Circuits Électriques - Polycopié S3 Eloutassi Omar 2024 PDF

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UMI Circuits électriques Polycopié Eloutassi_Omar 2024-2025 Support de cours Licence module S3 Circuit Électrique [email protected]  Sommaire CHAPITRE 1 : LOIS DE BASE DES CIRCUITS EN RÉGIME QUASI STATIONNAIRE.................................................. 4 1. — LOIS DE KIRCHHOFF EN RÉGIME QUASI STATIONNAIRE............................................................................. 4 1. 1. — Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS)................................................................. 4 a. Vitesse de variation des signaux lente :................................................................................................................. 4 b. Vitesse de variation des signaux très rapide :........................................................................................................ 4 1.2. — Lois de Kirchhoff................................................................................................................................. 5 a. Loi des nœuds........................................................................................................................................................ 5 b) Loi des mailles........................................................................................................................................................ 5 1.3. —DIPÔLES EN RÉGIME VARIABLE......................................................................................................................... 6 a. Générateurs variables............................................................................................................................................ 6 b. Condensateurs....................................................................................................................................................... 6 c. Bobines................................................................................................................................................................... 7 2. — SIGNAL SINUSOÏDAL EN NOTATION COMPLEXE......................................................................................... 7 2. 1. — Importance du régime sinusoïdal...................................................................................................... 7 2. 2. — DU RÉGIME TRANSITOIRE AU RÉGIME ÉTABLI..................................................................................................... 8 2. 3. — Notation complexe des grandeurs électriques sinusoïdales............................................................. 9 a. Signal analytique associé à un signal réel............................................................................................................... 9 b. Avantages de la notation complexe....................................................................................................................... 9 c. Représentation de Fresnel................................................................................................................................... 10 2. 4. — Impédance d'un dipôle passif linéaire............................................................................................. 10 a. Définition.............................................................................................................................................................. 10 b. Impédances des composants usuels.................................................................................................................... 11 c. Caractéristique d'un condensateur ou d'une bobine idéale................................................................................. 13 2. 5. — Association d'impédances............................................................................................................... 13 a. Association en série............................................................................................................................................. 14 b. Association en parallèle...................................................................................................................................... 14 2. 6. — Générateurs en régime sinusoïdal établi........................................................................................ 14 CHAPITRE 2 : MÉTHODE D’ANALYSE DES CIRCUITS ÉLECTRIQUES.................................................................. 16 1. — LOIS DE BASE EN RÉGIME SINUSOÏDAL..................................................................................................... 16 1. 1. — Écriture des lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal......................................................................... 16 a. Loi des nœuds...................................................................................................................................................... 16 b. Loi des mailles...................................................................................................................................................... 16 c. Application à la détermination d'impédances...................................................................................................... 16 1. 2. — Théorème de Millman..................................................................................................................... 18 1. 3. — Symétries d'un circuit...................................................................................................................... 19 Remarque................................................................................................................................................................. 19 1. 4. — Diviseurs de tension et de courant.................................................................................................. 19 1 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma  Exemple :.................................................................................................................................................................. 19 1. 5. — Application à la mesure de l'impédance interne d'un GBF.............................................................. 20 2. THÉORÈME DE THÉVENIN ET DE NORTON............................................................................................................... 21 2.1. Théorème de Thévenin......................................................................................................................... 21 Rappel...................................................................................................................................................................... 21 3. SIMPLIFICATION DE KENNELLY.............................................................................................................................. 24 CHAPITRE 3 : PUISSANCE EN REGIME SINUSOÏDAL......................................................................................... 26 1. — PUISSANCE ACTIVE OU PUISSANCE MOYENNE...................................................................................................... 26 Exemple....................................................................................................................................................... 26 2. — PUISSANCE APPARENTE ET PUISSANCE RÉACTIVE.................................................................................................. 27 a. Puissance apparente............................................................................................................................... 27 Exemple :.................................................................................................................................................................. 27 b. Puissance réactive................................................................................................................................... 28 Exemple................................................................................................................................................................... 29 3. — PUISSANCE COMPLEXE................................................................................................................................... 29 Remarque.................................................................................................................................................... 30 3. 1. — Grandeurs efficaces complexes....................................................................................................... 30 3. 2. — Théorème de Boucherot.................................................................................................................. 30 Exemple................................................................................................................................................................... 31 4. — DISTRIBUTION DE PUISSANCE ÉLECTRIQUE.......................................................................................................... 31 Exemple....................................................................................................................................................... 32 5. CIRCUITS PONT DE WHEATSTONE......................................................................................................................... 33 5.1. Pont de Wheatstone............................................................................................................................. 33 5.2. Analyse du circuit pont de Wheatstone................................................................................................ 36 Exemple 1................................................................................................................................................................. 36 5.3. APPLICATION : DETECTEUR DE LUMIÈRE DU PONT DE WHEATSTONE......................................................................... 37 Détection de lumière................................................................................................................................... 38 CHAPITRE 4 : ANALYSE DES CIRCUITS RLC...................................................................................................... 40 1. CIRCUIT RLC SÉRIE...................................................................................................................................... 40 1.1. Diagramme de Phase du circuit RLC série..................................................................................... 41 1.2. Tensions instantanées pour un circuit RLC série........................................................................... 42 1.3. Impédance du circuit RLC série............................................................................................................. 43 2. CIRCUIT RLC PARALLÈLE............................................................................................................................... 44 2.1. Courant et phase........................................................................................................................... 44 a. Admittance Y :...................................................................................................................................................... 47 b. Conductance G :................................................................................................................................................... 47 c. Susceptibilité B :................................................................................................................................................... 47 d. Facteur de puissance............................................................................................................................................ 48 2 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma  2.2. Exemples de circuit RLC parallèle......................................................................................................... 48 TRAVAUX DIRIGÉS......................................................................................................................................... 51 SÉRIE 1........................................................................................................................................................... 51 EXERCICE 1.......................................................................................................................................................... 51 EXERCICE 2 :........................................................................................................................................................ 51 EXERCICE 3.......................................................................................................................................................... 51 EXERCICE 4.......................................................................................................................................................... 52 EXERCICE 5.......................................................................................................................................................... 52 EXERCICE 6.......................................................................................................................................................... 52 SÉRIE 2........................................................................................................................................................... 53 EXERCICE 1.......................................................................................................................................................... 53 EXERCICE 2.......................................................................................................................................................... 53 EXERCICE 3.......................................................................................................................................................... 53 EXERCICE 4.......................................................................................................................................................... 54 EXERCICE 5.......................................................................................................................................................... 54 SÉRIE 3........................................................................................................................................................... 55 EXERCICE 1.......................................................................................................................................................... 55 EXERCICE 2.......................................................................................................................................................... 55 EXERCICE 3.......................................................................................................................................................... 55 EXERCICE 4.......................................................................................................................................................... 56 SÉRIE 4........................................................................................................................................................... 57 EXERCICE 1.......................................................................................................................................................... 57 EXERCICE 2.......................................................................................................................................................... 57 EXERCICE 3.......................................................................................................................................................... 58 3 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Chapitre 1 : Lois de base des circuits en régime quasi stationnaire Ce chapitre est une généralisation sur les signaux stationnaires et les signaux lentement variables au cours du temps. En effet, les signaux lentement variables au cours du temps sont indispensables, car, ils contiennent la plupart des informations pertinentes. Notons que la composante stationnaire, définie par les alimentations, définie seulement le point de fonctionnement des composants. 1. — LOIS DE KIRCHHOFF EN RÉGIME QUASI STATIONNAIRE 1. 1. — Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS) L'étude des circuits électroniques sont divisés en deux domaines distincts en fonction de la vitesse de variation des signaux : a. Vitesse de variation des signaux lente : Dans ce cas nous considérons que les dimensions des circuits, représentés par l’association de dipôles séparés par des fils de connexion, sont très faible devant la longueur d'onde  du rayonnement électromagnétique associé à leur fréquence. Nous parlons dans ce cas de l'Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS). Dans cette approximation la durée caractéristique de la variation d'une tension ou d'un courant des circuits est très grande devant la durée de propagation du signal d'un point à l'autre du circuit. Exemples : Pour une fréquence 𝑓 = 50𝐻𝑧 de la tension sinusoïdale d'alimentation du réseau de distribution électrique qui alimente un montage de dimension 1m, on trouve  = 𝑐/𝑓 ≈ 6000𝐾𝑚. Pour une fréquence 𝑓 = 50𝐾𝐻𝑧, typique d'un signal radioélectrique en modulation de fréquence, on trouve :  = 𝑐/𝑓 ≈ 6𝑚, alors que la longueur des circuits des postes récepteurs n'excède pas quelques centimètres. b. Vitesse de variation des signaux très rapide : C’est le domaine des micro-ondes ou des hyperfréquences, l'analyse est totalement différente, car elle exige la connaissance exacte de la position de chacun des éléments du circuit, la longueur des conducteurs entre les éléments du circuit jouant un rôle décisif en raison de l'influence non négligeable de la propagation des ondes électromagnétiques d'un point à l'autre du circuit. C'est ce que l'on observe dans les antennes qui se présentent comme des circuits ouverts parcourus par des courants. 4 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Exemple : Pour les signaux reçus par les récepteurs paraboliques, dont le diamètre est de quelques dizaines de centimètres, l'ARQS n'est plus valable, car les fréquences sont de l'ordre de plusieurs GHz :  = 𝑐/𝑓 ≈ 3𝑐𝑚. 1.2. — Lois de Kirchhoff Comme tous les effets dus à la propagation d'un signal sont négligés dans l'ARQS, il est possible de considérer que dans une branche ou dans un dipôle : l'intensité du courant est la même en tout point de cette branche et à tout instant. De même, la différence de potentiel et de tension aux bornes d'un dipôle est conservée. Pour les notations en régime variable nous utilisons les notations internationales : les lettres minuscules 𝑖 ou 𝑖(𝑡) et 𝑢 ou 𝑢(𝑡) désignent respectivement l'intensité du courant et de tension à l'instant 𝑡. Remarquons que les lois des nœuds et des mailles en régime stationnaire, se réforment directement en régime variable dans l'ARQS. a. Loi des nœuds La somme algébrique des courants concourants en un nœud est nulle : ∑𝑘 ∈𝑘 𝑖𝑘 = 0 où ∈𝑘 = 1 si le courant 𝑖𝑘 est orienté vers le nœud ∈𝑘 = −1 si le courant 𝑖𝑘 est orienté vers le sens contraire du nœud. Exemple i1+i4= i2+i3 b) Loi des mailles La somme algébrique des tensions aux bornes des branches d'une maille décrite dans un sens arbitraire est nulle : ∑𝑘 ∈𝑘 𝑢𝑘 = 0, ∈𝑘 = 1 si la tension 𝑢𝑘 est dans sens que la maille et ∈𝑘 = −1 si la tension 𝑢𝑘 est dans le sens opposée de la maille. Exemple : V2=V1+V3 5 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma 1.3. —Dipôles en régime variable En régime variable, de nouveaux dipôles apparaissent : les circuits comportent toujours des résistors, des diodes, mais aussi des générateurs variables (de tension ou de courant), des bobines et des condensateurs. a. Générateurs variables En régime variable, les générateurs sont représentés comme en régime stationnaire, mais il faut préciser la nature du signal délivré, par exemple un signal sinusoïdal, un signal de forme carrée, ou un signal en forme de marche appelé échelon (Fig. 1.1). Figure 1.1 Les générateurs utilisés dans 1’ARQS sont les GBF (Générateurs Basse Fréquence) dont la plupart sont capables de délivrer des signaux de formes variées et de fréquence et d'amplitude réglables par l'utilisateur. b. Condensateurs Un condensateur idéal est caractérisé par sa capacité C, qui est le coefficient de proportionnalité entre la charge q de l'une de ses armatures, par exemple A, et la tension à ses bornes : 𝑞𝐴 = 𝐶𝑢𝐴𝐵 = 𝐶𝑢. Notons sur la figure 1.2 les conventions adoptées : l'extrémité de la flèche de 𝑑𝑞 tension pointe l'armature A dont la charge est q. Dans ces conditions, nous écrivons 𝑖 = = 𝑑𝑡 𝑑𝑢 = 𝐶 𝑑𝑡 l'intensité du courant orienté vers cette armature Figure 1.2 Remarque : 1) En régime stationnaire, un condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, c'est-à- dire un coupe-circuit. 6 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma 2) La charge de l'armature du condensateur est une grandeur continue, tout comme la tension à ses bornes, ce qui se justifie par la continuité de l'énergie électromagnétique du condensateur. c. Bobines Une bobine idéale est caractérisée par son inductance L, qui est le coefficient de proportionnalité entre la tension à ses bornes et les variations temporelles du courant qui la 𝑑𝑖 traverse: 𝑢 = 𝐿 𝑑𝑡 La convention adoptée pour la tension et le courant est explicitée sur la figure 1.3. Figure 1.3 Une bobine réelle est généralement bien représentée, jusqu'à des fréquences de quelques kHz, par l'association d'une bobine idéale en série avec un résistor représentant la résistance du bobinage. Remarque : 1) En régime stationnaire, une bobine idéale est équivalente à un court-circuit et une bobine réelle est équivalente à sa résistance de bobinage. 2) Tout comme la charge de l'armature d'un condensateur, l'intensité du courant dans une bobine est une grandeur continue. 2. — SIGNAL SINUSOÏDAL EN NOTATION COMPLEXE 2. 1. — Importance du régime sinusoïdal Les signaux sinusoïdaux à basse fréquence ont une importance considérable dans la pratique, cela pour plusieurs raisons : i) ils sont faciles à réaliser (alternateurs, générateurs basse fréquence, etc.), transportables sur de longues distances, sans grandes pertes, pourvu que l'amplitude de la tension soit suffisamment élevée, ce que l'on réalise aisément à l'aide de transformateurs; ainsi, le distributeur au Maroc fournit un courant sinusoïdal de fréquence 50 Hz, alors qu'en Grande Bretagne et aux USA, la fréquence du réseau de distribution électrique est 60 Hz; 7 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma ii) en outre, l'étude des circuits est particulièrement simple avec des signaux sinusoïdaux, puisque ces signaux conservent leur forme, lorsqu'on les dérive par rapport au temps ou lorsqu'on les intègre; iii) enfin, un signal électrique quelconque est équivalent à une somme de signaux sinusoïdaux. Par exemple, l'étude d'un circuit linéaire, siège d'un signal périodique carré, peut se ramener à celle de signaux sinusoïdaux dont les fréquences sont des multiples entiers d'une fréquence fondamentale. La réponse obtenue est la somme des réponses relatives à chaque signal sinusoïdal. Pour cette dernière raison, nous limitons notre analyse aux circuits constitués de résistors, de bobines, de condensateurs et de générateurs sinusoïdaux (de courant ou de tension). 2. 2. — Du régime transitoire au régime établi Étudions le circuit de la figure 1.4. : ce circuit associant en série, un générateur de signaux sinusoïdaux, un résistor et un condensateur, l'évolution de la tension 𝑢𝐶 (𝑡) aux bornes du condensateur. Figure 1.4. La figure 1.5 représente l'enregistrement de la tension 𝑢𝐶 (𝑡) obtenue sur un oscilloscope à mémoire ; ce dernier a permis d'enregistrer 𝑢𝐶 (𝑡) à partir de l'instant pris comme origine 𝑡 = 0𝑠 où l'on ferme le circuit. Figure 1.5. On constate que le signal devient sinusoïdal, avec la même fréquence que l'excitation, après une durée relativement courte : la première phase durant laquelle le signal n'est pas sinusoïdal forme le régime transitoire; dans la seconde, le signal est sinusoïdal de fréquence identique à celle du générateur. On dit que le circuit a atteint le régime établi. En pratique, quel que soit le signal sinusoïdal fourni par le générateur, après la fermeture de l'interrupteur, les tensions et 8 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma courants, en tout point d'un circuit linéaire, sont aussi sinusoïdaux, avec la fréquence du signal du générateur. 2. 3. — Notation complexe des grandeurs électriques sinusoïdales a. Signal analytique associé à un signal réel Pour étudier les circuits en régime variable, nous pouvons nous limiter à l'étude des signaux sinusoïdaux. Pour ces signaux sinusoïdaux, il est très commode d'associer, à chaque variable sinusoïdale 𝑠(𝑡) = 𝑠𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑥 ), la variable complexe 𝑠̂ (𝑡) appelée signal analytique correspondant ; 𝑠̂ (𝑡) = 𝑠𝑚 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑𝑥 ) = 𝑠𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑥 𝑒 𝑗 𝜔𝑡 avec 𝑠(𝑡) = 𝑅𝑒( 𝑠̂ (𝑡))et 𝑠𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑥 est l’amplitude complexe du signale analytique. b. Avantages de la notation complexe Un premier avantage de la notation complexe est la simplification des équations à résoudre pour déterminer l'état d'un circuit en régime sinusoïdal. En notation complexe, une dérivation par rapport au temps se traduit par une simple multiplication de la grandeur complexe par j. De même, une intégration se traduit par une simple multiplication par 1/(j). Par conséquent Les équations différentielles linéaires se ramènent ainsi à des équations algébriques simples. Exemple : 𝑑2 𝑠 1 𝑑𝑠 𝑑2 𝑠̂ 1 𝑑𝑠̂ + 𝜏 𝑑𝑡 + 𝜔02 𝑠 = 𝑒𝑚 cos(𝜔𝑡) qui devient 𝑑𝑡 2 + 𝜏 𝑑𝑡 + 𝜔02 𝑠̂ = 𝑒̂𝑚 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡 2 Avec 𝑠̂ (𝑡) = 𝑠𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑥 𝑒 𝑗 𝜔𝑡 = 𝑠̂𝑚 𝑒 𝑗 𝜔𝑡 En simplifiant par 𝑒 𝑗 𝜔𝑡 nous obtenons facilement : 𝑒̂𝑚 𝑠̂𝑚 = 𝑗𝜔 −𝜔 2 + 𝜏 + 𝜔02 On en déduit facilement la solution s (t) du régime établi en prenant la partie réelle de s (t) : 𝑠(𝑡) = 𝑅𝑒(𝑠̂ (𝑡)) = 𝑅𝑒(𝑆𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑥 𝑒 j 𝜔𝑡 ) = 𝑠𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) Avec 𝑠𝑚 = |𝑠̂𝑚 | et 𝜑 = arg(𝑠̂𝑚 ) Un second avantage de la notation complexe est qu'elle permet de comparer très facilement deux grandeurs dans un circuit. En effet, soit x(t) et y(t) deux grandeurs réelles, de même pulsation, que l'on souhaite comparer en amplitude et en phase. Le rapport des amplitudes 9 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma réelles est tout simplement égal au rapport des modules et le déphasage  est l’argument du 𝑦̂ rapport 𝑥̂ : 𝑌𝑚 𝑦̂ = |𝑥̂ | et 𝜑 = 𝜑𝑦 − 𝜑𝑥 𝑋𝑚 c. Représentation de Fresnel La représentation de Fresnel d'un nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏z, est la représentation géométrique de ce nombre dans un plan cartésien 𝑂𝑥𝑦, 𝑂𝑥 étant l'axe des réels et 𝑂𝑦 l'axe des ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = imaginaires. Le point A, qui représente le nombre complexe 𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏z, est tel que la ‖𝑂𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ est égale au module de z et l'angle 𝜑 = 𝑂𝑥 |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2 norme du vecteur 𝑂𝐴 ̂ 𝑂𝐴 argument de 𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏. Si le nombre complexe décrit une tension sinusoïdale, d'amplitude 𝑈𝑚 , de pulsation 𝜔 et de déphasage à l'origine , alors le vecteur de Fresnel, de longueur 𝑈𝑚 : 𝑢(𝑡) = 𝑢𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑), tourne autour de l'origine O à la vitesse angulaire 𝜔 ; à 𝑡 = 0𝑠, ce vecteur fait l'angle 𝜑 avec l'axe 𝑂𝑥, voir figure 1.6 Figure 1.6 2. 4. — Impédance d'un dipôle passif linéaire Le concept d'impédance permet de comparer, en régime sinusoïdal, l'intensité du courant qui traverse un dipôle à la tension à ses bornes. a. Définition En régime sinusoïdal, l’impédance d'un dipôle linéaire passif est le rapport entre les nombres ̂ 𝑢 complexes représentant la tension à ses bornes et l'intensité du courant qui le traverse : 𝑍 = 𝑖̂. Remarque : 1) Conformément à l'usage international recommandé, l'impédance est un nombre complexe est écrite Z. 2) L'impédance n'a de sens qu'en régime sinusoïdal; ainsi, l'impédance produite par un dipôle, lorsque la tension à ses bornes est un signal carré périodique, n'a pas de sens. Dans ce cas, on 10 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma doit décomposer le signal en série de Fourier et définir une impédance pour chacune de ses composantes (stationnaire ou sinusoïdale). En régime sinusoïdal établi, u(t) et i(t) ont même pulsation, mais des phases respectives ̂ 𝑢 ̂𝑚 𝑢 généralement différentes 𝜑𝑢 et 𝜑𝑖. Par conséquent : 𝑍 = = = |𝑍|𝑒 𝑗𝜑. 𝑖̂ 𝑖̂𝑚 Notons que l’impédance d’un dipôle est indépendante du temps elle est cohérente avec une résistance; elle s'exprime donc en ohm  et , qui est le déphasage de la tension 𝑢(𝑡) par rapport au courant 𝑖(𝑡), s'exprime en radian dans le système international d'unités. La partie réelle de l'impédance du dipôle est sa résistance R, la partie imaginaire est sa réactance X : 𝑍 = 𝑅 + 𝐽𝑋 L’admittance Y d'un dipôle, inverse de l'impédance : 𝑖̂ 𝑖̂𝑚 1 −𝑗𝜑 𝑌= = = 𝑒 = |𝑌|𝑒 −𝑗𝜑 𝑢̂ 𝑢̂𝑚 |𝑍| Le module de Y est l'inverse de celui de Z et sa phase est opposée à celle de Z. Sa partie réelle est la conductance G et sa partie imaginaire la susceptance B : 𝑍 = 𝐺 + 𝐽𝐵 𝑅 −𝑋 3) Puisque 𝑌 = 1/𝑍, nous obtenons facilement les relations suivantes: 𝐺 = 𝑅2 +𝑋 2 et = 𝑅2 +𝑋 2 4) La résistance R d'un dipôle passif est toujours positive, alors que la réactance est de signe quelconque. Ce résultat est relié à l'interprétation physique de X. De même, la conductance G est toujours positive, alors que la susceptance est de signe quelconque. b. Impédances des composants usuels En régime établi sinusoïdal de pulsation 𝜔, on associe à la tension u(t) aux bornes du dipôle et à l'intensité i(t) du courant qui le traverse, respectivement : 𝑢̂(𝑡) = 𝑢𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑢 𝑒 j 𝜔𝑡 et 𝑖̂(𝑡) = 𝑖𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑖 𝑒 j 𝜔𝑡 i) Résistor Pour un résistor, la relation entre u(t) et i(t) s'écrit simplement : u = Ri soit 𝑢̂(𝑡) = 𝑍𝑅 𝑖̂(𝑡) avec 𝑍𝑅 = 𝑅 donc l'impédance complexe d'un résistor est réelle, car le courant et la tension sont en phase 𝜑 = 0; cette impédance est indépendante de la pulsation 𝜔. 11 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Remarque : Comme l'oscilloscope ne permet de visualiser que des tensions, on étudie l'évolution d'un courant variable dans un circuit à partir de la tension aux bornes d'un résistor parcouru par ce courant ; la courbe obtenue est en phase et proportionnelle au courant. ii) Condensateur idéal 𝑑𝑢 Pour un condensateur idéal, de capacité C, la relation entre u(t) et i(t) est: 𝑖 = 𝐶 𝑑𝑡 Il vient, en régime sinusoïdal et en notation complexe : 𝑖̂(𝑡) = 𝑗𝐶𝜔𝑢̂(𝑡) donc : 𝑢̂(𝑡) = 𝑍𝐶 𝑖̂(𝑡) 1 avec = 𝑍𝐶 = 𝑗𝐶𝜔 Ainsi, l'impédance complexe d'un condensateur idéal est un nombre imaginaire : le courant et 𝜋 𝜋 la tension sont en quadrature, précisément 𝜑 = − 2 𝑟𝑎𝑑 ; u est en retard de 𝑟𝑎𝑑 sur i. Le 2 module de l'impédance d'un condensateur idéal diminue quand la pulsation augmente. A très basse fréquence, il devient très élevé : le composant se comporte comme un coupe-circuit. A très haute fréquence, c'est l'inverse puisque le module de l'impédance est très faible : le composant est équivalent à un court-circuit. iii) Bobine idéale 𝑑𝑖 Pour une bobine idéale d'inductance L, la relation entre u(t) et i(t) est : 𝑢 = 𝐶 𝑑𝑡 d'où 𝑢̂(𝑡) = 𝑗𝐶𝜔𝑖̂(𝑡) soit 𝑢̂(𝑡) = 𝑍𝐿 𝑖̂(𝑡) avec 𝑍𝐶 = 𝑗𝐶𝜔. L'impédance d'une bobine idéale est donc un 𝜋 nombre imaginaire ; le courant et la tension sont en quadrature, précisément 𝜑 = 𝑟𝑎𝑑 ; u est 2 𝜋 en avance de 𝑟𝑎𝑑. Le module de l'impédance d'une bobine idéale augmente avec la pulsation 2 ; à très basse fréquence, la bobine se comporte alors comme un court-circuit. En revanche, à très haute fréquence, c'est l'inverse : le composant devient un coupe-circuit. Sur la figure 1.7, sont dessinées les représentations de Fresnel des impédances des trois dipôles passifs principaux : résistor, condensateur idéal et bobine idéale. Figure 1.7 12 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma c. Caractéristique d'un condensateur ou d'une bobine idéale En régime sinusoïdal, la caractéristique i(u) d'un condensateur ou d'une bobine idéale ne pré- sente que peu d'intérêt, puisque la courbe obtenue dépend de la fréquence d'étude. En effet, pour un condensateur 𝑖(𝑡) = 𝑖𝑚 cos(𝜔𝑡) et u(𝑡) = 𝑢𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑚 𝑖 𝜋 avec 𝑢𝑚 = |𝑍𝐿 |𝑖𝑚 = 𝐶𝜔 et 𝜑 = arg(Zc) = − 2 𝑟𝑎𝑑 1 On reconnaît l'équation paramétrée d'une ellipse dont le rapport des axes vaut. La figure 𝐶𝜔 1.8 représente cette ellipse pour un condensateur de capacité 𝐶 = 1𝜇𝐹 soumis à une tension sinusoïdale d'amplitude constante et de fréquences successives 50Hz, 200Hz et 500Hz. A la fréquence la plus basse, la caractéristique se rapproche de celle d'un coupe-circuit, qui est précisément celle obtenue en régime stationnaire. Figure 1.8 Il est possible d'observer de telles courbes en utilisant la fonction « test de composants » de certains oscilloscopes, lesquels fournissent une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz. Au cours d'une période, on constate que le condensateur se comporte tour à tour en générateur et en récepteur, puisque sa caractéristique explore les quatre quadrants. Le condensateur est néanmoins un dipôle passif, puisqu'il n'échange de l'énergie qu'avec le circuit ; aussi l'énergie qu'il fournit n'excède- t-elle jamais celle qu'il a reçue du circuit lors de la phase précédente où il s'est comporté en récepteur. Il en est de même pour les bobines idéales qui ne peuvent que stocker de l'énergie sous forme magnétique. 2. 5. — Association d'impédances Les lois d'association des impédances complexes sont identiques à celles relatives aux résistors en régime stationnaire. 13 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma a. Association en série Comme les différents dipôles associés en série sont parcourus par le même courant et que la tension aux bornes du dipôle équivalent est la somme des tensions aux bornes des dipôles qui le composent, on trouve, en notation complexe : 𝑖̂1 = 𝑖̂2 = ⋯ = 𝑖̂𝑛 et 𝑢̂ = 𝑢̂1 + 𝑢̂2 + ⋯ + 𝑢̂𝑛 il en résulte que 𝑍 = 𝑍1 + 𝑍2 + ⋯ + 𝑍𝑛 Exemple : Déterminons l'impédance complexe équivalente à l'association en série d'un résistor, de résistance R, d'une bobine idéale, d'inductance L, et d'un condensateur idéal, de capacité C. D'après ce qui précède, on trouve : 1 1 1/2 𝑍 = 𝑅 + 𝑗(𝐿𝜔 − 𝐶𝜔) d’où : |𝑍| = (𝑅 2 + (𝐿𝜔 − 𝐶𝜔) 2 ) b. Association en parallèle Comme les différents dipôles associés en parallèle sont soumis à la même tension et que l'intensité du courant qui traverse le dipôle équivalent est la somme des intensités dans chaque dipôle qui le compose, il vient, en notation complexe : 𝑢̂1 = 𝑢̂2 = ⋯ = 𝑢̂𝑛 et 𝑖̂ = 𝑖̂1 + 𝑖̂2 + ⋯ + 𝑖̂𝑛 il en résulte que 𝑌 = 𝑌1 + 𝑌2 + ⋯ + 𝑌𝑛 Exemple : Calculons l'admittance complexe équivalente à l'association en parallèle d'un conducteur de résistance R, d'une bobine idéale d'inductance L et d'un condensateur idéal de capacité C. 1 1 1 1 1/2 D'après ce qui précède : 𝐿 = 𝑅 + 𝑗(𝐶𝜔 − 𝐿𝜔) d’où : |𝑌| = ((𝑅)2 + (𝐶𝜔 − 𝐿𝜔) 2 ) Ce circuit oppose donc une admittance minimale qui vaut 1/R à un courant de pulsation 𝜔 = 1 1/2 𝜔0 = (𝐿𝐶). Comme cette admittance est nulle lorsque R est infini, le courant entrant dans le circuit dans ce cas est nul ; le circuit semble s'opposer à un tel courant, d'où son nom de circuit bouchon. 2. 6. — Générateurs en régime sinusoïdal établi En régime sinusoïdal établi, les générateurs délivrent un signal, tension ou courant, caractérisé 𝜔 par l'amplitude, la fréquence 𝑓 = 2𝜋 et le déphasage éventuel 𝜑 par rapport à une référence. On écrira, respectivement pour un générateur de tension et un générateur de courant, qui fournissent respectivement la f.e.m e(t) et de courant soient : 14 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma 𝑢̂(𝑡) = 𝑢𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑢 𝑒 j 𝜔𝑡 = 𝑢̂𝑚 𝑒 j 𝜔𝑡 et 𝑖̂(𝑡) = 𝑖𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑖 𝑒 j 𝜔𝑡 = 𝑖̂𝑚 𝑒 j 𝜔𝑡 Le plus souvent, le circuit ne comporte qu'un seul générateur, lequel sert alors de référence pour les déphasages ; nous supposons alors 𝜑𝑢 = 𝜑𝑖 = 0 Les générateurs réels présentent en outre une impédance interne 𝑍𝑖 qui prend en compte l'écart de leur comportement par rapport aux modèles de générateurs idéaux. Pour un générateur de tension, l'impédance interne 𝑍𝑖 , est en série avec la source de tension ; pour un générateur de courant, l'admittance interne 𝑌𝑖 = 1/𝑍𝑖 est en parallèle avec la source de courant (Fig. 1.9). Les relations entre le courant i(t) et la tension u(t) sont donc les suivantes : 𝑢̂(𝑡) = 𝑍𝑖 𝑖̂(𝑡) − 𝑒̂𝑚 et 𝑖̂(𝑡) = 𝑌𝑚 𝑖̂(𝑡) − 𝑖̂𝑚 pour un générateur de tension et de courant, respectivement Figure 1.9 Tout comme en régime stationnaire, on passe d'une représentation à l'autre, en remplaçant la 𝑒̂𝑚 source de tension par une source de courant selon la correspondance 𝑖̂𝑚 = = 𝑒̂𝑚 𝑌𝑖 et en 𝑍𝑖 1 associant l'admittance interne 𝑌𝑖 = 𝑍 en parallèle. 𝑖 Les GBF les plus couramment utilisés présentent une résistance interne de 50 et imposent que l'une de leurs bornes soit la masse du circuit, car elle est reliée par une connexion interne à la prise de terre. Il existe également des GBF, dits à masse flottante, pour lesquels aucune des bornes n'est reliée à la terre et qui n'imposent pas de masse au circuit. 15 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Chapitre 2 : Méthode d’analyse des circuits électriques 1. — LOIS DE BASE EN RÉGIME SINUSOÏDAL 1. 1. — Écriture des lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal Les lois de Kirchhoff restent valables dans l’ARQS. Réécrivons-les en régime établi sinusoïdal, à l'aide de la notation complexe, pour prendre avantage des règles simples du calcul algébrique sur les nombres complexes. a. Loi des nœuds Comme les tensions et les intensités des courants sont de même pulsation 𝜔, tous les termes en 𝑒 j 𝜔𝑡 se simplifient; aussi la loi des nœuds porte-t-elle uniquement sur les amplitudes complexes : ∑𝑘 ∈𝑘 𝑖𝑘 = 𝑅𝑒(∑𝑘 ∈𝑘 𝑖̂𝑘 ) = 𝑅𝑒(∑𝑘 ∈𝑘 𝑖̂𝑘𝑚 𝑒 j 𝜔𝑡 ) = 𝑅𝑒(𝑒 j 𝜔𝑡 ∑𝑘 ∈𝑘 𝑖̂𝑘𝑚 ) = 0 donc ∑𝑘 ∈𝑘 𝑖̂𝑘𝑚 = 0 ∈𝑘 = 1 si le courant 𝑖𝑘 est orienté vers le nœud ∈𝑘 = −1 si le courant 𝑖𝑘 est orienté vers le sens contraire du nœud. b. Loi des mailles La loi des mailles, elle aussi, s'écrit uniquement en fonction des amplitudes complexes : La somme algébrique des tensions aux bornes des branches d'une maille décrite dans un sens arbitraire est nulle : ∑𝑘 ∈𝑘 𝑢𝑘 = 𝑅𝑒(∑𝑘 ∈𝑘 𝑢̂𝑘 ) = 𝑅𝑒(∑𝑘 ∈𝑘 𝑢̂𝑘𝑚 𝑒 j 𝜔𝑡 ) = 𝑅𝑒(𝑒 j 𝜔𝑡 ∑𝑘 ∈𝑘 𝑢̂𝑘𝑚 ) = 0 donc ∑𝑘 ∈𝑘 𝑢̂𝑘𝑚 = 0 ∈𝑘 = 1 si la tension 𝑢𝑘 est dans sens que la maille et ∈𝑘 = −1 si la tension 𝑢𝑘 est dans le sens opposée de la maille. c. Application à la détermination d'impédances En régime stationnaire, le pont de Wheatstone permet de déterminer la résistance d'un résistor inconnu. De façon analogue, un tel pont peut être utilisé en régime sinusoïdal établi pour déterminer l'impédance d'un dipôle linéaire inconnu. Le montage est alors appelé pont de Maxwell; on l'utilise pour déterminer les caractéristiques d'une bobine réelle que l'on modélise à basse fréquence en associant en série une bobine idéale d'inductance 𝐿𝑖 et un résistor de 16 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma résistance 𝑅𝑖. Les résistances 𝑅2 et 𝑅4 sont connues, 𝑅3 et 𝐶3 sont réglables. Lorsque le générateur délivre une tension 𝑒(𝑡) = 𝑒𝑚 cos(𝜔𝑡) entre les points P et Q, l'ampèremètre de résistance 𝑅𝑎 indique l'intensité i du courant dans la branche AB (Fig. 2.1). Figure 2.1 L'expression de l'intensité est obtenue en utilisant les lois de Kirchhoff en notation complexe. La loi des mailles appliquée dans les trois mailles donne les trois équations suivantes : 𝑍1 𝑖̂1 + 𝑅𝑎 𝑖̂ + 𝑅4 𝑖̂4 = 0 −𝑒 + 𝑍2 (𝑖̂1 − 𝑖̂) + 𝑍1 𝑖̂1 = 0 −𝑒 + 𝑍3 (𝑖̂1 + 𝑖̂) + 𝑍4 𝑖̂2 = 0 Nous écrivons alors : 𝑒+𝑍2 𝑖̂ 𝑒−𝑍3 𝑖̂ 𝑖̂1 = 𝑍 et 𝑖̂2 = 𝑍 1 +𝑍2 3 +𝑍4 D’où 𝑒𝑍2 𝑍4 𝑖̂ = 𝑅 𝑎 (𝑍1 +𝑍2 )(𝑍3 +𝑍4 )+𝑍1 𝑍2 (𝑍3 +𝑍4 )+𝑍2 𝑍3 (𝑍1 +𝑍2 ) Le pont est équilibré si l'ampèremètre n'est traversé par aucun courant, ce qui implique une relation entre les quatre impédances analogue à celle qui a été établie en régime stationnaire ; 𝑍1 𝑍3 = 𝑍2 𝑍4 soit (𝑅1 + 𝑗𝐿1 ) × 𝑅3 /(1 + 𝑗𝑅3 𝐶3 ) = 𝑅2 𝑅4 ce qui donne : 𝑅2 𝑅4 + 𝑗𝑅3 𝐶3 𝑅2 𝑅4 = 𝑅1 𝑅3 + 𝑗𝐿1 𝑅3 en identifiant partie réelle et partie imaginaire nous obtenons : 𝑅2 𝑅4 = 𝑅1 𝑅3 et 𝐿1 = 𝑅2 𝑅4 𝐶3 17 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Exemple Pour de déterminer les caractéristiques d'une bobine à air de 1000 spires, on réalise le montage en prenant 𝑅2 = 𝑅4 = 1𝐾 et un générateur de tension stationnaire. L'équilibre est obtenu pour 𝑅3 = 72𝐾. Le générateur stationnaire est alors remplacé par un GBF et l'équilibre est de nouveau atteint pour 𝐶3 = 42𝑛𝐹 C3 = 42 nF. On en déduit la résistance interne de la bobine, 𝑅1 = 13.9 et 𝐿1 = 42𝑚𝐻 1. 2. — Théorème de Millman Le théorème de Millman reste également valable en régime sinusoïdal dans l'ARQS, pourvu que l'on utilise les amplitudes complexes des tensions. Au nœud A d'un circuit, la tension a donc pour expression : ∑𝑘(𝑌𝑘 (𝑢̂𝑚𝑘 +∈𝑘 𝑒̂𝑘𝑚 ) +∈′𝑘 𝑖̂𝑘𝑚 ) 𝑢̂𝑚𝐴 = ∑𝑘 𝑌𝑘 la sommation portant sur toutes les branches qui aboutissent en A ; rappelons que l’on compte positivement les f.e.m orientées vers le nœud A ∈𝑘 = 1 et les courants dirigés vers le nœud A ∈′𝑘 = 1. Exemple Déterminons la tension u(t) aux bornes du résistor dans le circuit de la figure 2.2 où les générateurs de tension et de courant fournissent des signaux de même fréquence f, déphasé de 𝜋 𝑟𝑎𝑑 2 𝜋 𝑒̂ (𝑡) = 𝑢𝑚 𝑒 j 𝜔𝑡 et 𝑖̂(𝑡) = 𝑖𝑚 𝑒 j 𝜔𝑡 𝑒 j2 = 𝑗𝑖𝑚 𝑒 j 𝜔𝑡 Figure 2.2 Si on choisit une valeur nulle pour la tension au point M où les deux générateurs sont connectés, la tension u(t) recherchée est égale à celle du nœud A reliant le résistor et le condensateur. En appliquant le théorème de Millman en ce point, on obtient : 𝑗𝑒̂ 𝐶𝜔 + 𝑖̂ 𝑒̂𝑚 𝐶𝜔 + 𝑖𝑚 j 𝜔𝑡 𝑢̂ = = 𝑒 𝑗𝐶𝜔 + 1/𝑅 𝐶𝜔 − 𝑗/𝑅 18 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma On obtient facilement 𝑢(𝑡) = 𝑢𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) : 𝑗𝑒̂ 𝐶𝜔+𝑖̂ 1 𝑢𝑚 = |𝑢̂| = (𝐶𝜔)2 +1/𝑅2 )1/2 et 𝜑 = arctan(𝑅𝐶𝜔) 1. 3. — Symétries d'un circuit Les propriétés de symétrie et d'antisymétrie des tensions et des courants sont tels que : i) si le réseau (ou une portion du réseau) présente un plan de symétrie P, aucun courant ne traverse le plan P et les points symétriques par rapport à P sont à la même tension ; ii) si le réseau présente un plan d'antisymétrie Q, la répartition des courants est aussi antisymétrique et les points de Q sont au même potentiel. Remarque Il existe d'autres théorèmes importants relatifs aux circuits linéaires (théorèmes de super- position, de Thévenin et de Norton), que nous verrons plus tard. 1. 4. — Diviseurs de tension et de courant Les expressions établies en régime stationnaire pour les diviseurs de tension ou de courant se transposent aisément (Fig, 2.3 ) : Figure 2.3 𝑍1 𝑌 1 𝑢̂1 = 𝑍 𝑢̂ et 𝑖̂1 = 𝑌 +𝑌 𝑖̂ 1 +𝑍2 1 2 Exemple : Un générateur de tension impose une tension sinusoïdale aux bornes d'un circuit RC série, avec 𝐶 = 2.2𝐹 et 𝑅 = 500 voir figure 2.4. 19 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma  Figure 2.4 Calculons l'amplitude et le déphasage de la tension aux bornes du condensateur. En notation complexe, il vient, puisqu'il s'agit d'un diviseur de tension : 𝑍𝐶 1/𝑗𝐶 1 1 𝑢̂𝐶𝑚 = 𝑒̂𝑚 = 𝑒̂𝑚 = 𝑒̂𝑚 = 𝑒̂ 𝑍𝐶 + 𝑅 1/𝑗𝐶 + 𝑅 1 + 𝑗𝑅𝐶 1 + 𝑗 𝑚 L'amplitude de la tension 𝑢𝐶 (𝑡) est alors égale à : 1 1 𝑢𝐶𝑚 = | 𝑒̂𝑚 | = 𝑒 1 + 𝑗 (1 + ()2 )1/2 𝑚 Avec  = 𝑅𝐶 = 500 × 2.2. 10−6 𝐹 = 1.1𝑚𝑠 𝑢𝐶𝑚 ≈ 𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟  𝑡𝑟è𝑠 𝑓𝑎𝑖𝑏𝑙𝑒 { 𝑢𝐶𝑚 ≈ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟  𝑡𝑟è𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑢𝐶𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 1 Avec 𝜑 = arg(𝑢̂𝐶𝑚 ) = arg (1+𝑗𝑅𝐶 𝑒̂𝑚 ) = −arctan() qui varie entre 0 en régime 𝜋 stationnaire et 2 à haute fréquence. 1. 5. — Application à la mesure de l'impédance interne d'un GBF Il est possible d'utiliser un diviseur de tension pour déterminer l'impédance interne d'un GBF. Il s'agit de la méthode dite de la tension moitié. Après avoir relevé la f.e.m 𝑒𝑚 du GBF, on branche sur celui-ci une résistance variable que l'on ajuste jusqu'à ce que la tension u à ses bornes soit égale à 𝑒𝑚 /2. Voir Fig. 2.5 Figure 2.5 La résistance variable est alors égale à la résistance interne du GBF. En effet : 20 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma  𝑅 𝑒𝑚 𝑢 = 𝑅+𝑅 𝑒𝑚 = ce qui donne 𝑅 = 𝑅𝑖 𝑖 2 Exemple concret : 𝑒𝑚 = 10𝑉et 𝑅 = 50 , 𝑅𝑖 = 50 2. Théorème de Thévenin et de Norton 2.1. Théorème de Thévenin Rappel Générateur de tension réel Dans le circuit de la figure 4.1 la loi d'Ohm à la borne du générateur est 𝑈 = 𝐸 − 𝑟𝐼 E étant la f.é.m et r la résistance interne du générateur. Figure 2.6 Générateur de courant réel Sur la figure 2.7, la loi d'Ohm à la borne de la résistance R: 𝑈 = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑅𝐼 ′ le courant débité par le générateur est : 𝑈 𝐼 = 𝐼𝐶𝐶 − 𝐼 ′ = 𝐼𝐶𝐶 − 𝑅 I Figure 2.7. Modèle équivalent de Thévenin Soit le circuit de la figure 2.8 : 21 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma  Si on place une chrge de résistance 𝑅𝐶𝐻 entre les bornes A et B d'un dipôle comprenat un ou plusieurs générateurs 𝐸1 et plusieurs résistances 𝑅1 et 𝑅2 , alors cette chrge 𝑅𝐶𝐻 sera traversée par la même intensité de de courant que si elle était montée entre les bornes d'un générteur de tension réel ayant pour force éléctromotrice 𝐸𝑇𝐻 et une résistance interne 𝑅𝐶𝐻. Ce générateur est appelé : générteur de Thévenin ou Modèle Figure 2.8. Equivalent de Thévenin ( M.E.T) Comment déterminer 𝐸𝑇𝐻 et 𝑅𝐶𝐻 ? - Détermination de 𝐸𝑇𝐻 On débranche la résistance 𝑅𝐶𝐻 , puis on calcule la tensions à vide: 𝑈𝐴𝐵 = (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )0 𝐸𝑇𝐻 = (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )0 𝑠𝑖 (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )0 > 0 { 𝐸𝑇𝐻 = −(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )0 𝑠𝑖𝑖 (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )0 < 0 Dans notre exemple de la figure 2.9 : (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )0 = 𝑅2 𝐼 or formule de Pouillet 𝐸1 exige : 𝐼=𝑅 donc (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )0 = 1 +𝑅2 𝑅2 𝐸1 𝑅 𝐸 > 0 par conséquent 𝐸𝑇𝐻 = 𝑅 2+𝑅1 𝑅1 +𝑅2 1 2 Figure 2.9. - Détermination de 𝑅𝑇𝐻 On éteint toutes les sources (tous les générateurs), puis on détermine la résistance vu de la branche AB. Dans notre cas 𝑅1 et 𝑅2 sont en parallèle. Voir figure 2.10. 𝑅 𝑅 Donc 𝑅𝑇𝐻 = 𝑅1 //𝑅2 = 𝑅 1+𝑅2 Figure 2.10. 1 2 22 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma  Le modèle équivalent est donné sur la figure 2.11 : que nous plaçons dans notre exemple, ce qui donne la figure 2.12. Figure 2.11 Modèle équivalent de Norton Un générateur peut également être modélisé par un générateur de courant d'intensité 𝐼𝑁 et en parallèle avec une résistance 𝑅𝑁. Le modèle est appelé modèle équivalent de Norton (M.E.N) ou générateur de Norton. Voir figure 2.12. Figure 2.12 Détermination de 𝐼𝑁 Voir figure 2.13 𝐸𝑇𝐻 𝐼𝑁 = 𝑅𝑇𝐻 Figure 2.13 Détermination de 𝑅𝑁 Voir figure 2.14 𝑅𝑁 = 𝑅𝑇𝐻 Figure 2.14 23 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma 3. Simplification de Kennelly Le passage de la structure triangle (𝐴𝐵𝐶) à la structure étoile (𝑂𝐴𝐵𝐶) (voir figure 2.15.) Figure 2.15. S'obtient par les relations : Si on déconnecte le point A, il doit y avoir égalité des impédances entre B et C : 𝑅23 (𝑅12 +𝑅13 ) 𝑍23 = 𝑅2 + 𝑅3 = 𝑅23 //(𝑅12 + 𝑅13 ) = 𝑅12 +𝑅13 +𝑅23 Si on déconnecte le point B, il doit y avoir égalité des impédances entre A et C : 𝑅13 (𝑅12 +𝑅23 ) 𝑍13 = 𝑅1 + 𝑅3 = 𝑅13 //(𝑅12 + 𝑅23 ) = 𝑅12 +𝑅13 +𝑅23 Si on déconnecte le point C, il doit y avoir égalité des impédances entre A et B : 𝑅12 (𝑅13 +𝑅23 ) 𝑍12 = 𝑅1 + 𝑅2 = 𝑅12 //(𝑅13 + 𝑅23 ) = 𝑅12 +𝑅13 +𝑅23 On tire les trois égalités suivantes : La résolution de ses égalités nous donnent : 𝑅12 𝑅13 𝑅12 𝑅23 𝑅23 𝑅13 𝑅1 = 𝑅 , 𝑅2 = 𝑅 et 𝑅3 = 𝑅 12 +𝑅13 +𝑅23 12 +𝑅13 +𝑅23 12 +𝑅13 +𝑅23 Pour la transformation inverse : On relie B et C et nous écrivons alors : 𝑍𝑎 = 𝑅12//𝑅13=𝑅1 + 𝑅2//𝑅3 On relie C et A et nous écrivons alors : 𝑍𝐵 = 𝑅12 //𝑅23 = 𝑅2 + 𝑅1//𝑅3 On relie B et A et nous écrivons alors : 𝑍𝐶 = 𝑅13 //𝑅23 = 𝑅3 + 𝑅1//𝑅2 Combinons les relation comme il suit : 24 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2𝑅2 +𝑍 −𝑍 =𝑅 +𝑅 +𝑅 +𝑅 −𝑅 −𝑅 =𝑅 =𝑅 ce qui donne : 𝑍𝑎 𝑏 𝑐 12 13 12 23 13 23 12 1 𝑅2 +𝑅1 𝑅3 +𝑅2 𝑅3 𝑅1 𝑅2 +𝑅1 𝑅3 +𝑅2 𝑅3 𝑅12 = 𝑅3 1 1 1 1 1 1 De même : 𝑍 − 𝑍 + 𝑍 et − 𝑍 + 𝑍 + 𝑍 nous donnent : 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑅1 𝑅2 +𝑅1 𝑅3 +𝑅2 𝑅3 𝑅1 𝑅2 +𝑅1 𝑅3 +𝑅2 𝑅3 𝑅13 = et 𝑅23 = 𝑅2 𝑅1 25 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Chapitre 3 : PUISSANCE EN REGIME SINUSOÏDAL 1. — Puissance active ou puissance moyenne En régime variable, la puissance instantanée 𝑃𝑖 , reçue par un dipôle s'obtient à partir de l'expression stationnaire, valable à tout instant: 𝑃𝑖 (𝑡) = 𝑢(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝑢𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑖𝑚 cos(𝜔𝑡) En raison des fréquences habituellement utilisées dans l’ARQS, le plus souvent supérieures à 50 Hz, et de la durée 𝑇𝑑 d'une expérience généralement très supérieure à la période 𝑇 = 1/𝑓, la grandeur intéressante est la puissance moyenne reçue : 1 𝑇𝑑 1 𝑇𝑑 1 ̅𝑖 (𝑡) = 𝑃=𝑃 ∫ 𝑃𝑖 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑢𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜑) 𝑖𝑚 cos(𝜔𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑢𝑚 𝑖𝑚 cos(𝜑) 𝑇𝑑 0 𝑇𝑑 0 2 Par définition, la valeur efficace d'une tension ou d'un courant variables est la valeur qu'il faudrait donner à cette grandeur, en régime stationnaire, pour dissiper la même puissance que dans un résistor. La puissance P dissipée dans un résistor soumis à une tension sinusoïdale est 1 𝑢𝑚 𝑖𝑚 𝑃 = 2 𝑢𝑚 𝑖𝑚 = 𝑈𝐼 soit avec 𝑈 = et 𝐼 = √2 √2 Exemple la tension efficace du réseau d'alimentation électrique sinusoïdale des particuliers est de 230V, ce qui correspond à une tension d'amplitude 𝑢𝑚 = 𝑈√2 = 325𝑉. La définition de la valeur efficace X d'une grandeur x(t) périodique, de période T, est donc telle 1 𝑇 que: 𝑋 = 𝑇 ∫0 𝑥 2 (𝑡)𝑑𝑡 𝑅𝑒(𝑍) Le facteur cos(𝜑) = |𝑍| , qui apparaît dans l'expression de V, est le facteur de puissance ; il s'exprime simplement à l'aide de l'impédance du dipôle : Ainsi, pour U et I, la puissance moyenne reçue par le dipôle peut varier de 0 lorsque 𝜑 = 𝜋 ± 2 𝑟𝑎𝑑, à U1 pour 𝜑 = 0𝑟𝑎𝑑. Pour un résistor, dont l'impédance est réelle, le facteur de puissance est maximal cos(𝜑) = 1, et la puissance active reçue vaut alors UI. Pour un condensateur idéal ou une bobine parfaite, le facteur de puissance et la puissance reçue 𝜋 sont nuls puisque 𝜑 = ± 2 𝑟𝑎𝑑; pour de tels composants la puissance active P est nulle, alors 26 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma que la puissance instantanée ne l'est pas : elle est tantôt positive, tantôt négative, car le dipôle emmagasine de l'énergie puis la restitue au cours d'une période. Précisément, la puissance instantanée reçue par un condensateur s'écrit : 𝑑𝑢 𝑑 1 𝑃𝑖 (𝑡) = 𝑢(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝑢𝐶 = ( 𝐶𝑢2 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 Soit le taux de variation de l'énergie stockée par le condensateur. De même, la puissance instantanée reçue par une bobine idéale a pour expression : 𝑑𝑖 𝑑 1 𝑃𝑖 (𝑡) = 𝑢(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝑖𝐿 = ( 𝐿𝑖 2 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 Soit le taux de variation de l'énergie stockée par la bobine. Seule la partie résistive d'un dipôle absorbe de la puissance active. En effet, pour un dipôle quelconque, d'impédance 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋, la puissance reçue a pour expression : 1 1 2 1 𝑅 2 𝑃 = 𝑢𝑚 𝑖𝑚 cos(𝜑) = 𝑅𝑖𝑚 = 2 2 𝑢𝑚 2 2 2𝑅 +𝑋 Cette puissance s'annule, quelle que soit la valeur de X, pour R = 0. Notons que la réactance X influe en général sur la valeur de 𝑢𝑚 ou 𝑖𝑚 et donc sur la puissance dissipée, bien que la dissipation ne se produise qu'au niveau des parties résistives. 2. — Puissance apparente et puissance réactive a. Puissance apparente La puissance moyenne reçue par un dipôle, 𝑃 = 𝑈𝐼 cos(𝜑) (P, ne peut pas dépasser la valeur 𝑆 = 𝑈𝐼, laquelle fournit une estimation rapide de l'équipement indispensable en tension et en courant. Pour distinguer cette quantité S de la puissance active P exprimée en watt, on l'appelle puissance apparente et on l'exprime en voltampère (VA). Exemple : Un transformateur est un appareil permettant, grâce au phénomène d'induction entre un circuit primaire et un circuit secondaire, une modification de la tension sinusoïdale sans variation de puissance. Sur sa plaque signalétique sont inscrites les caractéristiques suivantes : 230 V au primaire, 12 V au secondaire et 60 VA, ce qui correspond dans le secondaire à 𝑈𝑆 = 12𝑉 et 𝑆 𝐼𝑆 = 𝑈 = 5𝐴. Ce transformateur pourra donc débiter dans le circuit secondaire un courant maximal de 5 A. Dans ce cas, la puissance disponible dépendra de l'impédance de la charge 27 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma connectée aux bornes du circuit secondaire ; elle est généralement inférieure à 60 W et égale à cette valeur lorsque la charge est purement résistive. b. Puissance réactive Il est utile d'introduire, en dehors de la puissance active et de la puissance apparente, une autre puissance qui exprime les rôles des composants, tels qu'un condensateur ou une bobine. Ainsi, définit- on la puissance réactive Q selon : 1 𝑄 = 𝑢𝑚 𝑖𝑚 sin(𝜑) = 𝑈𝐼 sin(𝜑) 2 Pour la distinguer de la puissance active et de la puissance apparente, on l'exprime en voltampère- réactif (VAR). La puissance réactive d'un résistor est nulle, car ce dipôle n'introduit aucune différence de phase entre la tension et le courant. En revanche, celles d'une bobine d'inductance L et d'un condensateur de capacité C valent respectivement : −𝐼 2 𝑄 = 𝑈𝐼 sin(𝜑) = 𝑈𝐼 = Lω𝐼 2 et 𝑄 = 𝑈𝐼 sin(𝜑) = 𝐶ω Ce concept de puissance réactive permet de caractériser le type d'installation : i) si 𝑄 > 0, le système reçoit de la puissance réactive, puisque sin(𝜑) > 0; l'installation est de type inductif, ii) si 𝑄 < 0,, le système fournit de la puissance réactive, puisque sin(𝜑) < 0 ; l'installation est de type capacitif. Notons que les puissances active, apparente et réactive, sont reliées par la relation simple suivante : 𝑆 2 = 𝑃2 + 𝑄 2 ce que l'on retient sous la forme d'un triangle de puissances où les trois puissances sont les trois côtés d'un triangle rectangle d'angle 𝜑 voir figure 3.1. Figure 3.1 28 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Exemple Sur le transformateur d'une guirlande de sapin de Noël, qui comporte 180 petites lampes connectées en série, on peut lire les informations suivantes : PR/Entrée : 230 V - 50 Hz SEC/Sortie 24 V - 850 mA - 20,4 VA En outre, il est indiqué que chaque lampe consomme une puissance de 0.112 W. Ainsi, le transformateur est constitué d'un circuit Primaire (PR) aux bornes duquel la tension sinusoïdale du secteur de valeur efficace 230 V et de fréquence 50 Hz est appliquée. Aux bornes du Secondaire (SEC), la tension efficace est de 24 V, l'intensité de 0, 85 A, d'où la puissance apparente de 20,4 VA. Nous déduisons facilement : 𝑃 180×0.112𝑊 1 cos(𝜑) = = = 0.988 et tan(𝜑) = 𝑐𝑜𝑠2 (𝜑) − 1 = 0.155 𝑆 20.4𝑉𝐴 𝑈𝑆2 𝑈𝑆2 242 Or 𝑃 = alors 𝑅 = = 20.15 = 28.5 𝑅 𝑃 3. — Puissance complexe La notation complexe, qui est un intermédiaire de calcul très commode, n'a pas été utilisée dans l'analyse énergétique précédente, car cette dernière fait apparaître des grandeurs quadratiques. Cependant, on peut l'introduire en remarquant les égalités suivantes : 1 1 1 1 𝑅𝑒(𝑢̂𝑚 𝑖̂∗𝑚 ) = 2 𝑅𝑒(𝑢𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑢 𝑒 j 𝜔𝑡 𝑖𝑚 𝑒 −𝑗𝜑𝑖 𝑒 − j 𝜔𝑡 ) = 2 𝑅𝑒(𝑢𝑚 𝑖𝑚 𝑒 𝑗(𝜑𝑢−𝜑𝑖) ) = 2 𝑢𝑚 𝑖𝑚 cos(𝜑) 2 et 1 1 1 1 𝐼𝑚(𝑢̂𝑚 𝑖̂∗𝑚 ) = 𝐼𝑚(𝑢𝑚 𝑒 𝑗𝜑𝑢 𝑒 j 𝜔𝑡 𝑖𝑚 𝑒 −𝑗𝜑𝑖 𝑒 − j 𝜔𝑡 ) = 𝐼𝑚(𝑢𝑚 𝑖𝑚 𝑒 𝑗(𝜑𝑢−𝜑𝑖) ) = 𝑢𝑚 𝑖𝑚 sin(𝜑) 2 2 2 2 𝑖̂∗𝑚 est le conjugué du complexe 𝑖̂𝑚 1 𝑃 = 𝑅𝑒(𝑃̂), 𝑄 = 𝐼𝑚(𝑃̂), 𝑆 = |𝑃̂| avec 𝑃̂ = 𝑃 + 𝑗𝑄 = 𝑢̂𝑚 𝑖̂∗𝑚 2 Nous désignons la puissance complexe reçue par le dipôle considéré. Pour un dipôle d'impédance 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋, ou d'admittance 𝑌 = 𝐺 + 𝑗𝐵, Nous déduisons : 1 1 𝑃̂ = 2 𝑢̂𝑚 𝑖̂∗𝑚 = 2 𝑍|𝑖̂𝑚 |2 = 𝑍𝐼 2 = 𝑅𝐼 2 + 𝑗𝑋𝐼 2 ou encore 1 1 1 𝑃̂ = 2 𝑢̂𝑚 𝑖̂∗𝑚 = 2 𝑢̂𝑚 𝑌 ∗ 𝑢̂𝑚 ∗ = 2 𝑌 ∗ |𝑢̂𝑚 |2 = 𝑌 ∗ 𝑈 2 = 𝐺𝑈 2 − 𝑗𝐵𝑈 2 29 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Remarque La partie réelle de la puissance complexe est la puissance moyenne réelle (puissance active) et non la puissance instantanée réelle. 3. 1. — Grandeurs efficaces complexes Ce qui précède suggère de définir des grandeurs complexes efficaces, associées aux tensions et aux intensités sinusoïdales : ̂ = 𝑢̂𝑚 = 𝑈𝑒 𝑗𝜑𝑢 et 𝐼̂ = 𝑖̂𝑚 = 𝐼𝑒 𝑗𝜑𝑖 ce qui donne alors : 𝑈 √2 √2 ̂ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑖̂(𝑡) = √2𝐼̂𝑒 𝑗𝜔𝑡 et 𝑃 = 𝑅𝑒(𝑈 𝑢̂(𝑡) = √2𝑈 ̂ 𝐼̂∗ ) 3. 2. — Théorème de Boucherot Dans un circuit électrique, certains dipôles générateurs fournissent de la puissance électrique que des éléments résistifs dissipent par effet Joule et que d'autres, tels les condensateurs et les bobines, emmagasinent sous des formes différentes. Le théorème P. Boucherot établi en 1900, s'exprime comme suit. Dans un réseau électrique, parcouru par des courants sinusoïdaux, la somme des puissances actives est nulle, ainsi que la somme des puissances réactives. Pour l'établir, commençons par l'exemple simple d'un réseau constitué de quatre nœuds, numérotés 1, 2, 3 , 4, et disposés comme le montre la figure 3.2. Figure 3.2. En régime quasi stationnaire sinusoïdal, la puissance complexe du réseau est la somme des puissances complexes sur toutes les branches : 1 𝑃̂ = ∑ 𝑃̂𝑏 = ̂𝑏 𝐼̂𝑏∗ ∑ 𝑢̂𝑚𝑏 𝑖̂∗𝑚𝑏 = ∑ 𝑈 2 𝑏 𝑏 𝑏 ̂12 𝐼̂12 =𝑈 ∗ ̂23 𝐼̂23 +𝑈 ∗ ̂34 𝐼̂34 +𝑈 ∗ ̂13 𝐼̂13 +𝑈 ∗ ̂14 𝐼̂14 +𝑈 ∗ ̂24 𝐼̂24 +𝑈 ∗ 30 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Si l'on introduit les potentiels électriques efficaces complexes aux nœuds, 𝑉̂1, 𝑉̂2, 𝑉̂3 et 𝑉̂4 les différents termes de puissance entre crochets s'écrivent respectivement, en introduisant les potentiels efficaces complexes : 𝑃̂ = (𝑉̂1 − 𝑉̂2 )𝐼̂12 ∗ + (𝑉̂2 − 𝑉̂3 )𝐼̂23 ∗ + (𝑉̂3 − 𝑉̂4 )𝐼̂34 ∗ + (𝑉̂1 − 𝑉̂3 )𝐼̂13 ∗ + (𝑉̂1 − 𝑉̂4 )𝐼̂14 ∗ + (𝑉̂2 − 𝑉̂4 )𝐼̂24 ∗ = 𝑉̂1 (𝐼̂12 ∗ + 𝐼̂13 ∗ + 𝐼̂14 ∗ ) + 𝑉̂2 (−𝐼̂12 ∗ + 𝐼̂23 ∗ + 𝐼̂24 ∗ ) + 𝑉̂3 (−𝐼̂23 ∗ + 𝐼̂34 ∗ − 𝐼̂13 ∗ ) + 𝑉̂4 (−𝐼̂34 ∗ − 𝐼̂14 ∗ − 𝐼̂24 ∗ ) D'après la loi des nœuds, les sommes sur les intensités sont nulles, d'où : 𝑃̂ = ∑𝑏 𝑃𝑏 = 0 Or 𝑃̂ = ∑𝑏 𝑃̂𝑏 = ∑𝑏(𝑃𝑏 𝑐𝑜𝑠(𝜑𝑏 ) + 𝑗𝑃𝑏 𝑠𝑖𝑛(𝜑𝑏 )) = 0 Exemple dans un local industriel, alimenté sous une tension efficace de 230 V, sont branchées en parallèle cinq lampes, consommant une puissance de 100 W chacune, et deux moteurs de puissances actives 𝑃1 = 5𝐾𝑊 et 𝑃1 = 6𝐾𝑊; les facteurs de puissance de ces moteurs valent respectivement cos(𝜑1 ) = 0.84 et cos(𝜑2 ) = 0.75. Dans le but de déterminer le facteur de puissance de l'ensemble, calculons les puissances active Pg et réactive Qg du générateur d'alimentation à l'entrée du réseau. D'après le théorème de Boucherot, on a : Pg + 5 x 100 + 5 000 + 6000 = 0 d'où Pg=-ll.5kW et Qs + 5 x 0 + 5 000 x tan(arccos 0,84) + 6000 x tan(arccos 0,75) = 0 d'où Qg = —8,5 kVAR On en déduit, à l'aide du triangle des puissances (Fig. 2.14), tan(g) = Qg/Pg = 0.74 et cos (g) = 0,80. 4. — Distribution de puissance électrique Tout distributeur de puissance électrique, cherche à diminuer les pertes de puissance le long des lignes conductrices en raison de l'effet Joule. Sur la figure 3.3, on a schématisé cette distribution : on désigne par r la résistance des lignes, Z la charge, I l'intensité efficace du courant dans la ligne et U la tension efficace aux bornes de la charge. Figure 3.3. 31 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Les installations électriques industrielles ne sont pas purement résistives mais possèdent un effet inductif non négligeable dû aux enroulements des moteurs (Im(Z) > 0). Aussi est-il judicieux d'étudier, pour une puissance utile 𝑃𝑢 fixée consommée par l'utilisateur, l'influence du facteur de puissance sur la perte de puissance 𝑃𝑖 occasionnée par les lignes de transport. On a: 𝑃2 𝑃𝑖 = 𝑟𝐼 2 et 𝑃𝑢 = 𝑈𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜑) donc : 𝑃𝑖 = 𝑟 𝑈 2 𝑐𝑜𝑠𝑢2 (𝜑) Ainsi, la puissance 𝑃𝑖 perdue dans la ligne est inversement proportionnelle au carré de la tension fournie à l'utilisateur et au carré du facteur de puissance de son installation. Afin de minimiser les pertes en lignes, sans modifier la puissance reçue par l'utilisateur, le distributeur impose à ses clients un facteur de puissance minimal de 0,90. En cas de non-respect de ce minimum, il applique une tarification pénalisante. Si une installation électrique possède un facteur de puissance trop faible, on connecte, en parallèle ou en série avec l'installation, un condensateur qui compense l'effet inductif et amène le facteur de puissance à une valeur proche de 1. Donnons les facteurs de puissance de quelques appareils usuels : i) lampe à incandescence ; 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 1 ii) four à induction compensé par condensateurs (prévus par le constructeur) : 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 0.85 iii) lampes à fluorescence avec compensation : 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 0.93 iv) poste de soudure à l'arc, sans compensation : 𝑐𝑜𝑠(𝜑) = 0.5 Afin de diminuer les pertes en ligne, le distributeur augmente, à l'aide de transformateurs, la tension efficace sur les lignes de transport entre la source de production et l'agglomération à desservir; cette tension peut atteindre 400 kV. À proximité du consommateur, la tension est abaissée, en plusieurs étapes, jusqu'à environ 230 V , grâce à des transformateurs abaisseurs de tension. Ce procédé fut proposé pour la première fois en 1887 par N. Tesla. À l'entrée des installations industrielles, le distributeur utilise des wattmètres pour mesurer la puissance électrique active consommée ainsi que des VARmètres, précisément dans le but de contrôler le facteur de puissance de l'installation. Exemple Une installation électrique est équivalente à un dipôle d'impédance Z = R + jX avec X > 0, en raison de son caractère inductif. Elle est alimentée par le réseau de distribution U = 230 V et / = 50 Hz. Le courant efficace consommé est de 16 A pour une puissance disponible de 3 kW. 32 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Déterminons le facteur de puissance 𝑐𝑜𝑠(𝜑) ainsi que R et la capacité du condensateur qu'il faut placer en parallèle sur l'installation pour obtenir un facteur de puissance de 1. Nous avons : 𝑃 3000 𝑃 = 𝑈𝐼𝑐𝑜𝑠(𝜑) ce qui donne cos(𝜑) = 𝑈𝐼 = 230×16 = 0.82 Or 𝑃 = 𝑅𝐼 2 et 𝑈 = |𝑍|𝐼 on trouve : 𝑅 = 11.7, 𝑋 = 14.4 et |𝑍| = 8.4 Pour que le facteur de puissance ait sa valeur maximale, il faut que la capacité C du condensateur, connecté en parallèle, réalise une susceptance (partie imaginaire de l'admittance) de l'ensemble nulle : 𝐼𝑚(𝑌𝑒) = 0 avec 𝑌𝑒 = 𝑗𝐶𝜔 + 1/(𝑅 + 𝑗𝑋) nous déduisons 𝐶 = 129𝜇𝐹 5. Circuits pont de Wheatstone 5.1. Pont de Wheatstone Le pont de Wheatstone est le nom donné à une combinaison de quatre résistances connectées pour donner une valeur centrale nulle. Le circuit en forme de diamant du pont de Wheatstone dont le concept a été développé par Charles Wheatstone peut être utilisé pour mesurer avec précision des valeurs de résistance inconnues, ou comme moyen d'étalonner des instruments de mesure, des voltmètres, des ampèremètres, etc., en utilisant une résistance variable et une formule mathématique simple. Bien qu’aujourd’hui, les multimètres numériques constituent le moyen le plus simple de mesurer une résistance. Le pont de Wheatstone peut être utilisé pour comparer une résistance inconnue à celle d'une résistance connue afin de déterminer sa valeur permettant de mesurer de très faibles valeurs de résistances dans la plage des milli-Ohms (mΩ). Le circuit en pont de Wheatstone (ou pont de résistance) peut être utilisé dans un certain nombre d'applications et aujourd'hui, avec des amplificateurs opérationnels modernes, nous pouvons utiliser le circuit en pont de Wheatstone pour interfacer divers transducteurs et capteurs à ces circuits amplificateurs. Le circuit du pont de Wheatstone n'est rien de plus que deux simples arrangements série- parallèle de résistances connectées entre une borne d'alimentation en tension et la masse produisant une différence de tension nulle entre les deux branches parallèles lorsqu'elles sont équilibrées. Un circuit en pont de Wheatstone possède deux bornes d'entrée et deux bornes de sortie composées de quatre résistances configurées selon un agencement familier en forme de diamant, comme illustré. C'est typique de la façon dont le pont de Wheatstone est dessiné voir figure 3.4. 33 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma  Figure 3.4: Pont de Wheatstone Lorsqu'il est équilibré, le pont de Wheatstone peut être analysé simplement comme deux cordes en série en parallèle. Il se produit sur les résistances en série une chute de courant 𝐼𝑅 et ou une chute de tension 𝑈𝑅 , tel que défini par la loi d'Ohm. Soit le circuit série de la figure 3.5. Figure 3.5. Comme les deux résistances sont en série, le même courant ( i ) les traverse toutes les deux. Par conséquent, le courant circulant à travers ces deux résistances en série est donné par : 𝐼 = 𝑉 ÷ 𝑅 = 12𝑉 ÷ (10 + 20) = 0.4𝐴 Au point C, nous relevons la chute de tension aux bornes de la résistance inférieure, 𝑅2 : 𝑉𝑅2 = 𝐼 × 𝑅2 = 0.4𝐴 × 20 = 8𝑉 Nous pouvons alors voir que la tension source 𝑉𝑆 est divisée entre les deux résistances série en proportion directe de leurs résistances comme 𝑉𝑅1 = 4𝑉 et 𝑉𝑅2 = 8𝑉. C'est le principe de la division de tension, Maintenant, si nous ajoutons un autre circuit de résistances en série utilisant les mêmes valeurs de résistance en parallèle avec le premier, nous aurions le circuit de la figure 3.6. Figure 3.6. 34 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Comme le deuxième circuit série a les mêmes valeurs résistives du premier, la tension au point D, qui est également la chute de tension aux bornes de la résistance, 𝑅4 sera la même à 8 volts. Notons que la différence de tension entre le point C et le point D sera de zéro volt puisque les deux points ont la même valeur de 8 volts que : Lorsque cela se produit, les deux côtés du réseau de ponts parallèles sont dits équilibrés car la tension au point C est la même valeur que la tension au point D, leur différence étant nulle. Voyons maintenant ce qui se passerait si nous inversions la position des deux résistances R3 et R4 dans la deuxième branche parallèle par rapport à 𝑅1 et 𝑅2. Voir figure 3.7. Figure 3.7 Avec les résistances 𝑅3 et 𝑅4 inversées, le même courant circule à travers la combinaison en série et la tension au point D, qui est également la chute de tension aux bornes de la résistance, 𝑅4 sera : 𝑉𝑅4 = 0,4𝐴 × 10 = 4𝑉 donc la différence de tension entre les points C et D sera de 4 volts comme : Le résultat de l’échange des deux résistances est que les deux côtés ou « bras » du réseau parallèle sont différents car ils produisent des chutes de tension différentes. Lorsque cela se produit, le réseau parallèle est dit déséquilibré car la tension au point C est à une valeur différente de la tension au point D. Nous pouvons ensuite voir que le rapport de résistance de ces deux bras parallèles, ACB et ADB, entraîne une différence de tension de 0 volt (symétrique) et la tension d'alimentation maximale (asymétrique), et c'est le principe de base du circuit du pont de Wheatstone. Donc un circuit en pont de Wheatstone peut être utilisé pour comparer une résistance 𝑅𝑋 inconnue avec d'autres résistances de valeur connue, par exemple 𝑅1 et 𝑅2 , ont des valeurs fixes, et 𝑅3 pourrait être variable. Si nous connections un voltmètre, un ampèremètre ou classiquement un galvanomètre entre les points C et D, puis nous faisions varier la résistance 𝑅3 jusqu'à ce que les compteurs lisent zéro, les deux bras du pont seraient équilibrés et la valeur de 𝑅𝑋 (en remplacement de 𝑅4 ) connue comme indiqué. 35 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma 5.2. Analyse du circuit pont de Wheatstone Figure 3.8 En remplaçant 𝑅4 de l figure 3.8 par une résistance de valeur connue ou inconnue dans le bras de détection du pont de Wheatstone correspondant à 𝑅𝑋 et en ajustant la résistance opposée, 𝑅3 pour « équilibrer » le réseau du pont, cela entraînera une sortie de tension nulle. Nous pouvons alors voir que l’équilibre se produit lorsque : 𝑅1 𝑅 = 𝑅 3 = 1 équilibre 𝑅2 𝑋 L'équation du pont de Wheatstone nécessaire pour donner la valeur de la résistance inconnue, 𝑅𝑋 à l'équilibre, est donnée comme suit : 𝑉𝑜𝑢𝑡 = (𝑉𝐶 − 𝑉𝐷 ) = (𝑉𝑅2 − 𝑉𝑅4 ) = 0 𝑅2 𝑅3 𝑅2 𝑅3 𝑅𝐶 = 𝑅 et 𝑅𝐷 = 𝑅 à l’équilibre : 𝑅𝐶 = 𝑅𝐷 donc 𝑅 =𝑅 1 +𝑅2 3 +𝑅4 1 +𝑅2 3 +𝑅4 𝑅2 𝑅3 Ce qui donne : 𝑅4 = = 𝑅𝑋 𝑅1 Où les résistances, 𝑅1 et 𝑅2 sont des valeurs connues ou prédéfinies. Exemple 1 Soit le pont de Wheatstone déséquilibré de la figure 3.9. 36 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma  Figure 3.9 Calculez la tension de sortie aux points C et D et la valeur de la résistance R4 nécessaire pour équilibrer le circuit en pont 𝑅2 120 Pour le bras ACB: 𝑉𝐶 = 𝑅 𝑉𝑆 = 80+120 100𝑉 = 60𝑉 1 +𝑅2 𝑅4 160 Pour le bras ABD: 𝑉𝐶 = 𝑅 𝑉𝑆 = 480+160 100𝑉 = 25𝑉 3 +𝑅4 La tension aux points C-D est donnée par : 𝑉𝑜𝑢𝑡 = 𝑉𝐶 − 𝑉𝐷 = 60𝑉 − 25𝑉 = 35𝑉 La valeur de la résistance R4 nécessaire pour équilibrer le pont est donnée comme suit: 𝑅4 = 𝑅2 𝑅3 120×480 = = 720 𝑅1 80 Nous avons vu plus haut que le pont de Wheatstone possède deux bornes d'entrée (A-B) et deux bornes de sortie (C-D). Lorsque le pont est équilibré, la tension aux bornes de sortie est de 0 volt. Cependant, lorsque le pont est déséquilibré, la tension de sortie peut être positive ou négative en fonction de la direction du déséquilibre. 5.3. Application : Détecteur de lumière du pont de Wheatstone Les circuits en pont équilibré trouvent de nombreuses applications électroniques utiles, par exemple pour mesurer les changements d'intensité lumineuse, de pression ou de contrainte. Les types de capteurs résistifs qui peuvent être utilisés dans un circuit en pont de Wheatstone comprennent : les capteurs photo-résistifs (LDR), les capteurs de position (potentiomètres), les capteurs piézo-résistifs (jauges de contrainte) et les capteurs de température (thermistances), etc. Il existe de nombreuses applications du pont de Wheatstone pour détecter toute une gamme de grandeurs mécaniques et électriques, mais une application très simple du pont de Wheatstone consiste à mesurer la lumière à l'aide d'un dispositif photo-résistif. L'une des résistances du 37 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma réseau du pont est remplacée par une résistance dépendante de la lumière, ou LDR. Un LDR, également connu sous le nom de cellule photoélectrique au sulfure de cadmium (Cds), est un capteur résistif passif qui convertit les changements dans les niveaux de lumière visible en un changement de résistance et donc en tension. Les résistances dépendantes de la lumière peuvent être utilisées pour surveiller et mesurer le niveau d'intensité lumineuse, ou pour savoir si une source lumineuse est allumée ou éteinte. Une cellule typique au sulfure de cadmium (CdS) telle que la résistance dépendante de la lumière ORP12 a généralement une résistance d'environ un mégaohm (MΩ) dans l'obscurité ou une lumière faible, d'environ 900 Ω à une intensité lumineuse de 100 Lux (typique d'une pièce bien éclairée), jusqu'à environ 30 Ω en plein soleil. Ensuite, à mesure que l’intensité lumineuse augmente, la résistance diminue. En connectant une résistance dépendante de la lumière au circuit en pont de Wheatstone de la figure 3.10, nous pouvons surveiller et mesurer tout changement dans les niveaux de lumière, comme indiqué. Détection de lumière Figure 3.10 La cellule photoélectrique LDR est connectée au circuit du pont de Wheatstone comme indiqué pour produire un interrupteur sensible à la lumière qui s'active lorsque le niveau de lumière détecté passe au-dessus ou en dessous de la valeur prédéfinie déterminée par 𝑉𝑅1 , soit un potentiomètre 22k ou 47kΩ. L'ampli-op est connecté en tant que comparateur de tension avec la tension de référence 𝑉𝐷 , appliquée à la broche non inverseuse. Dans cet exemple, comme 𝑅3 , et 𝑅4 ont la même valeur de 10 kΩ, la tension de référence réglée au point D sera donc égale à la moitié de 𝑉𝐶𝐶. C'est 𝑉𝐶𝐶 /2. 38 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Le potentiomètre 𝑉𝑅1 règle la tension du point de déclenchement 𝑉𝐶 , appliquée à l'entrée inverseuse et est réglée au niveau de lumière nominal requis. Le relais s'allume lorsque la tension au point C est inférieure à la tension au point D. Le réglage de 𝑉𝑅1 règle la tension au point C pour équilibrer le circuit en pont au niveau ou à l'intensité de lumière requis. Le LDR peut être n’importe quel dispositif au sulfure de cadmium présentant une impédance élevée à de faibles niveaux de lumière et une faible impédance à des niveaux de lumière élevés. Notez que le circuit peut être utilisé pour agir comme un circuit de commutation « activé par la lumière » ou un circuit de commutation « activé par l'obscurité » simplement en transposant les positions LDR et 𝑅3 dans la conception. Le pont de Wheatstone a de nombreuses utilisations dans les circuits électroniques autres que la comparaison d'une résistance inconnue avec une résistance connue. Lorsqu'il est utilisé avec des amplificateurs opérationnels, le circuit en pont de Wheatstone peut être utilisé pour mesurer et amplifier de petits changements de résistance, 𝑅𝑋 dus, par exemple, à des changements d'intensité lumineuse comme nous l'avons vu ci-dessus. Mais le circuit en pont convient également pour mesurer le changement de résistance d'autres quantités changeantes, donc en remplaçant le capteur de lumière LDR photo-résistif ci-dessus par une thermistance, un capteur de pression, une jauge de contrainte et d'autres transducteurs similaires, ainsi qu'en échangeant les positions de le LDR et le 𝑉𝑅1, nous pouvons les utiliser dans une variété d'autres applications de ponts de Wheatstone. De plus, plusieurs capteurs résistifs peuvent être utilisés dans les quatre bras (ou branches) du pont formé par les résistances 𝑅1 à 𝑅2 pour réaliser des montages de circuits en « pont complet », « demi-pont » ou « quart de pont assurant une compensation thermique. ou équilibrage automatique du pont de Wheatstone. 39 Eloutassi Omar o.eloutassi.umi.ac.ma Chapitre 4 : Analyse des circuits RLC 1. Circuit RLC série Les circuits RLC en série sont constitués d'une résistance, d'une capacité et d'une inductance, toutes les deux connectées en série sur une alimentat