقطة )‪ (3,-2‬في الربع الرابع ألن اشارة اإلحداثي السيني موجبة‬ ‫واشارة اإلحداثي الصادي سالية‪.‬‬ ‫كما يمكننا أن نالحظ أن النقاط التي تقع علي محور ‪ x‬هي النقظ التي ينعدم فيها اإلحداثي‬ ‫الصادي أي أن ‪ y=0‬وبالمثل فإن النقاط التي تقع على محور ‪ y‬هي تلك النقظ التي ينعدم‬ ‫فيها اإلحداثي السيني أي أن ‪.x=0‬‬ ‫‪8‬‬  ‫مثــال‪:1‬‬ ‫هل يمكنك تحديد في أي ربع تقع النقاط التالية مع ذكر السبب؟‬ ‫)‪(15.3, 0.002) , (1/2,-0.3) , (-2,7) , (-0.09,-10‬‬ ‫الحــل‪ :‬يترك الحل كتمرين لل طالب‪...‬‬ ‫اإلحداثيات القطبية في المستوى‪:‬‬ ‫‪Polar Coordinates in the plane‬‬ ‫استعرضنا فيما سبق كيفية تمثيل نقطة ما في المستوى باستخدام نظام اإلحداثيات‬ ‫الكارتيزية ‪ ،‬ولكن في بعض االحيان قد يفضل استخدام نوع آخر من االحداثيات يسمى‬ ‫باإلحداثيات القطبية‪.‬‬ ‫وتعتمد هذه الطري قة على اتخاذ خط ثابت في المستوى يسمى بالمحـور القطبي‬ ‫)‪ (Polar axis‬ونقطة ثابتة عليه تسمى‬ ‫القطب )‪.(Pole‬‬ ‫و عند استخدام هذه اإلحداثيات يكون تمثيل‬ ‫النقطة ‪ P‬في المستوى بواسطة الزوج المرت ب‬ ‫)‪ (r, θ‬حيث تمثل ‪ r‬البعد بين النقطة ‪P‬‬ ‫والقطب ‪ O‬وتسمى بالبـعد القطـ ب ي أو نصف‬ ‫القــــــــــطر ”‪.“radial coordinates” or “radius‬‬ ‫بينما تمثل ‪ θ‬الزاوية التي يصنعها المتجه ‪ OP‬مع المحور القطبي وتعرف بالسعة أو‬ ‫البعد الزاوي ”‪.“angular coordinate” or “polar angular‬‬ ‫وقد اتفق على أن تكون الزاوية ‪ θ‬موجبة إذا دار‬ ‫المتجه ‪ OP‬في عكس اتجاه حركة عقارب الساعة‬ ‫(كما هو موضح بالشكل) بينما تكون ‪ θ‬سالبة إذا قيست‬ ‫في نفس اتجاه حركة عقارب الساعة‪.‬‬ ‫والزاوية ‪ θ‬قد تقاس بالتقدير الستيني أو بالتقدير الدائري‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫من المناقشة السابقة قد يظن البعض أن قيمة ‪ r‬البد وأن تكون موجبة دائما‪ ،‬ولكن في‬ ‫الواقع فإننا نسمح بقيم سالبة للبعد ‪.r‬‬ ‫سنجد أنه إذا كانت قيمة ‪ r‬موجبة‬ ‫و‬ ‫فمثال إذا حاولنا تمثيل النقطتين‬ ‫فإن النقطة ستقع في نفس الربع اإلحداثي الذي يكون فيه اتجاه الزاوية ‪ θ‬بينما إذا كانت ‪r‬‬ ‫لها قيمة سالبة ففي تلك الحالة فإن النقطة تقع في ا لربع الذي يقع في االتجــاه العكسـي‬ ‫للزاوية ‪ ، θ‬وعلى ذلك فإننا نالحظ من الر سـم أن إحــــداثي النــقطة‬ ‫‪.‬‬ ‫تمثل نفس إحداثيات النقطة‬ ‫من االتجاه الموجب للمحور القطبي مما‬ ‫بمعنى أننا سوف ندور بزاوية مقدارها‬ ‫بالرسم‪.‬‬ ‫الموضح‬ ‫المتقطع‬ ‫الخط‬ ‫اتجاه‬ ‫في‬ ‫النقطة‬ ‫نرسم‬ ‫يجعلنا‬ ‫هذه المالحظات تقودنا إلى إستنتاج اختالف هام بين كال من االحداثيات القطبية‬ ‫واالحداثيات الكارتيزية‪ ،‬فبينما نجد أن النقطة لها تمثيل وحيد في اإلحداثيات الكارتيزية‬ ‫فإنه عند استخدام نظام االحداثيات القطبية نجد عددا ال نهائيا من اإلحداثيات التي تمثل‬ ‫نفس النقطة‪.‬‬ ‫‪10‬‬  ‫فمثال اإلحداثيات األربعة التالية‬ ‫تمثل نفس النقطة في المستوى‪:‬‬ ‫كما هوموضح بالشكل‪:‬‬ ‫نجد أننا قد تحركنا‬ ‫في هذا المثال نالحظ أنه عند تمثيل الزوج المرتب الثاني‬ ‫في نفس اتجاه حركة عقارب الساعة حي ث كانت اشارة الزاوية ‪ θ‬سالبة أما بالنسبة‬ ‫فإننا قد استخدمنا الحقيقة التي استنتجناها‬ ‫و‬ ‫للزوجين األخيرين‬ ‫سابقا بأن القيمة السالبة للبعد ‪ r‬تعني أن النقطة تقع في الربع العكسي التجاه الزاوية ‪. θ‬‬ ‫الحظ أيضا أن الزوايا في تلك النقاط األربع لم يحدث فيها دوران حول النظام أكثر من‬ ‫دورة واحدة‪ ،‬أما إذا سمحنا للزاوية بأن تصنع أي عدد من الدورات الكاملة حول المحور‬ ‫القطبي فإن ذلك سيعطينا عددا ال نهائيا من اإلحداثيات لنفس النقطة‪.‬‬ ‫يمكن تمثيلها بأي من الصور‬ ‫وفي النهاية فإننا نستخلص من ذلك أن النقطة‬ ‫التالية ‪:‬‬ ‫هو أي عدد صحيح موجب‪.‬‬ ‫حيث‬ ‫أو‬ ‫‪11‬‬  ‫ال عالقة بين اإلحداثيات الكارتيزية والقطبية‪:‬‬ ‫إذا فرضنا أن اإلحداثيات الكارتيزية للنقطة ‪ P‬في‬ ‫المستوى هي )‪ ،(x,y‬و أن اإلحداثيات القطبية‬ ‫‪.‬‬ ‫لتلك النقطة هي‬ ‫فإذا اعتبرنا أن نقطة األصل هي القطب وأن‬ ‫المحور األفقي هو المحور القطبي فإننا نالحظ من‬ ‫الشكل المقابل أن ‪:‬‬ ‫وهاتان العالقتان تعبران عن االحداثيات الكارتيزية بداللة االحداثيات القطبية وبالعكس‬ ‫فإنه يمكن التعبير عن االحداثيات القطبية بداللة االحداثيات الكارتيزية فنجد من الشكل أن‪:‬‬ ‫أي أن‬ ‫‪،‬‬ ‫ومنها‬ ‫الحظ أنه كان يجب أ ن نضع إشارة موجب أو سالب أمام الجذر التربيعي حيث علمنا سابقا‬ ‫أن إشارة البعد ‪ r‬يمكن أن تكون إما موجبة أو سالبة ولكننا سنكتفي هنا بالقيمة الموجبة لـ‬ ‫‪.r‬ولنحصل علي عالقة إليجاد الزاوية ‪ θ‬فإننا نبدأ من اآلتي‪:‬‬ ‫ولكن يجب علينا الحذر عند استخدام هذه العالقة حيث أن دالة الظل العكسية لن تعطينا‬ ‫‪.‬‬ ‫القيمة المطلوبة إال إذا كانت الزاوية ‪ θ‬تقع في الفترة‬ ‫بعد حساب قيمة الزاوية بهذه الطريقة علينا أن نتذكر دائما أنه توجد زاوية أخري محتملة‬ ‫‪.‬‬ ‫هي الزاوية‬ ‫‪12‬‬  ‫مثـــال‪:2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫اوجد اإلحداثيات الكارتيزية للنقطة‬ ‫الحــــل‪:‬‬ ‫للحصول علي اإلحداثيات الكارتيزية فإننا ببساطة نقوم بالتعويض في العالقات السابقة‬ ‫بإحداثيات النقطة المعطاة فنجد أن‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫وعليه تكو ن اإلحد اثيات الكارتيزية للنقطة هي‬ ‫مثـــال‪:3‬‬ ‫اوجد اإلحداثيات القطبية للنقطة )‪.(-1,-1‬‬ ‫الحــــل‪:‬‬ ‫نبدأ أوال بإيجاد قيمة البعد ‪r‬‬ ‫وتكون الزاوية ‪ θ‬كالتالي‬ ‫ليست هي اإلجابة الصحيحة حيث تقع هذه الزاوية في الربع األول بينما‬ ‫ولكن الزاوية‬ ‫تقع النقطة )‪ (-1,-1‬في الربع الثالث وذلك ألن إ حداثييها الكارتيزيين سال بي ن لذلك وكما‬ ‫ذكرنا سابقا فإن الزاوية الصحيحة يمكن الحصول عليها كالتالي‪:‬‬ ‫‪.‬‬ ‫وبذلك تكون اإلحداثيات القطبية للنقطة المعطاة هي‬ ‫ولكن في هذه الحالة ستكون قيمة ‪r‬‬ ‫الحظ أنه كان يمكننا استخدام الزاوية األولي‬ ‫‪.‬‬ ‫سالبة أي أن إحداثيات النقطة في هذه الحالة تصبح‬ ‫من المفيد أن نذكر هنا أنه يمكننا أيضا استخدام العالقات السابقة لتحويل المعادالت من‬ ‫اإلحداثيات الكارتيزية الي ا إلحداثيات القطبية والعكس‪.‬‬ ‫‪13‬‬  ‫مثــال‪:4‬‬ ‫حول المعادلة التالية إلى الصورة القطبية ‪:‬‬ ‫الحــــل‪:‬‬ ‫كل ما علينا فعله هنا هو التعويض عن كل من ‪ x‬و ‪ y‬كالتالي‪:‬‬ ‫مثــال‪:5‬‬ ‫حول المعادلة التالية إلى الصورة الكارتيزية ‪:‬‬ ‫الحــــل‪:‬‬ ‫سوف نترك للطالب أن يتأكد أن الصورة الكارتيزية لهذه المعادلة هي‬ ‫ال مسافة بين نقطتين‬ ‫أوال‪ :‬في اإلحداثيات الكارتيزية‬ ‫تعرف المسافة بين نقطتين على أنها طول الخط المستقيم بين هاتين النقطتين‪.‬وفي‬ ‫الهندسة التحليلية‪ ،‬من الممكن إيجاد المسافة بين نقطتين )‪ (x1, y1‬و )‪ (x2, y2‬في‬ ‫المستوى ‪ xy‬في نظام اإلحداثيات الكارتيزية باستخدام العالقة التالية‪:‬‬ ‫كما هو موضح بالشكل‬ ‫وقد استخدمنا نظرية‬ ‫فيثاغورث في استنتاج هذه‬ ‫العالقة‪.‬‬ ‫‪14‬‬  ‫مثــال‪:6‬‬ ‫اوجد إحداثيات النقطة التي تبعد عن النقطة )‪ (0,0‬بمسافة ‪ 2 2‬وتبعد‬ ‫عن النقطة )‪ (4,4‬بالمسافة ‪. 2 2‬‬ ‫الحـــل‪:‬‬ ‫يترك كتمرين لل طالب‪.‬‬ ‫ثانيا‪ :‬في اإلحداثيات القطبية‪:‬‬ ‫و‬ ‫) ‪(r2 ,  2‬‬ ‫إذا كان كال من الزوجين المرتبين‬ ‫يمثالن اإلحداثيات القطبية لنقطتي ن في المستوى فإن المسافة بين هاتين النقطتين في هذه‬ ‫الحالة تعطي من العالقة التالية‬ ‫مثـــال‪:7‬‬ ‫أوجد البعد بين النقطتين )‪ (3,10 ‬و )‪. (5,40‬‬ ‫الحـــل‪:‬‬ ‫‪r1 = 3 , 1 =10‬‬ ‫من إحداثيات النقطتين نالحظ أن‬ ‫‪r2 = 5 ,  2 = 40‬‬ ‫‪15‬‬  ‫وبتطبيق العالقة السابقة نجد أن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪d = r1 + r2 − 2 r1 r2 cos( 2 − 1‬‬ ‫)‪= 9 + 25 − 2(3)(5) cos(30‬‬ ‫‪= 34 − 15 3‬‬ ‫‪16‬‬  ‫نـظــم اإلحـداثيــات في الفراغ ثالثي األبعاد‬ ‫”‪“Coordinate Systems in the 3D space‬‬ ‫بعد أن عرضنا لنظم اإلحداثيات المستخدمة في المستوى فإنه من المفيد هنا أن‬ ‫نعرض بشئ من اإليجاز لنظم اإلحداثات ثالثية األبعاد نظراُ ألهميتها في حياتنا العملية ‪.‬‬ ‫وحقيقة يمكن تحديد وضع نقطة ما في الفراغ تحديداً تاما ً بإحدى الطرق الثالث اآلتية‪:‬‬ ‫‪ ‬اإلحداثيات الكارتيزية‪.‬‬ ‫‪ ‬اإلحداثيات اإلسطوانية‪.‬‬ ‫‪ ‬اإلحداثيات ا لقطبية الكروية‪.‬‬ ‫اإلحداثيات الكارتيزية في الفراغ ثالثي األبعاد‪:‬‬ ‫‪Cartisian Coordinates in the 3D space‬‬ ‫أى ثالث مستقيمات محددة متقاطعة وليست فى مستوى واحد ‪.‬‬ ‫ليكن ‪z0 z, y0 y, x0 x‬‬ ‫فبالمثل كما في حالة المستوى فإن هذه المستقيمات تسمى محاور اإلحداثيات‪.‬وإذا كان كل‬ ‫اثنان من هذه المستقمات متعامدين فإن نظام اإلحداثيات الذ ى نحصل عليه يسمى نظام‬ ‫اإلحداثيات المتعامدة أو نظام اإل حداثيات الكارتيزية‪.‬‬ ‫وتحدد النقطة ‪ P‬فى الفراغ تحديدا تاما بواسطة ثالثة أعداد حقيقية وتكتب في الصورة‬ ‫) ‪ p ( x, y, z‬حيث تمثل قيمة ‪ x‬البعد بين النقطة ‪ P‬و المستوى ‪ y O z‬كما تمثل ‪ y‬البعد بين ها‬ ‫‪.‬‬ ‫وبين المستوى ‪ x O z‬بينما تمثل ‪ z‬البعد بين ‪ P‬وبين المستوى ‪. x O y‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫على الترتيب وكذلك‬ ‫‪x,‬‬ ‫‪y, z‬‬ ‫المستقيمات الثالثة المتعامدة ‪xox, yoy, zoz‬هى المحاور‬ ‫‪zx, yz, xy‬‬ ‫تسمى مســتويات اإلحداثيات ‪ zox, yoz, xoy‬بالمستويات‬ ‫على الترتيب‪.‬‬ ‫ويمكننا مالحـظة اآلتـى‪:‬‬ ‫‪x − axis‬‬ ‫‪ - 1‬لكل نقطة تقع على المحور السينى‬ ‫فإن ‪z = y = o‬‬ ‫كذلك لكل نقطة تقع على المحــور‬ ‫الصــــادى ‪y − axis‬‬ ‫يكون ‪z = x = o‬‬ ‫وبالمثــــــل فإن ‪ x = y = o‬لكل‬ ‫نقطه تقع على المحور العينى‬ ‫‪. z − axis‬‬ ‫‪ - 2‬اإلحداثى العينى ‪ z‬يساوى صفر‬ ‫لكل نقطة فى المستوى ‪ xy‬وكذلك اإلحداثى السينى يساوى صفر لكل نقطة فى‬ ‫المستوى ‪ yz‬وبا لمثل اإلحداثى الصادى لكل نقطة فى المستوى ‪ xz‬يساوى صفر‪.‬‬ ‫‪ - 3‬مستويات اإلحداثيات الثالثة تقسم الفراغ لثمانية أحجام متساوية كل منها يسمى‬ ‫‪.Octant‬المثمن األول هو فئة النقاط التى لها أحداثيات موجبة فقط‪.‬‬ ‫‪18‬‬  ‫اإلحداثيات اإلسطوانيـة في الفراغ ثالثي األبعاد‪:‬‬ ‫‪Cylindrical Coordinates in the 3D space‬‬ ‫النظام اإلحداثي اإل سطواني هو نظام إحداثي ثالثي األبعاد‪ ،‬تكون فيه أي نقطة ‪ P‬في‬ ‫الفراغ معرفة بثالثة أعداد حقيقية‪ ،‬اثنان منها يمثالن إحداثيا ن قطبيان وذلك إلسقاطاتها‬ ‫المتوازية على مستوي ثابت‪ ،‬والعدد الثالث هو المسافة بين ‪ P‬و هذا المستوى الثابت‪.‬‬ ‫وتكتب النقطة في الصورة ) ‪. P(  ,  , z‬‬ ‫ي سمى اإلحداثي القطبي األول ‪‬بالمسافة نصف‬ ‫القطرية أو نصف القطر‪ ،‬واإلحداثي الثاني ‪‬‬ ‫البعد الزاوي أو السعة‪.‬أما اإلحداثية الثالثة ‪z‬‬ ‫فتسمى باالرتفاع إذا كان المستوى الثابت أفقيا‪.‬‬ ‫كما يسمى الخط العمودي على المستوى الثابت‬ ‫ويمر من مركز اإلحداثيات بالمحور األسطواني‬ ‫أو المحور الطولي‪.‬‬ ‫وتعتبر اإلحداثيات األسطوانية مفيدة عند‬ ‫ارتباطها باألجسام أو الظواهر التي لها بعض‬ ‫التناظر الدوراني حول محور طولي‪ ،‬مثل‬ ‫جريان الماء في أنبوب مستقيم ذو مقطع عرضي دائري‪ ،‬أوالتوزيع الحراري في المعادن‬ ‫األسطوانية‪ ،‬وهناك أمثلة أخرى كثيرة‪.‬‬ ‫ومن الشكل السابق يسهل لنا تعيين العالقة بين االحداثيات الكارتيزية‬ ‫‪x =  cos ‬‬ ‫) ‪ ( x, y, z‬واالحداثيات االسطوانية ) ‪ (  ,  , z‬حيث نجد أن‪:‬‬ ‫‪y =  sin ‬‬ ‫‪z=z‬‬ ‫وبالعكس فإنه يمكن ا لتعبير عن اإلحداثيات اإلسطوانية بداللة اإلحداثيات الكارتيزية‬ ‫‪ = x2 + y2‬‬ ‫كاآلتي‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ = tan -1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z=z‬‬ ‫الحظ أن‪:‬‬ ‫قيم ) ‪ (  ,  , z‬البد أن تقع في الفترات اآلتية‪  0,  ) ,   0,2  , z  (− ,  ) :‬‬ ‫‪19‬‬  ‫اإلحداثيات الكرويـة في الفراغ ثالثي األبعاد‪:‬‬ ‫‪Spherical Coordinates in the 3D space‬‬ ‫نظام اإلحداثيات الكرو ي هو نظام إحـداثي‬ ‫للفراغ ث الثي األبعاد حيث يتم تحديد موقع‬ ‫النقطة ‪ P‬من خالل ثالث أعداد‪ :‬المسافة‬ ‫الشعاعية المقاسة من نقطة ثابتة تسمى نقطة‬ ‫األصـــل والنقطـة ‪ P‬ويرمز لها بالرمز ‪، r‬‬ ‫و زاوية االرتفاع للنقطة من مستوى ثابت مار‬ ‫بنقطة األصل هي الزاوية ‪ ‬والعدد الثالث ‪‬‬ ‫يمثل زاوية السعة وهي زاوية مقاسة ما بين‬ ‫مسقط الخط الواصل بي ن النقطة ‪ P‬ونقطة‬ ‫األصل على المستوى الثابت من جهة وبين‬ ‫اتجاه ثابت على نفس المستوى هو اتجاه محور ‪x‬‬ ‫عندئذ نكتب اإل حداثيات الكروية للنقطة ‪P‬‬ ‫) ‪P(r., , ‬‬ ‫بالصـــــورة‬ ‫فإذا كانت إحداثيات النقطة ‪ P‬هى ) ‪ ( x, y, z‬فى النظام الكارتيزى فإن‪:‬‬ ‫‪x = r sin  cos ‬‬ ‫‪y = r sin  sin ‬‬ ‫‪z = r cos ‬‬ ‫هذه العالقات تستخدم لمعرفة إحداثيات النقطة الكارتيزية ) ‪ ( x, y, z‬إذا كان لدينا اإلحداثيات‬ ‫الكروية ) ‪.(r , , ‬‬ ‫كذلك يمكننا الحصول على العالقات العكسية اآلتيـــــــة لمعرفة اإلحداثيـــات‬ ‫للنقطة‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫الكروية ) ‪ (r ,  , ‬إذا كان المعلوم لدينا اإلحداثيـــات الكارتيزيــة ) ‪y, z‬‬ ‫‪y‬‬ ‫المعطاة ‪ P‬فمن الشكل نجد أن‬ ‫‪r =x +y +z ,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪tan ‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪z = r Cos ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ = Cos‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫ومن ثم فإن العالقات المطلوبة هي‪:‬‬ ‫‪r= x +y +z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ = Cos‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪x2 + y2 + z2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ = tan -1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪20‬‬  ‫كما يجب أن نالحظ أن‪:‬‬ ‫قيم ) ‪ (r , , ‬البد أن تقع في الفترات اآلتية‪:‬‬ ‫‪r  0,  ) ,   0,   ,   0,2 ‬‬ ‫مثـال ‪:8‬‬ ‫)‪(1,−2,2‬‬ ‫أوجد اإلحداثيات اإلسطوانية والكروية للنق طة التى احداثياتها الكارتيزية هى‬ ‫‪ = x2 + y2 = 5‬‬ ‫‪,‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ = tan -1‬‬ ‫)‪= tan -1 (-2‬‬ ‫‪  = 296 ‬‬ ‫‪34 ‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z=2‬‬ ‫وبذلك تكون اإلحداثيات اإلسطوانية للنقطة )‪ (1,−2,2‬هي‪:‬‬ ‫)‪( 5 , 296  34' , 2‬‬ ‫وللحصول على اإلحداثيات الكروية نتبع اآلتى‪:‬‬ ‫‪r = x2 + y2 + z2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪r = 12 + (−2) 2 + 2 2 = 3‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ = tan‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪= tan -1 (-2) = 296  34‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ = cos‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪= cos -1‬‬ ‫'‪= 48  11‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(3 , 48 11 , 296  34‬‬ ‫وبذلك تكون اإلحداثيات الكروية للنقطة)‪ (1,−2,2‬هي‪:‬‬ ‫مثـال ‪:9‬‬ ‫أوجد اإلحداثيـات الكارتيزية للنقطة التاليــة والمعطــاة باإلحداثيــات اإلسطوانيـــة‬ ‫(‪.) 6 , 120º , -2‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫)‪( - 3 , 3 3 , - 2‬‬ ‫وتكون اإلحداثيات الكارتيزية للنقطة هي‪:‬‬ ‫‪21‬‬  ‫مثـال ‪:10‬‬ ‫حول المعادلة اآلتية لإلحداثيات اإلسطوانية‪:‬‬ ‫‪x2 + y 2 + 2z 2 − 2x − 3 y − z + 2 = 0‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫‪z=z‬‬ ‫‪, y =  sin ‬‬ ‫‪, x =  cos ‬‬ ‫نضع‬ ‫وبذلك نحصل على‬ ‫‪ 2 cos 2  +  2 sin 2  + 2z 2 − 2 cos  - 3 sin  - z + 2 = 0‬‬ ‫أو بالتبسيط نحصل على‬ ‫‪ 2 −  (2 cos  + 3 sin  ) + 2z 2 − z + 2 = 0‬‬ ‫مثـال ‪:11‬‬ ‫حول المعادلة اآلتية إلى صورة كارتيزية‪:‬‬ ‫‪r + 6 sin  cos  + 4 sin  sin  - 8 cos  = 0‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫واضح أن المعادلة معطاة بالصورة الكروية ولذلك نستخدم قوانين التحويل للصورة‬ ‫الكارتيزية من إحداثيات كروية‪.‬‬ ‫بالضرب فى ‪ r‬نحصل على‪:‬‬ ‫‪r 2 + 6 r sin  cos  + 4 r sin  sin  - 8 r cos  = 0‬‬ ‫‪ x 2 + y 2 + z 2 + 6x + 4y - 8z = 0‬‬ ‫مثـال ‪:12‬‬ ‫حول المعادلة اآلتية إلى صورة كارتيزية‪:‬‬ ‫‪z =  cos 2 ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪z=‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos 2 ‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫) ‪=  2 (cos 2 - sin 2‬‬ ‫‪=  2 cos 2 -  2 sin 2‬‬ ‫‪= (  cos ) 2 - (  sin  ) 2‬‬ ‫‪= x2 - y2‬‬ ‫‪z = x 2 - y2‬‬ ‫وبذلك تصب ح ا لمعادلة في الصورة الكارتيزية هي‪:‬‬ ‫‪22‬‬  ‫‪Distance between two points‬‬ ‫المسافـة بين نقطتيـن‬ ‫إليجاد المسافة بين النقطتين‬ ‫) ‪Q (x 2 , y 2 , z 2 ) , P ( x1 , y1 , z1‬‬ ‫نتبع اآلتـى‪:‬‬ ‫(انظر الشكل التالي)‪.‬‬ ‫‪xoy‬‬ ‫‪ -‬نرسم ‪ QM , PL‬عمودين على مستوى اإلحداثيات‬ ‫‪ -‬المستقيم ‪ // LN‬محور ‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪ -‬المستقيم ‪ // MA‬محور‬ ‫‪2‬‬ ‫‪PQ = PR + QR‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ومـن الرسـم نجد أن‬ ‫‪PR = LM‬‬ ‫ولكن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ PR = LM = LN + NM‬‬ ‫وبالتالى يكون‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪PQ = LN + NM + QR‬‬ ‫) ‪= (x 2 - x 1 ) + (y 2 - y1 ) + (z 2 - z1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪PQ = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y1 ) 2 + (z 2 - z1 ) 2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪M‬‬ ‫طريقـة أخـرى‬ ‫‪r1 = x1 i + y1 j + z1 k‬‬ ‫متجه موضع النقطة ‪ P‬هو ‪ r1 = op‬حيث‬ ‫‪r2 = oQ = x 2 i + y 2 j + z 2 k‬‬ ‫كذلك متجه موضع النقطة ‪ Q‬هو‬ ‫‪23‬‬  ‫‪r2 - r1 = pQ‬‬ ‫‪ ‬يكون ‪:‬‬ ‫‪= (x 2 - x1 )i + (y 2 - y1 ) j + (z 2 - z1 ) k‬‬ ‫‪ pQ = PQ = (x 2 - x1 ) 2 + (y 2 - y1 ) 2 + (z 2 - z1 ) 2‬‬ ‫نتيجة‪:‬‬ ‫المسافة بين ) ‪ p ( x, y , z‬ونقطة األصل هى‬ ‫‪OP = x 2 + y 2 + z 2‬‬ ‫إحداثيـات نقطة تقسيم المسافة بين نقطتين‬ ‫‪Division of the join of two points‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪L‬‬ ‫إليجاد إ حداثيات نقطة تقسيم الخ ط الواصل بين النقطتين‬ ‫‪m‬‬ ‫بنسبة‬ ‫) ‪p (x1,y1,z1 ),Q(x2 ,y2 ,z2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫نتبع اآلتـى‪:‬‬ ‫نفرض أن ) ‪ R(x ,y ,z‬هى احداثيات تقسيم ‪ PQ‬بنسبة ‪ m:n‬من الداخل فى الشكل‬ ‫ولذلك ‪ PL//RN//QM‬وكل ها‬ ‫‪ Q,R,P‬على الم ستوى ‪xoy‬‬ ‫المصاحب ‪ M,N,L‬هى مساقط‬ ‫تقع فى مستوى واحد هو ‪. LNMPRQ‬‬ ‫‪24‬‬ ‫يوازى ‪ LNM‬فإنه يقع فى نفس المستوى المذكور‪.‬‬ ‫‪R‬‬ ‫كذلك لو رسمنا مستقيما ً من‬ ‫‪ ‬م ن المثلثين ‪ KQR , HPR‬نحصل على ‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪PR‬‬ ‫‪PH‬‬ ‫‪NR-LP‬‬ ‫‪NR - LP‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬ ‫‪RQ‬‬ ‫‪KQ‬‬ ‫‪MQ - MK‬‬ ‫‪MQ- NR‬‬ ‫‪z-z1‬‬ ‫=‬ ‫‪z2-z‬‬ ‫ومنها نحصل على‬ ‫‪mz 2 + nz1‬‬ ‫‪z‬‬ ‫=‬ ‫‪m+n‬‬ ‫وبنفس الطريقة نحصل على‬ ‫‪my 2 + ny1‬‬ ‫‪m x 2 + n x1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫= ‪, x‬‬ ‫‪m+n‬‬ ‫‪m+n‬‬ ‫وبذلك تكون إ حداثيات نقطة التقسيم ‪ R‬هى‪:‬‬ ‫‪m x 2 + n x1 my 2 + ny1‬‬ ‫‪mz 2 + nz1‬‬ ‫(‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫‪m+n‬‬ ‫‪m+n‬‬ ‫‪m+n‬‬ ‫مـالحظــة‪:‬‬ ‫‪m‬‬ ‫فإن إحداثيات ‪ R‬هى‬ ‫أ) إذا كانت ‪ R‬هى نقطة تقسيم ‪ PQ‬من الخارج بنسبة‬ ‫‪n‬‬ ‫‪m x 2 − n x1 my 2 − ny1‬‬ ‫‪mz 2 − nz1‬‬ ‫(‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫‪m−n‬‬ ‫‪m−n‬‬ ‫‪m−n‬‬ ‫ب) إذا كانت ‪ m = n‬فإن ‪ R‬تنصف المسافة ‪ PQ‬وتكون إحداثيات ‪ R‬هى‪:‬‬ ‫‪x1 + x2 y1 + y2‬‬ ‫‪z +z‬‬ ‫(‬ ‫‪,‬‬ ‫) ‪, 1 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25‬‬  ‫تمارين‬ ‫(‪ )1‬أوجد اإلحداثيات اإلسطوانية وكذلك اإلحداثيات الكروية للنقط اآلتية المعطاة‬ ‫باإلحداثيات الكارتيزية‪:‬‬ ‫)‪(0,1,1) , (0, -2, -2) , (1, -2, 2) , (6, 3, 2) , (8, -4,1‬‬ ‫(‪ )2‬أوجد اإلحداثيات الكارتيزية للنقط اآلتية‪:‬‬ ‫‪(6, 120º,-2) ,(1, 330º, -2) , (4, 45º,2),‬‬ ‫)‪(4, 210º, 30º) , (3, 120º, 240º) , (2, 180º, 270º‬‬ ‫(‪ )3‬حول المعادالت اآلتية ذات اإلحداثيات الكروية للصورة الكارتيزية‬ ‫)‪a‬‬ ‫‪r = 5 a cos θ‬‬ ‫)‪b‬‬ ‫‪ = 60º‬‬ ‫)‪c‬‬ ‫‪r sin θ = a‬‬ ‫)‪d‬‬ ‫‪r=4‬‬ ‫(‪ )4‬حول للصورة اإلسطوانية المعادالت التالية‪:‬‬ ‫‪a) 5 x + 4 y = 0‬‬ ‫‪b) 5 x2 – 4y2 + 2x + 3y = 0‬‬ ‫‪c) x2 + y2 –z2 = a2‬‬ ‫(‪ )5‬حول المعادلة التالية إلى الصورة الكارتيزية ‪:‬‬ ‫‪r + 3 cosec  sec  - 2 tan  = 0‬‬ ‫(‪ )6‬حول المعادلة التالية إلى الصورة الكروية ‪:‬‬ ‫‪( x + z + y 2 ) 2 = 2a 2 xyz‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪26‬‬ ‫الباب الثاني‬ ‫الخط المستقيم‬ ‫‪The Straight Line‬‬ ‫‪27‬‬  ‫الخط المستقيــم‬ ‫‪The Straight Line‬‬ ‫من الممكن وصف المستقيم على أنه خط له طول النهائي وعرض يتناهى في الصغر‬ ‫ويحتوي عدد ال نهائي من النقاط‪.‬ونعلم انه يوجد مستقيم وحيد يمر من نقطتين م ختلف تين‪،‬‬ ‫ويعطي المستقيم أقصر مسافة بين أي نقطتين ‪.‬ويمتد المستقيم إلى ما ال نهاية من الجهتين‪.‬‬ ‫ومن الممكن لمستقيمين في المستوي أن يكونا متوازيين‪ ،‬أو متقاطعين عند نقطة واحدة‪.‬‬ ‫في الفراغ من الممكن لمستقيمين أيضا ً أن يكونا متخالفين‪ ،‬أي أنهما ال يتقاطعان أبداً ولذلك‬ ‫ال يقعان في مستوي واحد‪.‬‬ ‫وفي هذا الباب سوف ن عرض لبعض الموضوعات الهامة المتعلقة بالخط المستقيم‪.‬‬ ‫جيـوب تمام إتجاة خط مستقيم ‪Direction cosines of a line‬‬ ‫إذا كانت ‪  ,  , ‬هى الزوايا التى يصنعها خط‬ ‫مستقيم ما مع اإلتجاهات الموجبة لمحاور‬ ‫‪cos  , cos  , cos‬‬ ‫فإ ن‬ ‫‪ox, oy, oz‬‬ ‫اإلحداثيات‬ ‫تسمى جيوب تمام إتجاة الخط المستقيم وعادة‬ ‫يرمز لها بالرموز ‪ l,m,n‬على الترتيب‪.‬‬ ‫على ضوء هذا التعريف نجد أن )‪(1,0,0‬‬ ‫)‪ (0,1,0‬و )‪ (0,0,1‬هى جيوب تمام إتجاهات‬ ‫على الترتيب‪.‬‬ ‫‪oz, oy, ox‬‬ ‫للمحاور‬ ‫‪28‬‬  ‫حقيقـة‪:‬‬ ‫خط مستقيم ‪ oP‬فإ ن ‪l 2 + m2 + n2 = 1‬‬ ‫إذا كانت ‪ l,m,n‬هى جيوب تمام إتجاه أى‬ ‫‪z‬‬ ‫البرهـان‪:‬‬ ‫)‪P (x,y,z‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪z‬‬ ‫فى الرسم المقابل‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xoy‬‬ ‫‪ PN‬عمودى على المستوى‬ ‫‪N‬‬ ‫‪ oM‬مسقط ‪ oP‬على الم حور ‪ox‬‬ ‫ولذلك يكون ‪ox ┴ PM‬‬ ‫‪op = r, oM = x, MN = y, NP = z ,  poM = α‬‬ ‫ولذلك من المثلث القائم الزاوية ‪ oMP‬نحصل على‬ ‫‪x‬‬ ‫= ‪cos α = oM/oP‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ x = r cos α‬‬ ‫‪i.e‬‬ ‫‪x = lr‬‬ ‫‪y = mr , z = nr‬‬ ‫وبالمثل نحصل على‪:‬‬ ‫‪ ‬بالتربيع وبالجمع نحصل على‪:‬‬ ‫‪x2 + y 2 + z 2 = (l 2 + m 2 + n 2 )r 2‬‬ ‫) ‪= (l 2 + m 2 + n 2 )(x 2 + y 2 + z 2‬‬ ‫‪ l 2 + m2 + n2 = 1‬‬ ‫‪29‬‬  ‫‪Direction ratios of a line‬‬ ‫نسـب إتجـاة خـط مستقيـم‬ ‫أى ثالث كميات ‪ a,b,c‬متناسبة مع الكميات ‪ l,m,n‬تسمى نسب إتجاه الخ ط المستقيم الذى‬ ‫جيوب تمام إتجاهه هى ‪l,m,n‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪i.e‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪= t‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ a 2 + b 2 + c 2 = (l 2 + m 2 + n 2 )t 2 = t 2‬‬ ‫= ‪t‬‬ ‫‪a 2 + b2 + c2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫= ‪l‬‬ ‫=‬ ‫‪t‬‬ ‫‪a + b2 + c2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪t‬‬ ‫‪a 2 + b2 + c2‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬ ‫= ‪n‬‬ ‫=‬ ‫‪t‬‬ ‫‪a 2 + b2 + c2‬‬ ‫العالقات األخيرة تعنى أن جيوب تمام اإلتجاه ‪ l,m,n‬لخط مستقيم ما يمكن الحصول عليها‬ ‫من نسب إتجاه هذا الخط وذلك بقسمتها على الجذر التربيعى لمجموع مربعاتها‪.‬‬ ‫الزاويـة بين مستقيميـن ‪Angle between two lines‬‬ ‫) ‪ , (l1,m1,n1‬وأن ‪ θ‬هى‬ ‫‪ op1,op2‬هى ) ‪(l2 ,m2 ,n2‬‬ ‫نفرض أن جيوب تمام إتجاه الخطين‬ ‫‪z‬‬ ‫الزاوية بينهما‪.‬‬ ‫)‪P2 (x 2,y 2,z2‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫)‪P1 (x 1,y 1,z1‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪r1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪y‬‬ ‫فى الشكل‬ ‫‪op1 = r1 , op2 = r2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫والنق طة )‪P1(x1,y1,z1‬‬ ‫‪30‬‬  ‫والنقطة )‪P2 ( x2,y2,z2‬‬ ‫‪ r12 = x12 + y12 + z12‬‬ ‫‪r22 = x22 + y22 + z22‬‬ ‫‪x1 = l1r1 , y1 = m1r1 , z1 = n1r1‬‬ ‫كـذلك‬ ‫‪x2 = l2 r2 , y2 = m2 r2 , z2 = n2 r2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p1 p2 = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2‬‬ ‫) ‪= (x12 + y12 + z12 ) + (x22 + y22 + z22 ) − 2(x1 x2 + y1 y2 + z1 z2‬‬ ‫) ‪= r12 + r22 − 2r1r2(l1l2 + m1m2 + n1n2‬‬ ‫)*(‬ ‫ولكن باستخدام قاعدة الزاوية الحادة فى أى مثلث نجد أن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪p1 p 2 = r12 + r22 − 2r1r2 cos ‬‬ ‫)**(‬ ‫بمقارنة )*( و )**( نحصل على‬ ‫‪cos θ = l1l2 + m1m2 + n1n2‬‬ ‫نتيجـة ‪:1‬‬ ‫من النتيجة أعاله يمكن حساب تعبير لجيب الزاوية ‪ θ‬كما يلى‪:‬‬ ‫‪sin 2 θ = 1- cos 2 θ = 1-(l1l2 + m1m2 + n1n2 )2‬‬ ‫) ‪= (l12 + m12 + n12 )(l22 + m22 + n22 ) − (l1l2 + m1m2 + n1n2‬‬ ‫‪= (l1m2 − l2m1 )2 + (m1n2 − m2n1 )2 + (n1l2 − n2l1 )2‬‬ ‫‪=  (l1m2-l2 m1 )2‬‬ ‫‪ sin θ = ‬‬ ‫‪ (l1m2-l2m1 )2‬‬ ‫نتيجـة ‪:2‬‬ ‫عندما تكون )‪ (a1,b1,c1‬و )‪ (a2,b2,c2‬هى نسب اتجاة الخطين المستقيمين فإن الزاوية ‪θ‬‬ ‫بينهما تعطى بالعالقة ‪:‬‬ ‫‪a1a2 + b1b2 + c1c2‬‬ ‫= ‪cos θ‬‬ ‫) ‪(a + b12 + c12 )(a22 + b22 + c22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪31‬‬  ‫نتيجـة ‪:3‬‬ ‫‪π‬‬ ‫= ‪ θ‬فإن المستقيمين يتعامدان وعندئذ يكون‬ ‫إذا كانت‬ ‫‪2‬‬ ‫‪cos θ = l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0‬‬ ‫‪a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0‬‬ ‫أو‬ ‫أما إذا كان المستقيمان متوازيين فإن ‪:‬‬ ‫‪sin θ = sin 0 = 0‬‬ ‫‪  (l1m2 − l2 m1 )2 = 0‬‬ ‫‪i.e‬‬ ‫‪l1m2 − l2 m1 = 0‬‬ ‫‪m1n2 − m2 n1 = 0‬‬ ‫‪l1n2 − l2 n1 = 0‬‬ ‫وبذلك يكون شرط توازى المستقيمين هو‪:‬‬ ‫‪l1 m1 n1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪l2 m2 n2‬‬ ‫‪a1 b1 c1‬‬ ‫‪or‬‬ ‫= =‬ ‫‪a2 b2 c2‬‬ ‫مسقط قطعة مستقيمة فى إتجاة خط معلوم ‪:‬‬ ‫إذا كان ‪ AB‬هو جزء من خط مستقيم وكان ‪ PQ‬إتجاة معلوم وكان ‪ C,D‬هما مسقطا‬ ‫النقطتين ‪ A,B‬على ‪ PQ‬فإن ‪ CD‬يسمى مسقط ‪ AB‬على ‪ PQ‬ويكون‬ ‫‪ CD = AB cos θ‬حيث ‪ θ‬هى الزاوية بين ‪ AB‬و ‪.PQ‬‬ ‫نسب إتجاه خط مستقيم واصل بين نقطتين‪:‬‬ ‫إذا كان )‪ P(x1,y1,z1‬و)‪ Q ( x2,y2,z2‬نقطتين فى الفراغ الثالثى فمن الواضح أن‬ ‫هو مسقط ‪ PQ‬على محور السينات كذلك إذا كانت ‪ n,m,l‬هى جيوب تمام‬ ‫) ‪(x 2 − x1‬‬ ‫إتجاة ‪ PQ‬فإن مسقط ‪ PQ‬على محور ‪ x‬هو ‪ l r‬حيث ‪ r‬هى الطول ‪.PQ‬‬ ‫‪32‬‬  ‫‪x2 − x1‬‬ ‫= ‪ l‬وبالمثل لو اسقطنا ‪ PQ‬على محورى ‪ z,y‬نحصل على‪:‬‬ ‫‪ ‬يكون لدينا‬ ‫‪r‬‬ ‫‪y 2 − y1‬‬ ‫‪z − z1‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪,n = 2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫أى أن ‪:‬‬ ‫نسب إتجاة الخط المستقيم الواصل بين النقطتين )‪(x1,y1,z1‬‬ ‫و( ‪ ( x2,y2,z2‬تتناسب مع الكميات ‪z2-z1 , y2-y1, x2-x1‬‬ ‫مسقط خط مستقيم واصل بين نقطتين على إتجاه معلوم‪:‬‬ ‫لتكن )‪ A(x1,y1,z1‬و)‪ B ( x2,y2,z2‬وأن ‪ l,m,n‬هى جيوب تمام إتجاه ‪ PQ‬ولنفرض أن‬ ‫‪ θ‬هى الزاوية بين ‪ AB‬و ‪ PQ‬من البند السابق نجد أن جيوب تمام ‪ AB‬هى‪:‬‬ ‫‪x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫) ‪l ( x − x ) + m( y2 − y1 ) + n( z2 − z1‬‬ ‫‪ cos  = 2 1‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫حيث‬ ‫‪A B ‬‬ ‫ويكون مسقط ‪ AB‬على ‪ PQ‬هو‬ ‫) ‪AB = AB cos  = l ( x2 − x1 ) + m( y2 − y1 ) + n( z2 − z1‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪θ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪33‬‬  ‫مثـال ‪:1‬‬ ‫أوجد م ركز المثلث الذى رؤوسة هى النقاط‬ ‫)‪P(x1,y1,z1) , Q(x2,y2,z2) , R(x3,y3,z3‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫من المعلوم أن مركز المثلث هو نقطة تقاطع المستقيمات المتوسطة فإذا كانت ‪ S‬هى‬ ‫منتصف ‪ QR‬فإن ‪ G‬هى مركز المثلث حيث يكون‪:‬‬ ‫‪. PG : GS = 2:1‬‬ ‫ولكن إحداثيات النقطة ‪ S‬هى‬ ‫‪x2 + x3 y 2 + y 3 z2 + z 3‬‬ ‫(‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬إحداثيات ‪ G‬هى‪:‬‬ ‫‪x2 + x3‬‬ ‫‪x1 + 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x + x2 + x3‬‬ ‫= ‪xG‬‬ ‫‪= 1‬‬ ‫‪1+ 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫بالمثل‬ ‫‪P‬‬ ‫‪y1 + y 2 + y3‬‬ ‫= ‪yG‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪z + z 2 + z3‬‬ ‫‪zG = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ــ ‪G‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪1‬‬ ‫"‬ ‫‪S‬‬ ‫"‬ ‫‪R‬‬ ‫‪34‬‬  ‫معادلة الخط المستقيم ا لموجهة المار بنقطة وموازى إلتجاه ما‪:‬‬ ‫نفرض أن المستقيم يمر بالنقطة ‪ P‬التى متجه الموضع لها ‪ a‬ويوازى اإلتجاة ‪b‬‬ ‫أى نقطة أخرى على المستقيم لها متجه موضع يعطى من المعادلة‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r = a + PQ‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪r = a + λb‬‬ ‫) ‪(1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪0‬‬ ‫( أ ى عدد حقيقى سالب أو موجب بتحديده تتحدد النقطة على الخط المستقيم)‬ ‫تسمى المعادلة )‪ (1‬بالمعادلة الموجهة البارامترية للمستقيم حيث ‪ λ‬يعتبر بارامتر‬ ‫اختيارى‪.‬‬ ‫معادلة المستقيم الكارتيزية البارامترية‪:‬‬ ‫)‪b = (l,m,n) , a = (x0,y0,z0 ) , r = (x,y,z‬‬ ‫من )‪ (1‬إذا كان‬ ‫)‪(x,y,z) = (x0 ,y0 ,z0 ) + λ(l,m,n‬‬ ‫فإن‬ ‫‪x = x0 + λl‬‬ ‫بمساواه مركبات المتجهات فى الطرفين نحصل على‬ ‫‪y = y0 + λm‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪z = z0 + λn‬‬ ‫وتسمى المعادالت البارامترية الكارتيزية للمستقيم‪.‬‬ ‫معادالت المستقيم القياسيـة‪:‬‬ ‫‪r − a = λb‬‬ ‫) ‪(1‬‬ ‫مما سبق نرى أن‪:‬‬ ‫) ‪a = (x1,y1,z1‬‬ ‫)‪, r = (x,y,z‬‬ ‫فإذا فرضنا أن‬ ‫فإننا نحصل على‪:‬‬ ‫‪b‬‬ ‫حيث )‪ (l,m,n‬النسب اإلتجاهيه للمتجه‬ ‫)‪b = (l,m,n‬‬ ‫والمتجة‬ ‫‪x − x1‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪y − y1‬‬ ‫‪=‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪z − z1‬‬ ‫‪=‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪35‬‬  ‫‪x − x1 y − y1 z − z1‬‬ ‫أى أن‪:‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪=‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x − x1 y − y1 z − z1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫المعادلـة‬ ‫‪l‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫تسمى معادالت المستقيم القياسية أو المعادالت التماثلية للمستقيم وهى معادلة المستقيم الذى‬ ‫وجيوب إتجاهاته هى )‪ (l,m,n‬ويالحظ أنه ال يشترط فى )‪ (2‬أن‬ ‫) ‪(x1,y1,z1‬‬ ‫يمر بالنقطة‬ ‫يكون )‪ (l,m,n‬جيوب إتجاهات بل يمكن استعمال نسب اإلتجاه للمستقيم‪.‬‬ ‫معادلة المستقيم الكارتي زية بمعلومية نقطتين واقعتين عليه‪:‬‬ ‫فتكون نسب اتجاهاته هى‬ ‫) ‪(x1,y1,z1 ),(x2 ,y2 ,z2‬‬ ‫إذا مر المستقيم بالنقطتين‬ ‫) ‪ (x2 − x1,y2 − y1,z2 − z1‬وعلية تكون معادلته هى‪:‬‬ ‫‪x − x1‬‬ ‫‪y-y1‬‬ ‫‪z-z1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪x2 − x1‬‬ ‫‪y2-y1‬‬ ‫‪z2-z1‬‬ ‫مثـال‪:‬‬ ‫أوجد المعادالت ا لقياسية للمستقيم الذى يمر بالنقطتين‬ ‫)‪.(3,1,-1) , (1,-2,1‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪y+2‬‬ ‫‪z-1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫المعادلة هي‬ ‫‪3 −1‬‬ ‫‪1+ 2‬‬ ‫‪-1-1‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪y+2‬‬ ‫‪z-1‬‬ ‫‪i.e‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫وكان من الممكن أن تكون‬ ‫‪x −3‬‬ ‫‪y −1‬‬ ‫‪z +1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪1− 3‬‬ ‫‪− 2 −1 1 +1‬‬ ‫وذلك ألن الترتيب هنا ال يعنى أى شىء وتكون معادلة المستقيم فى هذه الحالة هى‬ ‫‪36‬‬  ‫‪x −3‬‬ ‫‪y −1‬‬ ‫‪z +1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x −3‬‬ ‫‪y −1‬‬ ‫‪z +1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪(2‬‬ ‫أى أن‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫والفرق بين اإلثنين أنه طرح من كل طرف فى المعادلة )‪ (1‬واحد صحيح‪.‬‬ ‫مثـال‪:‬‬ ‫أوجد المعادالت ال قياسية للخط المستقيم المار بالنقطة‬ ‫)‪ (1,-1,-3‬ويوازى المتجه )‪(2,-3,4‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫حيث أن المستقيم يوازى المتجه )‪ (2,-3,4‬فإن نسب اتجاهاته هى‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪y +1‬‬ ‫‪z +3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫)‪ (2,-3,4‬وتكون معادلته هى‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫مثـال‪:‬‬ ‫أوجد المعادالت القياسية للخط المستقيم المار بالنقطة )‪ (2,0,-3‬ويوازى محور السينات‪.‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫المستقيم ‪ //‬يوازى محور السينات وم حور السينات جيوب اتجاهاته )‪ (1,0,0‬وعليه معادلة‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪z +3‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫المستقيم هى‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬ ‫مثـال‪:‬‬ ‫أوجد المعادالت البارامترية للخط المستقيم المار بالنقطة )‪ (-1,1,3‬ويوازى المستقيم‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪y+2‬‬ ‫‪z +1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪37‬‬  ‫الحــل‪:‬‬ ‫نسب إتجاهات المستقيم الثانى هى )‪ (5,2,-1‬وهى نفسها نسب اتجاهات المستقيم المطلوب‬ ‫ويمكن معرفة ذلك وال داعى لكتابة معادالت المستقيم القياسية كما يمكن كتابة معادالته‬ ‫البارامترية مباشرة باالستعانة بهذه النسب هكذا‪:‬‬ ‫‪x = 5t -1‬‬ ‫‪y = 2t + 1‬‬ ‫‪z = -t + 3‬‬ ‫حيث ‪ t‬هو البارامتر‪.‬‬ ‫مثـال‪:‬‬ ‫أوجد المعادالت البارامترية للخط المستقيم الذى يمر بالنقطة‬ ‫)‪ (-1,1,3‬ويوازى المستقيم‬ ‫‪x = 3t -1 , y = − 2t + 3‬‬ ‫‪,z = 5t + 2‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫المستقيم المعلوم نسب اتجاهاته هى )‪ (3 , ̶ 2 ,5‬وعلية معادلة المستقيم المطلوب هى‬ ‫)‪r = (1,-1,-3) + t (3,-2,5‬‬ ‫‪x = 3t-1 , y = -2t +1 , z = 5t +3‬‬ ‫أو‬ ‫شـرط تقاطـع خطيـن‪:‬‬ ‫‪r = a + λb‬‬ ‫نفرض أن معادلة الخطين هما‪:‬‬ ‫‪r = a + μb‬‬ ‫على التوالى‪.‬‬ ‫‪b , b‬‬ ‫ويوازيان‬ ‫‪a , a‬‬ ‫أ ى الخطان الماران بالنقطتين‬ ‫شرط تقاطع الخطين هو أن يقعا فى مستوى واحد أى أن حاصل الضرب الثالثى القي اسى‬ ‫وباإلحداثيات‬ ‫‪(a - a ). ( b  b) = 0‬‬ ‫مساويا ً الصفرأى أن‬ ‫‪a - a  , b , b‬‬ ‫للثالث متجهات‬ ‫الكارتيزية يمكن كتابة هذا الشرط فى الصورة‪:‬‬ ‫‪38‬‬  ‫‪x1 − x2‬‬ ‫‪y1 − y2‬‬ ‫‪z1 − z2‬‬ ‫‪l1‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫هما نقطتان على المستقيمين على الترتيب‪.‬‬ ‫) ‪( x1 , y1 , z1 ) , (x 2 , y 2 , z 2‬‬ ‫حيث‬ ‫‪a + λb = a + μb‬‬ ‫وإليجاد نقطة التقا طع نساوى اإلحداثيات فى المعادلتين‬ ‫التى تحدد نقطة التقاطع‪.‬‬ ‫‪μ‬‬ ‫ومنها نوجد ‪, λ‬‬ ‫مثـال‪:‬‬ ‫إذا أعطيت أربع نقط‬ ‫)‪A= (-3,5,15) , B= (0,0,7) , C= (2,-1,4) , D= (4,-3,0‬‬ ‫بين هل يتقاطع الخطان ‪ AB , CD‬وإذا تقاطعا ما هى نقطة التقاطع‪.‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫نسب اتجاه ‪ AB‬هى )‪(-3,5,8‬‬ ‫نسب اتجاه ‪ CD‬هى )‪(-2,2,4‬‬ ‫‪x1-x2‬‬ ‫‪y1-y2‬‬ ‫‪z1-z2‬‬ ‫‪-3-2 5 + 1 15-4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪l1‬‬ ‫‪m1‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫=‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪l2‬‬ ‫‪m2‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫أى أن شرط التقاطع تحقق وإليجاد نقطة التقاطع نساوى اإلحداثيات فى المعادلتين‬ ‫الموجهتين للمستقيم‪.‬‬ ‫) ‪r = ( − 3,5,15 ) + λ( − 3,5,8‬‬ ‫)‪(3‬‬ ‫معادلة المستقيم األول‬ ‫) ‪r = ( 2 , − 1,4 ) + μ( − 2 ,2 ,4‬‬ ‫)‪(4‬‬ ‫معادلة المستقيم لثانى‬ ‫وبمساواه المعادلتين نحصل على‪:‬‬ ‫) ‪( − 3,5,15 ) + λ( − 3,5,8 ) = ( 2, − 1,4 ) + μ( − 2,2,4‬‬ ‫واضح أن هذه تمثل ثالث معادالت نحصل عليها بمساواة اإلحداثيات السينى والصادى‬ ‫والعينى فى الطرفين لذلك يكون‪:‬‬ ‫‪39‬‬  ‫‪− 3 − 3λ = 2 - 2 μ‬‬ ‫)‪(5‬‬ ‫‪5 + 5λ = 1 + 2 μ‬‬ ‫) ‪(6‬‬ ‫‪15 + 8 λ = 4 + 4 μ‬‬ ‫)‪(7‬‬ ‫هذه الثالث معادالت فى مجهولين لن يكونوا متعارضي ن ألننا أثبتنا أوالً أن المستقيمين‬ ‫متقاطعان كما فى المعادلة )‪ (2‬ويكفى لتعين ‪ λ , μ‬إختيار معادلتين منهم وحلهما مع‬ ‫‪3λ − 2 μ = −5‬‬ ‫بعضهما؛ وتكون المعادلتين األوليتين‪:‬‬ ‫‪5 λ − 2 μ = −6‬‬ ‫بطرح المعادلة الثانية من األولى نحصل على ‪λ‬‬ ‫‪-2λ = 1‬‬ ‫½‪λ=-‬‬ ‫حيث أن بمعلومية ‪ λ‬والتعويض فى معادلة المستقيم األول‬ ‫‪μ‬‬ ‫هذا يكفى فال داعى إليجاد‬ ‫الموجهه نحصل على نقطة التقاطع‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪r = ( − 3,5,15 ) + - ( − 3,5,8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3 5‬‬ ‫) ‪= (- , ,11‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫مالحظـة‪:‬‬ ‫لو اخترنا المعادلة )‪ (5) , (7‬مثال نحصل على نفس القيمة ل ‪λ‬‬ ‫العمود الساقط من نقطة على خط مستقيم‪:‬‬ ‫) ‪B ( x2 , y 2 , z 2‬‬ ‫بفرض أن الخط المستقيم معادلته هى‬ ‫‪x − x1 y − y1 z − z1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪E‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫بفرض أن النقطة المعطاة هى‬ ‫) ‪A( x1 , y1 , z1‬‬ ‫) ‪B ( x2 , y 2 , z 2‬‬ ‫بالشكل وبفرض أن ‪ E‬هى مسقط ‪ B‬على الخط المستقيم نحصل على‪:‬‬ ‫‪40‬‬  ‫‪2‬‬ ‫‪AB = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2‬‬ ‫وحيث أ ن ‪ E‬هو مسقط النقطة على الخط المستقيم فإن‪:‬‬ ‫) ‪AE = l(x2 − x1 ) + m(y 2 − y1 ) + n(z2 − z1‬‬ ‫وبالتالى يمكن حساب طول العمود ‪ BE‬من العالقة‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪BE = AB − AE‬‬ ‫مثـال‪:‬‬ ‫أوجد المسافة بين النقطة ) ‪ ( 1,2 ,5‬والخط المستقيم‬ ‫ثم أوجد الزاويا التى يصنعها المستقيم مع محاور اإلحداثيات‬ ‫‪B‬‬ ‫الحــل‪:‬‬ ‫معادلة الخط فى الصورة القياسية هى‬ ‫‪E‬‬ ‫‪A‬‬ ‫وعليه فهو يمر بالنقطة )‪ A(0, -1,3‬ونسب اتجاهاته هى‪:‬‬ ‫) ‪( 1, − 2 ,1‬‬ ‫= )‪(l,m,n‬‬ ‫‪6‬‬ ‫) ‪( 1 − 0 ) − 2( 2 + 1 ) + 1( 5 − 3‬‬ ‫= ‪AE‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫=‬ ‫= ) ‪(1 − 6 + 2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪AB = ( 1 − 0 )2 + ( 2 + 1 )2 + ( 5 − 3 )2 = 14‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪ BE = 14 −‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫بما أن نسب إتجاهات المستقيم هى )‪(1,-2,1‬‬ ‫‪41‬‬  ‫‪1 −2 1‬‬ ‫(‬ ‫‪,‬‬ ‫‪,‬‬ ‫)‬ ‫إذن جيوب تمام إتجاهه هى‬ ‫‪6 6 6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos −1‬‬ ‫‪,cos −1‬‬ ‫‪,cos −1‬‬ ‫‪ ‬الزوايا هى‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫مثـال‪:‬‬ ‫من المعلوم أن المستقيم يمكن إعطاؤه عن طريق مستويين متقاطعين‬ ‫‪a1 x + b1 y + c1 z + d1 = o , ax + by + cz + d = o‬‬ ‫ويمكننا تحويل هذا المستقيم وجعل صورته فى الصورة المتماثلة كاآلتـى‪:‬‬ ‫لذلك يلزمنا‪:‬‬ ‫‪ - 1‬نسب إتجاه الخط المستقيم‪.‬‬ ‫‪ - 2‬إحداثيات نقطة واقعة عليه‪.‬‬ ‫ونسب إتجاهات العمودين على المستويي ن هى‪:‬‬ ‫)‪(a1,b1,c1 ),(a,b,c‬‬ ‫لنفرض اآلن أن )‪ (l , m, n‬هى نسب إتجاه المستقيم المعلوم حيث أن هذا المستقيم عمودى‬ ‫على األعمدة على المستويين فإن‪:‬‬ ‫‪al + bm + cn = o‬‬ ‫‪a1l + b1m + c1n = o‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪bc1 − b1c a1c − ac1 ab1 − a1b‬‬ ‫وهذه العالقة تعطى نسب إتجاه )‪ (l,m,n‬يبق ى إيجاد نقطة على المستوى‪.‬وهذا‬ ‫‪x, y‬‬ ‫يمكن الحصول عليه بوضع ‪ z=o‬مثالً تم حل المعادلتين الناتجتين فى‬ ‫‪a1 x + b1 y + d1 = o , ax + by + d = o‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪bd1 − b1d a1d − ad1 ab1 − a1b‬‬ ‫‪42‬‬  ‫‪bd1-b1d‬‬ ‫=‪ x‬‬ ‫‪ab1-a1b‬‬ ‫‪a1d-ad1‬‬ ‫=‪y‬‬ ‫‪ab1 − a1b‬‬ ‫‪z=o‬‬ ‫بالت الى يمكننا كتابة معادلة المستقيم المطلوبة فى الصورة المتماثلة فى الصورة‪:‬‬ ‫‪bd1 − b1d‬‬ ‫‪a d − ad1‬‬ ‫‪x−‬‬ ‫‪y− 1‬‬ ‫‪ab1 − a1b‬‬ ‫‪ab1 − a1b‬‬ ‫‪z −o‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪bc1 − b1c‬‬ ‫‪a1c − ac1‬‬ ‫‪ab1 − a1b‬‬ ‫‪43‬‬  ‫تمارين‬ ‫(‪ )1‬ضع فى الصورة المتماثلة المستقيم التالى ثم أوجد الزوايا التى