Macchine e Sistemi Energetici PDF

MACCHINE E SISTEMI ENERGETICI Laurea in Ingegneria Meccanica – Orientamento Professionalizzante (7 CFU) Laurea Specialistica in Ingegneria Nucleare (5 CFU) PRINCIPI FONDAMENTALI PER LE MACCHINE A FLUIDO Augusto Della Torre...

MACCHINE E SISTEMI ENERGETICI Laurea in Ingegneria Meccanica – Orientamento Professionalizzante (7 CFU) Laurea Specialistica in Ingegneria Nucleare (5 CFU) PRINCIPI FONDAMENTALI PER LE MACCHINE A FLUIDO Augusto Della Torre Dipartimento di Energia [email protected]  Indice Macchine a fluido: definizione e classificazione Introduzione alle turbomacchine Sistemi chiusi: primo e secondo principio della termodinamica Proprietà dei fluidi di lavoro Sistemi aperti: - Conservazione della massa - Conservazione dell'energia Formulazione termica Formulazione meccanica Triangoli delle velocità Equazione di Eulero per le turbomacchine (Formulazione diretta) Conservazione dell’energia nel sistema relativo Formulazione indiretta dell’Equazione di Eulero 2 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido: definizione e classificazione 3 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido: definizione Una macchina a fluido è un oggetto costituito da un insieme di elementi fissi e mobili che interagiscono con un fluido di lavoro (liquido, vapore o gas), realizzando con esso uno scambio energetico. w2 outlet u2 Esempio: interazione tra fluido e palettatura mobile in un compressore centrifugo w w1, w2: velocità relativa del fluido all’ingresso e all’uscita della girante inlet u1, u2: velocità della girante in prossimità u1 dei canali di ingresso e uscita w1 ω: velocità di rotazione 4 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido: classificazione Macchine idrauliche Macchine termiche Operatrici Motrici Operatrici Motrici Motori a Pompe Compressori Volumetriche Attuatori idraulici combustione volumetriche volumetrici interna Pompe Turbine a gas o Turbomacchine Turbine idrauliche Turbocompressori Ventilatori vapore 5 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido: classificazione Natura del fluido di lavoro Macchine idrauliche Il fluido non manifesta la sua comprimibilità. E’ possibile considerare il fluido di lavoro incomprimibile. Macchine termiche La comprimibilità del fluido di lavoro deve essere tenuta in considerazione ed esercita una grande influenza negli scambi energetici tra fluido e macchina. 6 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido: classificazione Direzione dello scambio di energia Macchine motrici (energia fornita dal fluido di lavoro alla macchina) Trasformano l’energia posseduta dal fluido di lavoro (di posizione, cinetica, di pressione, liberata da un processo di combustione) in energia meccanica disponibile all’albero della macchina. Macchine operatrici (energia fornita dal fluido di lavoro alla macchina) Utilizzano l’energia meccanica ricevuta da un motore esterno per incrementare l’energia posseduta dal fluido di lavoro (di posizione, cinetica, di pressione). 7 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido: classificazione Modalità con cui viene scambiata l’energia - 1 Macchine volumetriche Il fluido di lavoro viene elaborato dalla macchina in un volume di controllo variabile nel tempo in modo periodico. Flusso tipicamente instazionario (sistema ora aperto, ora chiuso). Il fluido scambia lavoro con la macchina agendo staticamente su superfici in movimento Possono essere di tipo alternativo o rotativo in funzione del tipo di moto realizzato Vantaggi: elevati lavori specifici. Svantaggi: non sono in grado di trattare elevate portate di fluido 8 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido: classificazione Modalità con cui viene scambiata l’energia - 2 Turbomacchine Il fluido di lavoro viene elaborato dalla macchina attraversando canali fissi e mobili sempre aperti. Flusso tipicamente stazionario (sistema sempre aperto). Il fluido scambia lavoro con gli organi della macchina in virtù della variazione della sua quantità di moto o del suo momento della quantità di moto. Vantaggi: elevate portate di fluido trattate. Svantaggi: bassi lavori specifici. 9 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido: esempi Macchine motrici Macchine operatrici Pompa Turbina Pelton centrifuga https://www.youtube.com/watch?v=zwiFp3uQb5g https://www.youtube.com/watch?v=lmjIQqo8mX4 Turbina a vapore https://www.youtube.com/watch?v=SPg7hOxFItI Compressore a pistoni Motore a combustione interna https://www.youtube.com/watch?v=E6_jw841vKE https://www.youtube.com/watch?v=Pu7g3uIG6Zo 10 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido: esempi Macchine volumetriche Turbomacchine Turbina a gas (compressore assiale + turbina) https://www.youtube.com/watch?v=GF-70yncAVY Motore a combustione interna 11 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido: esempi Macchine idrauliche Macchine termiche Turbina a vapore Turbina Kaplan https://www.youtube.com/watch?v=0p03UTgpnDU 12 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Macchine a fluido Parametri di funzionamento: Portata smaltita: sia in termini di kg/s o di m3/s Potenza ottenuta o immessa: dà idea di dimensioni e costi Lavoro ottenuto o immesso: potenza / portata in massa Numero di giri: insieme a potenza, dà idea del dimensionamento degli organi della macchina Dimensioni macchina / rotore, proporzioni vari elementi: ingombri, costi, velocità, disegno meccanico, rotor-dinamica Efficienza: parametro prestazionale per eccellenza, indica la bontà del progetto: macchine operatrici: effetto utile / energia spesa macchine motrici: effetto utile / energia disponibile 13 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Come studiare macchine e sistemi energetici? Obiettivi: Stimare l'efficienza, le prestazioni ed eventualmente le emissioni inquinanti di una macchina o di un impianto Identificare quali sono i principali parametri operativi che le governano E' necessario: 1) Studiare nel dettaglio gli scambi di massa, energia e quantità di moto tra macchina e fluido. 2) Comprendere l'evoluzione di energia, massa e quantità di moto nei differenti componenti della macchina o dell'impianto. 3) Conoscere le proprietà dei fluidi di lavoro. 4) Definire indici adatti che siano in grado di caratterizzare efficienze e prestazioni. 14 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Introduzione alle turbomacchine 15 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Turbomacchine Il fluido di lavoro viene elaborato dalla macchina attraversando canali fissi e mobili sempre aperti. Flusso tipicamente stazionario (sistema sempre aperto). Il fluido scambia lavoro con gli organi della macchina in virtù della variazione della sua quantità di moto o del suo momento della quantità di moto 16 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Turbomacchine Elementi costitutivi: Il gruppo formato dai condotti fissi del distributore, da quelli mobili della girante ed, eventualmente, da quelli fissi del diffusore prende il nome di stadio della turbomacchina. Una turbomacchina semplice (detta anche monostadio) è costituita da un solo stadio, ma spesso si vedrà che risulta conveniente suddividere la macchina in più stadi, ottenendo così una turbomacchina multipla (o multistadio) Distributore Girante Diffusore Flusso Flusso (fisso) (rotante) (fisso) 17 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Turbomacchine Sono costituite da una successione di schiere di pale fisse e mobili. L’elemento base della turbomacchina è lo stadio, composto da statore e rotore. Operatrici: Rotore: macchina cede lavoro al fluido Statore: conversione di energia cinetica in pressione Motrici: Statore: energia di pressione in energia cinetica Rotore: fluido cede lavoro alla macchina 18 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Turbomacchine Classificazione in base al flusso Si possono poi classificare le turbomacchine a seconda dello sviluppo radiale del flusso: Assiali (piccola componente radiale). Mista (apprezzabile componente radiale). Radiali (prevalente componente radiale) 19 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Turbomacchine Turbomacchina radiale Turbomacchina a flusso misto Turbomacchina assiale 20 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Turbomacchine Vista della macchina secondo tre piani (o superfici) 1) Piano interpalare S1: piano o superficie che tagli la macchina secondo una “superficie cilindrica in asse con quella della macchina”. Rilevante per capire gli scambi di lavoro. 2) Piano meridiano S2: un piano che passa per l’asse della macchina. Legato alla portata smaltita dalla macchina. 3) Piano secondario S3 : Piano ortogonale agli altri due. Non contribuisce a scambi di massa e lavoro ma è importante per comprendere alcuni tipi di perdita. 21 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Turbomacchine Vista della macchina secondo tre piani (o superfici) Macchina assiale Piano meridiano Piano interpalare 22 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Turbomacchine Parametri descrittivi di una pala – bordo d'attacco, leading edge, LE S.S. parte frontale, o naso, della pala L.E. – bordo d'uscita, trailing edge, TE P.S. parte terminale, o coda, della pala – intradosso, pressure side, PS superficie concava della pala: su questa superficie le pressioni sono più alte e le velocità più basse T.E. – estradosso, suction side, SS superficie convessa della pala: su questa superficie le pressioni sono più basse e le velocità più alte 23 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Turbomacchine l Parametri descrittivi di una pala camber line – linea di scheletro, camber line t tratto di linea curva che rappresenta ' la teorica deviazione dei filetti fluidi (luogo dei centri delle circonferenze inscritte nel profilo) – corda, chord, l Distanza rettilinea fra bordo di attacco (LE) e bordo di uscita (TE) – spessore del profilo, thickness, t' usualmente misurato in direzione ortogonale alla linea di scheletro e denominato t'n – rapporto spessore massimo - corda, (t'/l)max 24 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Turbomacchine Parametri descrittivi di una pala – aspect ratio, A rapporto fra l'altezza e la corda della pala – apice, tip sezione a raggio maggiore – sezione media, mean section sezione a raggio medio – base, hub sezione a raggio inferiore 25 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Sistemi chiusi: primo e secondo principio della termodinamica 26 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Sistemi chiusi e sistemi aperti Sistema chiuso: non esiste scambio di massa tra sistema ed ambiente attraverso il contorno Σ. L Σ Sistema aperto: sistema e ambiente scambiano massa attraverso il Sistema contorno Σ. Convenzioni: Q Calore positivo se entrante nel sistema Ambiente Lavoro positivo se compiuto dall’ambiente sul sistema 27 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Primo Principio della termodinamica Mulinello di Joule (1849): primo esperimento con il quale si stabilisce il principio di equivalenza del calore e del lavoro 𝐿 𝐽 = 4.186 𝑄 𝑐𝑎𝑙 Caloria [cal]: unità di misura della quantità di calore, pari a quella necessaria a portare la temperatura di un grammo d'acqua distillata da 14,5 °C a 15,5 °C, alla pressione atmosferica normale. 28 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Primo Principio della termodinamica L Se un sistema chiuso riceve dall’esterno energia meccanica, affinché il suo stato non cambi, è necessario che venga asportata energia termica in quantità proporzionale all’energia meccanica Q entrante. ෍ 𝐿+𝑄 =0 𝐿 𝐽 = 4.186 𝑄 𝑐𝑎𝑙 ර 𝛿𝑙 + 𝛿𝑞 = 0 29 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Primo Principio della termodinamica Energia interna u: funzione di stato, la sua q 2 variazione dipende solo dagli stati iniziali e finali A del sistema e non dal percorso della trasformazione 2 2 B 1 න 𝛿𝑙 + 𝛿𝑞 = න 𝛿𝑙 + 𝛿𝑞 = 𝑢2 − 𝑢1 1,𝐴 1,𝐵 l I Principio della TD: in un sistema chiuso, la l variazione di energia interna è pari alla somma del lavoro e del calore scambiati dal sistema con l'ambiente q 𝛿𝑙 + 𝛿𝑞 = 𝑑𝑢 𝑙 + 𝑞 = Δ𝑢 30 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Primo Principio della termodinamica Lavoro reversibile: 𝛿𝑙 = − 𝑝 d𝑣 Trasformazione generica: 𝛿𝑙𝑤 energia dissipata per irreversibilità 𝛿𝑙 = − 𝑝 d𝑣 + 𝛿𝑙𝑤 Effetti delle irreversibilità: In una macchina operatrice, a pari effetto utile, il lavoro che va fornito al fluido è maggiore a causa delle perdite. In una macchina motrice il lavoro disponibile all'albero è minore di quello ideale. 31 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Primo Principio della termodinamica Attrito fluidodinamico: è una sorgente di irreversibilità legata alla viscosità del fluido e si manifesta in differenti circostanze Interazione fluido-parete Interazione tra correnti Vortici 32 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Primo Principio della termodinamica Il Primo Principio della TD può essere riscritto in una forma differente per includere l’effetto delle irreversibilità: 𝛿𝑞 + 𝛿𝑙𝑤 = 𝑑𝑢 + 𝑝 d𝑣 𝛿𝑙 + 𝛿𝑞 = 𝑑𝑢 𝑙 + 𝑞 = Δ𝑢 𝑞 + 𝑙𝑤 = Δ𝑢 + න 𝑝 d𝑣 L'effetto delle irreversibilità sullo stato del fluido è analogo a quello dello scambio di calore. 33 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Primo Principio della termodinamica Analisi di Primo Principio applicata a sistema chiuso e stazionario (Δ𝑈 = 0): 𝑄𝑖𝑛 L 𝐿 Q 𝑄𝑜𝑢𝑡 𝐿 + 𝑄 = Δ𝑈 = 0 𝑄𝑖𝑛 − 𝑄𝑜𝑢𝑡 = 𝐿 𝐿 Rendimento di Primo Principio: 𝜂𝐼 = 𝑄𝑖𝑛 34 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Secondo Principio della termodinamica 𝑄𝑖𝑛 Il Primo Principio ammette che l’intero calore 𝑄𝑖𝑛 possa essere interamente trasformato in lavoro 𝐿, ponendo a 1 il limite massimo del 𝐿 rendimento di una macchina termica. 𝑄𝑜𝑢𝑡 Il Secondo Principio stabilisce che: È impossibile realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia la trasformazione in lavoro di tutto il calore assorbito da una sorgente omogenea (formulazione di Kelvin-Planck) → Impossibilità del moto perpetuo di II specie 35 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Secondo Principio della termodinamica 𝑇1 Il teorema di Carnot stabilisce che il 𝑄1 rendimento massimo di una macchina termica operante tra due sorgenti sia pari a quello della macchina di Carnot 𝐿 𝐿 𝑄2 𝑇2 𝑄2 𝜂𝐶 = =1− =1− 𝑇2 𝑄1 𝑄1 𝑇1 𝑄 ෍ =0 𝑄2 𝑄1 𝑇 + =0 Processo reversibile 𝑇2 𝑇1 𝛿𝑞 (adottando la medesima ර =0 convenzione di segno per 𝑄1 e 𝑄2 ) 𝑇 36 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Secondo Principio della termodinamica Entropia s: funzione di stato, la sua variazione dipende solo dagli stati iniziali e finali del sistema e non dal percorso della trasformazione q 2 2 𝛿𝑞 2 𝛿𝑞 A න =න = 𝑠2 − 𝑠1 1,𝐴 𝑇 1,𝐵 𝑇 Trasformazione B 𝛿𝑞 reversibile 1 d𝑠 = 𝑇 T 37 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Il Secondo Principio della termodinamica 𝛿𝑞 Trasformazione reversibile: d𝑠 = 𝑇 𝛿𝑞 Trasformazione generica: d𝑠 = + d𝑠𝑖𝑟𝑟 𝑇 𝐝𝒔𝒊𝒓𝒓 è legata all’energia meccanica dissipata per irreversibilità 𝜹𝒍𝒘 , che produce effetti aggiuntivi del tutto uguali a quelli dovuti a un ulteriore introduzione di calore: 𝛿𝑙𝑤 𝛿𝑞 𝛿𝑙𝑤 d𝑠𝑖𝑟𝑟 = d𝑠 = + 𝑇 𝑇 𝑇 38 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Relazioni fondamentali della termodinamica 𝛿𝑞 𝛿𝑙𝑤 d𝑠 = + 𝑇 𝑇 𝑇 d𝑠 = 𝑑𝑢 + 𝑝 d𝑣 𝛿𝑞 + 𝛿𝑙𝑤 = 𝑑𝑢 + 𝑝 d𝑣 Definendo la funzione di stato entalpia specifica ℎ: ℎ =𝑢+𝑝𝑣 𝑇 d𝑠 = 𝑑ℎ − 𝑣 d𝑝 dℎ = d𝑢 + 𝑝 d𝑣 + 𝑣 d𝑝 39 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Fluidi di lavoro 40 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Fluidi di lavoro Introduzione In ogni macchina, il fluido di lavoro ha un’importanza fondamentale poichè è per mezzo di esso che avvengono gli scambi di energia con l'ambiente. Le proprietà dei fluidi di lavoro influenzano le trasformazioni termodinamiche a cui essi sono soggetti. Per ogni fluido di lavoro è possibile definire un'equazione di stato che lega pressione, temperatura e densità: 𝑓 𝑝, 𝑇, 𝜌 = 0 41 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Fluidi di lavoro 1) Gas ideale: ℛ Obbedisce all’equazione di stato: 𝑝 𝑣 = 𝑅 𝑇 = 𝑇. ℳ Secondo la teoria cinetica dei gas, si comporta come un gas ideale un sistema costituito da un gran numero di particelle, che interagiscono soltanto a mezzo di urti (assenza di azioni a distanza). Energia interna e entalpia sono funzioni della temperatura: 𝑢= 𝑢 𝑇 eℎ=ℎ 𝑇. 𝛿𝑞 Introducendo il concetto di calore specifico 𝑐𝑥 = , che dipende 𝛿𝑇 dalla temperatura e dalla trasformazione considerata (isobara, isocora): 𝑢 = 𝑐𝑣 𝑇 𝑇 e ℎ = 𝑐𝑝 𝑇 𝑇. Nell’ipotesi di 𝑐𝑥 = const 𝑇 si parla di gas perfetto. 42 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Fluidi di lavoro 2) Gas reale: Il suo comportamento si scosta da quello descritto dall’equazione di stato dei gas perfetti L’equazione di stato viene generalizzata: 𝑝 𝑣 = 𝑍 𝑅 𝑇, con 𝑍 = 𝑍(𝑝, 𝑇). 𝑍 viene definito fattore di comprimibilità e rappresenta il rapporto tra il volume specifico effettivo e quello che si avrebbe nell’ipotesi di gas perfetto. Sperimentalmente si osserva che 𝒁 è una funzione univoca delle 𝑝 𝑇 grandezze ridotte: 𝑍 = 𝑍 𝑝𝑟 , 𝑇𝑟 , 𝑝𝑟 = , 𝑇𝑟 = 𝑝𝑐𝑟 𝑇𝑐𝑟 Principio degli stati corrispondenti: unifica il comportamento termodinamico di tutti i fluidi sia dal punto di vista volumetrico che termico. 43 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Fluidi di lavoro 3) Liquido in senso proprio: Fluido incomprimibile sia nei confronti delle azioni meccaniche che nei confronti delle variazioni di temperatura. Il principio degli stati corrispondenti lo colloca nella regione a basse temperature ridotte (𝑇𝑟 = 0.3). Equazione di stato: r = const 4) Liquido comprimibile/dilatabile: Pur mantenendo le caratteristiche dei liquidi, il fluido manifesta una certa comprimibilità e dilatabilità. Il principio degli stati corrispondenti lo colloca nella regione dei liquidi (a sinistra della curva del liquido saturo) a temperature ridotte medio/alte (𝑇𝑟 = 0.7). 44 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Fluidi di lavoro Esempi di fluidi di uso corrente nelle macchine: 1. Gas perfetto: aria o gas combusti a moderate temperature 2. Gas reale: vapor d’acqua o gas combusti a temperature particolarmente elevate 3. Liquido in senso proprio: acqua a temperatura ambiente 4. Liquido comprimibile/dilatabili: acqua a 200-300°C 45 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Fluidi di lavoro: gas perfetti Una generica trasformazione può essere espressa nella forma: 𝛿𝑞 = 𝑐𝑥 d𝑇 A seconda della trasformazione elementare considerata, il calore specifico 𝑐𝑥 assume diversi valori: Isobara: 𝑐𝑥 = 𝑐𝑝 ⟹ 𝛿𝑞 = 𝑐𝑝 d𝑇 = dℎ Isocora: 𝑐𝑥 = 𝑐𝑣 ⟹ 𝛿𝑞 = 𝑐𝑣 d𝑇 = d𝑢 Adiabatica: 𝑐𝑥 = 0. Per trasformazione reversibile e gas perfetto: 𝑝 𝑣 𝑘 = const 𝑘 = 𝑐𝑝 Τ𝑐𝑣 con: 𝑇 𝑝−𝜃 = const 𝜃 = 𝑘 − 1 Τ𝑘 Isoterma: 𝑐𝑥 → ∞. Per gas perfetto: 𝑝 𝑣 = const 46 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Fluidi di lavoro: gas perfetti Trasformazione politropica: 𝑛 𝑐𝑥 − 𝑐𝑝 𝑝 𝑣 = const, con 𝑛 = 𝑐𝑥 − 𝑐𝑣 La trasformazione politropica può essere utilizzata per approssimare una trasformazione reale in modo reversibile. Inoltre, per gas ideale, si può esprimere l’entropia in funzione di due qualsiasi variabili di stato. Ad esempio, in funzione di 𝑝 e 𝑇: 𝑇2 𝑝2 𝑠2 − 𝑠1 = 𝑐𝑝 ln − 𝑅 ln 𝑇1 𝑝1 47 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Sistemi aperti 48 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Sistema aperto Definizione di un volume di controllo 𝛀 delimitato da una superficie 𝜮. L Σ Sistema aperto: viene scambiata massa con l'ambiente attraverso la Sistema superficie di contorno 𝜮. Convenzioni di segno: Q Lavoro positivo se compiuto sul Ambiente sistema Calore positivo se fornito al sistema 49 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Generica Equazione di Bilancio Formulazione generale: 𝐼−𝑈+𝐺 =𝐴 I Il termine di accumulo è nullo per G sistemi stazionari (variazioni nel tempo nulle). U Σ Il termine di generazione può essere nullo, positivo (sorgente) o negativo 𝐼 = Ingresso (pozzo). 𝑈= Uscita 𝐺 = Generazione Per sistemi stazionari senza 𝐴= Accumulo generazione si ha: 𝐼=𝑈 50 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Conservazione della Massa e dell’Energia Ipotesi fondamentali: Termine di generazione nullo: assenza I di reazioni chimiche e nucleari di G fissione / fusione Termine di accumulo nullo: sistema stazionario U Σ Ipotesi di mono-dimensionalità del flusso in ingresso e in uscita 𝐼 = Ingresso 𝑈= Uscita L’ultima ipotesi permette di approssimare in 𝐺 = Generazione maniera semplice i flussi in ingresso e in 𝐴= Accumulo uscita, esprimendoli in funzione delle grandezze medie sulla sezione di passaggio. 51 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Moto mono-dimensionale Le grandezze che caratterizzano il flusso (velocità, temperatura) vengono considerate uniformi sulla sezione e funzione della sola coordinata assiale. Perdite e scambio termico vengono valutati attraverso correlazioni. 52 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazioni di Conservazione della Massa e dell’Energia Schematizzazione della generica macchina a flusso continuo (sistema aperto) e definizione del volume di controllo per la scrittura delle equazioni di bilancio: l 𝑉1 d𝑡 𝑉2 d𝑡 𝑉1 𝑝2 𝐴 𝑉2 𝑝1 𝐴 𝑝1 𝑝2 𝑇1 𝑇2 𝜌1 𝜌2 𝑧1 𝑧2 1 1′ 2′ 2 1 = ingresso 2 = uscita q 53 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Conservazione della Massa l 𝑉1 d𝑡 𝑉2 d𝑡 𝐼=𝑈 𝑉1 𝑝1 𝐴 𝑝2 𝐴 𝑉2 𝑝1 𝑝2 𝑇1 𝑇2 𝜌1 𝜌2 𝑧1 1 1′ 2′ 2 𝑧2 d𝑚1 = d𝑚2 1 = ingresso 2 = uscita q Considerando l’evoluzione del sistema in un tempo 𝐝𝒕 elementare: d𝑚1 = 𝜌1 𝐴1 𝑑𝑥1 = 𝜌1 𝐴1 𝑉1 d𝑡 𝜌1 𝐴1 𝑉1 = 𝜌2 𝐴2 𝑉2 d𝑚2 = 𝜌2 𝐴2 𝑑𝑥2 = 𝜌2 𝐴2 𝑉2 d𝑡 𝑚ሶ 1 = 𝑚ሶ 2 = 𝑚ሶ 54 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione della massa Portata volumetrica di fluido: 𝑉ሶ = 𝐴𝑉 [m3/s] volume di fluido che nell'unità di tempo attraversa la sezione del condotto ortogonale al suo asse Portata massica di fluido: 𝑚ሶ = 𝜌𝐴𝑉 [kg/s] massa di fluido che nell'unità di tempo attraversa la sezione del condotto ortogonale al suo asse 55 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione della massa Nelle ipotesi di moto monodimensionale e stazionario, la portata massica è costante in ogni sezione del condotto: 𝜌, 𝑝, 𝑉 possono variare, ma 𝑚ሶ resta costante. La portata volumetrica si conserva soltanto quando il fluido è incomprimibile (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡). 𝐴1 𝑉1 = 𝐴2 𝑉2 Conservazione della portata volumetrica: valida solo per i fluidi incomprimibili 𝑉1ሶ = 𝑉ሶ2 = 𝑉ሶ 𝜌1 𝐴1 𝑉1 = 𝜌2 𝐴2 𝑉2 Conservazione della portata massica: valida per tutti i fluidi 𝑚ሶ 1 = 𝑚ሶ 2 = 𝑚ሶ 56 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione della massa La velocità che compare nell'equazione di conservazione della massa è la componente ortogonale alla sezione del condotto Esempio 1: condotto di macchina assiale h 𝐷 𝐴 ℎ: altezza di pala 𝐷: diametro 𝑉 𝑉𝑎 𝑉ሶ = 𝐴𝑉𝑎 = 𝜋𝐷ℎ𝑉𝑎 medio della girante 𝑉𝑡 𝑚ሶ = 𝜌𝐴𝑉𝑎 = 𝜌𝜋𝐷ℎ𝑉𝑎 57 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione della massa La velocità che compare nell'equazione di conservazione della massa è la componente ortogonale alla sezione del condotto Esempio 2: condotto di macchina radiale 𝑉ሶ = 𝐴𝑉𝑟 = 𝜋𝐷𝑏𝑉𝑟 𝑚ሶ = 𝜌𝐴𝑉𝑟 = 𝜌𝜋𝐷𝑏𝑉𝑟 𝐷 𝑏 𝑏: altezza di pala 𝐷: diametro esterno della girante 𝐷 58 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Conservazione dell’Energia l 𝑉1 d𝑡 𝑉2 d𝑡 𝐼=𝑈 𝑉1 𝑝1 𝐴 𝑝2 𝐴 𝑉2 𝑝1 𝑝2 𝑇1 𝑇2 𝜌1 𝜌2 𝑧1 1 1′ 2′ 2 𝑧2 d𝐸1 + d𝐿 + d𝑄 + 1 = ingresso 2 = uscita + d𝐿𝑝,1 = d𝐸2 + d𝐿𝑝,2 q Considerando l’evoluzione del sistema in un tempo 𝐝𝒕 elementare e tenendo conto dell’ipotesi di stazionarietà (𝑚ሶ 1 = 𝑚ሶ 2 = 𝑚): ሶ d𝐿 = 𝑙 d𝑚 = 𝑙 𝑚d𝑡 ሶ Lavoro scambiato attraverso la palettatura d𝑄 = 𝑞 d𝑚 = 𝑞 𝑚d𝑡 ሶ Calore scambiato attraverso le pareti d𝐸𝑖 = 𝑒𝑖 d𝑚 = 𝑒𝑖 𝑚d𝑡 ሶ Energia posseduta dal fluido in ingresso/uscita d𝐿𝑝,𝑖 = 𝐹𝑖 𝑑𝑥𝑖 = 𝑝𝑖 𝐴𝑖 𝑉𝑖 d𝑡 Lavoro di pulsione in ingresso/uscita 59 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Conservazione dell’Energia Energia posseduta dal fluido in ingresso/uscita: 𝑉2 J Energia interna 𝑒=𝑢+ +𝑔𝑧 Somma di: Energia cinetica 2 kg Energia potenziale gravitazionale Lavoro di pulsione in ingresso/uscita: 𝑑𝑥1 = 𝑉1 d𝑡 d𝐿𝑝,1 = 𝐹1 𝑑𝑥1 = 𝑝1 𝐴1 𝑉1 d𝑡 J 𝐹1 = 𝑝1 𝐴 d𝐿𝑝,2 = 𝐹2 𝑑𝑥2 = 𝑝2 𝐴2 𝑉2 d𝑡 J Il lavoro di pulsione descrive il lavoro compiuto dalla forza di pressione (𝑝𝑖 𝐴𝑖 ) per permettere al 1 1′ fluido di attraversare la superficie di controllo 60 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Conservazione dell’Energia d𝐸1 + d𝐿 + d𝑄 + d𝐿𝑝,1 = d𝐸2 + d𝐿𝑝,2 Sostituendo le espressioni precedenti 𝑉12 𝑢1 + + 𝑔 𝑧1 𝑚d𝑡 ሶ + 𝑙 𝑚d𝑡 ሶ + 𝑞 𝑚d𝑡 ሶ + 𝑝1 𝐴1 𝑉1 d𝑡 = 2 𝑉22 = 𝑢2 + + 𝑔 𝑧2 𝑚d𝑡 ሶ + 𝑝2 𝐴2 𝑉2 d𝑡 2 Dividendo per: 𝑚d𝑡 ሶ = 𝜌𝑖 𝐴𝑖 𝑉𝑖 d𝑡 𝑉12 𝑝1 𝑉22 𝑝2 𝑢1 + + 𝑔 𝑧1 + 𝑙 + 𝑞 + = 𝑢2 + + 𝑔 𝑧2 + 2 𝜌1 2 𝜌2 61 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Formulazione termica 𝑉12 𝑝1 𝑉22 𝑝2 𝑢1 + + 𝑔 𝑧1 + 𝑙 + 𝑞 + = 𝑢2 + + 𝑔 𝑧2 + 2 𝜌1 2 𝜌2 𝑝 Ricordando che: ℎ = 𝑢 + 𝜌 𝑉12 𝑉22 ℎ1 + + 𝑔 𝑧1 + 𝑙 + 𝑞 = ℎ2 + + 𝑔 𝑧2 2 2 Equazione di conservazione dell’energia – formulazione «termica»: Applicabile sia a sistemi ideali che reali (non si basa su alcuna ipotesi di idealità) Esplicita gli aspetti termici dello scambio energetico (𝑞, ℎ) Le dissipazione di una parte del lavoro meccanico (𝑙) in calore (𝑙𝑤 ) sono implicite e incluse nella variazione di entalpia (ℎ) 62 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Formulazione termica Macchina operatrice 𝑉22 𝑉12 l > 0 se entrante 𝑙 + 𝑞 = ℎ2 + + 𝑔𝑧2 − ℎ1 + + 𝑔𝑧1 q > 0 se entrante 2 2 La somma del lavoro meccanico 𝑙 introdotto dalla palettatura e del calore introdotto 𝑞, va ad incrementare l’energia del fluido nelle tre forme: entalpia, energia cinetica e potenziale gravitazionale. Macchina motrice 𝑉12 𝑉22 l > 0 se uscente 𝑙 − 𝑞 = ℎ1 + + 𝑔𝑧1 − ℎ2 + + 𝑔𝑧2 q > 0 se entrante 2 2 La diminuzione dell’energia del fluido nelle tre forme, unita al calore introdotto 𝑞, si trasforma in lavoro raccolto dalla palettatura 𝑙. 63 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Formulazione meccanica E’ possibile esplicitare le dissipazioni di lavoro meccanico mediante una formulazione alternativa dell’equazione dell’energia. 𝑉12 𝑉22 ℎ1 + + 𝑔 𝑧1 + 𝑙 + 𝑞 = ℎ2 + + 𝑔 𝑧2 2 2 Raggruppiamo i termini «termici» a sinistra 𝑉12 − 𝑉22 ℎ2 − ℎ1 −𝑞 =𝑙+ + 𝑔 𝑧1 − 𝑧2 2 Cerchiamo una relazione che leghi ℎ2 − ℎ1 − 𝑞 con delle grandezze «meccaniche» … 64 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Formulazione meccanica Ricordando le equazioni fondamentali: 𝛿𝑞 𝛿𝑙𝑤 d𝑠 = + ; 𝑇 d𝑠 = 𝑑𝑢 + 𝑝 d𝑣; 𝑇 d𝑠 = dℎ − 𝑣 d𝑝 𝑇 𝑇 Riorganizziamo le espressioni dℎ = 𝛿𝑞 + 𝛿𝑙𝑤 + 𝑣 d𝑝 Integriamo lungo il percorso dall’ingresso 1 all’uscita 2 2 ℎ2 − ℎ1 = 𝑞 + 𝑙𝑤 + න 𝑣 d𝑝 1 Otteniamo così la relazione cercata 2 ℎ2 − ℎ1 − 𝑞 = 𝑙𝑤 + න 𝑣 d𝑝 1 65 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Formulazione meccanica Combinando quindi l’equazione di conservazione dell’energia in formulazione termica con le equazioni fondamentali: 𝑉12 − 𝑉22 2 ℎ2 − ℎ1 −𝑞 =𝑙+ + 𝑔 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑙𝑤 + න 𝑣 d𝑝 2 1 Otteniamo così: 𝑉22 − 𝑉12 2 𝑙 − 𝑙𝑤 = 𝑔 𝑧2 − 𝑧1 + + න 𝑣 d𝑝 2 1 Equazione di conservazione dell’energia – formulazione «meccanica»: Esplicita la dissipazione di una parte del lavoro meccanico (𝑙) in calore (𝑙𝑤 ) 2 Gli aspetti termici sono impliciti e inclusi nell’integrale ‫׬‬1 𝑣 d𝑝 Esplicita la distinzione tra sistemi ideali e reali 66 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Formulazione meccanica Macchina operatrice 𝑉22 − 𝑉12 2 l > 0 se entrante 𝑙 − 𝑙𝑤 = 𝑔 𝑧2 − 𝑧1 + + න 𝑣 d𝑝 q>0 se entrante 2 1 Il lavoro meccanico 𝑙 introdotto dalla palettatura, a meno della parte dissipata in calore 𝑙𝑤 , si trasforma in energia meccanica del fluido nelle tre forme: cinetica, di pressione e potenziale gravitazionale. Macchina motrice 𝑉12 − 𝑉22 1 l > 0 se uscente 𝑙 + 𝑙𝑤 = 𝑔 𝑧1 − 𝑧2 + + න 𝑣 d𝑝 q>0 se entrante 2 2 La variazione di energia meccanica del fluido nelle tre forme si trasforma in lavoro raccolto dalla palettatura a meno della parte dissipata 𝑙𝑤. 67 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Equazione di Bernoulli Nel caso particolare in cui si consideri un fluido incomprimibile, l’equazione di conservazione dell’energia in formulazione meccanica si può semplificare per ottenere l’equazione di Bernoulli: 𝑉22 − 𝑉12 2 𝑙 − 𝑙𝑤 = 𝑔 𝑧2 − 𝑧1 + + න 𝑣 d𝑝 2 1 Nell’ipotesi di fluido incomprimibile: 2 2 𝑝2 − 𝑝1 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 → න 𝑣 d𝑝 = 𝑣 න d𝑝 = 1 1 𝜌 𝑉22 − 𝑉12 𝑝2 − 𝑝1 𝑙 − 𝑙𝑤 = 𝑔 𝑧2 − 𝑧1 + + 2 𝜌 68 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Equazione di Bernoulli Macchina operatrice 𝑉22 − 𝑉12 𝑝2 − 𝑝1 l > 0 se entrante 𝑙 − 𝑙𝑤 = 𝑔 𝑧2 − 𝑧1 + + 2 𝜌 Il lavoro meccanico 𝑙 introdotto dalla palettatura, a meno della parte dissipata in calore 𝑙𝑤 , si trasforma in energia meccanica del fluido nelle tre forme: cinetica, di pressione e potenziale gravitazionale. Macchina motrice 𝑉12 − 𝑉22 𝑝1 − 𝑝2 l > 0 se uscente 𝑙 + 𝑙𝑤 = 𝑔 𝑧1 − 𝑧2 + + 2 𝜌 La variazione di energia meccanica del fluido nelle tre forme si trasforma in lavoro raccolto dalla palettatura a meno della parte dissipata 𝑙𝑤. 69 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Natura del fluido e conservazione dell'energia Fluido incomprimibile: gli aspetti termici e meccanici sono completamente disaccoppiati. In particolare, lo scambio termico non modifica il volume specifico del fluido. Fluido comprimibile: gli aspetti termici e meccanici sono accoppiati. Il volume specifico è funzione della temperatura del fluido e pertanto il termine ‫ 𝑝𝑑𝑣 ׬‬dipende dallo scambio termico e dalle dissipazioni. 70 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Rendimenti Dall'equazione di conservazione dell'energia meccanica è possibile definire i rendimenti di macchine operatrici e motrici. Incremento di energia meccanica del Macchina 𝑙 − 𝑙𝑤 fluido operatrice 𝜂= 𝑙 Energia ceduta al fluido dalle pale della macchina Lavoro ceduto dal fluido alle pale della Macchina 𝑙 macchina motrice 𝜂= 𝑙 + 𝑙𝑤 Variazione di energia meccanica del fluido 71 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Applicazioni ad alcuni casi tipici Scambiatore di calore 1 2 L'entalpia varia a causa della potenza termica scambiata. q Nota la portata e la variazione di temperature del fluido, è possibile stimare 𝑄ሶ l =0 gz1 − gz2  0 h2 −h1 = q V22 V12 − 0 m (h2 −h1 ) = Q 2 2 72 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Applicazioni ad alcuni casi tipici Valvola l =0 q=0 1 2 gz1 − gz2  0 h2 =h1 V22 V12 − 0 2 2 La valvola riduce la pressione del fluido introducendo delle dissipazioni: 2 −𝑙𝑤 = න 𝑣 d𝑝 1 73 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Applicazioni ad alcuni casi tipici Turbina q=0 gz1 − gz2  0 h1 −h 2 = l 1 V22 V12 m (h1 −h 2 ) = P − 0 2 2 P La turbina può essere considerata ~ come adiabatica In prima approssimazione, è possibile trascurare le velocità all'ingresso e in uscita Nota la portata, è possibile stimare la 2 potenza meccanica fornita dal fluido alle pale. 74 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Applicazioni ad alcuni casi tipici Compressore q=0 gz1 − gz2  0 h2 −h1 = l 1 V22 V12 m (h2 −h1 ) = P − 0 2 2 P Il compressore può essere considerata ~ come adiabatico In prima approssimazione, è possibile trascurare le velocità all'ingresso e in 2 uscita Nota la portata, è possibile stimare la potenza meccanica da fornire al fluido. 75 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Applicazioni ad alcuni casi tipici Ugello convergente q=0 l =0 gz1 − gz2  0 V22 V12 = + (h1 −h 2 ) 2 2 Si può impiegare per accelerare (convergente) o rallentare (divergente) il flusso. Grandezze di interesse: - Convergente: velocità all'uscita - Divergente: pressione all'uscita 76 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Applicazioni ad alcuni casi tipici Ugello convergente La formulazione termica dell'equazione di conservazione dell'energia mi permette di calcolare la velocità all'uscita: V2 = V12 + 2  (h1 −h 2 ) La formulazione meccanica consente di comprendere quanto le dissipazioni per attrito influenzano l'espansione nel convergente: 𝑉22 𝑉12 2 𝑙𝑤 > 0 = − 𝑙𝑤 − න 𝑣 d𝑝 2 2 1 2 ‫׬‬1 𝑣 d𝑝 < 0 Maggiori sono le dissipazioni, minore è l'accelerazione subita dal fluido. 77 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Applicazioni ad alcuni casi tipici Pompa Formulazione termica del principio di conservazione dell'energia: 𝑉22 𝑉12 ℎ2 + + 𝑔𝑧2 − ℎ1 + + 𝑔𝑧1 = 𝑙 + 𝑞 1 2 2 2 𝑞 = 0; V1 ≈ V2 ; z1 ≈ z2 ; h = u + p/𝜌 Il lavoro ceduto dalle pale al fluido viene 𝑝2 − 𝑝1 convertito in energia di pressione oppure 𝑐𝐿 𝑇2 − 𝑇1 + =𝑙 dissipato in calore incrementando la temperatura 𝜌 del fluido: Formulazione meccanica del principio di 𝑝2 − 𝑝1 𝑙 − 𝑙𝑤 = conservazione dell'energia: 𝜌 Di conseguenza: 𝑙𝑤 = 𝑐𝐿 𝑇2 − 𝑇1 Tutte le dissipazioni per attrito incrementano la temperatura del fluido 78 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di conservazione dell'energia Applicazioni ad alcuni casi tipici Turbina idraulica Formulazione termica del principio di conservazione dell'energia: 𝑉12 𝑉22 1 2 ℎ1 + + 𝑔𝑧1 − ℎ2 + + 𝑔𝑧2 = 𝑙 − 𝑞 2 2 T 𝑞 = 0; z1 ≈ z2 ; h = u + p/𝜌 𝑝1 − 𝑝2 𝑉12 − 𝑉22 𝑙= + + g z1 − z2 + cL (T1 − T2 ) 𝜌 2 𝑝1 − 𝑝2 𝑉12 − 𝑉22 𝑙 + 𝑙𝑤 = + + g z1 − z2 𝜌 2 𝑝1 − 𝑝2 𝑉12 − 𝑉22 𝑙= + + g z1 − z2 − 𝑙𝑤 𝜌 2 79 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità e lavoro di Eulero 80 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Sistemi di riferimento Sistemi di riferimento per lo studio del flusso in un canale palare: Assoluto: osservatore solidale con lo statore della macchina Relativo: osservatore mobile, solidale con il rotore della macchina Posizione nei due sistemi di O riferimento: 𝑂𝐴 : posizione di un punto O per un osservatore assoluto A R 𝑂𝑅 : posizione del punto O per un (mobile) osservatore R che si muove rispetto A ad A (fisso) 𝑅𝐴 : posizione di R rispetto all'osservatore assoluto A 81 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Sistemi di riferimento Posizione del punto O: 𝑂𝐴 = 𝑂𝑅 + 𝑅𝐴 O Derivando rispetto al tempo: Velocità del punto O: R 𝑑𝑂𝐴 𝑑𝑂𝑅 𝑑𝑅𝐴 (mobile) = + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 A (fisso) Definendo: 𝑉: velocità di O rispetto ad A 𝑈: velocità di R rispetto ad A 𝑉 =𝑊+𝑈 𝑊: velocità di O rispetto ad R 82 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Sistemi di riferimento Applicazione al flusso in una turbomacchina (compressore assiale) O: particella di fluido che si muove nel canale della turbomacchina A: osservatore fisso solidale con la cassa della macchina R: osservatore solidale con il rotore ad una distanza 𝑟 dall'asse della macchina Velocità assoluta è data dalla somma della 𝑉 =𝑊+𝑈 velocità relativa e della velocità di trascinamento 83 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Sistemi di riferimento Definizione di un sistema cartesiano ortogonale costituito da tre vettori: 𝑖Ԧ𝑎 : vettore diretto come l'asse della macchina 𝑖Ԧ𝑟 : vettore diretto come il raggio della macchina 𝑖Ԧ𝑡 : vettore diretto tangenzialmente 84 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Sistemi di riferimento Scomposizione del vettore velocità assoluta 𝑉 nelle tre componenti: 𝑉𝑎 = 𝑉 ∙ 𝑖Ԧ𝑎 : velocità assiale 𝑉𝑟 = 𝑉 ∙ 𝑖Ԧ𝑟 : velocità radiale 𝑉𝑡 = 𝑉 ∙ 𝑖Ԧ𝑡 : velocità tangenziale Inoltre si definisce velocità meridiana 𝑉𝑚 la proiezione della velocità 𝑉 su un piano meridiano (Ԧ𝑖𝑎 , 𝑖Ԧ𝑟 ) Analogamente si definiscono le stesse componenti per la velocità relativa 𝑊 85 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Sistemi di riferimento Velocità di trascinamento 𝑈 è data in 𝑈 ogni punto del rotore dal prodotto: 𝑈 = 𝜔 × 𝑟Ԧ = ω 𝑖Ԧ𝑎 × 𝑟 𝑖Ԧ𝑟 Vale in modulo 𝑈 = ω 𝑟 ed è diretta tangenzialmente. 86 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità I triangoli delle velocità sono la rappresentazione grafica della relazione che lega i vettori velocità assoluta, di trascinamento e relativa: 𝑉 𝑉 =𝑊+𝑈 𝑊 𝑈 Permettono di visualizzare la relazione cinematica tra il vettore velocità nel sistema di riferimento assoluto (rilevante per la progettazione della palettatura statorica) e il vettore velocità nel sistema di riferimento relativo (rilevante per la progettazione della palettatura rotorica). 87 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Rappresentazione dei triangoli di velocità 1) 2) I triangoli delle velocità sono I triangoli di velocità sono rappresentati nelle sezioni di rappresentati su un piano che ingresso (1) e uscita (2) della girante, rappresenta la proiezione della rilevanti per lo scambio di massa ed superficie interpalare S1 energia tra fluido e macchina. 88 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Rappresentazione dei triangoli di velocità I triangoli delle velocità, sulle sezioni di ingresso e uscita, possono essere rappresentati: 1) In corrispondenza del bordo di attacco / bordo di uscita della pala della girante 2) In corrispondenza della linea media del canale interpalare 3) Su un piano proiezione di quello interpalare Le tre raffigurazioni sono equivalenti sulla base delle ipotesi di: moto stazionario moto monodimensionale 89 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Macchina assiale V1 W1 1) U 2) W2 V2 Visualizzazione lungo la linea media del canale U rotorico 90 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Macchina assiale V1 W1 1) U 2) W2 V2 Visualizzazione in corrispondenza del bordo di attacco / uscita U della pala 91 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Macchina assiale Direzione di V1 : imposta dallo statore tangenti alla linea media del canale interpalare statorico Direzione di 𝑊1 : data dalla composizione vettoriale di 𝑉1 e 𝑈 se palettatura ottimizzata: tangente alla linea media del canale interpalare rotorico Direzione di 𝑊2 : imposta dal rotore tangenti alla linea media del canale interpalare rotorico (almeno nell’ipotesi monodimensionale) Direzione di 𝑉2 : data dalla composizione vettoriale di 𝑊2 e 𝑈 se palettatura ottimizzata (in hp. di macchina multistadio): tangente alla linea media del canale interpalare statorico dello stadio successivo 92 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Macchina assiale Visualizzazione sulla proiezione del piano interpalare a1 V1 W2 b1 W1 V2 b2 a2 U U Nelle macchine assiali, la direzione assiale è presa come riferimento per definire gli angoli a della velocità assoluta e b della velocità relativa. Angoli positivi se definiscono vettore la cui componente tangenziale ha lo stesso verso della 𝑈 93 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Turbina assiale Il flusso viene accelerato nello statore fisso (0-1) Triangoli delle velocità U all'ingresso (1) e all'uscita del rotore (2) 94 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Pompa centrifuga (macchina radiale pura) Il fluido entra in corrispondenza della sezione 1 ed esce in corrispondenza della sezione 2 U2 > U 1 Canale divergente per rallentare il flusso nel moto relativo (W2 < W1) Angoli misurati a partire dalla direzione radiale (meridiana) 95 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Compressore centrifugo (macchina radiale) Ingresso (assiale) Uscita (radiale) 96 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Ogni vettore velocità può essere scomposto in 3 componenti: Componente assiale Va : parallela all'asse della macchina Componente radiale Vr : ortogonale all'asse della macchina Componente tangenziale Vt : tangente alla circonferenza di raggio r concentrica con l'asse della macchina 97 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Macchina assiale Ingresso Componente tangenziale a1 W2 V1 W2a V2a b1 W1a V1a W1 𝑉1𝑡 = 𝑉1 𝑠𝑒𝑛𝛼1 b2 a2 V2 𝑊1𝑡 = 𝑊1 𝑠𝑒𝑛𝛽1 U U 𝑈 + 𝑊1𝑡 = 𝑉1𝑡 W2t V2t Componente assiale W1t 𝑊1𝑎 = 𝑊1 𝑐𝑜𝑠𝛽1 V1t 𝑉1𝑎 = 𝑉1 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑊1𝑡 𝑉1𝑎 = 𝑊1𝑎 = 𝑡𝑎𝑛𝛽1 𝑊1𝑎 98 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Macchina assiale Uscita Componente tangenziale a1 W2 V1 W2a V2a b1 W1a V1a W1 𝑉2𝑡 = 𝑉2 𝑠𝑒𝑛𝛼2 b2 a2 V2 𝑊2𝑡 = 𝑊2 𝑠𝑒𝑛𝛽2 U U 𝑈 + 𝑊2𝑡 = 𝑉2𝑡 W2t V2t Componente assiale W1t 𝑊2𝑎 = 𝑊2 𝑐𝑜𝑠𝛽2 V1t 𝑉2𝑎 = 𝑉2 𝑐𝑜𝑠𝛼2 Non è detto che le componenti assiali 𝑊2𝑡 delle velocità in uscita siano sempre 𝑉2𝑎 = 𝑊2𝑎 = 𝑡𝑎𝑛𝛽2 uguali a quelle in ingresso 𝑊2𝑎 99 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Macchina radiale Ingresso Componente tangenziale 𝑉1𝑡 = 𝑉1 𝑠𝑒𝑛𝛼1 𝑊1𝑡 = 𝑊1 𝑠𝑒𝑛𝛽1 𝑈1 + 𝑊1𝑡 = 𝑉1𝑡 Componente radiale 𝑊1𝑟 = 𝑊1 𝑐𝑜𝑠𝛽1 𝑉1𝑟 = 𝑉1 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑊1𝑡 𝑉1𝑟 = 𝑊1𝑟 = 𝑡𝑎𝑛𝛽1 𝑊1𝑟 100 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità Macchina radiale Uscita Componente tangenziale 𝑉2𝑡 = 𝑉2 𝑠𝑒𝑛𝛼2 𝑊2𝑡 = 𝑊2 𝑠𝑒𝑛𝛽2 𝑈2 + 𝑊2𝑡 = 𝑉2𝑡 Componente radiale 𝑊2𝑟 = 𝑊2 𝑐𝑜𝑠𝛽2 𝑉2𝑟 = 𝑉2 𝑐𝑜𝑠𝛼2 𝑊2𝑡 𝑉2𝑟 = 𝑊2𝑟 = 𝑡𝑎𝑛𝛽2 𝑊2𝑟 101 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità La velocità periferica ha solo componente tangenziale La velocità assoluta può essere espressa come somma delle componenti tangenziale e meridiana 𝑉 = 𝑉𝑡 + 𝑉𝑚 𝑉𝑚 = 𝑉𝑎 + 𝑉𝑟 La componente meridiana è la somma delle componenti assiali e radiali La componente meridiana è indipendente dal sistema di riferimento (𝑉𝑚 = 𝑊𝑚 ) Macchine assiali: le componenti radiali sono nulle Macchine operatrici radiali: nulle le componenti assiali in uscita Macchine motrici radiali: nulle le componenti assiali in ingresso 102 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Triangoli delle velocità V2m =V2r V2r V2m V1 V2m =V2a V2a V1 V1 V1 V2m =V2a Macchina radiale Macchina a flusso misto Macchina assiale 103 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Eulero 104 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Eulero Nell’attraversare i canali mobili di una turbomacchina il fluido di lavoro varia il modulo e la direzione della propria velocità, variando cioè la sua quantità di moto. w2 La variazione della quantità di moto del fluido dovuta all’interazione con la outlet u2 palettatura mobile è legata al lavoro scambiato con l’esterno. w Una formulazione diretta del lavoro inlet scambiato tra fluido e rotore può essere ottenuta dalla legge di w1 u1 conservazione del momento della quantità di moto. 105 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Eulero Conservazione del momento della quantità di moto: «La variazione del momento della quantità di moto dell’elemento fluido nell’unità di tempo è pari alla risultante dei momenti applicati sull’elemento dall’esterno.» 𝑑 ΓԦ = ෍ 𝑀𝑒 d𝑡 Il momento della quantità è dato dal prodotto vettoriale della quantità di moto 𝑚𝑉 per una distanza 𝑟:Ԧ ΓԦ = 𝑚𝑉 × 𝑟Ԧ 106 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Eulero Per applicare l’equazione di conservazione definiamo un volume di controllo, delimitato da 6 superfici: ingresso, uscita, dorso pala, ventre pala, base e apice 107 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Eulero Sulle superfici di ingresso e uscita si valuta la variazione del momento della quantità di moto della corrente fluida: 𝑑 𝛤Ԧ = ෍ 𝑀𝑒 d𝑡 Il momento della quantità di moto della corrente fluida in ingresso e in uscita si può esprimere come: ΓԦ1 = 𝑚𝑐,1 𝑉1 × 𝑟Ԧ 1 ΓԦ2 = 𝑚𝑐,2 𝑉2 × 𝑟Ԧ 2 Ottenendo, in condizioni stazionarie: 𝑑 𝛤Ԧ𝑐 = 𝑚ሶ 𝑐 𝑉2 × 𝑟Ԧ 2 − 𝑉1 × 𝑟Ԧ 1 = ෍ 𝑀𝑐.𝑒 d𝑡 108 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Eulero Considerando che solo le componenti tangenziali della velocità hanno braccio non nullo rispetto all’asse di rotazione z, possiamo riscrivere: 𝑑Γ𝑐,𝑧 = 𝑚ሶ 𝑐 𝑉2,𝑡 𝑟2 − 𝑉1,𝑡 𝑟1 = ෍ 𝑀𝑐,𝑧 d𝑡 𝑉𝑟 × 𝑟Ԧ = 0 ΓԦ1 = 𝑚1 𝑉1 × 𝑟Ԧ 1 𝑉𝑎 × 𝑟Ԧ = 𝑀𝑐,𝑡 ΓԦ2 = 𝑚2 𝑉2 × 𝑟Ԧ 2 𝑉𝑡 × 𝑟Ԧ = 𝑀𝑐,𝑧 109 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Eulero Su tutte le 6 superfici del volume di 𝑑Γ𝑐,𝑧 controllo andiamo a valutare il momento = ෍ 𝑀𝑐,𝑧 d𝑡 delle forze esterne applicate al sistema: Ingresso / Uscita Apice Base / Palettatura 𝒑 𝒑 𝒑 𝝉 𝝉 ෍ 𝑀𝑧 = 0 ෍ 𝑀𝑧 = 0 ෍ 𝑀𝑐,𝑧 = 𝑀𝑐,𝑟𝑜𝑡 Forze di pressione: Forze di pressione: Forze di pressione e contributo nullo contributo nullo sforzi viscosi agenti sulla superficie determinano il Sforzi viscosi nulli Sforzi viscosi: contributo momento applicato al nullo o trascurabile canale rotorico 110 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Eulero Sostituendo le espressioni ricavate precedentemente e sommando il contributo di tutti gli 𝑛𝑐 canali palari, si ottiene: 𝑑Γ𝑐,𝑧 ෍ = ෍ 𝑚ሶ 𝑐 𝑉2,𝑡 𝑟2 − 𝑉1,𝑡 𝑟1 = ෍ 𝑀𝑐,𝑟𝑜𝑡 d𝑡 𝑛𝑐 𝑛𝑐 𝑛𝑐 Sostituendo 𝑚ሶ = 𝑛𝑐 𝑚ሶ 𝑐 e supponendo che i triangoli di velocità non dipendano dal canale: 𝑚ሶ 𝑉2,𝑡 𝑟2 − 𝑉1,𝑡 𝑟1 = 𝑀𝑟𝑜𝑡 Moltiplicando per la velocità angolare 𝜔: 𝑚ሶ 𝑉2,𝑡 𝑟2 − 𝑉1,𝑡 𝑟1 𝜔 = 𝑚ሶ 𝑉2,𝑡 𝑈2 − 𝑉1,𝑡 𝑈1 = 𝑀𝑟𝑜𝑡 𝜔 = 𝑃𝑟𝑜𝑡 111 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Eulero 𝑚ሶ 𝑉2,𝑡 𝑈2 − 𝑉1,𝑡 𝑈1 = 𝑃𝑟𝑜𝑡 Dividendo per 𝑚: ሶ 𝑉2,𝑡 𝑈2 − 𝑉1,𝑡 𝑈1 = 𝑙 Equazione di Eulero – formulazione «diretta»: Descrive gli scambi di lavoro meccanico (𝑙) tra fluido e macchina, valutando il lavoro scambiato per unità di massa indipendentemente dalla natura e dalle proprietà del fluido Derivata nell’ipotesi di flusso monodimensionale e stazionario, senza nessuna ipotesi di isoentropicità: vale sia nel caso ideale che reale. Nel caso reale tiene implicitamente conto delle perdite (𝑙𝑤 ): il lavoro effettivamente scambiato con il rotore è legato alle componenti tangenziali delle velocità reali. 112 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Equazione di Eulero Macchina operatrice Macchina motrice l > 0 se entrante l > 0 se uscente 𝑙 = 𝑉2,𝑡 𝑈2 − 𝑉1,𝑡 𝑈1 𝑙 = 𝑉1,𝑡 𝑈1 − 𝑉2,𝑡 𝑈2 113 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Conservazione dell’Energia nel Sistema Relativo 114 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Conservazione dell'energia nel moto relativo Osservatore relativo, posizionato sulle pale del rotore: considera fisso il canale palare percepisce un campo fittizio di forze centrifughe dovuto alla rotazione del rotore Al campo di fittizio di forze centrifughe possiamo associare una nuova forma di energia potenziale, che può essere derivata in analogia a quella dovuta al campo gravitazionale. 115 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Conservazione dell'energia nel moto relativo Energia potenziale gravitazionale Considerando un elementino di massa m, immerso in un campo di forze gravitazionale: Forza esterna, uguale e contraria alla forza peso: 𝐹𝑒𝑠𝑡 = 𝑚 𝑔 Lavoro compiuto dalla forza esterna per spostare l’elementino da 1 a 2: 𝐿𝑒𝑠𝑡 = 𝑚 𝑔 (𝑧2 − 𝑧1 ) = 𝑚 𝑔 𝑧2 − 𝑚 𝑔 𝑧1 Il lavoro esterno è pari alla differenza di energia potenziale gravitazionale 𝒎 𝒈 𝒛 116 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Conservazione dell'energia nel moto relativo Energia potenziale centrifuga Considerando un elementino di massa m, immerso in un campo fittizio di forze centrifughe: Forza esterna, uguale e contraria alla forza centrifuga: 𝐹𝑒𝑠𝑡 = −𝑚 𝜔2 𝑟 Lavoro compiuto dalla forza esterna per spostare l’elementino da 𝑟1 a 𝑟2 : 𝑟2 2 2 2 2 𝑟2 − 𝑟1 𝑈2 − 𝑈1 𝐿𝑒𝑠𝑡 = − න 𝑚 𝜔2 𝑟 d𝑟 = −𝑚𝜔2 = −𝑚 𝑟1 2 2 Il lavoro esterno è pari alla differenza di energia potenziale 𝑼𝟐 centrifuga −𝒎 𝟐 117 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Conservazione dell'energia nel moto relativo Facendo riferimento ad un osservatore solidale con la girante, l'energia totale di una particella di fluido nel sistema di riferimento relativo vale: 𝑊 2 𝑈2 𝑒𝑟𝑒𝑙 = 𝑢 + 𝑔𝑧 + − 2 2 Dove: Energia interna: 𝑢 Energia potenziale gravitazionale (indipendente dal sistema di riferimento) : 𝑔𝑧 𝑊2 Energia cinetica nel sistema relativo: 2 𝑈2 Energia potenziale associata alle forze centrifughe: − 2 118 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Conservazione dell'energia nel moto relativo Per l’osservatore relativo il lavoro scambiato è nullo (𝑙𝑟𝑒𝑙 = 0). Quindi, l'equazione di conservazione dell'energia per il sistema di riferimento relativo diventa: 𝑊22 𝑈22 𝑊12 𝑈12 ℎ2 + − + 𝑔𝑧2 − ℎ1 + − + 𝑔𝑧1 = 𝑞 2 2 2 2 Si definisce rotalpia la grandezza: 𝑊 2 𝑈2 𝑅=ℎ+ − + 𝑔𝑧 2 2 Nell’ipotesi di scambio di calore è trascurabile (𝑞 = 0), l'equazione di conservazione dell'energia nel moto relativo mostra che la rotalpia 𝑅 si conserva nel passaggio del fluido attraverso il rotore. 119 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Formulazione Indiretta per il calcolo del Lavoro di Eulero 120 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Formulazione indiretta del Lavoro di Eulero Equazione di conservazione dell'energia nel sistema assoluto: 𝑉22 𝑉12 ℎ2 + + 𝑔𝑧2 − ℎ1 + + 𝑔𝑧1 = 𝑙 + 𝑞 2 2 𝑉12 𝑉22 riorganizzando: ℎ2 − ℎ1 + 𝑔𝑧2 − 𝑔𝑧1 − 𝑞 = 𝑙 + − 2 2 Equazione di conservazione dell'energia nel sistema relativo: 𝑊22 𝑈22 𝑊12 𝑈12 ℎ2 + − + 𝑔𝑧2 − ℎ1 + − + 𝑔𝑧1 = 𝑞 2 2 2 2 𝑊12 𝑊22 𝑈12 𝑈22 riorganizzando: ℎ2 − ℎ1 + 𝑔𝑧2 − 𝑔𝑧1 − 𝑞 = − − + 2 2 2 2 Uguagliando i termini a destra si ottiene la formulazione indiretta per il calcolo del lavoro: 𝑉22 − 𝑉12 𝑈22 − 𝑈12 𝑊22 − 𝑊12 𝑙= + − 2 2 2 121 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Formulazione indiretta del Lavoro di Eulero Formulazione indiretta per il calcolo del lavoro: Macchina operatrice 𝑉22 − 𝑉12 𝑈22 − 𝑈12 𝑊22 − 𝑊12 l > 0 se entrante 𝑙= + − 2 2 2 Macchina motrice 𝑉12 − 𝑉22 𝑈12 − 𝑈22 𝑊12 − 𝑊22 l > 0 se uscente 𝑙= + − 2 2 2 Il lavoro dipende da: Variazione di energia cinetica nel moto assoluto Variazione di potenziale centrifugo Variazione di energia cinetica nel moto relativo, detta anche effetto di reazione: 122 A. Della Torre, T. Lucchini | Macchine e Sistemi Energetici  Formulazione indiretta del Lavoro di Eulero Formulazione indiretta per il calcolo del lavoro Macchina operatrice 𝑉22 − 𝑉12 𝑈22 − 𝑈12 𝑊22 − 𝑊12 𝑙= + − 2 2 2 Al fine di favorire gli scambi di energia tra fluido e macchina: 1) 𝑉2 > 𝑉1 : accelerazione nel moto assoluto 2) 𝑈2 > 𝑈1 : configurazione centrifuga 3) 𝑊2 < 𝑊1 : rallentamento nel moto relativo 𝑉22 − 𝑉12 𝑊22 − 𝑊12 Macchina operatrice assiale (𝑈2 = 𝑈1 ) 𝑙= − 2 2 Macchina operatrice assiale ad 𝑉22 − 𝑉12 azione (𝑈2 = 𝑈1 , 𝑊2 = 𝑊1 ) 𝑙=