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8/23 SECCIÓN 7.2 Fórmulas de adición y sustracción 545 vista. ¿Demostrará esto que la ecuación f(x) 5 g(x) es una...

8/23 SECCIÓN 7.2 Fórmulas de adición y sustracción 545 vista. ¿Demostrará esto que la ecuación f(x) 5 g(x) es una Explique cómo se pueden obtener las seis identidades de identidad? Explique. cofunción a partir de este triángulo para 0 , u , p/2. 117. DESCUBRIMIENTO: Haga su propia identidad Si empieza con una expresión trigonométrica y la reescribe o la simpli- √ fica, y luego reescribe la expresión original igual a la expre- sión reescrita se obtiene una identidad trigonométrica. Por ejemplo, del ejemplo 1 obtenemos la identidad cos t 1 tan t sen t 5 sec t u Use esta técnica para hacer su propia identidad y compár- Observe que u y √ son ángulos complementarios. Así las tala con un compañero de clase para que la verifique. identidades de cofunción afirman que “una función trigono- 118. DISCUSIÓN: Identidades de cofunción En el triángulo rec- métrica de un ángulo u es igual a la correspondiente cofun- tángulo que se muestra explique por qué √ 5 (p/2) 2 u. ción del ángulo √ complementario”. 7.2 FÓRMULAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Fórmulas de adición y sustracción Evaluación de expresiones que contienen funciones trigonométricas inversas Expresiones de la forma A sen x 1 B cos x Fórmulas de adición y sustracción Ahora deduciremos identidades para funciones trigonométricas de sumas y diferencias. FÓRMULAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Fórmulas para el seno: sen(s 1 t) 5 sen s cos t 1 cos s sen t sen(s 2 t) 5 sen s cos t 2 cos s sen t Fórmulas para el coseno: cos(s 1 t) 5 cos s cos t 2 sen s sen t cos(s 2 t) 5 cos s cos t 1 sen s sen t tan s 1 tan t Fórmulas para la tangente: tan(s 1 t) 5 1 2 tan s tan t tan s 2 tan t tan(s 2 t) 5 1 1 tan s tan t Demostración de la fórmula de adición del coseno Para demostrar la fórmula cos(s 1 t) 5 cos s cos t 2 sen s sen t y usamos la figura 1. En la figura las distancias t, s 1 t y2s se han marcado en la cir- cunferencia unitaria, empezando en P0(1, 0) y terminando en Q1, P1 y Q0, respectiva- s+t P⁄ s mente. Las coordenadas de estos puntos son las siguientes: Q⁄ P0(1, 0) Q0(cos(2s), sen(2s)) t P1(cos(s 1 t), sen(s 1 t)) Q1(cos t, sen t) O P‚ x Dado que cos(2s) 5 cos s y sen(2s) 5 2sen s, se deduce que el punto Q0 tiene las coordenadas Q0(cos s, 2sen s). Observe que las distancias entre P0 y P1 y entre Q0 y _s Q1 medidas a lo largo del arco de la circunferencia, son iguales. Puesto que arcos iguales están subtendidos por cuerdas iguales, se concluye que d(P0, P1) 5 d(Q0, Q1). Q‚ Usando la fórmula de distancia obtenemos FIGURA 1 [cos(s 1 t) 2 1]2 1 [sen(s 1 t) 2 0]2 5 (cos t 2 cos s)2 1(sen t 1 sen s)2 Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 546 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica Elevando al cuadrado ambos lados y desarrollándolo tendremos ____________ La suma es 1 ___________ © Stock Montage/Archive Photos/Getty Images ↓ ↓ cos2(s 1 t) 2 2 cos(s 1 t) 1 1 1 sen2(s 1 t) 5 cos2 t 2 2 cos s cos t 1 cos2 t 1 sen2 t 1 2 sen s sen t 1 sen2 s ↑ ↑ ___↑ ___________ La suma es 1_________ ↑ ___________ La suma es 1__________ Usando la identidad pitagórica sen2 u 1 cos2 u 5 1 tres veces da 2 2 2 cos(s 1 t) 5 2 2 2 cos s cos t 1 2 sen s sen t JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER Finalmente, restando 2 de cada lado y dividiendo ambos lados entre 22, obtenemos (1768-1830) es el responsable de la aplica- ción más poderosa de las funciones trigo- cos(s 1 t) 5 cos s cos t 2 sen s sen t nométricas (vea nota al margen en la página 427). Utilizó sumas de estas funcio- lo que demuestra la fórmula de adición del coseno. nes para describir fenómenos físicos como la transmisión de sonido y el flujo de calor. Huérfano desde niño, Fourier fue edu- Demostración de la fórmula de sustracción del coseno Sustituyendo t con 2t en la cado en una escuela militar donde fue fórmula de adición del coseno obtenemos maestro de matemáticas a los 20 años de edad. Posteriormente fue nombrado pro- cos(s 2 t) 5 cos(s 1 (2t)) fesor en la École Polytechnique pero renunció a este puesto para acompañar a 5 cos s cos(2t) 2 sen s sen(2t) Fórmula de adición del coseno Napoleón en su expedición a Egipto, donde Fourier prestó servicio como gober- 5 cos s cos t 1 sen s sen t Identidades par-impar nador. Después de regresar a Francia empezó a realizar experimentos de calor. Esto demuestra la fórmula de sustracción del coseno. La Academia Francesa se negó a publicar sus primeros trabajos sobre esta materia porque carecían de rigor. Fourier final- Vea los ejercicios 77 y 78 para las pruebas de las otras fórmulas de adición. mente llegó a ser secretario de la Acade- mia y, en este puesto, hizo que se publi- EJEMPLO 1 Uso de fórmulas para la adición y la sustracción caran sus obras en su forma original. Probablemente debido a sus estudios Encuentre el valor exacto de cada expresión. sobre el calor y a sus años en los desiertos de Egipto, Fourier se obsesionó por mante- p nerse caliente (vestía varias capas de a) cos 758 b) cos 12 ropas) incluso en verano, y mantenía su cuarto a temperaturas insoportables por SOLUCIÓN el exceso de calor. Es evidente que estos hábitos recargaron demasiado su corazón a) Observe que 75° 5 45° 1 30°. Debido a que conocemos los valores exactos de y contribuyeron a su muerte a los 62 años seno y coseno en 45 y 30°, usando la fórmula de adición del coseno obtenemos de edad. cos 75° 5 cos(45° 1 30°) 5 cos 45° cos 30° 2 sen 45° sen 30° !2 !3 !2 1 !2!3 2 !2 !6 2 !2 5 2 5 5 2 2 2 2 4 4 p p p b) Dado que 5 2 , con la fórmula de la sustracción del coseno se obtiene 12 4 6 5 cos a 2 b p p p cos 12 4 6 p p p p 5 cos cos 1 sen sen 4 6 4 6 !2 !3 !2 1 !6 1 !2 5 1 5 2 2 2 2 4 Ahora intente realizar los ejercicios 3 y 9 Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 SECCIÓN 7.2 Fórmulas de adición y sustracción 547 EJEMPLO 2 Uso de la fórmula de adición del seno Encuentre el valor exacto de la expresión sen 20° cos 40° 1 cos 20° sen 40°. SOLUCIÓN Reconocemos la expresión como el lado derecho de la fórmula de adición del seno con s 5 20° y t 5 40°. Tenemos entonces 3 sen 20° cos 40° 1 cos 20° sen 40° 5 sen(20° 1 40°) 5 sen 60° 5 2 Ahora intente realizar el ejercicio 15 EJEMPLO 3 Demostrar una identidad de cofunción Demuestre la identidad de cofunción cos a 2 u b 5 sen u. p 2 SOLUCIÓN Por la fórmula de sustracción del coseno tenemos cos a 2 u b 5 cos cos u 1 sen sen u p p p π 2 u 2 2 2 r b 5 0 ? cos u 1 1 ? sen u 5 sen u Ahora intente realizar los ejercicios 21 y 25 u a π b Para los ángulos agudos la identidad de cofunción del ejemplo 3 así como las otras ç ! 2 -u@= r =sen u identidades de cofunción también se pueden deducir de la figura que se muestra al margen. EJEMPLO 4 Demostrar una identidad 5 tan a 1 x b. 1 1 tan x p Demuestre la identidad 1 2 tan x 4 SOLUCIÓN Empezando con el lado derecho y usando la fórmula de adición de la tan- gente obtenemos p 1 tan x tan LD 5 tan a 1 x b 5 p 4 4 p 1 2 tan tan x 4 1 1 tan x 5 5 LI 1 2 tan x Ahora intente realizar el ejercicio 33 El siguiente ejemplo es un uso típico de las fórmulas de adición y sustracción en cálculo. EJEMPLO 5 Una identidad de cálculo Si f(x) 5 sen x, demuestre que f(x 1 h) 2 f(x) 5 sen x a b 1 cos x a b cos h 2 1 sen h h h h Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 548 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica SOLUCIÓN f(x 1 h) 2 f(x) sen(x 1 h) 2 sen x 5 Definición de f h h sen x cos h 1 cos x sen h 2 sen x 5 Fórmula de adición del seno h sen x (cos h 2 1) 1 cos x sen h 5 Factorice h 5 sen x a b 1 cos x a b Separe la fracción cos h 2 1 sen h h h Ahora intente realizar el ejercicio 65 Evaluación de expresiones que contienen funciones trigonométricas inversas En cálculo aparecen las expresiones que contienen funciones trigonométricas y sus in- versas. En los siguientes ejemplos ilustramos cómo evaluar dichas expresiones. EJEMPLO 6 Simplificación de una expresión que contiene funciones trigonométricas inversas 1 Escriba sen(cos21 x 1 tan21 y) como una expresión en x y y, donde 21 # x # 1 y œ∑∑∑∑∑ 1-≈ y es cualquier número real. SOLUCIÓN Sea u 5 cos21 x y f 5 tan21 y. Usando los métodos de la sección 6.4 ¨ trazamos triángulos con ángulos u y f tales que cos u 5 x y tan f 5 y (vea la fi- x gura 2). De los triángulos tenemos cos ¨=x 1 y sen u 5 1 2 x2 cos f 5 sen f 5 1 1 y 2 1 1 y2 De la fórmula de adición del seno tenemos 1+¥ œ∑∑∑∑∑ sen(cos21 x 1 tan21 y) 5 sen(u 1 f) y Fórmula de 5 sen u cos f 1 cos u sen f adición del seno ƒ 1 1 y 5 1 2 x2 1x De los triángulos 1 1 y 2 1 1 y2 tan ƒ=y 1 1 FIGURA 2 5 (1 2 x2 1 xy) Factor 1 1 y2 "1 1 y 2 Ahora intente realizar el ejercicios 47 y 51 EJEMPLO 7 Evaluación de una expresión que tiene funciones trigonométricas Evalúe sen(u 1 f), donde sen u 5 12 13 con u en el segundo cuadrante y tan f 5 34 con f en el tercer cuadrante. SOLUCIÓN Primero trazamos los ángulos u y f en posición estándar con lados termi- nales en los cuadrantes apropiados tal como en la figura 3. Dado que sen u 5 y/r 5 12 13, Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 SECCIÓN 7.2 Fórmulas de adición y sustracción 549 podemos marcar un lado y la hipotenusa en el triángulo de la figura 3a). Para encontrar el lado restante usamos el teorema de Pitágoras. x 2 1 y2 5 r 2 Teorema de Pitágoras x 2 1 122 5 132 y 5 12, r 5 13 2 x 5 25 Despeje x 2 x 5 25 Debido a que x , 0 Del mismo modo, puesto que tan f 5 y/x 5 34, podemos marcar dos lados del triángulo de la figura 3b) y luego usar el teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa. y y P (x, y) 13 12 ¨ ƒ _4 _5 x x _3 5 P (x, y) FIGURA 3 a) b) Ahora, para encontrar sen(u 1 f), usamos la fórmula de adición del seno y los triángulos de la figura 3. sen(u 1 f) 5 sen u cos f 1 cos u sen f Fórmula de adición 5 (12 13)(25) 4 1 (2135 )(235) De los triángulos 5 233 65 Calcule Ahora intente realizar el ejercicio 55 Expresiones de la forma A sen x 1 B cos x Podemos escribir expresiones de la forma A sen x 1 B cos x en términos de una sola función trigonométrica usando la fórmula de adición del seno. Por ejemplo, considere la expresión 1 3 sen x 1 cos x 2 2 Si hacemos que f 5 p/3, entonces cos f 5 12 y sen f 5 3/2, así podemos escribir 1 3 sen x 1 cos x 5 cos f sen x 1 sen f cos x 2 2 5 sen(x 1 f) 5 sen a x 1 b p 3 Podemos hacer esto porque los coeficientes 12 y 3/2 son precisamente el coseno y el seno de un número particular; en este caso, p/3. Podemos usar esta misma idea en ge- neral para escribir A sen x 1 B cos x en la forma k sen1x 1 f2. Empezamos por multi- plicar el numerador y el denominador por A2 1 B2 para obtener A sen x 1 B cos x 5 A2 1 B2 a cos x b A B sen x 1 A 1 B 2 2 A 1 B2 2 Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 550 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica y Necesitamos un número f con la propiedad de que (A, B) B A B cos f 5 y sen f 5 ∑™ A2 1 B2 A2 1 B2 +∑ ∑∑B ∑™ La figura 4 muestra que el punto (A, B) en el plano determina un número f con preci- œA∑ samente esta propiedad. Con esta f tenemos ƒ 0 x A sen x 1 B cos x 5 A2 1 B2(cos f sen x 1 sen f cos x) A 5 A2 1 B2 sen(x 1 f) FIGURA 4 Hemos probado el siguiente teorema. SUMAS DE SENOS Y COSENOS Si A y B son números reales, entonces A sen x 1 B cos x 5 k sen(x 1 f) donde k 5 A 1 B y f satisfacen 2 2 A B cos f 5 y sen f 5 A2 1 B2 A2 1 B2 EJEMPLO 8 Suma de los términos seno y coseno Exprese 3 sen x 1 4 cos x en la forma k sen(x 1 f). SOLUCIÓN Por el teorema anterior, k 5 "A2 1 B 2 5 "32 1 42 5 5. El ángulo f tiene la propiedad de que sen f 5 B/k 5 45 y cos f 5 A/k 5 35, y f en el primer cua- drante (ya que sen f y cos f son positivos), así f 5 sen21 45. Usando la calculadora encontramos que f < 53.18. Entonces 3 sen x 1 4 cos x < 5 sen(x 1 53.1°) Ahora intente realizar el ejercicio 59 EJEMPLO 9 Trazar la gráfica de una función trigonométrica Escriba la función f(x) 5 2sen 2x 1 3 cos 2x en la forma k sen(2x 1 f) y use la nueva forma para trazar la gráfica de la función. SOLUCIÓN Dado que A 5 21 y B 5 !3, tenemos k 5 "A2 1 B 2 5 !1 1 3 5 2. El ángulo f satisface cos f 5 212 y sen f 5 3/2. De los signos de estas cantidades y concluimos que f está en el segundo cuadrante. Por tanto f 5 2p/3. Por el teorema anterior podemos escribir 2 f(x) 5 2sen 2x 1 3 cos 2x 5 2 sen a2x 1 b 2p _ π3 3 _π 0 π x Usando la forma _ π2 π 2 f(x) 5 2 sen 2 ax 1 b p _2 π 3 y=2 sen 2 !x+ 3 @ vemos que la gráfica es una curva seno con amplitud 2, periodo 2p/2 5 p y desfase FIGURA 5 2p/3. En la figura 5 se muestra la gráfica. Ahora intente realizar el ejercicio 63 Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 SECCIÓN 7.2 Fórmulas de adición y sustracción 551 7.2 EJERCICIOS CONCEPTOS 25–46 Demostrar identidades Pruebe la identidad. 25. sen ax 2 b 5 2cos x 1. Si conocemos los valores del seno y el coseno de x y y, p podemos encontrar el valor de sen(x 1 y) si usamos la 2 fórmula del seno. Exprese la fórmula: 26. cos ax 2 b 5 sen x p sen(x 1 y) 5. 2 2. Si conocemos los valores del seno y el coseno de x y y, 27. sen(x 2 p) 5 2sen x podemos encontrar el valor de cos(x 2 y) si usamos la 28. cos(x 2 p) 5 2cos x fórmula del coseno. Exprese la fórmula: 29. tan(x 2 p) 5 tan x cos(x 2 y) 5. 30. tan ax 2 b 5 2cot x p 2 HABILIDADES 31. sen a 2 xb 5 sen a 1 xb p p 3–14 Valores de funciones trigonométricas Use una fórmula 2 2 de adición o sustracción para encontrar el valor exacto de la 32. cos ax 1 b 1 sen ax 2 b 5 0 p p expresión, tal como se demuestra en el ejemplo 1. 3 6 3. sen 75° 4. sen 15° 3 1 tan x 33. tan ax 1 b5 p 5. cos 105° 6. cos 195° 3 1 2 3 tan x 7. tan 15° 8. tan 165° 34. tan ax 2 b5 p tan x 2 1 19p 17p 4 tan x 1 1 9. sen 10. cos 12 12 35. sen(x 1 y) 2 sen(x 2 y) 5 2 cos x sen y 11. tan a2 b 12. sen a2 b p 5p 36. cos(x 1 y) 1 cos(x 2 y) 5 2 cos x cos y 12 12 cot x cot y 1 1 11p 7p 37. cot(x 2 y) 5 13. cos 14. tan cot y 2 cot x 12 12 cot x cot y 2 1 15–20 Valores de funciones trigonométricas Use una fórmula 38. cot(x 1 y) 5 cot x 1 cot y de adición o sustracción para escribir la expresión como una fun- ción trigonométrica de un número y luego encuentre su valor sen(x 2 y) 39. tan x 2 tan y 5 exacto. cos x cos y 15. sen 18° cos 27° 1 cos 18° sen 27° cos(x 1 y) 40. 1 2 tan x tan y 5 16. cos 10° cos 80° 2 sen 10° sen 80° cos x cos y 3p 2p 3p 2p tan x 2 tan y sen(x 2 y) 17. cos cos 1 sen sen 41. 5 7 21 7 21 1 2 tan x tan y cos(x 1 y) p p sen(x 1 y) 2 sen(x 2 y) tan 1 tan 42. 5 tan y 18 9 cos(x 1 y) 1 cos(x 2 y) 18. p p 1 2 tan tan 43. cos(x 1 y) cos(x 2 y) 5 cos2 x 2 sen2 y 18 9 tan 738 2 tan 138 44. cos(x 1 y) cos y 1 sen(x 1 y) sen y 5 cos x 19. 1 1 tan 738 tan 138 45. sen(x 1 y 1 z) 5 sen x cos y cos z 1 cos x sen y cos z 1 cos x cos y sen z 2 sen x sen y sen z cos a2 b 2 sen sen a2 b 13p p 13p p 20. cos 15 5 15 5 46. tan(x 2 y) 1 tan(y 2 z) 1 tan(z 2 x) 5 tan(x 2 y) tan(y 2 z) tan(z 2 x) 21–24 Identidades de cofunción Pruebe la identidad de cofunción usando las fórmulas de adición y sustracción. 47–50 Expresiones que implican funciones trigonométricas inversas Escriba la expresión dada en términos de x y y 21. tan a 2 u b 5 cot u 22. cot a 2 u b 5 tan u p p 2 2 solamente. 47. cos(sen21 x 2 tan21 y) 48. tan(sen21 x 1 cos21 y) 23. sec a 2 u b 5 csc u 24. csc a 2 u b 5 sec u p p 2 2 49. sen(tan21 x 2 tan21 y) 50. sen(sen21 x 1 cos21 y) Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 552 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica 51–54 Expresiones que implican funciones trigonométricas 71–72 Identidades que implican funciones trigonométricas inversas Encuentre el valor exacto de la expresión. inversas Demuestre la identidad. 51. sen(cos21 12 1 tan21 1) 52. cos(sen21 23 1 cot21 3) 71. tan21 a b 5 tan21 x 1 tan21 y x1y 53. tan(sen21 34 2 cos21 13) 54. sen(cos21 23 2 tan21 12) 1 2 xy [Sugerencia: sea u 5 tan21 x y √ 5 tan21 y, entonces 55–58 Evaluar expresiones que implican funciones trigonomé- x 5 tan u y y 5 tan √. Use una fórmula de adición para tricas inversas Evalúe cada expresión bajo las condiciones dadas. encontrar tan(u 1 √).] 55. cos(u 2 f); cos u 5 35 , u en el cuadrante IV, 72. tan21 x 1 tan21 a b 5 , x. 0 [Sugerencia: sea 1 p tan f 5 2!3, f en el cuadrante II x 2 56. sen(u 2 f); tan u 5 43 , u en el cuadrante III, u 5 tan21 x y √ 5 tan21 a b, entonces x 5 tan u y tan √. 1 1 sen f 5 210/10, f en el cuadrante IV x x 57. sen(u 1 f); sen u 5 135 , u en el cuadrante I, cos f 5 225/5, f en el cuadrante II Use una fórmula de adición para encontrar cot(u 1 √).] 58. tan(u 1 f); cos u 5 213 , u en el cuadrante III, 73. Ángulo entre dos rectas En este ejercicio encontraremos sen f 5 14, f en el cuadrante II una fórmula para el ángulo formado por dos rectas en un plano de coordenadas. 59–62 Expresiones en términos del seno Escriba la expresión a) Si L es una recta en el plano y u es el ángulo formado por en términos del seno únicamente. la recta y el eje x como se muestra en la figura, demues- 59. 23 sen x 1 cos x 60. sen x 2 cos x tre que la pendiente m de la recta está dada por 61. 5(sen 2x 2 cos 2x) 62. 3 sen px 1 33 cos px m 5 tan u 63–64 Trace la gráfica de una función trigonométrica a) Ex- prese la función en términos del seno únicamente. b) Trace la grá- y fica de la función. L 63. g(x) 5 cos 2x 1 3 sen 2x 64. f(x) 5 sen x 1 cos x HABILIDADES Plus 65–66 Cociente de diferencias Sea f(x) 5 cos x y g(x) 5 sen x. ¨ Use las fórmulas de adición o sustracción para demostrar lo 0 x siguiente. f(x 1 h) 2 f(x) 5 2cos x a b 2 sen x a b 1 2 cos h sen h 65. b) Sean L1 y L2 dos rectas no paralelas en el plano con pen- h h h dientes m1 y m2, respectivamente. Sea c el ángulo agudo g(x 1 h) 2 g(x) 5a b cos x 2 sen x a b sen h 1 2 cos h formado por las dos rectas (vea la siguiente figura). 66. h h h Demuestre que 67–68 Descubrir e identificar gráficamente En estos ejerci- m2 2 m1 tan c 5 cios descubrimos gráficamente una identidad y luego la demostra- 1 1 m 1m 2 mos. a) Trace la gráfica de la función y haga una conjetura; y b) demuestre que la conjetura es verdadera. y 67. y 5 sen2 ax 1 b 1 sen2 ax 2 b p p 4 4 s=¨¤-¨⁄ 68. y 5 212 Ccos(x 1 p) 1 cos(x 2 p)D 69. Diferencia de dos ángulos Demuestre que si b 2 a 5 p/2, L¤ entonces L⁄ sen(x 1 a) 1 cos(x 1 b) 5 0 ¨¤ ¨⁄ 70. Suma de dos ángulos Refiérase a la figura. Demuestre que 0 x a 1 b 5 g, y encuentre tan g. 6 4 3 4 c) Encuentre el ángulo agudo formado por las dos rectas å ∫ y 5 13 x 1 1 y y 5 12 x 2 3 d) Demuestre que si dos rectas son perpendiculares enton- ces la pendiente de una es la recíproca negativa de la © pendiente de la otra. [Sugerencia: primero encuentre una expresión para cot c.] Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 SECCIÓN 7.3 Fórmulas de ángulo doble, semiángulo y producto a suma 553 74. Encuentre /A 1 /B 1 /C en la figura. [Sugerencia: pri- mero use una fórmula de adición para encontrar tan(A 1 B).] DISCUSIÓN DESCUBRIMIENTO DEMOSTRACIÓN REDACCIÓN 77. DEMOSTRACIÓN: Fórmula de adición para el seno En el texto sólo se demostraron las fórmulas de adición y sustrac- 1 ción del coseno. Use estas fórmulas y las identidades de cofunción A B C sen x 5 cos a 2 xb p 1 1 1 2 cos x 5 sen a p APLICACIONES 2 xb 2 75. Sumar un eco Un aparato digital de retardo hace eco de una señal de entrada al repetirla en un tiempo fijo después para demostrar la fórmula de adición para el seno. [Suge- de recibida. Si ese aparato recibe la nota pura f1(t) 5 5 sen t rencia: para empezar use la primera identidad de cofunción y hace eco de la nota pura f2(t) 5 5 cos t, entonces el sonido para escribir combinado es f(t) 5 f1(t) 1 f2(t). sen(s 1 t) 5 cos a 2 (s 1 t)b p a) Trace la gráfica de y 5 f(t), y observe que la gráfica 2 tiene la forma de una curva sinusoidal y 5 k sen(t 1 f). 5 cos aa p b) Encuentre k y f. 2 sb 2 tb 2 76. Interferencia Se pulsan dos diapasones idénticos, uno de y use la fórmula de sustracción del coseno.] ellos una fracción de segundo después que el otro. Los soni- dos producidos están modelados por f1(t) 5 C sen vt y 78. DEMOSTRACIÓN: Fórmula de adición de la tangente Use f2(t) 5 C sen(vt 1 a). Las dos ondas sonoras se interfieren las fórmulas de adición del coseno y del seno para demos- y producen una señal de sonido modelada por la suma de trar la fórmula de adición de la tangente. [Sugerencia: use estas funciones sen(s 1 t) f(t) 5 C sen vt 1 C sen(vt 1 a) tan(s 1 t) 5 cos(s 1 t) a) Use la fórmula de adición para el seno con el fin de y divida el numerador y el denominador entre cos s cos t.] demostrar que f(t) 5 A sen vt 1 B cos vt, donde A y B son constantes que dependen de a. b) Suponga que C 5 10 y a 5 p/3. Encuentre las constan- tes k y f para que f(t) 5 k sen(vt 1 f). 7.3 FÓRMULAS DE ÁNGULO DOBLE, SEMIÁNGULO Y PRODUCTO A SUMA Fórmulas de ángulo doble Fórmulas de semiángulo Evaluación de expresiones que contienen funciones trigonométricas inversas Fórmulas de producto a suma Las identidades que consideramos en esta sección son consecuencia de las fórmulas de adición. Las fórmulas de ángulo doble nos permiten encontrar los valores de las fun- ciones trigonométricas en 2x desde sus valores en x. Las fórmulas de semiángulo re- lacionan los valores de las funciones trigonométricas en 12 x con sus valores en x. Las fórmulas de producto a suma relacionan productos de senos y cosenos con sumas de senos y cosenos. Fórmulas de ángulo doble Las fórmulas del cuadro de la página siguiente son consecuencias inmediatas de las fórmulas de adición, mismas que demostramos en la sección 7.2. Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 554 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica FÓRMULAS DE ÁNGULO DOBLE Fórmula de seno: sen 2x 5 2 sen x cos x Fórmula de coseno: cos 2x 5 cos2 x 2 sen2 x 5 1 2 2 sen2 x 5 2 cos2 x 2 1 2 tan x Fórmula de tangente: tan 2x 5 1 2 tan2 x Presentamos las demostraciones para las fórmulas de coseno. Pedimos al estudiante que demuestre las fórmulas restantes en los ejercicios 35 y 36. Demostración de las fórmulas de ángulo doble de coseno cos 2x 5 cos(x 1 x) 5 cos x cos x 2 sen x sen x 5 cos2 x 2 sen2 x Las fórmulas segunda y tercera para cos 2x se obtienen de la fórmula que acabamos de demostrar y de la identidad pitagórica. Sustituyendo cos2 x 5 1 2 sen2 x se obtiene cos 2x 5 cos2 x 2 sen2 x 5 (1 2 sen2 x) 2 sen2 x 5 1 2 2 sen2 x La tercera fórmula se obtiene en la misma forma, sustituyendo sen2 x 5 1 2 cos2 x. EJEMPLO 1 Uso de las fórmulas de ángulo doble Si cos x 5 2 23 y x está en el segundo cuadrante, encuentre cos 2x y sen 2x. SOLUCIÓN Usando una de las fórmulas de ángulo doble del coseno obtenemos cos 2x 5 2 cos2 x 2 1 5 2 a2 b 2 1 5 2 1 5 2 2 2 8 1 3 9 9 Para usar la fórmula sen 2x 5 2 sen x cos x, primero necesitamos encontrar sen x. Tenemos 5 sen x 5 1 2 cos2 x 5 1 2 (223)2 5 3 donde hemos usado la raíz cuadrada positiva porque sen x es positivo en el segundo cuadrante. Entonces sen 2x 5 2 sen x cos x 5 5 2a b a2 b 5 2 2 45 3 3 9 Ahora intente realizar el ejercicio 3 Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 SECCIÓN 7.3 Fórmulas de ángulo doble, semiángulo y producto a suma 555 EJEMPLO 2 Una fórmula de ángulo triple Escriba cos 3x en términos de cos x. SOLUCIÓN cos 3x 5 cos(2x 1 x) 5 cos 2x cos x 2 sen 2x sen x Fórmula de adición 5 (2 cos x 2 1) cos x 2 (2 sen x cos x) sen x 2 Fórmulas de ángulo doble 5 2 cos3 x 2 cos x 2 2 sen2 x cos x Desarrolle 5 2 cos x 2 cos x 2 2 cos x (1 2 cos x) 3 2 Identidad pitagórica 5 2 cos3 x 2 cos x 2 2 cos x 1 2 cos3 x Desarrolle 3 5 4 cos x 2 3 cos x Simplifique Ahora intente realizar el ejercicio 109 El ejemplo 2 muestra que cos 3x se puede escribir como un polinomio de grado 3 en cos x. La identidad cos 2x 5 2 cos2 x 2 1 muestra que cos 2x es un polinomio de grado 2 en cos x. De hecho, para cualquier número natural n podemos escribir cos nx como un polinomio en cos x de grado n (vea la nota que sigue al ejercicio 109). El resultado análogo para sen nx no es verdadero en general. EJEMPLO 3 Demostración de una identidad sen 3x Demuestre la identidad 5 4 cos x 2 sec x. sen x cos x SOLUCIÓN Empezamos con el lado izquierdo. sen 3x sen(x 1 2x) 5 sen x cos x sen x cos x sen x cos 2x 1 cos x sen 2x 5 Fórmula de adición sen x cos x sen x (2 cos2 x 2 1) 1 cos x (2 sen x cos x) 5 Fórmulas de ángulo doble sen x cos x sen x (2 cos2 x 2 1) cos x (2 sen x cos x) 5 1 Fracción separada sen x cos x sen x cos x 2 cos2 x 2 1 5 1 2 cos x Elimine cos x 1 5 2 cos x 2 1 2 cos x Fracción separada cos x 5 4 cos x 2 sec x Identidad recíproca Ahora intente realizar el ejercicio 87 Fórmulas de semiángulo Las siguientes fórmulas nos permiten escribir cualquier expresión trigonométrica que contiene potencias pares de seno y coseno en términos solamente de la primera potencia de coseno. Esta técnica es importante en cálculo. Las fórmulas de semiángulo son conse- cuencia inmediata de estas fórmulas. Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 556 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica FÓRMULAS PARA BAJAR POTENCIAS 1 2 cos 2x 1 1 cos 2x sen2 x 5 cos2 x 5 2 2 1 2 cos 2x tan2 x 5 1 1 cos 2x Demostración La primera fórmula se obtiene al despejar sen2 x en la fórmula de doble ángulo cos 2x 5 1 2 2 sen2 x. Del mismo modo la segunda fórmula se obtiene al despejar cos2 x en la fórmula de doble ángulo cos 2x 5 2 cos2 x 2 1. La última fórmula se deduce de las primeras dos y de las identidades recíprocas: 1 2 cos 2x 2 2 sen x 1 2 cos 2x tan2 x 5 2 5 5 cos x 1 1 cos 2x 1 1 cos 2x 2 EJEMPLO 4 Bajar potencias en una expresión trigonométrica Exprese sen x cos2 x en términos de la primera potencia de coseno. 2 SOLUCIÓN Usamos las fórmulas para bajar potencias repetidamente. sen2 x cos2 x 5 a ba b 1 2 cos 2x 1 1 cos 2x 2 2 1 2 cos2 2x 1 1 5 5 2 cos2 2x 4 4 4 2 a b5 2 2 1 1 1 1 cos 4x 1 1 cos 4x 5 4 4 2 4 8 8 1 1 1 5 2 cos 4x 5 (1 2 cos 4x) 8 8 8 Otra forma de obtener esta identidad es usar la fórmula de ángulo doble para seno en la forma sen x cos x 5 12 sen 2x. Entonces sen2 2x 5 a b 1 1 1 2 cos 4x sen2 x cos2 x 5 4 4 2 1 5 (1 2 cos 4x) 8 Ahora intente realizar el ejercicio 11 FÓRMULAS DE SEMIÁNGULO u 1 2 cos u u 1 1 cos u sen 56 cos 56 2 2 2 2 u 1 2 cos u sen u tan 5 5 2 sen u 1 1 cos u La opción del signo 1 o 2 depende del cuadrante en el que se encuentre u/2. Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 SECCIÓN 7.3 Fórmulas de ángulo doble, semiángulo y producto a suma 557 Demostración Sustituimos x 5 u/2 en las fórmulas para bajar potencias y tomar la raíz cuadrada de cada lado. Esto da las primeras dos fórmulas de semiángulo. En el caso de la fórmula de semiángulo de la tangente obtenemos u 1 2 cos u tan 56 2 1 1 cos u a ba b 1 2 cos u 1 2 cos u Multiplicar el numerador y el 56 denominador por 1 2 cos u 1 1 cos u 1 2 cos u (1 2 cos u)2 56 Simplificar 1 2 cos2 u |1 2 cos u | A2 5 | A | 56 | sen u | y 1 2 cos2 u 5 sen2 u Ahora, 1 2 cos u es positivo para todos los valores de u. También es cierto que sen u y tan(u/2) siempre tienen el mismo signo. (Verifique esto.) Se deduce que u 1 2 cos u tan 5 2 sen u La otra fórmula de semiángulo de la tangente se deduce de esta al multiplicar el numerador y el denominador por 1 1 cos u. EJEMPLO 5 Uso de una fórmula de semiángulo Encuentre el valor exacto de sen 22.58. SOLUCIÓN Puesto que 22.5° es la mitad de 45° usamos la fórmula de semiángulo del seno con u 5 45°. Elegimos el signo 1 porque 22.5° está en el primer cuadrante. 45° 1 2 cos 45° sen 5 Fórmula de semiángulo 2 2 1 2 2 /2 5 cos 45° 5 2/2 2 2 2 !2 Å 5 Común denominador 4 5 12"2 2 !2 Simplifique Ahora intente realizar el ejercicio 17 EJEMPLO 6 Uso de una fórmula de semiángulo Encuentre tan(u/2) si sen u 5 25 y u está en el segundo cuadrante. SOLUCIÓN Para usar la fórmula de semiángulo de la tangente primero necesitamos encontrar cos u. Dado que el coseno es negativo en el segundo cuadrante, tenemos cos u 5 21 2 sen2 u 21 5 21 2 (25)2 5 2 5 u 1 2 cos u Por tanto, tan 5 2 sen u 1 1 21/5 5 1 21 5 2 5 5 2 Ahora intente realizar el ejercicio 37 Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 558 CAPÍTULO 7 Trigonometría analítica Evaluación de expresiones que contienen funciones trigonométricas inversas En cálculo se presentan expresiones que tienen funciones trigonométricas y sus inver- sas. En los siguientes ejemplos ilustramos la forma de evaluar estas expresiones. EJEMPLO 7 Simplificación de una expresión que tiene una función trigonométrica inversa Escriba sen(2 cos21 x) como una expresión algebraica en x solamente, donde 21 # x # 1. SOLUCIÓN Sea u 5 cos21 x y trace un triángulo como en la figura 1. Necesitamos 1 encontrar sen 2u pero del triángulo sólo podemos encontrar funciones trigonométricas 1-≈ œ∑∑∑∑∑ de u, no de 2u. Por tanto, usamos la fórmula de ángulo doble del seno. ¨ sen(2 cos21 x) 5 sen 2u cos21 x 5 u x 5 2 sen u cos u Fórmula de ángulo doble FIGURA 1 2 5 2x"1 2 x Del triángulo Ahora intente realizar los ejercicios 43 y 47 EJEMPLO 8 Evaluación de una expresión que tiene funciones trigonométricas inversas Evalúe sen 2u, donde cos u 5 2 25 con u en el segundo cuadrante. SOLUCIÓN Primero trazamos el ángulo u en posición normal con el lado terminal en el P (x, y) segundo cuadrante, como en la figura 2. Dado que cos u 5 x/r 5 225, podemos marcar un lado y la hipotenusa del triángulo en la figura 2. Para encontrar el lado que falta usa- 5 mos el teorema de Pitágoras. x 2 1 y2 5 r 2 Teorema de Pitágoras ¨ (22) 1 y 5 5 2 2 2 x 5 22, r55 _2 y 5 6!21 Despeje y 2 y 5 1!21 Porque y. 0 FIGURA 2 Ahora podemos usar la fórmula de ángulo doble del seno: sen 2u 5 2 sen u cos u Fórmula de ángulo doble 21 5 2a b a2 b 2 Del triángulo 5 5 4!21 52 Simplifique 25 Ahora intente realizar el ejercicio 51 PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO Dónde sentarse en el cine © iStockphoto.com/agencyby Para ver mejor una pintura o una película se requiere que el ángulo de visión sea lo más grande posible. Si la pintura o la pantalla de la película están a una altura arriba del nivel de los ojos, ya sea que se esté demasiado lejos o demasiado cerca, se tendrá un ángulo de visión pequeño y por tanto en una experiencia visual pobre. ¿Cuál es la mejor distancia para ver una película o una pintura? En este proyecto utilizamos trigonometría para encontrar la mejor ubicación para ver una pintura o una película. Usted puede encontrar el proyecto en www.stewartmath.com.* * Este material se encuentra disponible en inglés. Reg. 312 Grammata © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V. 23.08.2019 8/23 SECCIÓN 7.3 Fórmulas de ángulo doble, semiángulo y producto a suma 559 Fórmulas de producto a suma Es posible escribir el producto sen u cos √ como una suma de funciones trigonométri- cas. Para ello considere las fórmulas de adición y sustracción de la función seno: sen(u 1 √) 5 sen u cos √ 1 cos u sen √ sen(u 2 √) 5 sen u cos √ 2 cos u sen √ Sumando los lados izquierdo y derecho de estas fórmulas se obtiene sen(u 1 √) 1 sen(u 2 √) 5 2 sen u cos √ Dividiendo entre 2 se obtiene la fórmula sen u cos √ 5 12 3sen(u 1 √) 1 sen(u 2 √)4 Las otras tres fórmulas de producto a suma se deducen de las fórmulas de adición en una forma semejante. FÓRMULAS DE PRODUCTO A SUMA sen u cos √ 5 12 3sen(u 1 √) 1 sen(u 2 √)4 cos u sen √ 5 12 3sen(u 1 √) 2 sen(u 2 √)4 cos u cos √ 5 12 3cos(u 1 √) 1 cos(u 2 √)4 sen u sen √ 5 12 3cos(u 2 √) 2 cos(u 1 √)4 EJEMPLO 9 Expresar un producto trigonométrico como una suma Exprese sen 3x sen 5x como una suma de funciones trigonométricas. SOLUCIÓN Usando la cuarta fórmula de producto a suma con u 5 3x y √ 5 5x, y ante el hecho de que coseno es una función par obtenemos sen 3x sen 5x 5 12 3cos(3x 2 5x) 2 cos(3x 1 5x)4 5 12 cos(22x) 2 12 cos 8x 5 12 cos 2x 2 12 cos 8x Ahora intente realizar el ejercicio 55 Las fórmulas de producto a suma también se pueden usar como fórmulas de suma a producto. Esto es posible porque el lado derecho de cada fórmula de producto a suma es una suma y el lado izquierdo es un producto. Por ejemplo, si hacemos x1y x2y u5 y √5 2 2 en la primera fórmula de producto a suma obtenemos x1y x2y sen cos 5 12 (sen x 1 sen y) 2 2 x1y x2y entonces sen x 1 sen y 5 2 sen cos 2 2 Las tres restantes de las siguientes fórmulas de suma a pro