SÉQUENCE 1. ENSEMBLES DE NOMBRES PDF

SÉQUENCE 1. ENSEMBLES DE NOMBRES CHAPITRE 1 Les ensembles de nombres – Les entiers Apprendre Introduction Nous avons vu la grande diversité des nombres et leur classification en différents ensembles. Nom et notation Description En...

SÉQUENCE 1. ENSEMBLES DE NOMBRES CHAPITRE 1 Les ensembles de nombres – Les entiers Apprendre Introduction Nous avons vu la grande diversité des nombres et leur classification en différents ensembles. Nom et notation Description Ensemble des nombres entiers naturels : Nombres entiers positifs Par exemple, 0 ; 1 ; 2 ; … sont des entiers naturels. Ensemble des nombres entiers relatifs : Nombres entiers positifs et négatifs Par exemple -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 sont des entiers relatifs. Ensemble des nombres décimaux : Nombres qui s’écrivent comme des fractions décimales Ils s’écrivent sous la forme a avec a et n des entiers relatifs. 10n Par exemple 1,25 ; 2,00 et -3,29152 sont des nombres décimaux. Ensemble des nombres rationnels : Nombres qui s’écrivent comme des fractions Ils s’écrivent sous la forme a avec a et b des entiers relatifs et b non nul. b Par exemple, 3 ; 1 ; 5 ; −3 ; 2 ; − 16 sont des 2 3 1 7 −9 13 nombres rationnels. Ensemble des nombres réels : Nombres rationnels ou nombres irrationnels Par exemple, π ; 2 sont des nombres réels irrationnels. ——Matrioska surprise L’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs, qui lui-même est inclus dans l’ensemble des nombres décimaux, et ainsi de suite… ⊂ ⊂ ⊂ ⊂ bacillux iStock / Getty Images Plus CNED – SECONDE – MATHÉMATIQUE 1  ——« La matrioska des ensembles de nombres » −126 64 −19 1,9587 2 29 13 −45,1 89 63 − 3989 13,0 129 1871 9 10 16 7 5 Commençons par nous intéresser aux entiers naturels et relatifs. Alice aide son ami Tom à préparer la fête d’anniversaire de son petit frère. Comment répartir les 120 chocolats, 45 sucettes et 180 bonbons également dans des sachets de même composition ? Comment additionner, soustraire, simplifier des fractions ? Comment savoir rapidement si une quantité peut être partagée en un nombre entier de parts. Voilà quelques-unes des questions, qui seront abordées dans ce chapitre. A. Multiples et diviseurs Définition 1. Multiple et diviseur Un nombre entier a est un multiple d’un entier b s’il existe un entier k tel que a = k × b. Si un nombre entier a est un multiple d’un nombre entier b non nul, alors b est un diviseur de a. On dit que b divise a ou que a est divisible par b. Par exemple, 26 est un multiple de 2 et de 13 car 26 = 2 × 13, 2 et 13 sont des diviseurs de 26. On peut remarquer que le nombre 0 est un multiple de tous les entiers, et que tout entier non nul est un diviseur de 0 ; un nombre entier a est toujours divisible par 1, par −1, par a lui-même et par son opposé −a ; supposons a et b positifs, un diviseur b de a est toujours inférieur ou égal à a ; si a divise b et b divise a alors a = b ou a = −b. 2 CNED – SECONDE – MATHÉMATIQUES  Propriété 1. Somme de multiples Soit a un nombre entier, alors la somme de deux multiples de a est un multiple de a. Démonstration à connaître Prenons a = 7. Considérons deux nombres entiers b et c, multiples de 7. Montrons que b + c est un multiple de 7. Comme b et c sont des multiples de 7, il existe k et k’ entiers tels que b = 7k et c = 7k’. On a donc b + c = 7k + 7k' soit b + c = 7 (k + k'). Les nombres k et k’ étant entiers, leur somme est un nombre entier. La somme b + c est le produit de 7 par un entier donc c’est un multiple de 7. Dans le cas général, il suffit de remplacer 7 par a dans la démonstration. Définition 2. Nombre pair et nombre impair L’ensemble des nombres pairs est l’ensemble des multiples de 2. Soit n un nombre entier. Le nombre n est pair si et seulement si, il existe k entier tel que n = 2k. Le nombre n est impair si et seulement si, il existe k entier tel que n = 2k + 1. Exemple. Les nombres 524 = 2 × 262 et 734 = 2 × 367 sont pairs. Les nombres 129 = 2 × 64 + 1 et 35 = 2 × 17 + 1 sont impairs. Propriété 2. Carré d’un nombre impair Soit a un nombre entier impair, alors son carré a2 est un nombre entier impair. Démonstration à connaître Soit a un nombre impair. Montrons que son carré a2 est un nombre impair. Comme a est impair, il existe un entier k tel que a = 2k + 1. ( ) 2 Calculons a2 soit 2k + 1 : (2k + 1)(2k + 1) = 4k + 2k + 2k + 1, 2 (2k + 1)(2k + 1) = 4k + 4k + 1, 2 (2k + 1)(2k + 1) = 2(2k + 2k ) + 1. 2 Le nombre k étant un nombre entier, le nombre 2k 2 + 2k est aussi un nombre entier, que nous nommerons K. On a donc a2 = 2K + 1, a2 est bien un nombre impair Question 1. Le carré d’un nombre pair est pair ou impair ? Réponse. Soit a un nombre entier pair, alors il existe un entier k tel que a = 2k. ( ) On obtient a2 = 4k 2 or 4k 2 = 2 × 2k 2 et 2k 2 est entier donc a2 est un multiple de 2, il est pair. CNED – SECONDE – MATHÉMATIQUE 3 B. Division euclidienne Théorème 1. Division euclidienne Soient a et b deux nombres entiers naturels avec b non nul. Il existe des entiers q et r uniques tels que a = b × q + r avec 0 ≤ r < b. Les nombres q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. a b q (quotient) r (reste) Par exemple, la division euclidienne de 245 par 4 donne 245 = 4 × 61 + 1. Le quotient de cette division euclidienne est 61 et le reste est 1. On a 245 = 24 × 10 + 5, on remarque que la division euclidienne d’un entier par 10 a pour reste son chiffre des unités. La division euclidienne de 245 par 5 est 245 = 5 × 49 + 0. Question 2. Que pouvez-vous dire d’un entier a dont le reste de la division euclidienne par 2 est 1 ? est 0 ? Réponse. Si le reste de la division euclidienne de a par 2 est 1 alors a = 2 × q + 1 donc a est impair. Si le reste de la division euclidienne de a par 2 est 0 alors a = 2 × q donc a est pair. Si le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0, alors b est un diviseur de a. Propriété 3. Des critères de divisibilité Divisibilité par 2 : un entier dont le chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8, est divisible par 2, c’est-à-dire pair. Divisibilité par 3 : un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3. Divisibilité par 5 : un entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Divisibilité par 9 : un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9. Divisibilité par 10 : un entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0. Exemples Le nombre entier 65 820 a pour chiffre des unités 0, il est donc divisible par 2, par 5 et par 10. La somme de ses chiffres est égale à 21, qui est un multiple de 3, ce nombre est donc divisible par 3. Démonstration des critères de divisibilité par 2, 5 et 10 Soit a un entier positif, la division euclidienne de a par 10 donne a = 10 × q + r avec 0 ≤ r ≤ 9, r est le chiffre des unités de a. Si r est égal à 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8 alors r est pair et donc a est pair en tant que somme de deux nombres pairs (voir propriété 1). Si r est égal à 0 alors a = 10 × q est divisible par 10. ( ) Si r est égal à 5 alors a = 10 × q + 5 = 5 × 2 × q + 1 est divisible par 5. 4 CNED – SECONDE – MATHÉMATIQUES Démonstration des critères de divisibilité par 3 et 9 On montre ces critères pour un nombre entier à 3 chiffres. Commençons par un exemple, montrons que le nombre 471 est divisible par 3. On a 471 = 4 × 100 + 7 × 10 + 1, on cherche à faire apparaître la somme des chiffres de 471. ( ) ( ) Pour cela, on écrit 471 = 4 × 99 + 1 + 7 × 9 + 1 + 1, on développe et on réordonne d’où 471 = 4 × 99 + 7 × 9 + 4 + 7 + 1. ( ) On a donc 471 = 4 × 9 × 11 + 7 × 9 + 4 + 7 + 1 , soit 471 = ( 9 × 4 × 11 + 7 !##"##$ ) + (!4#+"7 #+$1) Multiple de 9 et donc de 3 Somme des chiffres La somme des chiffres de 471 vaut 12, c’est un multiple de 3, nous avons donc écrit 471 comme la somme de deux multiples de 3, par la propriété 1, il s’agit d’un multiple de 3. Prenons un nombre a. Appelons u le chiffre des unités, d celui des dizaines et c celui des centaines. (Pour 471, on a u = 1, d = 7, c = 4. ) On peut décomposer a de la manière suivante a = c × 100 + d × 10 + u. Comme dans l’exemple, on fait apparaître la somme des chiffres de a : a = c × 99 + 1 + d × 9 + 1 + u, ( ) ( ) ( ) soit˛ a = c × 9 × 11 + d × 9 + c + d + u , finalement a = ( 9 × c × 11 + d !##"##$ ) + (!c #+ "d #+ $u ). Multiple de 9 et donc de 3 Somme des chiffres Si la somme des chiffres de a est un multiple de 3 (respectivement 9) alors a est la somme de deux multiples de 3 (respectivement 9) donc est un multiple de 3 (respectivement 9) par la propriété 1. Question 3. Sauriez-vous faire la démonstration pour un nombre à 4 chiffres ? Réponse. Le raisonnement est le même, on appelle m le chiffre des milliers pour le nombre à 4 chiffres ( ) ( On peut alors écrire a = 9 × m × 111 + c × 11 + d + m + c + d + u. !#### #"##### $ !##"##$ ) Multiple de 9 et donc de 3 Somme des chiffres C. Nombres premiers Définition 3. Nombre premier Un nombre entier naturel est dit premier s’il a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Question 4. Le nombre 1 est-il premier ? Le nombre 2 est-il premier ? Réponse. Le nombre 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur : lui-même. Le nombre 2 est premier car il possède exactement 2 diviseurs : 1 et 2. Crible d’Ératosthène Voici la liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Ces nombres peuvent être retrouvés aisément grâce au crible d’Eratosthène (Ératosthène de Cyrène, philosophe, astronome, mathématicien grec du 3e siècle avant notre ère). Prenons la liste des 100 premiers entiers naturels non nuls. CNED – SECONDE – MATHÉMATIQUE 5  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 On barre 1 qui n’est pas premier. On passe à 2, il est premier, on barre les multiples de 2 strictement plus grand que 2 (en jaune). On passe à 3, il est premier, on barre les multiples de 3 strictement plus grand que 3 et non encore barrés (en bleu). Ils sont donc de la forme 3k avec k ≥ 3 (si k = 2 , on a un multiple de 2 donc déjà barré). Le 4 est barré, on passe à 5, il est premier, on barre les multiples de 5, strictement plus grand que 5 et non encore barrés (en vert). Ils sont donc de la forme 5k avec k ≥ 5 (si k = 2 ou 3 ou 4, on a un multiple de 2 ou 3 ou 4 donc déjà barré). Et ainsi de suite… Question 5. Bob affirme que « à partir de 2, en suivant pas à pas le crible d’Ératosthène, quand on arrive sur un nombre non barré, il est forcément premier ». Qu’en pensez-vous ? Réponse. Bob a raison. Appelons a le nombre non barré sur lequel nous arrivons après avoir appliqué le crible d’Ératosthène pas à pas jusqu’au nombre a. Nous avons donc barré tous les multiples des nombres strictement plus petit que a. Supposons que ce nombre a n’est pas premier, alors il est multiple d’un nombre p strictement plus petit que lui et différent de 1 : 2 ≤ p < a, ce qui est impossible car les multiples des nombres strictement plus petit que a ont été barrés. Le nombre a est donc premier. Il s’agit d’un exemple de raisonnement par l’absurde (voir mémo : éléments de logique). Question 6. Pour déterminer si un nombre entier positif N (différent de 1) est premier, il suffit de tester que tous les entiers m tels que 2 ≤ m ≤ N , ne divise pas N. Pourquoi ? Réponse. Si le nombre N n’est pas premier, alors il existe deux entiers p et q, différents de 1 et inférieurs strictement à N, tels que pq = N. Puisque N = N × N soit p, soit q est inférieur à N. Le théorème fondamental de l’arithmétique ou théorème sur la décomposition en facteurs premiers des entiers est connu depuis l’antiquité, on en trouve une version un peu différente dans les Éléments d’Euclide (IIe siècle avant Jésus-Christ). Théorème 2. Décomposition en facteurs premiers Tout entier strictement positif peut s’écrire de manière unique (à l’ordre près) comme produit de nombres premiers. Exemple. Décomposons le nombre 486 en facteurs premiers. Son chiffre des unités est 6, donc 486 est divisible par 2 : 486 = 243 × 2. La somme des chiffres de 243 est 9, 243 est donc divisible par 3 : 243 = 3 × 81. L’entier 81 est divisible par 3 : 81 = 3 × 27, 27 aussi, puis 9. Finalement, on a 486 = 2 × 35. 6 CNED – SECONDE – MATHÉMATIQUES 486 = 2 × 243 486 = 2 × 3 × 81 486 = 2 × 3 × 3 × 27 486 = 2 × 3×3×3×9 486 = 2 × 3×3×3×3×3 486 = 2 × 35 Remarque. Le théorème s’applique à 1, en prenant pour convention que le produit de 0 facteurs est égal à 1. D. Plus Grand Commun Diviseur, Plus Petit Commun Multiple Définition 4. PGCD et PPCM Considérons deux nombres entiers a et b. Le PGCD (Plus grand commun diviseur) de a et b est le plus grand de leurs diviseurs communs. Le PPCM (Plus petit commun multiple) de a et b est le plus petit de leurs multiples communs non nuls. Exemple. Considérons les nombres 60 et 50. On écrit leur décomposition en facteurs premiers : 60 = 2 × 2 × 3 × 5 et 50 = 2 × 5 × 5. Les diviseurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Les diviseurs de 50 sont 1, 2, 5, 10, 25, 50. Leurs diviseurs communs sont 1, 2, 5, 10. Le plus grand d’entre eux (PGCD) est 10. Les premiers multiples de 60 sont 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, … Les premiers multiples de 50 sont 0, 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, … Le plus petit multiple commun (PPCM) à 50 et 60 est 300. On a 2 × 2 × 3 × 5 × 5 = 300. Dans le cadre rose, on retrouve 60, et dans le cadre bleu, on retrouve 50. Remarque. Le produit du PGCD et du PPCM de deux nombres est égal au produit de ces deux nombres. Une méthode rapide de calcul du PGCD de deux entiers est l’algorithme d’Euclide. Algorithme d’Euclide Méthode. On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit. On effectue la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusqu’à ce que le reste de la division soit nul Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes. Exemple. On cherche à calculer le plus grand diviseur commun à 1284 et 240. On effectue la division euclidienne de 1284 par 240 :1284 = 5 × 240 + 84. Effectuons maintenant la division euclidienne de 240 par 84 : 240 = 2 × 84 + 72, puis la division de 84 par 72 donne 84 = 1 × 72 + 12, ensuite, celle de 72 par 12 :72 = 6 × 12 + 0. Ce reste étant égal à 0, le PGCD de 1284 et 240 est donc le reste précédent, soit 12. CNED – SECONDE – MATHÉMATIQUE 7 Problème résolu. Reprenons le problème posé en introduction : Alice et Tom veulent répartir 120 chocolats, 45 sucettes et 180 bonbons dans le plus grand nombre possible de sachets, de façon à ce que tous les sachets aient la même composition. Quelle est la composition d’un de ces sachets et combien peut-on en faire ? Solution. Le nombre de sachets est un diviseur du nombre de chacune des 3 friandises. Pour que ce nombre de sachets soit le plus grand possible, nous allons chercher le PGCD de 120, 45 et 180. On décompose ces trois nombres en facteurs premiers : 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5, 45 = 3 × 3 × 5 et180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5. Le PGCD de ces 3 nombres est 15. On pourra donc faire 15 sachets contenant : 120 ÷ 15 = 8 chocolats, 45 ÷ 15 = 3 sucettes et 180 ÷ 15 = 12 bonbons. Définition 5. Nombres premiers entre eux Deux nombres sont dits premiers entre eux s’ils n’ont comme diviseur commun que 1. Autrement dit, leur PGCD est égal à 1. Exemple Les nombres 24 et 35 sont premiers entre eux, en effet : les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35. Les nombres 24 et 35 ont pour seul diviseur commun 1, ils sont donc premiers entre eux. E. Applications aux calculs sur les fractions On peut utiliser le PGCD pour simplifier des fractions. Définition 6. Fraction irréductible Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Pour rendre une fraction irréductible, il suffit donc de diviser son numérateur et son dénominateur par tous leurs diviseurs communs, ou directement par le plus grand de leurs diviseurs communs : le PGCD. Exemple. Donner la fraction irréductible qui est égale à 1284. 240 Il suffit de diviser 1284 et 240 par leur PGCD, on a vu qu’il est égal à 12. On obtient 1284 ÷ 12 = 107 cette fraction est irréductible. 240 ÷ 12 20 On peut utiliser le PPCM pour ajouter des fractions. Exemple. Pour effectuer la somme 5 + 7 , il faut réduire ces fractions au même dénominateur. 24 36 Pour obtenir une fraction simplifiée, on prend pour dénominateur commun le PPCM des dénominateurs 24 et 36. 8 CNED – SECONDE – MATHÉMATIQUES Calculons le PPCM de 24 et 36, pour cela décomposons les en facteurs premiers : 24 = 23 × 3 et 36 = 22 × 32. Leur PPCM est 23 × 32 = 72, soit 3 × 24 ou 2 × 36. 5 × 3 + 7 × 2 = 29. 24 × 3 36 × 2 72 CNED – SECONDE – MATHÉMATIQUE 9