NizoviRedovi PDF - Mathematical Sequences and Series

Sadržaj 1 Numerički nizovi 1 1.1 Definicija i osnovni pojmovi............................ 1 1.1.1 Predstavljanje nizova............................ 2 1....

Sadržaj 1 Numerički nizovi 1 1.1 Definicija i osnovni pojmovi............................ 1 1.1.1 Predstavljanje nizova............................ 2 1.1.2 Konvergencija nizova............................ 3 1.2 Osobine konvergentnih nizova.......................... 6 1.3 Beskonačne granične vrijednosti.......................... 11 1.4 Monotoni nizovi................................... 13 1.5 Alati za izračunavanje limesa........................... 15 1.6 Podnizovi (neobavezan materijal)......................... 18 2 Numerički redovi 22 2.1 Definicija i osobine numeričkog reda....................... 22 2.2 Redovi sa nenegativnim članovima........................ 27 2.3 Redovi sa proizvoljnim članovima......................... 30 Bibliografija 32 i  Poglavlje 1 Numerički nizovi Pod nizom podrazumijevamo ureden skup objekata koji su odredeni nekim uzorkom ili pra- vilom. Pri tome ”ureden skup objekata” može biti bilo kakva vrsta objekata, na primjer {A, B, C, D,...} predstavlja dobro definisan niz slova (objekata) našeg alfabeta. Termin ”nu- merički”, odnosi se na to da ćemo mi u ovom poglavlju posmatrati samo nizove brojeva. Konkretnije, posmatrat ćemo samo nizove ralnih brojeva, pa bi ovdje još precizniji naslov bio ”realni numerički nizovi”. Dakle, niz brojeva je progresija ili uredeni popis brojeva kojima upravlja neki obrazac ili pravilo. Brojevi u nizu nazivaju se članovima niza. Niz koji se nastavlja beskonačno bez završetka je beskonačan niz, dok niz s poznatim krajem predstavlja konačan niz. 1.1 Definicija i osnovni pojmovi Definicija 1.1.1. Svako preslikavanje a : N → R, skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva, nazivamo realnim nizom. Broj koji se ovim preslikavanjem dodjeljuje prirodnom broju n označavamo sa a(n), ili češće sa an i nazivamo ga n-ti član niza. Pri tome broj n u oznaci an nazivamo indeksom člana niza. Ako je specificirana zavisnost an od n, onda se an naziva opštim članom niza. Za niz čiji su članovi a1 , a2 ,..., an ,... koristit ćemo oznaku (an )n∈N , (an )∞ n=1 ili kratkoće radi samo (an ). Na isti način možemo definisati nizove kompleksnih brojeva, nizove funkcija ili uopšteno nizove elemenata proizvoljnog skupa. U ovom dijelu mi ćemo se ograničiti na posmatranje samo realnih numeričkih nizova. Primjer 1 : Niz 1, 2, 3,..., n, n + 1,... je niz prirodnih brojeva. Niz 1, 3, 5,..., 2n + 1,... je niz neparnih prirodnih brojeva, a 1, 4, 9, 16, 25,... je niz kvadrata prirodnih brojeva. Niz je potpuno odreden svojim opštim članom. Naprimjer, ako je opšti član niza dat sa n xn = n+1 , niz je u potpunosti odreden i njegovi članovi su 12 , 23 , 34 ,..., ili ako želimo odrediti 100 stoti član ovog niza, x100 = 101. Za odredivanje niza nije neophodno da postoji formula kojom se eksplicitno odreduje opšti 1  1.1. Definicija i osnovni pojmovi Prosti brojevi do 101: član xn u zavisnosti od n. Naprimjer, ako je xn n-ti po redu prost broj, niz (xn ) je korektno 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, definisan, iako ne znamo formulu za odredivanje n-tog člana tog niza. Isto tako√možemo 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, govoriti da je niz (an ) zadat tako da je an n-ta cifra u decimalnom razvoju broja 2, mada 73, 79, 83, 89, 97, 101 formulu za n-tu cifru tog razvoja ne znamo eksplicitno. √ 2 = 1, 414213562373 Znati konačno mnogo prvih članova niza nije dovoljno za jednoznačno odredivanje niza. 0950488016887242096 9807856967187537694 Naprimjer, ako je dato prvih pet članova nekog niza 807317667973799... 0, 7, 26, 63, 124, pravilo po kome su konstruisani ovi članovi može ali i ne mora da važi za šesti, sedmi i dalje članove ovog niza. Primjer 2 : Odgovoriti na pitanje koje se stalno pojavljuje u testovima inteligencije, ”nastavite niz”: 1) 0, 1, 0, 1, 0, ? 2) 3, 5, 7, ? 3) 1, 2, 3, 4, ? Odgovor na postavljeno pitanje u sva tri slučaja može biti 10, a možda i bilo koji drugi broj! Naime, iako je ”logičan” odgovor da je nastavak prvog niza broj 1, ako posmatramo niz sa opštim članom 5n5 83n4 521n3 1525n2 1021n xn = − + − + − 40 , 24 24 24 24 12 prvih pet njegovih članova je 0, 1, 0, 1, 0, a šesti je 10. Bez obzira koliko dugačak konačan niz brojeva imamo, može se naći pravilo da sljedeći član niza bude bilo koji broj. U drugom zadatom nizu ”logičan” odgovor je broj 9, ali ako posmatramo opšti član n3 23n xn = − n2 + , 6 6 opet ćemo primjetiti da su prva tri člana 3, 5 i 7, ali je četvrti opet 10. Pokušati odrediti opšti član niza koji će imati prvih četiri člana kao u 3., a da peti bude 10. 1.1.1 Predstavljanje nizova Predstavljati nizove možemo na dva načina. Iz samog opisa niza kao liste brojeva dobi- jamo prvi način, predstavljajući članove niza na realnoj pravoj. Tako bi niz (2, 4, 6,..., 14), naznačavajući tačkama članove niza, bio predstavljen kao na slici x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Slika 1.1: Predstavljanje niza na realnoj pravoj Predstavljati beskonačne nizove na ovaj način bio bi problem jer bi se često gubila pred- stava o nizu. Tako za niz (−1, 1, −1, 1,...) slikom bi bile predstavljene samo dvije tačke, a oznakama a2n i a2n−1 bi sugerisali parne i neparne pozicije članova našeg niza. a2n−1 a2n -3 -2 -1 0 1 2 Slika 1.2: Niz an = (−1)n predstavljen na realnoj pravoj.
∞ Još teže bi bilo predstaviti niz n1 n=1. Označili bi prvih nekoliko članova niza, a dalje članove bi smo samo naznačili tačkama. 2 1.1. Definicija i osnovni pojmovi a4a3 a2 a1 0 1 Slika 1.3: Nepraktičnost predstavljanja niza na realnoj pravoj. Bolja, preglednija varijanta predstavljanja niza proizilazi iz činjenice da niz shvatamo kao preslikavanje (čak je i definisan tako). Ovdje pod preslikavanjem podrazumijevamo činjenicu da članove niza numerišemo po njihovim pozicijama. Tako niz (xn )∞ n=1 možemo predstaviti tabelom n 1 2 3... k... xn x1 x2 x3... xk... Ovo znači da niz možemo posmatrati kao preslikavanje x : N −→ R, gdje dogovorno koristimo oznaku xn , a ne uobičajenu oznaku za funkcije x(n). Domen ovog preslikavanja je skup prirodnih brojeva i kad god je domen preslikavanja skup N, takvo preslikavanje nazivamo niz. Sve ovo znači da sada možemo koristiti sve osobine funkcija, ali takode i pojmove uvedene sa njima. Ovo prije svega znači da niz možemo predstaviti u obliku grafa. Tako bi niz (2, 4, 6,..., 14), predstavljen grafom izgledao kao na sljedećoj slici 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 Slika 1.4: Grafički predstavljen niz sa opštim članom xn = 2n. Ovo je sada puno pogodniji način za predstavljanje
beskonačnih nizova. Grafički predstav- ∞ ljen niz (−1, 1, −1, 1,...) dat je na slici 1.5, a niz n1 n=1 predstavljen je slikom 1.6. 2 1 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 0 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Slika 1.5: Grafički predstavljen niz sa Slika 1.6: Grafički predstavljen niz sa opštim opštim članom xn = (−1)n. članom xn = 1 n. Primjetimo da sada nemamo potrebu za pisanjem članova niza. Jednostavnim čitanjem sa lijeva u desno imamo članove niza: prvi, drugi, treći itd. 1.1.2 Konvergencija nizova U matematičkoj analizi proučava se ponašanje članova niza kada njihov indeks neograničeno raste, to jest kada indeks ”teži u beskonačnost”. Ova naizgled jednostavna problematika fundamentalna je za proučavanje osobina realnih i kompleksnih brojeva, skupova i funkcija, a samim tim i u konkretnim primjenama matematike. Ideja je da se proučava ”gomilanje”  članova niza oko neke konkretne vrijednosti. Tako 1 (−1)n naprimjer, članovi nizova ( n ) i n2 ”gomilaju se” oko nule, to jest sve su bliže nuli kako indeks n postaje veći, što možemo naslutiti ako izračunamo po nekoliko članova ovih nizova, 1 1 1 1 1 1 1 1, , , , ,... − 1, , − , ,.... 2 3 4 5 4 9 16 3  1.1. Definicija i osnovni pojmovi 2+(−1)n Za članove niza čiji je opšti član dat sa xn = n ne bismo mogli tvrditi da su sve bliže nuli kada se n povećava jer je naprimjer 1 3 0 < x2n−1 = < = x2n , 2n − 1 2n iz čega vidimo da je x2n na većoj udaljenosti od nule nego njemu prethodeći član. Medutim, i ovde se može uočiti neko gomilanje oko nule, što se vidi ako se izračuna nekoliko prvih članova niza, 1, 32 , 13 , 34 , 15 ,.... Naime, ako izaberemo proizvoljno malen broj ε > 0, svi članovi niza će biti manji od ε, samo ako posmatramo dovoljno ”daleke” članove u datom nizu. Zaista, nije teško vidjeti da za proizvoljno n ∈ N vrijedi 2 + (−1)n 3 xn = ≤ , n n pa je dovoljno posmatrati članove niza čiji je indeks n > 3ε , da bi bilo zadovoljeno xn < ε. Primjetimo da smo u gornjem primjeru pokazali da za proizvoljno ε > 0 svi članovi niza, počevši od nekog indeksa n0 , zadovoljavaju nejednakost xn < ε, to jest oni se gomilaju oko tačke 0. Ovo je globalna ideja kojom se uvodi pojam konvergencije. Definicija 1.1.2. Kažemo da je realan broj a granična vrijednost ili limes niza (xn ) ako i samo ako za svako ε > 0, postoji prirodan broj n0 , takav da za svaki prirodan broj n ≥ n0 vrijedi |xn − a| < ε, što jednostavnije izražavamo formalno-logičkim zapisom (∀ε > 0)(∃n0 (ε) ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ n0 ⇒ |xn − a| < ε). (1.1) Gornju činjenicu zapisujemo sa lim xn = a ili xn → a (n → +∞). n→+∞ Ako je lim xn = a ∈ R, kažemo da niz (xn ) konvergira ka a ili da teži ka a, kada n n→+∞ teži u beskonačnost. Dakle, numerički niz (an )n∈N je konvergentan ako i samo ako postoji lim xn = a ∈ R. n→+∞ Kasnije ćemo vidjeti da je moguće utvrditi da je niz konvergentan, a da pri tome ne znamo njegovu graničnu vrijednost. Za sada jedini način da odredimo graničnu vrijednost nekog niza je da pretpostavimo (izračunavanjem prvih nekoliko članova niza) da je lim xn = a, n→+∞ za neko a, a zatim da to dokažemo provjeravajući uslov iz Definicije 1.1.2. Primjer 3 : U primjeru ispred Definicije 1.1.2 smo pokazali da je 2 + (−1)n lim =0. n→+∞ n 1 n Na sličan način se pokazuje da je lim = 0 ili lim = 1. Pokažimo prvu n→+∞ n n→+∞ n+1 relaciju. 1 Neka je ε > 0 proizvoljno. Nejednakost n < ε ekvivalentna je sa n > 1ε , pa ako stavimo da je   1 n0 = +1 , ε (funkcija [x], čita se ”antije od x”, predstavlja cijeli dio od x), uslov iz Definicije 1.1.2 bit će zadovoljen za svako n ∈ N koji zadovoljava uslov n ≥ n0 , to jest važit će | n1 − 0| < ε. Ovaj niz i njegovu graničnu vrijednost ističemo kao bitne za dalje razmatranje. 4  1.1. Definicija i osnovni pojmovi 1 lim =0 n→∞ n Postoji više ekvivalentnih oblika uslova (1.1). Tako možemo pisati (∀ε > 0)(∃n0 (ε) ∈ N)(∀n ≥ n0 ) |xn − a| < ε , gdje u dijelu ”(∀n ≥ n0 )” podrazumijevamo da je n ∈ N. Takode, znak ””. Osim toga, umjesto ”(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 )” možemo pisati ”(∃y0 ∈ R)(∀n ≥ y0 )”. Ovu posljednju zamjenu naročito dobro možemo koristiti da bi izbjegli korištenje cjelobrojne funkcije ”[·]” (”antije”). 1 Primjer 4 : Neka je xn = 2 n. Posmatrajmo nekoliko prvih članova ovog niza, 1 1 x1 = 21 = 2 , x2 = 2 2 = 1, 41... , x3 = 2 3 = 1, 26... , 1 1 x4 = 2 4 = 1, 19... ,... , x10 = 2 10 = 1, 07.... Možemo primjetiti da se vrijednosti umanjuju i da se ”kreću” ka 1, to jest mogli bi pretpostaviti da je lim xn = 1. Ali ovakvo razmišljanje ni u kom slučaju ne predstavlja n→+∞ dokaz ove tvrdnje. Da bi to ipak i dokazali razmišljajmo ovako: 1 1 kako je xn = 2 n > 1 za svako n ∈ N, tada je nejednakost |2 n − 1| < ε ekvivalentna sa 1 2 n < 1 + ε, što nakon logaritmovanja daje ekvivalentno n > loglog 2 (1+ε). Ovo onda znači da za svako ε > 0, postoji y0 = loglog 2 (1+ε) , takav da je za svaki prirodan broj n, za koga vrijedi n ≥ y0 , zadovoljena nejednakost |xn − 1| < ε. Prema Definiciji 1.1.2 imamo da je lim xn = 1. n→+∞ Na sličan način se pokazuje sljedeći važan limes √ n lim a = 1 , (a > 0). n→+∞ Šta više, vrijedi √ n lim n=1. n→+∞ Konvergenciju niza možemo mnogo bolje razumijeti ako se poslužimo pojmom okoline tačke. Definicija 1.1.3. Okolina tačke a ∈ R je proizvoljan otvoren interval koji sadrži tačku a. Otvoreni interval (a − ε, a + ε) dužine 2ε sa centrom u tački a ∈ R, naziva se simetrična ε-okolina tačke a ili samo ε-okolina tačke a. Definicija 1.1.4. Kažemo da skoro svi članovi niza imaju neku osobinu P ako i samo ako postoji n0 ∈ N, tako da za svako cjelobrojno n ≥ n0 , xn ima osobinu P. Pojam ”skoro svi” je često u upotrebi, zato ga treba dobro razumjeti. Možemo ga posma- trati i u sljedećem izražavanju: skoro svi članovi niza imaju osobinu P ako je imaju svi članovi niza počev od nekog indeksa (članovi niza do tog indeksa ne moraju imati posma- tranu osobinu) ili što je isto kao da kažemo da tu osobinu imaju svi članovi niza osim njih konačno mnogo. Nejednakost |xn − a| < ε, koristeći poznati stav za apsolutnu vrijednost1 , možemo zapisati i kao a − ε < xn < a + ε, što je opet ekvivalentno sa tim da xn ∈ (a − ε, a + ε). Koristeći sve rečeno, Definiciju 1.1.2 možemo iskazati ekvivalentno u sljedećem obliku. 1 Za a ∈ R+ je |x| < a ekvivalentno sa tim da je −a < x < a 5  1.2. Osobine konvergentnih nizova Definicija 1.1.5. Kažemo da niz (xn ) konvergira ka tački a ∈ R ako se u svakoj ε-okolini tačke a nalaze skoro svi članovi niza. 1 1 1 ε ε ε 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −ε 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −ε 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −ε Slika 1.7: Izvan ε-okoline nalazi se konačno mnogo članova niza. Ako se skoro svi članovi niza nalaze u nekoj ε0 -okolini tačke a, onda to isto važi i za svaku ε-okolinu, gdje je ε > ε0. Iz ovoga je jasno da je uslov Definicije 1.1.2 ili njoj ekvivalentne Definicije 1.1.5, dovoljno pokazati za malo ε, odnosno za 0 < ε < ε0 , gdje je ε0 proizvoljan pozitivan broj. Primjer 5 : Niz čiji je opšti član xn = (−1)n nije konvergentan. Zaista, pretpostavimo suprotno, to jest da je za neko a ∈ R, lim xn = a. Kako su svi članovi datog niza jednaki ili 1 ili −1, n→+∞ to znači da se oba ta broja moraju nalaziti u proizvoljnoj ε-okolini tačke a. Medutim, to očigledno nije moguće jer izaberemo li ε < 12 tada nije moguće da oba broja i 1 i −1 budu u intervalu (a − ε, a + ε), čija je dužina manja od 1. 1.2 Osobine konvergentnih nizova Pored pitanja o egzistenciji granične vrijednosti niza, drugo najvažnije pitanje je njena jedinstvenost. To iskazujemo sljedećim tvrdenjem. Teorem 1.2.1 Ako niz ima graničnu vrijednost onda je ona jedinstvena. Dokaz : Neka je lim xn = a i lim xn = b. n→+∞ n→+∞ Ako je a ̸= b, onda postoji ε > 0 takvo da ε-okoline oko tačaka a i b budu disjunktne (dovoljno je uzeti da je ε = b−a 2 ). Na osnovu Definicije 1.1.5 zaključujemo onda da su svi članovi niza (xn ), počev od nekog indeksa n1 , u ε-okolini broja a, ali isto tako bi morali svi članovi našeg niza, počev od nekog indeksa n2 , biti u ε-okolini tačke b. Ako posmatramo članove niza čiji su indeksi veći i od n1 i od n2 , zaključili bi smo da se oni nalaze i u jednoj i u drugoj ε-okolini, što nije u saglasnosti sa disjunktnošću tih okolina. Definicija 1.2.1. Za niz (xn ) kažemo da je ograničen odozgo ako vrijedi: (∃M ∈ R)(∀n ∈ N) xn ≤ M. Niz je ograničen odozdo ako vrijedi: (∃m ∈ R)(∀n ∈ N) xn ≥ m. Kada kažemo da je niz ograničen, podrazumijevamo da je ograničen i odozgo i odozdo. Ipak, dajemo formalnu definiciju ograničenosti niza. 6 1.2. Osobine konvergentnih nizova Definicija 1.2.2. Za niz (xn ) kažemo da je ograničen ako je skup svih elemenata tog niza ograničen, to jest ako postoji realan broj M ≥ 0 takav da je |xn | ≤ M za svako n ∈ N. Ovo zapisujemo sa (∃M ≥ 0)(∀n ∈ N) |xn | ≤ M. Teorem 1.2.2 Svaki konvergentan niz je ograničen. Dokaz : Neka je niz (xn ) konvergentan, to jest neka je lim xn = a ∈ R. Neka je ε > 0 n→∞ proizvoljno, naprimjer neka je ε = 1. Na osnovu definicije konvergencije, svi članovi niza, počev od nekog indeksa n0 , pripadaju okolini (a−1, a+1), odnosno van ove okoline se nalazi konačno mnogo članova niza. Neka je m1 najmanja vrijednost i M1 najveća vrijednost od tih konačno mnogo članova koji su van okoline. Označimo sa m = min{a − 1, m1 } i M = max{a + 1, M1 }. Tada očigledno vrijedi (∀n ∈ N) m ≤ xn ≤ M , što predstavlja ograničenost niza. Ograničenost niza je prema Teoremu 1.2.2, potreban uslov konvergencije. Da to nije i dovoljan uslov, pokazuje primjer niza ((−1)n ) koji jeste ograničen, ali kao što je ranije pokazano nije konvergentan. U sljedećim teoremima pokazat ćemo vezu limesa i osnovnih algebarskih operacija. U mnogim dokazima koji slijede koristit ćemo se poznatom osobinom nejednakosti trougla2 , naime ako znamo da je |a − b| < ε i |b − c| < ε, tada imamo |a − c| = |a − b + b − c| ≤ |a − b| + |b − c| < 2ε. Teorem 1.2.3 Neka su dati nizovi (xn ) i (yn ). 1. Ako je xn = c ∈ R za skoro svako n ∈ N, tada je lim xn = c. n→+∞ 2. Neka je lim xn = x i lim yn = y (x, y ∈ R) i neka su a, b i c proizvoljni realni n→+∞ n→+∞ brojevi. Tada važi: (a) lim (axn + byn ) = ax + by. n→+∞ (b) lim (xn + c) = x + c. n→+∞ (c) lim (xn · yn ) = x · y. n→+∞ xn x (d) lim = , ako je y ̸= 0 i yn ̸= 0, za n ∈ N. n→+∞ yn y (e) lim (xn )k = xk , za k ∈ N. n→+∞ Dokaz : Tvrdenje 1. je posljedica činjenice da se broj c nalazi u svakoj svojoj okolini. 2. Neka je lim xn = x i lim yn = y. Neka je ε > 0 proizvoljan. Počevši od nekog n→+∞ n→+∞ indeksa n1 svi članovi niza (xn ) su u ε-okolini tačke x. Isto tako, od nekog indeksa n2 svi članovi niza (yn ) su u ε-okolini tačke y. Stavimo n0 = max{n1 , n2 }. Tada su za svako n ≥ n0 ispunjene obje nejednakosti |xn − x| < ε i |yn − y| < ε , 2 Za proizvoljne a, b ∈ R vrijedi |a + b| ≤ |a| + |b| 7  1.2. Osobine konvergentnih nizova pa iz nejednakosti trougla slijedi za n ≥ n0 |axn + byn − (ax + by)| = |axn − ax + byn − by| ≤ |a||xn − x| + |b||yn − y| ≤ (|a| + |b|)ε. Kako je |a| + |b| fiksan realan broj, a ε proizvoljan malen broj, to je i (|a| + |b|)ε proizvoljno malen broj pa vrijedi lim (axn + byn ) = ax + by. n→+∞ Tvrdenje (b) u 2. je direktna posljedica tvrdenja 2.(a) i 1. uzimajući yn = c i stavljajući da je a = b = 1. Dokažimo tvrdenje (c). Neka je lim xn = x i lim yn = y. Neka je ε > 0 proizvoljan. n→+∞ n→+∞ Primjenom nejednakosti trougla imamo |xn yn − xy| = |xn yn − xyn + xyn − xy| ≤ |yn ||xn − x| + |x||yn − y|. (1.2) Na osnovu Teorema 1.2.2, postoji realan broj M ≥ 0, takav da je |yn | ≤ M za sve n ∈ N. Sada kao i u dokazu tvrdenja (a), postoji n0 ∈ N takav da je za n ≥ n0 , |xn − x| < ε i |yn − y| < ε, pa iz (1.2) imamo |xn yn − xy| ≤ (M + |x|)ε čime je tvrdenje dokazano. Dokažimo i tvrdnju (d). Neka je lim xn = x i lim yn = y, gdje je y ̸= 0. Ponovo n→+∞ n→+∞ primjenom nejednakosti trougla imamo xn x xn y − yn x |xn y − xy| + |xy − yn x| − = ≤ yn y yn y |yn ||y| |y||xn − x| + |x||yn − y| =. (1.3) |yn ||y| Za proizvoljno ε > 0 postoji n0 , takvo da je |xn − x| < ε i |yn − y| < ε čim je n ≥ n0. Prema tome, brojilac posljednjeg razlomka je manji od (|x| + |y|)ε. Kako je y ̸= 0, postoji neko δ > 0 takvo da interval (−δ, δ) nema zajedničkih tačaka sa intervalom (y − δ, y + δ) ( npr. uzeti δ = |y|2 ). U intervalu (y − δ, y + δ) nalaze se svi članovi niza (yn ) počevši od nekog indeksa n1 , pa je |yn | ≥ δ za n ≥ n1 , pa je imenilac u posljednjem razlomku u (1.3) veći od δ|y|. Dakle, ako je n ≥ max{n0 , n1 } onda je xn x |x| + |y| − ≤ ε, yn y δ|y| pri čemu δ ne zavisi od ε. Time je dokaz završen. (Tvrdnju pod (e) dokazati samostalno) Ilustrujmo primjenu gornjeg tvrdenja na nekoliko primjera. 1 Primjer 6 : Izračunati: lim. n→+∞ n3 Kako je  3 1 1 lim = lim , n→+∞ n3 n→+∞ n koristeći pravilo 2.(d) i poznati nam limes imamo 1 lim= 03 = 0. n→+∞ n3 8  1.2. Osobine konvergentnih nizova  1 1  Primjer 7 : Izračunati: lim 3 · 2n + 2 · 3n. n→+∞ √ Koristeći pravilo 2.(a) i ranije pokazani limes niza ( n a) imamo da je  1 1   1   1  lim 3 · 2 n + 2 · 3 n = lim 3 · 2 n + lim 2 · 3 n n→+∞ n→+∞ n→+∞ √ n √ n = 3 lim 2 + 2 lim 3 n→+∞ n→+∞ =3·1+2·1=5.   1 Primjer 8 : Izračunati: lim +6. n→+∞ n Koristeći pravilo 2.(b) imamo   1 1 lim + 6 = lim + lim 6 = 0 + 6 = 6. n→+∞ n n→+∞ n n→+∞ Medu konvergentnim nizovima, posebnu ulogu imaju nizovi koji konvergiraju ka nuli. Definicija 1.2.3. Niz (xn ) za koga važi lim xn = 0, nazivamo nula-niz. n→+∞ Zapravo, ispitivanje proizvoljnog konvergentnog niza se može svesti na ispitivanje nula-niza. O tome govori naredno tvrdenje. Teorem 1.2.4 Niz (xn ) konvergira ka a ∈ R ako i samo ako niz (xn − a) konvergira ka 0. Dokaz : Neka je lim xn = a. Na osnovu Teorema 1.2.3 2.(b) je n→+∞ lim (xn − a) = lim xn − a = 0. n→+∞ n→+∞ Obratno, ako je lim (xn − a) = 0, tada je n→+∞ lim xn = lim (xn − a + a) = lim (xn − a) + a = a. n→+∞ n→+∞ n→+∞ n Primjer 9 : Za niz sa opštim članom xn = n−1 je lim xn = 1. Dakle, niz (xn − 1)n∈N je nula niz. n→+∞ n 1 1 Zaista, n−1 −1= n−1 , te je lim = 0. n→+∞ n−1 Teorem 1.2.5 Zbir, razlika i proizvod dva nula-niza je ponovo nula-niz. Dokaz ove jednostavne činjenice ostavljen je čitaocu za vježbu, ali primjetimo da kod pro- izvoda dva niza uslove možemo oslabiti. Teorem 1.2.6 Neka je (xn ) proizvoljan nula-niz i neka je (yn ) proizvoljan ograničen niz (ne obavezno 9  1.2. Osobine konvergentnih nizova konvergentan). Tada je niz (zn ), gdje je zn = xn · yn (n ∈ N), nula-niz. Dokaz : Kako je niz (yn ) ograničen, to postoji realan broj M > 0 takav da je za svako n ∈ N, |yn | ≤ M. Iz konvergencije niza (xn ) ka nuli slijedi da za svako ε > 0 postoji n0 ∈ N, tako da je za sve n ≥ n0 zadovoljeno |xn | < ε. Na osnovu svega ovoga zaključujemo da će za n ≥ n0 vrijediti |zn | = |xn · yn | = |xn ||yn | < M ε , a što znači da niz (zn ) konvergira ka nuli. cos n Primjer 10 : Izračunati: lim. n→+∞ n cos n 1 Označimo sa zn = = cos n. Kako je niz sa opštim članom xn = n1 nula-niz, a niz n n sa opštim članom yn = cos n je ograničen ( cos x ≤ 1 ), to je na osnovu gornje teoreme niz (zn ) nula-niz, to jest vrijedi cos n lim =0. n→+∞ n Sljedećim tvrdnjama uspostavlja se veza izmedu limesa i relacije poretka. Teorem 1.2.7 Neka je (xn ) proizvoljan niz. 1. Ako je lim xn = x > p (< p), tada je xn > p (< p) za skoro svako n ∈ N. n→+∞ 2. Ako je niz (xn ) konveregentan i ako je xn > p (< p), za skoro svako n ∈ N, onda je lim xn ≥ p (≤ p). n→+∞ Dokaz : a−p 1. Neka je lim xn = a i neka je a > p. Stavimo li da je ε = 2 , svi brojevi koji n→+∞ pripadaju intervalu (a − ε, a + ε) su veći od p, ali skoro svi članovi niza (xn ) su u toj ε-okolini i time je tvrdenje dokazano. Slučaj kada je a < p dokazuje se analogno. 2. Neka je lim xn = a i neka je xn > p za skoro svako n. Ako bi bilo a < p, to bi n→+∞ na osnovu dokazanog pod 1) značilo da je xn < p za skoro svako n, što je očigledna kontradikcija. Dakle mora biti a ≥ p. Prethodni teorem najčešće ćemo koristiti za slučaj p = 0. Naime, ako je lim xn pozitivan n→+∞ (negativan) broj, tada su skoro svi članovi tog niza pozitivni (negativni). Ako su skoro svi članovi konvergentnog niza pozitivni (negativni), tada je granična vrijednost tog niza nenegativna (nepozitivna). Primjer 11 : Posmatrajmo niz ( n1 ). Svi članovi ovog niza su pozitivni jer je n1 > 0 za svako n ∈ N. Ali 1 lim = 0. n→+∞ n Ovim se potvrduje slijedeće, ako je xn > p za skoro svako n onda je lim xn ≥ p, to jest n→+∞ prelaskom na granični proces znak stroge nejednakosti se ”slabi” na znak ”≥”. Kao posljedicu gornjeg teorema imamo Posljedica 1.2.8. Ako svi članovi konvergentnog niza (xn ) pripadaju segmentu [a, b], tada i lim xn ∈ [a, b]. n→+∞ 10  1.3. Beskonačne granične vrijednosti 1.3 Beskonačne granične vrijednosti Za niz za koga postoji konačna granična vrijednost kažemo da je konvergentan. U suprotnom, kažemo da je divergentan. Suprotnost ovdje znači da ili granična vrijednost nije konačna ili da granična vrijednost uopšte ne postoji. Definicija 1.3.1. Kažemo da niz (xn ) divergira ka plus beskonačnosti, što označavamo sa lim xn = +∞, ako i samo ako vrijedi n→+∞ (∀K > 0)(∃n0 (K) ∈ N)(∀n ≥ n0 )xn > K. Kažemo da niz (xn ) divergira ka minus beskonačnosti, u oznaci lim xn = −∞, ako i n→+∞ samo ako vrijedi (∀K > 0)(∃n0 (K) ∈ N)(∀n ≥ n0 )xn < −K. U oba slučaja kažemo da niz odredeno divergira. Dakle, niz je odredeno divergentan kada ima graničnu vrijednost ali ona nije konačan realan broj. K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 K K K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Slika 1.8: Odredeno divergentni nizovi. Definicija 1.3.1 postaje analogna Definiciji 1.1.2 ako se uvede pojam okoline beskonačnosti. Pod okolinom od +∞ podrazumijevamo proizvoljan interval (K, +∞) i analogno pod oko- linom od −∞ podrazumijevamo proizvoljan interval (−∞, −K), za neko K ∈ R+. Na osnovu ovoga možemo reći da niz odredeno divergira ka +∞ ako su skoro svi članovi niza u proizvoljnoj okolini od +∞. Sada možemo izvršiti selekciju svih nizova u odnosu na konvergenciju. Svaki realni niz spada u jednu od klasa: ˆ Niz je konvergentan (granična vrijednost mu je neki konačan realan broj). ˆ Niz je odredeno divergentan (granična vrijednost mu je ili +∞ ili −∞). ˆ Niz je neodredeno divergentan (nema ni konačnu ni beskonačnu graničnu vrijednost). Primjer 12 : Posmatrajmo geometrijski niz xn = q n (n ∈ N). Za koje q ∈ R je dati niz konvergentan? Ako je q = 1 tada je naš niz konstantan (xn = 1 za sve n ∈ N), pa mu je i granična vrijednost jednaka 1. Dakle, niz je u ovom slučaju konvergentan. Za q = −1 dobijamo niz sa opštim članom xn = (−1)n , za koga je već ranije pokazano da nema graničnu vrijednost, to jest niz je neodredeno divergentan. Neka je |q| < 1. Sada, da bi za proizvoljno ε > 0 bilo |q n − 0| < ε, mora biti log ε |q|n < ε ⇔ n log |q| < log ε ⇔ n > log |q| (u posljednjo ekvivalenciji je došlo do obrtanja znaka nejednakosti jer je log |q| < 0). log ε log ε n Dakle, za proizvoljan ε > 0, ako važi n > log |q| (y0 = log |q| ), onda je |q | < ε, pa je 11  1.3. Beskonačne granične vrijednosti lim q n = 0. Niz je konvergentan. n→+∞ log K Ako je q > 1, čim je n > log q , onda je q n > K, za proizvoljno K, pa je lim q n = +∞, n→+∞ to jest niz je odredeno divergentan. Za q < −1, članovi niza sa parnim stepenom su pozitivni, a sa neparnim stepenom su negativni. Ali svi članovi po apsolutnoj vrijednosti rastu u beskonačnost. Dakle niz je neodredeno divergentan. Sljedeći teorem je na odreden način proširenje Teorema 1.2.3. Teorem 1.3.1 Neka je lim xn = x ∈ R i neka je lim yn = +∞. Tada vrijedi: n→+∞ n→+∞ 1. lim (xn + yn ) = +∞. n→+∞ 2. lim (xn · yn ) = sgnx · ∞ (x ̸= 0). n→+∞ xn 3. lim = 0. n→+∞ yn 4. Ako je lim xn = 0 i ako su skoro svi članovi niza (xn ) pozitivni, tada je n→+∞ 1 lim = +∞. n→+∞ xn U Teoremu 1.2.3 smo govorili o konvergentnim nizovima. Gornji teorem je proširenje u tom smislu što možemo direktno računati limese kombinacije dva niza i ako je jedan od nizova odredeno divergentan. Postoje kombinacije dva niza kada se rezultat ne može direktno odre- diti kao u slučajevima opisanim u ovim teoremima. Tada kažemo da je granična vrijednost neodredena ili da je neodredenog tipa. To medutim ni u kom slučaju ne znači da granična vrijednost ne postoji, već samo da se ne može unaprijed odrediti primjenom pravila datih u ovim teoremama. n2 + 3n − 2 Primjer 13 : Za niz sa opštim članom xn = imamo neodredenost tipa ∞ ∞ jer i brojilac i 2n2 + 5n + 4 imenilac divergiraju ka +∞, kada n teži u beskonačnost. Dijeljenjem i brojioca i imenioca sa n2 vrijednost razlomka se neće promjeniti, pa je 1 + n3 − n22 xn =. 2 + n5 + n4 Primjenom pravila Teorema 1.2.3 dobijamo da je 1 lim xn =. n→+∞ 2 √ √ Primjer 14 : Izračunati: lim ( n + 1 − n). n→∞ Ako bi smo limesom ”prošli” kroz malu zagradu i pokušali primjeniti Teorem 1.2.3 ili Teorem 1.3.1, dobili bi izraz oblika ∞ − ∞ za koga nemamo odluku čemu je jednak. Zato se poslužimo racionalizacijom izraza pod limesom, a tek onda primjenimo Teorem 1.3.1. √ √ √ √ √ √ n+1+ n lim ( n + 1 − n) = lim ( n + 1 − n) · √ √ n→∞ n→∞ n+1+ n n+1−n 1 = lim √ √ = lim √ √ =0. n→∞ n+1+ n n→∞ n+1+ n 12  1.4. Monotoni nizovi Postoji sedam tipova neodredenosti, a to su: ∞ 0 , , 0 · ∞ , ∞ − ∞ , 1∞ , ∞0 , 00. ∞ 0 1.4 Monotoni nizovi Definicija 1.4.1. Za niz (xn ) kažemo da je ˆ strogo monotono rastući ako za skoro sve članove niza vrijedi xn+1 > xn. ˆ monotono rastući (neopadajući) ako za skoro sve članove niza vrijedi xn+1 ≥ xn. ˆ strogo monotono opadajući ako za skoro sve članove niza vrijedi xn+1 < xn. ˆ monotono opadajući (nerastući) ako za skoro sve članove niza vrijedi xn+1 ≤ xn. Za niz koji posjeduje bilo koju od navedenih osobina kažemo da je monoton niz. Najčešće tehnike ispitivanja monotonosti su posmatranje količnika ili razlike dva uzastopna člana niza. Tako naprimjer, ako je n ∈ N proizvoljan i ako su skoro svi članovi niza pozitivni, imamo    > 0 ⇒ niz je strogo monotono rastući ≥ 0 ⇒ niz je neopadajući  xn+1 − xn.   < 0 ⇒ niz je strogo monotono opadajući ≤ 0 ⇒ niz je nerastući    > 1 ⇒ niz je strogo monotono rastući  xn+1  ≥ 1 ⇒ niz je neopadajući. xn   < 1 ⇒ niz je strogo monotono opadajući ≤ 1 ⇒ niz je nerastući  Primjetimo da će rezoni biti drugačiji ako posmatramo nizove čiji su skoro svi članovi nega- tivni (smjerove svih nejednakosti treba obrnuti). 1 Primjer 15 : Niz xn = n je strogo monotono opadajući jer za proizvoljno n ∈ N imamo 1 1 −1 xn+1 − xn = − = 1. xn n+1 n(n + 2) n + 2n n + 2n n Primjer 17 : Neka je opšti član niza dat sa xn = 1−2n. Primjetimo da je za svako n ∈ N xn < 0, to jest radimo sa nizom čiju su svi članovi negativni. Ako posmatramo količnik dva uzastopna člana, n+1 xn+1 1−2(n+1) −2n2 − n + 1 1 = n = 2−n =1− 2 1). a Kako je za dovoljno veliko n ∈ N, n · a ≥ n + 1, to je xn+1 n+1 = 0, pa je dati niz ograničen odozdo. Prema gornjem teoremu je dati niz konvergentan, tojest lim xn = x0. Pustimo li u n→+∞ izrazu n+1 n+1 xn+1 = n+1 = xn a n·a x0 da n teži u beskonačnost imali bismo da vrijedi x0 = , a zbog a > 1 ovo je moguće a samo ako je x0 = 0, pa je n lim =0 , a>1. n→+∞ an 1 n
Primjer 19 : Pokažimo da je niz xn = 1 + n rastući i ograničen odozgo. Jednostavnim računom se ima  n xn+1 n+2 1 = 1−. xn n+1 (n + 1)2 Na osnovu Bernoullijeve nejednakostia je  n 1 n 1− 2 ≥1− , n≥2, (n + 1) (n + 1)2 pa imamo n3 + 3n2 + 3n + 2   xn+1 n+2 n ≥ 1− = >1. xn n+1 (n + 1)2 n3 + 3n2 + 3n + 1 Dakle niz je strogo monotono rastući.
n+1 Ako sada posmatramo i niz yn = 1 + n1 , zbog veze yn = xn · (1 + n1 ), očigledna je nejednakost xn ≤ yn za proizvoljno n ∈ N. Pokazati da je niz (yn ) strogo monotono 14  1.5. Alati za izračunavanje limesa opadajući, ostavljeno je čitaocu za vježbu. Iz ovoga onda zaključujemo da je bilo koji član niza (yn ) gornje ograničenje niza (xn ). Kako je niz (yn ) monotono opadajući, svi njegovi članovi su manji od prvog člana (svaki sljedeći je manji od prethodnog), pa možemo reći da je xn ≤ y1 = 4 za proizvoljno n ∈ N. Iz monotonosti i ograničenosti niza (xn ) zaključujemo njegovu konvergenciju. Primjetimo da slično vrijedi i za niz (yn ). Naime, kako je niz (xn ) monotono rastući, svi njegovi članovi su veći od x1. Tada za monotono opadajući niz (yn ) imamo da je x1 = 2 ≤ yn za sve n ∈ N, to jest on je i ograničen odozdo te je i on konvergentan niz. Zbog veze yn = xn · (1 + n1 ) jasno je da vrijedi lim xn = lim yn. n→∞ n→∞ a (Bernoullijeva nejednakost) Neka je n ∈ N i x realan broj veći od −1. Tada vrijedi (1 + x)n ≥ 1 + nx. Graničnoj vrijednosti niza (xn ) iz gornjeg primjera dajemo posebno ime (po matematičaru Euleru3 ), a ističemo i njegovu važnost za računanje mnogih drugih limesa. Definicija 1.4.2 (Eulerov broj).  n 1 e = lim 1+. n→+∞ n Broj e je jedna od najvažnijih konstanti n  e = 2.71828182845904 1 523536028747135234678 je forme stepena čija osnova je 1 + n1 , a eksponent
Niz sa opštim članom xn = 1+ 23767326727267274728... n je n. Jednostavno se vidi da osnova teži ka 1 (kada n → ∞), a eksponent teži ka +∞ (kada n → ∞). Time je granični proces niza (xn ) oblika 1∞ , a koji je jedan od navedenih neodredenih oblika.  n 2n + 2 Primjer 20 : Izračunati lim. n→∞ 2n + 1 Rješenje: Razmatrajući osnovu i eksponent opšteg člana niza čiju graničnu vrijednost treba izračunati, vidimo da je limes oblika 1∞. Ovakvi oblici se rješavaju pomoću definicije Eulerovog broja. U tom cilju transformišemo polazni niz u formu  N 1 1+ , N gdje je N bilo kakav izraz ovisan o n koji teži ka ∞, kada n teži ka ∞.  n  n 2n + 2 1 lim = lim 1 + n→∞ 2n + 1 n→∞ 2n + 1 2n+1 # 12  "   − 21 1 1 = lim  1 + · 1+  n→∞ 2n + 1 2n + 1 1 √ = e2 · 1 = e. 1.5 Alati za izračunavanje limesa Kriterija za ispitivanje konvergencije nizova ima mnogo. Sada ćemo dati dva od tih, veoma korisna i efikasna za ispitivanje konvergencije i izračunavanje limesa niza. U pravim rukama 3 Leonhard Euler, 1707-1783 švicarski matematičar 15  1.5. Alati za izračunavanje limesa ona su zaista moćan alat. Teorem 1.5.1: Teorem o lopovu i dva policajca Neka su (xn ) i (yn ) nizovi za koje vrijedi 1. lim xn = lim yn = A. n→+∞ n→+∞ 2. Za skoro svako n ∈ N je xn ≤ zn ≤ yn. Tada i niz (zn ) ima graničnu vrijednost i važi lim zn = A. n→+∞ Dokaz : Neka je lim xn = lim yn = A. Pretpostavimo prvo da je A ∈ R. Tada za fiksno n→+∞ n→+∞ ε > 0, postoji n1 ∈ N, takav da za sve n ≥ n1 , xn pripada ε-okolini tačke A. Takode postoji n2 ∈ N takav da se svi članovi niza (yn ) počev od yn2 pa na dalje, nalaze u istoj ε-okolini (jer oba niza konvergiraju ka istoj tački). Ako sada izaberemo da je n′ = max{n1 , n2 }, onda su članovi oba niza za n ≥ n′ u okolini (A − ε, A + ε). Kako je za skoro sve n zadovoljeno xn ≤ zn ≤ yn , to postoji n′′ ∈ N, tako da je za sve n ≥ n′′ zadovoljeno xn ≤ zn ≤ yn. Ako sada stavimo da je n0 = max{n′ , n′′ }, onda je za sve n ≥ n0 zadovoljeno A − ε < xn ≤ zn ≤ yn < A + ε , ali ovo za niz (zn ) znači da su mu skoro svi članovi u okolini (A − ε, A + ε), odnosno to znači lim zn = A. n→+∞ Ako je A = +∞, potrebna nam je samo nejednakost xn ≤ zn. Zaista, zbog lim xn = +∞, n→+∞ za svako K, postoji n1 , takav da je za n ≥ n1 , xn > K. Ako je xn ≤ zn za n ≥ n2 , onda je za n > max{n1 , n2 } zadovoljeno zn ≥ xn > K, a odavde slijedi da je lim zn = +∞. n→+∞ Slučaj kada je A = −∞ dokazuje se analogno i ostavljen je čitaocu za vježbu. ln(1 + n) Primjer 21 : Ispitati konvergenciju niza zn =. 1 + n2 Rješenje: Matematičkom indukcijom se pokazuje da vrijedi ln(1 + n) < n (šta više, vrijedi log(1 + x) < x za proizvoljan x > 0). Koristeći to imamo, ln(1 + n) n n 1 0≤ ≤ ≤ 2 =. 1 + n2 1 + n2 n n Ako označimo sa xn = 0, yn = n1 , onda su uslovi gornje teoreme zadovoljeni, pa za- ključujemo da je lim xn = lim yn = 0 = lim zn. n→+∞ n→+∞ n→+∞ √ n Primjer 22 : Izračunati: lim 2n + 3n. n→+∞ Rješenje: Kako važi 3n ≤ 2n + 3n ≤ 3n + 3n = 2 · 3n , tada je √ √ n 3 ≤ n 2n + 3 n ≤ 3 2. √ Ako označimo sa xn = 3 i sa yn = 3 n 2, tada očigledno važi lim xn = lim yn = 3 , n→+∞ n→+∞ 16  1.5. Alati za izračunavanje limesa pa na osnovu teoreme o lopovu i dva policajca vrijedi √ lim zn = lim n 2n + 3n = 3. n→+∞ n→+∞ Druga od ”alatki” je poznati Stolzov teorem i primjenjuje se kod izračunavanja limesa xn količnika, to jest kod izračunavanja limesa oblika lim. n→∞ yn Teorem 1.5.2: Stolzov teorem Neka su dati nizovi (xn ) i (yn ) i neka su zadovoljeni uslovi: 1. lim yn = +∞. n→+∞ 2. Niz (yn ) je monotono rastući, to jest yn+1 ≥ yn za skoro svako n. xn+1 − xn 3. Postoji konačna ili beskonačna granična vrijednost lim. n→+∞ yn+1 − yn xn Tada postoji i lim i važi jednakost n→+∞ yn xn xn+1 − xn lim = lim n→+∞ yn n→+∞ yn+1 − yn n Primjer 23 : Izračunati: lim. n→+∞ 3n Rješenje: Označimo sa xn = n i sa yn = 3n. Jasno je da vrijedi lim 3n = +∞. osim n→+∞ toga je 3n+1 > 3n , to jest niz (yn ) je monotono rastući. Kako je xn+1 − xn n+1−n 1 lim = lim n+1 n = lim =0, n→+∞ yn+1 − yn n→+∞ 3 −3 n→+∞ 2 · 3n dakle zadovoljeni su uslovi Stolzove teoreme pa vrijedi n lim =0. n→+∞ 3n 12 + 22 + 32 + · · · + n2 Primjer 24 : Izračunati lim. n→+∞ n3 1 n Rješenje: Označimo sa xn = 12 +22 +32 +· · ·+n2 i yn = n3. Kako je yn+1
yn = 1 + n > 1, niz (yn ) je monotono rastući. Pri tome je lim n3 = +∞, te su zadovoljena prva dva n→+∞ uslova Stolzove teoreme. xn+1 − xn (12 + 22 + · · · + n2 + (n + 1)2 ) − (12 + 22 + · · · + n2 ) lim = lim n→∞ yn+1 − yn n→∞ (n + 1)3 − n3 2 (n + 1) = lim n→∞ (n + 1)3 − n3 n2 + 2n + 1 1 = lim =. n→∞ 3n2 + 3n + 1 3 17  1.6. Podnizovi (neobavezan materijal) xn+1 − xn Dakle, postoji lim te prema Stolzovom teoremu vrijedi n→+∞ yn+1 − yn 12 + 22 + 32 + · · · + n2 1 lim =. n→+∞ n3 3 1.6 Podnizovi (neobavezan materijal) Ako iz niza (xn ) izdvojimo beskonačno mnogo članova u istom redoslijedu u kome se pojavljuju u datom nizu, dobijeni niz se naziva podnizom niza (xn ). Naprimjer, ako u nizu (xn ) posmatramo samo njegove parne članove, dobijamo podniz (x2k ) ili ako posmatramo svaki sedmi član imamo podniz (x7k ). Formalna definicija podniza je Definicija 1.6.1. Neka je dat niz (xn ) i neka je n1 , n2 ,..., nk ,... strogo monotono rastući niz prirodnih brojeva. Tada kažemo da je (xnk ) podniz niza (xn ). Podniz (xnk ) može se posmatrati kao niz sa indeksima k = 1, 2,... pa sve što je do sada rečeno za nizove važi i za podnizove. Neposredno iz definicije podniza slijedi Teorem 1.6.1 Ako niz (xn ) ima graničnu vrijednost x0 , tada i bilo koji podniz (xnk ) datog niza ima graničnu vrijednost x0. Obrat u gornjem tvrdenju ne vrijedi, to jest ako neki podniz (xnk ) niza (xn ) ima graničnu vrijed- nost, sam niz ne mora imati graničnu vrijednost. Jednostavan primjer za to je niz xn = (−1)n. Njegovi podnizovi (x2k ) i (x2k−1 ) su konstantni nizovi i kao takvi konvergentni dok sam niz, kao što je to pokazano ranije, nije konvergentan. U ovom dijelu ćemo se upravo baviti odnosom izmedu konvergencije niza i konvergencije njegovih podnizova. Definicija 1.6.2. Za tačku a ∈ R∗ kažemo da je tačka nagomilavanja niza (xn ) ako postoji podniz (xnk ) datog niza koji konvergira ka tački a. Primjer 25 : Posmatrajmo niz sa opštim članom xn = sin 2nπ3. Posmatramo li članove niza sa indeksima n = 3k (k ∈ N), dobijamo podniz (x3k ) koji je kons- tantan niz (x3k = sin 6kπ 3 = sin 2kπ = 0) te kao takav i konvergentan ka 0. Posmatramo li članove niza sa indeksima n = 3k√− 1, dobijamo podniz (x3k−1 ) koji je konstantan √ niz (x3k−1 = sin 2(3k−1)π = sin 2kπ − 2π = − 23 ) te kao takav i konvergentan ka − 23.
3 3 Posmatramo li članove niza sa indeksima n = 3k − 2, dobijamo podniz (x3k−2 ) koji je konstantan niz (x3k−2 = sin 2(3k−2)π = sin 2kπ − 4π = 12 ) te kao takav i konvergentan ka 21.
3 3 √ 3 1 Dakle, tačke 0, − 2 i 2 su tačke nagomilavanja niza (xn ). Tačku nagomilavanja možemo definisati i na sljedeći način. Definicija 1.6.3. Tačka a ∈ R∗ je tačka nagomilavanja niza (xn ) ako vrijedi (∀ε > 0)(∀n ∈ N)(∃m > n) |xm − a| < ε. Iz ove druge definicije vidimo i razliku izmedu pojma limesa i pojma tačke nagomila-vanja. Naime, limes niza ima osobinu da se u svakoj njegovoj okolini nalaze skoro svi članovi niza ( van te okoline nalazi se samo konačno mnogo članova niza ), dok se u proizvoljnoj okolini tačke nagomilavanja niza nalazi ”samo” beskonačno mnogo članova niza ( pa ih i van te okoline može biti beskonačno mnogo ). Naravno, limes niza, ako postoji, uvijek je njegova tačka nagomilavanja ( i to jedina ), dok obrat ne mora da važi. Napomenimo ovde još jednu važnu razliku izmedu pojma tačke nagomilavanja niza (xn ) i tačke nagomilavanja skupa vrijednosti niza {xn | n ∈ N}. Naprimjer, kao što smo to vidjeli već, niz xn = (−1)n ima dvije tačke nagomilavanja x′ = 1 i x′′ = −1, dok skup vrijednosti tog niza {−1, 1} nema niti jednu tačku nagomilavanja jer je on konačan skup. 18 1.6. Podnizovi (neobavezan materijal) Sljedećim važnim teoremom utvrdujemo egzistenciju tačaka nagomilavanja proizvoljnog niza. Teorem 1.6.2: (Bolzano-Weierstrassov teorem) 1. Svaki ograničen niz realnih brojeva ima bar jednu tačku nagomilavanja u skupu R. 2. Svaki niz realnih brojeva ima bar jednu tačku nagomilavanja u R∗. Dokaz : 1. Neka je niz (xn ) ograničen. To znači da postoje a, b ∈ R takvi da je a ≤ xn ≤ b, za sve n ∈ N. Ako dati niz ima samo konačno mnogo različitih elemenata, onda mora postojati podniz čiji su svi elementi medusobno jednaki ( konstantni podniz ) i taj je konvergentan, to jest dati niz ima tačku nagomilavanja. Pretpostavimo sada da dati niz ima beskonačno mnogo različitih elemenata. Neka je c1 središnja tačka segmenta [a, b]. U bar jednom od dijelova [a, c1 ] ili [c1 , b] mora biti beskonačno mnogo članova niza ( u suprotnom niz bi imao konačno mnogo različitih elemeata ). Ako je to segment [a, c1 ], uvedimo oznake a = a1 , c1 = b1 , a ako je to segment [c1 , b], stavimo a1 = c1 i b1 = b. Ako oba segmenta sadrže beskonačno mnogo članova niza, onda je svejedno koju varijantu izaberemo. Ponovimo postupak sa novodobijenim segmentom [a1 , b1 ]; označimo sredinu segmenta sa c2 i onaj dio u kome se nalazi beskonačno mnogo članova niza označimo sa [a2 , b2 ]. Beskonačnim ponavljanjem ovakve konstrukcije dolazimo do niza segmenta [an , bn ] (n ∈ N), za koje nije teško utvrditi da čine familiju zatvorenih umetnutih segmenata, pa na osnovu Cantorovog aksioma, presjek ovih segmenata je neprazan, šta više zbog bn − an → 0(n → +∞), taj presjek je jdinstvena tačka c. Neka je xn1 ∈ [a1 , b1 ] proizvoljan. Kako i [a2 , b2 ] sadrži beskonačno mnogo članova našeg niza, mora postojati element xn2 ∈ [a2 , b2 ] sa indeksom n2 > n1. Postupak dalje ponavljamo analogno: Ako je izabran xnk ∈ [ak , bk ], onda xnk+1 biramo iz [ak+1 , bk+1 ] tako da je nk+1 > nk. Na ovaj način smo formirali podniz (xnk ) niza (xn ), za koga važi ak ≤ xnk ≤ bk. Kako je lim an = lim bn = c, to je na osnovu teoreme ”o lopovu i dva policajca” i lim xnk = c. n→+∞ n→+∞ k→+∞ Dakle, (xnk ) je konvergentan podniz pa (xn ) ima tačku nagomilavanja. 2. Slučaj kada je niz (xn ) ograničen pokazali smo u 1. Pretpostavimo zato da dati niz nije ograničen, npr. odozgo. Tada za svaki prirodan broj k, postoji beskonačno mnogo članova niza koji su veći od k. Neka je xn1 proizvoljan član niza koji je veći od 1. Od elemenata koji su veći od 2 izaberimo jedan čiji je indeks n2 > n1. Uopšte, ako smo odredili xnk−1 , onda xnk biramo tako da je veći od k i da je nk > nk−1. Ovakvom konstrukcijom dobili smo podniz (xnk ) sa osobinom da je za proizvoljno k ∈ N, xnk > k, pa je samim tim lim xnk = +∞. Slučaj kada niz nije ograničen odozdo potpuno k→+∞ je analogan gornjem slučaju. Ako sa T (xn ) označimo skup svih tačaka nagomilavanja niza (xn ), onda na osnovu Bolzano- Weierstrassove teoreme zaključujemo da je on neprazan u R∗. Koja je gornja granica broja ele- menata ovog skupa neće nas zanimati, iako treba reći da se mogu konstruisati nizovi koji imaju proizvoljno mnogo tačaka nagomilavanja, šta više, postoje nizovi za koje je svaka tačka iz R, njihova tačka nagomilavanja. Lema 1.6.3. Neka je (xn ) proizvoljan niz. Ako je x0 tačka nagomilavanja skupa T (xn ), onda je x0 ∈ T (xn ). Teorem 1.6.4 Za proizvoljan niz (xn ), skup T (xn ) ima maksimum i minimum u R∗. Dokaz : Na osnovu Teorema 1.6.2 skup T (xn ) nije prazan, pa na osnovu aksioma potpunosti ima supremum i infimum. Ako je T (xn ) konačan ( to jest ima konačno mnogo elemenata ) tvrdenje je trivijalno. Pretpostavimo zato da je to beskonačan skup. Ako a = sup T (xn ) nije maksimum skupa ( to jest a ∈ / T (xn ) ), onda na osnovu karakterizacije supremuma, tačka a bi bila tačka nagomilavanja skupa T (xn ), ali onda bi na osnovu Leme 1.6.3 a ∈ T (xn ), što je očigledno kontradikcija. Dakle, 19  1.6. Podnizovi (neobavezan materijal) supremum skupa T (xn ) pripada tom skupu pa je on maksimum skupa. Analogno se izvodi dokaz za infimum. Definicija 1.6.4. Najveća tačka nagomilavanja niza (xn ) zove se gornji limes ili limes superior niza i označava se sa lim sup xn ili limn→+∞ xn. Najmanja tačka nagomilavanja niza (xn ) zove se donji limes ili limes inferior i označava se sa lim inf xn ili limn→+∞ xn. Sljedeći teorem nam daje jednu karakterizaciju novouvedenih pojmova. Teorem 1.6.5 Neka je (xn ) proizvoljan realan niz i neka je lim sup xn = x. Tada važi: 1. (∀ ε > 0)(∃ n0 ∈ N)(∀n ≥ n0 ) xn < x + ε, ili riječima rečeno; za svako ε > 0 su skoro svi članovi niza (xn ) manji od x + ε. 2. (∀ ε > 0)(∀n ∈ N)(∃m > n) xm > x − ε, ili za svako ε > 0 postoji beskonačno mnogo članova niza (xn ) koji su veći od x − ε. 3. Ako tačka x∗ zadovoljava uslove 1. i 2. tada je x∗ = lim sup xn. Dokaz : 1. Ako ova tvrdnja ne bi bila tačna, to bi značilo da niz (xn ) ima beskonačno mnogo članova u intervalu [x + ε, +∞). Ako te članove shvatimo kao podniz našeg niza, onda bi taj podniz imao tačku nagomilavanja koja takode pripada tom intervalu, a što bi bila kontradikcija sa maksimalnošću limesa superior. 2. Za dokaz ove tvrdnje dovoljno je primjetiti da je skup (x − ε, +∞) okolina tačke x i primjeniti Definiciju 1.6.3. 3. Pretpostavimo da postoje dva različita broja x i x′ koji zadovoljavaju 1. i 2. ( neka je recimo x < x′ ). Uzmimo proizvoljno x ∈ (x, x′ ). Kako x zadovoljava 1., to je xn < x za sve n > n0. Ali tada u okolini (x, +∞) ima samo konačno mnogo članova niza, pa x′ ne zadovoljava uslov 2. Dakle, ne mogu postojati dvije tačke koje zadovoljavaju oba uslova. Primjer 26 : Posmatrajmo niz xn = (−1)n. T (xn ) = {−1, 1} pa je lim sup xn = 1, a lim inf xn = −1. Primjetimo da je skup vrijednosti niza {xn | n ∈ N} = {−1, 1} i da on kao konačan skup nema tačaka nagomilavanja. (−1)n Primjer 27 : Posmatrajmo niz xn =.  n Skup vrijednosti niza je −1, 12 , − 13 , 14 ,.... Nije teško vidjeti da je supremum ovog skupa jednak 1 2 i da je infimum skupa −1. Medutim, kako je ovo konvergentan niz, lim xn = 0, to je n→+∞ T (xn ) = {0}, pa važi lim sup xn = lim inf xn = 0. n Primjer 28 : Posmatrajmo niz xn = n(−1). Podniz (x2k ) našeg niza je niz čiji je opšti član x2k = 2k i on teži ka +∞ kada k teži u be- 1 skonačnost. S druge strane podniz x2k+1 = 2k+1 → 0 kada k → +∞, pa je dakle T (xn ) = {0, +∞}, odakle zaključujemo da važi limn→+∞ xn = +∞ , limn→+∞ xn = 0. Konstatujmo najzad da iz navedenih tvrdenja neposredno slijedi sljedeća tvrdnja. 20 1.6. Podnizovi (neobavezan materijal) Teorem 1.6.6 Neka je (xn ) proizvoljan realan niz. 1. Niz (xn ) ima graničnu vrijednost, konačnu ili beskonačnu, ako i samo ako je limn→+∞ xn = limn→+∞ xn , to jest ako i samo ako niz ima samo jednu tačku nagomilavanja. 2. Niz (xn ) konvergira (ima konačnu graničnu vrijednost) ako i samo ako je limn→+∞ xn = limn→+∞ xn = x0 ∈ R, tojest ako i samo ako ima samo jednu tačku nagomilavanja i ta je konačan broj. 21  Poglavlje 2 Numerički redovi 2.1 Definicija i osobine numeričkog reda Neka je dat beskonačan niz realnih brojeva a1 , a2 ,..., an ,... Izraz ∞ X an = a1 + a2 + · · · + an + · · · , (2.1) n=1 naziva se beskonačnim redom s opštim članom an , ili realnim numeričkim redom. Najčešće ∞ X ćemo jednostavno govoriti numerički red ili samo red. Izraz an čitamo ”sumiramo članove n=1 an kada se n mijenja od 1 do ∞”. Veličinu n u datom izrazu nazivamo brojač i ona je fiktivna veličina u tom smislu da smo umjesto slova n mogli izabrati proizvoljno drugo slovo, a da ∞ X ∞ X se smisao izraza ne gubi, naprimjer ak , az. k=1 z=1 U opštem slučaju sumiranje vršimo počev od nekog indeksa n0 , to jest posmatramo red X∞ an. Redu (2.1) pridružujemo zbirove n=n0 1 X 2 X k X s1 = a1 = ai , s2 = a1 + a2 = ai ,... sk = a1 + a2 + · · · + ak = ai ,... i=1 i=1 i=1 koje nazivamo parcijalnim sumama reda (2.1), to jest za izraz n X sn = ak = a1 + a2 + · · · + an , n ∈ N k=1 kažemo da je n-ta parcijalna suma reda (2.1). Definicija 2.1.1. Ako postoji i konačan je lim sn = s, niza (sn )n∈N parcijalnih suma n→+∞ reda, tada kažemo da je red konvergentan i da mu je suma jednaka s i pišemo ∞ X s= an. n=1 Za red koji ne konvergira (bilo da je lim sn = ±∞, bilo da taj limes ne postoji) kažemo n→+∞ da je divergentan red. 22  2.1. Definicija i osobine numeričkog reda ∞ X Primjer 29 : Posmatrajmo red q n , gdje je q ̸= 0. n=0 Dati red se naziva geometrijskim redom. Njegova n-ta parcijalna suma je n X 1 − q n+1 sn = qk = , 1−q k=0 ako je q ̸= 1. Neka je |q| < 1. Za ovakav izbor q-a je lim q n = 0, te vrijedi n→∞ 1 lim sn =. n→+∞ 1−q Ako je |q| ≥ 1 dati red divergira. Zaista, ako je q > 1, onda je lim sn = +∞. Ako je n→+∞ n q < −1, tada za parne n, q teži u +∞, a za neparne n teži u −∞, te granična vrijednost od sn ne postoji. Specijalno, ako je q = −1 imamo red čija je n-ta parcijalna suma  1 , n paran broj sn = 1 − 1 + 1 − 1 +... ± 1 = 0 , n neparan broj pa u ovom slučaju lim sn ne postoji, to jest red je divergentan. n→+∞ Ako je q = 1 posmatrani red je ∞ X 1 = 1 + 1 + ··· + 1 + ··· , n=1 i on je očigledno divergentan. I narednim primjerom demonstriramo definiciju konvergencije reda. ∞   X 1 Primjer 30 : Ispitati konvergenciju reda ln 1 +. n=1 n Rješenje: Opšti član datog reda možemo zapisati sa   1 ln 1 + = ln (n + 1) − ln n , n te je n-ta parcijalna suma jednaka n X sn = (ln (n + 1) − ln n) = ln (n + 1) − ln 1 = ln (n + 1). k=1 Odavde sada imamo da je lim sn = +∞, pa je dati red divergentan. n→+∞ Uporedo sa redom (2.1) posmatrajmo i red ∞ X ∞ X an+1 + an+2 + · · · + an+k + · · · = an+k = ak , (2.2) k=1 k=n+1 koga nazivamo n-ti ostatak reda (2.1) i označavamo ga sa rn. Veza konvergencije reda (2.1) i konvergencije reda (2.2) data je u sljedećoj tvrdnji. 23  2.1. Definicija i osobine numeričkog reda Teorem 2.1.1 1. Red (2.1) konvergira ako i samo ako konvergira red (2.2). 2. Red (2.1) konvergira ako i samo ako njegov ostatak rn teži nuli kada n → +∞. Dokaz : 1. Označimo sa sn n-tu parcijalnu sumu reda (2.1) i sa s′k k-tu parcijalnu sumu reda (2.2). Očigledno tada vrijedi jednakost s′k = sn+k − sn. Ako je lim sn+k = s, onda je lim s′k = s−sn , tj. iz konvergencije reda (2.1) slijedi k→+∞ k→+∞ konvergencija reda (2.2). Iz lim s′k = s′ imali bi da je lim sn+k = s′ + sn , pa važi i obrat. k→+∞ k→+∞ 2. Red (2.1) možemo zapisati kao ∞ X ak = sn + rn. k=1 Ako taj red konvergira i ima sumu s, onda je rn = s − sn , odakle je lim rn = lim (s − sn ) = 0. n→+∞ n→+∞ Obratno, ako ostatak rn teži ka nuli kada n → +∞, iz prvog dijela teoreme slijedi da red (2.1) konvergira. Teorem 2.1.1 pod 1. nam govori da odbacivanje konačnog broja članova nekog reda hoće uticati na sumu tog reda u smislu promjene vrijednosti te sume, ali neće uticati na njegovu konvergenciju. Ovo iskazujemo kao tvrdenje. ∞ X ∞ X Posljedica 2.1.2. Redovi an i an (m ≥ 2) su istovremeno ili konvergentni ili n=1 n=m divergentni. ∞ X Primjer 31 : Za geometrijski red q n vidjeli smo da konvergira za |q| < 1 i da je n=0 ∞ X 1 qn =. n=0 1−q ∞ X U kontekstu gornje primjedbe o odbacivanju konačnog broja sabiraka reda i red q n će n=1 biti konvergentan, pri čemu je ∞ ∞ X X 1 q qn = qn − q0 = −1=. n=1 n=0 1−q 1−q U opštem slučaju vrijedi formula ∞ X q n0 qn = za |q| < 1 n=n0 1−q 24 2.1. Definicija i osobine numeričkog reda Dakle, konvergencija se ne mijenja, a vrijednost sume reda će se promijeniti. Jedan od najopštijih kriterijuma konvergencije numeričkih redova navodimo u sljedećem tvrdenju. Teorem 2.1.3: Cauchyjev kriterijum konvergencije Red (2.1) konvergira ako i samo ako vrijedi (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n, p ∈ N)(n > n0 ⇒ |an+1 + an+2 + · · · + an+p | < ε). Dokaz ove tvrdnje nećemo izvoditi, a može se naći u. Primjetimo ipak da ovaj stav govori, pojednostavljeno rečeno, da je za konvergenciju reda (2.1) neophodno i dovoljno da proizvoljna p-ta parcijalna suma, proizvoljnog n-tog ostatka reda se može učiniti proizvoljno malenom, što naravno direktno koincidira sa tvrdenjima u Teoremu 2.1.1. Teorem 2.1.4 ∞ X ∞ X Neka su dati redovi xn i yn. Tada vrijedi: n=1 n=1 ∞ X ∞ X 1. Ako red xn konvergira, tada konvergira i red axn (a ∈ R) i pri tome n=1 n=1 vrijedi ∞ X ∞ X axn = a xn. n=1 n=1 ∞ X 2. Ako oba reda konvergiraju, tada konvergira i red (xn + yn ) i pri tome vrijedi: n=1 ∞ X ∞ X ∞ X (xn + yn ) = xn + yn. n=1 n=1 n=1 Dokaz : 1. Označimo sa sn = x1 + x2 + · · · + xn , a sa Sn = ax1 + ax2 + · · · + axn. Iz egzistencije granične vrijednosti lim sn slijedi n→+∞ lim Sn = lim asn = a lim sn = as. n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2. Neka je s′n = x1 + x2 + · · · + xn i s′′n = y1 + y2 + · · · + yn. Neka je lim s′n = s′ i lim s′′n = s′′. n→+∞ n→+∞ ∞ X Ako sa Sn označimo n-tu parcijalnu sumu reda (xn + yn ), imamo n=1 lim Sn = lim ((x1 + y1 ) + (x2 + y2 ) + · · · + (xn + yn )) n→+∞ n→+∞ = lim ((x1 + · · · xn ) + (y1 + · · · yn )) = lim s′n + lim s′′n n→+∞ n→+∞ n→+∞ ′ ′′ = s +s. Sljedećom tvrdnjom dajemo neophodan uslov konvergencije numeričkog reda odnosno, šta mora biti ako je red konvergentan. 25  2.1. Definicija i osobine numeričkog reda Teorem 2.1.5: Neophodan uslov konvergencije reda ∞ X Ako red xn konvergira, onda vrijedi lim xn = 0. n→+∞ n=1 ∞ X Dokaz : Neka je red xn konvergentan. To znači da je niz njegovih parcijalnih suma n=1 konvergentan. Iz jednakosti sn − sn−1 = xn (n > 1), direktno slijedi lim xn = lim (sn − sn−1 ) = lim sn − lim sn−1 = 0. n→+∞ n→+∞ n→+∞ n→+∞ Da navedeni neophodan uslov konvergencije reda nije i dovoljan, pokazat ćemo primje- rom. ∞ X 1 Primjer 32 : Posmatrajmo harmonijski red. n=1 n 1 Opšti član ovog reda je xn = i očigledno je lim xn = 0. n n→+∞ Primjetimo kao prvo da za svaki prirodan broj n vrijedi 1 1 1 1 1 + + ··· + >n· =. (2.3) n+1 n+2 2n 2n 2 Grupišemo li članove našeg reda na slijedeći način       1 1 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + + + + + + ··· + + · · · + + ··· , 2 3 4 5 6 7 8 2k−1 + 1 2k 1 koristeći (2.3), svaka suma u zagradama je veća od 2, pa je suma svih takvih brojeva beskonačna, to jest dati red je divergentan. Spomenimo ovdje jedan važan red: ∞ X 1 je konvergentan ako je α > 1, a divergentan ako je α ≤ 1 n=1 nα Teorem 2.1.5 često koristimo za dokazivanje divergencije nekog reda i to tako što ga koris- X∞ timo kao kontrapoziciju. Naime, naše tvrdenje je oblika p ⇒ q, gdje je p iskaz ”red xn