Ondes Physique PDF - Notes de cours

1 Physique Ir Jacques COLLOT 6G - 3 périodes par semaine Athénée royal du Condroz "Jules Delot" Janvier 2011 2 LES ONDES ERRATA 1) Page 23, ligne 8 : remplacer la solution par 1 1 E  m2 A2...

1 Physique Ir Jacques COLLOT 6G - 3 périodes par semaine Athénée royal du Condroz "Jules Delot" Janvier 2011 2 LES ONDES ERRATA 1) Page 23, ligne 8 : remplacer la solution par 1 1 E  m2 A2   0.2   3   0.52  9.13 J 2 2 2 y y 2) Page 26, avant dernière ligne : remplacer    par   L L 3) Page 47. Point 22 : k  10 N/m 4) Page 51. Point 42. N°4. Réponse : y  6sin  4t  5 / 4 5) Page 51. Point 43. N°1. y  7sin  0.28t  2 / 5 6) Page 51. Point 43. N°2 : y2  7sin  4t   / 3 et y  10.65sin  4t  1.24 7) Page 53. Point 3.1. Supprimer le dernier paragraphe commençant par ‘Si nous le désirons…. 8) Page 69. Fin de la ligne 8 en partant du bas : 140 m/s2 au lieu de 140 /s2. 9) Page 72. Point 10 (b). Mettre d en italique. 10) Page 72. Point 12. Deuxième ligne : Ces vibrations…. 11) Page 75. Point 26. Dernière ligne. Ajouter une ) à la fin. 12) Page 78. Conclusions. a. Au point 1. Un milieu…. b. Au point 2. Remplacer « l’élasticité » par « la rigidité » 13) Page 83. Ligne 8 avant la fin. Remplacer « 10-4 atm ou 104 Pa » par « 10-4 atm ou 10 Pa » 14) Page 96. Transférer l’exercice 11 au point 7.10 page 152 dans les exercices sur les ondes stationnaires. VERIFIER EXERCICE 15) Page 96. Transférer l’exercice 24 au point 7.10 page 152 dans les exercices sur les ondes stationnaires 16) Page 126. Point 6.5. Exercice 6. Remplacer A,B,C,D et D par A,B,C et D 17) Page 138. Note de bas de page. Formule de Simpson. Ecrire pq pq sin p  sin q  2sin cos 2 2 18) Page 160. Point 35. Supprimer l’exercice. 19) Page 178. Exercice 17 a. Quelle fréquence perçoit un observateur lorsqu’il s’approche de … b. Changer les réponses : 862 Hz, 867 Hz, 742 Hz 20) Page 197. Exemple dans le fond de la page. Une figure d’interférence apparaît sur un écran situé à 1 m. Supprimer le reste de la phrase. 21) Page 198. 6ème ligne : d 2  d1  a tan  22) Page 210. Deuxième ligne en-dessous de « Etude mathématique ». La distance entre la source…. 23) Page 211. Le paragraphe commençant a) est le paragraphe b) 24) Page 216. Ajouter une note de fin de page. « a est la distance entre 2 fentes. Ne pas confondre avec le a de la formule (9.5) qui est la largeur d’une fente. » 25) Page 219. Après 9.11 Exercices. Ajouter : a) Expérience de Young. 26) Page 220. a. Ajouter après l’exercice 8. b) Diffraction.  b. Transférer l’exercice 7 dans les exercices de diffraction 27) Page 221. Transférer l’exercice 17 dans les expériences de Young Table des matières 1 Savoirs, savoir-faire et compétences 9 1.1 Prérequis..................................... 9 1.2 Exemples de questionnement.......................... 9 1.3 Savoirs....................................... 9 1.4 Compétences................................... 10 I Les ondes mécaniques 13 2 L’oscillateur harmonique 15 2.1 Mouvement périodique.............................. 15 2.2 Mouvement harmonique............................. 16 2.2.1 Représentation graphique........................ 16 2.2.2 Dynamique du MVS........................... 19 2.2.3 Energie d’un oscillateur......................... 22 2.2.4 Mouvement vibratoire amorti...................... 23 2.2.5 Exemples de MVS............................ 23 2.2.6 Les applications du pendule....................... 27 2.3 Composition de deux MVS........................... 29 2.3.1 Le vecteur de Fresnel........................... 29 2.3.2 Déphasage entre deux MVS....................... 30 2.3.3 Composition de deux MVS de même fréquence............ 32 2.4 Exercices..................................... 38 2.4.1 Exercices résolus............................. 38 2.4.2 Exercices non résolus........................... 42 3 La résonance 53 3.1 Le pendule simple................................ 53 3.2 Définitions..................................... 53 3.3 Expérience.................................... 54 3.4 Conclusions.................................... 55 3.5 Applications.................................... 55 4 Généralités sur les ondes 59 4.1 Introduction.................................... 59 4.2 Définition d’une onde.............................. 59 3 4 TABLE DES MATIÈRES 4.3 Classification des ondes............................. 60 4.3.1 La direction................................ 60 4.3.2 Le milieu de propagation........................ 61 4.3.3 La nature du mouvement........................ 61 4.4 Vitesse d’une onde................................ 62 4.5 Longueur d’onde................................. 63 4.6 Double périodicité................................ 64 4.6.1 Périodicité dans le temps........................ 64 4.6.2 Périodicité dans l’espace......................... 65 4.7 Equation de propagation............................. 65 4.7.1 Introduction............................... 65 4.7.2 Les ondes sinusoïdales progressives................... 67 4.8 Complément pour information - L’équation d’onde.............. 70 4.9 Exercices..................................... 71 5 Acoustique 77 5.1 L’acoustique.................................... 77 5.2 Les ondes acoustiques.............................. 77 5.2.1 Production des ondes sonores...................... 77 5.2.2 Conclusions................................ 80 5.3 Son et bruit.................................... 80 5.4 Vitesse du son.................................. 81 5.5 Caractéristiques d’un son............................ 82 5.5.1 Intensité.................................. 82 5.5.2 Hauteur.................................. 86 5.5.3 Timbre.................................. 87 5.6 L’oreille...................................... 89 5.6.1 Anatomie de l’oreille........................... 89 5.6.2 Les dangers des bruits intenses..................... 89 5.7 Lecture : Les dangers du baladeur....................... 90 5.7.1 Devenir sourd adolescent ?........................ 90 5.7.2 Pourquoi écoute-t-on aussi fort son baladeur mp3 ?.......... 91 5.7.3 La différence entre les musiques..................... 92 5.7.4 Le risque pour l’ouïe........................... 93 5.8 La musique.................................... 93 5.8.1 Fréquence................................. 93 5.9 Exercices..................................... 94 6 Propagation des ondes 99 6.1 Propagation sans obstacles........................... 99 6.1.1 Propagation sans obstacle........................ 99 6.2 Réflexion des ondes................................ 102 6.2.1 Expérience................................ 102 6.2.2 Démonstration de la loi de la réflexion................. 103 6.2.3 Conclusions................................ 104 6.2.4 Applications............................... 104 TABLE DES MATIÈRES 5 6.3 Réfraction des ondes............................... 108 6.3.1 Expérience préliminaire......................... 108 6.3.2 Expérience de réfraction......................... 108 6.3.3 Démonstration de la loi de la réfraction................ 109 6.3.4 Conclusions................................ 110 6.3.5 Applications............................... 111 6.4 La diffraction des ondes............................. 117 6.4.1 Expériences................................ 117 6.4.2 Explications théoriques......................... 120 6.4.3 Conclusions................................ 121 6.4.4 Applications............................... 121 6.4.5 Lecture : La chauve-souris........................ 124 6.5 Exercices..................................... 126 7 Superposition d’ondes 131 7.1 Introduction.................................... 131 7.2 Principe de superposition............................ 131 7.3 Ondes stationnaires................................ 134 7.3.1 Réflexion d’une impulsion........................ 134 7.3.2 Ondes sinusoïdales............................ 134 7.4 Etude analytique................................. 138 7.4.1 Mode fondamental : n = 1........................ 139 7.4.2 Harmonique : n = 2........................... 139 7.4.3 Harmonique : n = 3........................... 140 7.4.4 Conclusion................................ 141 7.5 Corde libre à une ou aux deux extrémités................... 141 7.5.1 Conclusion................................ 142 7.6 Les régimes stationnaires dans l’air....................... 142 7.7 Applications.................................... 143 7.7.1 Physique moderne............................ 143 7.7.2 Les instruments de musique....................... 144 7.8 Lecture : la voix................................. 145 7.9 Les interférences................................. 148 7.9.1 Expérience................................ 148 7.9.2 Etude analytique............................. 149 7.10 Exercices..................................... 152 8 L’effet Doppler 165 8.1 Définition..................................... 165 8.2 Formule...................................... 166 8.3 Application.................................... 170 8.3.1 Détection des objets en mouvement.................. 170 8.3.2 Radar pour déterminer la vitesse d’une auto.............. 170 8.3.3 Cardiologie................................ 170 8.3.4 Astronomie................................ 171 8.3.5 Météorologie............................... 173 6 TABLE DES MATIÈRES 8.4 Lecture : Le mur du son............................. 174 8.5 Exercices..................................... 176 II Les ondes électromagnétiques 181 9 La propagation de la lumière 183 9.1 La dispersion de la lumière par un prisme................... 183 9.2 Identification d’une source lumineuse...................... 184 9.2.1 Le spectroscope.............................. 184 9.2.2 Spectre.................................. 184 9.3 Comportements connus de la lumière...................... 185 9.4 Lecture : les arcs-en-ciel............................. 188 9.5 Modèle corpusculaire et modèle ondulatoire.................. 191 9.6 Les interférences lumineuses........................... 193 9.6.1 Expérience de Young........................... 193 9.6.2 Etude analytique............................. 194 9.6.3 Conclusion................................ 198 9.6.4 Applications des interférences...................... 199 9.7 Lecture : les interférences en couches minces.................. 201 9.8 Lecture : Le CD................................. 202 9.9 Lecture : les hologrammes............................. 204 9.10 La diffraction de la lumière........................... 207 9.10.1 Introduction............................... 207 9.10.2 Observations............................... 207 9.10.3 Diffraction par une fente......................... 210 9.10.4 Diffraction par un réseau........................ 216 9.11 Exercices..................................... 219 10 Nature des ondes électromagnétiques 223 10.1 Expériences.................................... 223 10.1.1 Emetteur - récepteur........................... 223 10.1.2 Antennes (émetteur-récepteur)..................... 224 10.2 Spéculation de Maxwell............................. 226 10.3 Le spectre électromagnétique.......................... 227 10.4 Applications des ondes EM........................... 228 10.4.1 Les ondes hertziennes ou ondes radio.................. 228 10.4.2 Les ondes TV............................... 231 10.4.3 Les ondes radar.............................. 231 10.4.4 Les micro-ondes............................. 231 10.4.5 L’infrarouge................................ 233 10.4.6 La lumière visible (rouge au violet)................... 234 10.4.7 L’ultraviolet UV............................. 234 10.4.8 Les rayons X............................... 236 10.4.9 Les rayons γ (gamma).......................... 237 TABLE DES MATIÈRES 7 11 Annexes 241 12 Bibliographie 247 8 TABLE DES MATIÈRES Chapitre 1 Savoirs, savoir-faire et compétences 1.1 Prérequis – Lois de Newton. – MCU. – Energie. – Self induction. – Comportement d’un condensateur en alternatif. – Réflexion, réfraction et dispersion de la lumière. 1.2 Exemples de questionnement – Qu’est-ce qu’un amortisseur de voiture ? – Qu’est que la résonance ? – Est-il possible de casser un verre en chantant ? – Un pont peut-il s’effondrer quand des soldats marchant au pas le traversent ? – Qu’est ce qu’une onde ? – Le GSM est-il dangereux ? – Les ondes électromagnétiques sont-elles dangereuses ? – Qu’est-ce qu’une gamme d’ondes ? – Comment peut-on mesurer la vitesse de la lumière ? – Qu’est-ce que l’effet Doppler ? – Comment la police mesure-t-elle la vitesse des voitures avec leurs radars ? 1.3 Savoirs Oscillations – Période, fréquence, amplitude, pulsation, élongation et phase. – Mouvement harmonique simple. – Mouvement d’un corps suspendu à un ressort. – Pendule simple. 9 10 CHAPITRE 1. SAVOIRS, SAVOIR-FAIRE ET COMPÉTENCES – Energie d’un système oscillant. – Amortissement. – Oscillations forcées et résonance. – Résonance du circuit LC : fréquence propre. – Composition de deux mouvements harmoniques simples de même direction et de même fréquence. Ondes matérielles – Longueur d’onde. – Vitesse de propagation. – Propagation d’énergie. – Equation de propagation (y = f(t,x)). – Ondes transversales et longitudinales. – Propriétés générales : – Transmission d’énergie. – Principe de Huygens. – Réflexion. – Réfraction. – Diffraction. – Dispersion. – Superposition de deux ondes : – Interférences – Régime stationnaire, résonance. – Effet Doppler. – Applications en acoustique et en optique. – Perception des sons par l’oreille humaine, définition du décibel. – Ondes électromagnétiques, spectre électromagnétique. 1.4 Compétences Oscillations – Dans le cas d’un oscillateur harmonique, montrer que l’accélération est proportion- nelle à l’élongation et établir la relation permettant de calculer l’énergie mécanique. Montrer qu’elle est constante. – Etablir les relations qui permettent de calculer les périodes d’oscillation du ressort et du pendule simple. – Associer la diminution d’amplitude d’une oscillation amortie à la diminution d’éner- gie mécanique. – Associer des fréquences propres à un système oscillant. – Donner la condition pour qu’un système soit en résonance et citer des exemples de la vie courante. – Reconnaître, à partir de graphiques, un déphasage, une concordance et une opposi- tion de phase. – Composer deux mouvements harmoniques simples de même direction et de même fréquence. 1.4. COMPÉTENCES 11 Ondes – Etablir la relation entre la fréquence de la vibration, la vitesse de propagation et la longueur d’onde. – Décrire et interpréter les expériences réalisées pour mettre en évidence les propriétés des ondes. – Etablir l’équation de l’onde progressive transversale : y = f(t,x). – Utiliser et interpréter les graphiques y = f (t) et y = f (x). – Exprimer, en fonction de la longueur d’onde, la distance entre les points qui vibrent en concordance de phase et en opposition de phase. – Appliquer le principe de superposition pour expliquer les propriétés des interférences et du régime stationnaire. – En se basant sur les observations faites à l’oscilloscope, lier les caractéristiques d’un son aux propriétés des vibrations. – Mesurer, par une expérience, la vitesse du son dans l’air. – Expliquer comment l’oreille perçoit les sons et quels sont les dangers causés par un niveau d’intensité sonore trop élevé. – Montrer, en se basant sur des expériences, l’aspect ondulatoire de la lumière. – Etablir la loi de la réfraction à partir de la théorie ondulatoire. – Trouver, en se basant sur une expérience de diffraction, la longueur d’onde d’une source monochromatique. – Distinguer les ondes matérielles des ondes électromagnétiques. – Classer les ondes électromagnétiques suivant leur gamme de fréquence. – Expliquer les principes physiques de base de quelques techniques médicales courantes (échographie, Doppler, etc). – Expliquer quelques applications technologiques des phénomènes ondulatoires (télé- détection, caméra infrarouge, four à micro-ondes, sonar, hologramme, lecteur CD, GPS,etc) 12 CHAPITRE 1. SAVOIRS, SAVOIR-FAIRE ET COMPÉTENCES  Première partie Les ondes mécaniques 13 Chapitre 2 L’oscillateur harmonique 2.1 Mouvement périodique Nous connaissons des phénomènes de la vie courante qui se répètent régulièrement ; le mouvement de la Lune autour de la Terre, celui de la Terre autour du Soleil, celui d’une balançoire, celui d’un piston, l’oscillation d’un ressort et l’oscillation d’un pendule, le mouvement de l’aiguille de la montre,etc. Un mouvement est dit périodique s’il se reproduit identique à lui-même au bout d’intervalles de temps égaux. Parmi les mouvements périodiques, nous nous intéresserons aux objets effectuant des oscillations périodiques de part et d’autre d’une position d’équilibre. Exemples : masse suspendue à un ressort, pendule, diapason frappé, lame vibrante,corde de guitare, etc. Les définitions suivantes sont importantes : A D B C Figure 2.1 – Figure de gauche (a) un ressort, (b) une lame vibrante, (c) un diapason. Figure de droite : différentes positions d’un pendule (a) et (d) positions extrêmes qui déterminent l’amplitude (b) position d’équilibre (c) une position quelconque. – Oscillateur : objet décrivant un mouvement de va et vient de part et d’autre d’une position d’équilibre 0. – Oscillation : mouvement de l’oscillateur ; 15 16 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE – L’élongation y : distance qui sépare l’objet de sa position d’équilibre 0 ; – Amplitude A : valeur maximale de l’élongation y ; – Période T : durée d’une oscillation complète (temps pour aller d’un point et y revenir dans le même sens). La période T se mesure en secondes (s) ; – Fréquence f : nombre d’oscillations effectuées en une seconde. Elle se mesure en hertz (Hz) (1hz = 1 vibration/s). La fréquence f et la période T sont liées par la relation : 1 f= (2.1) T 2.2 Mouvement harmonique Parmi les mouvements périodiques, il y en a un qui se prête particulièrement bien à une étude mathématique : c’est le mouvement harmonique 1 simple ou sinusoïdal (MVS 2 ). Regardons en détails, l’oscillation d’un pendule laissant une trace sur son passage qui n’est rien d’autre qu’une sinusoïde. (Voir figure 2.2). Figure 2.2 – Un entonnoir est rempli de sable. Il est suspendu au-dessus d’une plaque horizon- tale. L’entonnoir constitue un pendule. Quand le sable s’écoule du pendule il décrit une sinusoïde sur la plaque qui se déplace à vitesse constante 2.2.1 Représentation graphique Eclairons latéralement un disque vertical en rotation uniforme autour de son centre et observons la projection de ce mouvement sur un écran. La projection sur un axe, d’un mouvement circulaire uniforme est un mouvement har- monique.(Voir figure 2.3). 1. Nous verrons plus loin que l’adjectif harmonique est lié à l’acoustique et à la musique. 2. MVS : Mouvement Vibratoire Sinusoïdale 2.2. MOUVEMENT HARMONIQUE 17 Figure 2.3 – Eclairons latéralement un disque vertical pouvant tourner autour de son centre C et comportant un objet M situé quelque part sur la périphérie. Soit P l’ombre de M projetée sur un écran vertical. Lorsque nous faisons tourner le disque à vitesse constante (MCU), l’ombre P décrit un mouvement d’oscillation qui est un mouvement harmonique, c’est-à-dire un mouvement sinusoïdal. M0 et ϕ0 sont la position du mobile et l’angle à l’instant t = 0 ; M et ϕ à l’instant t. Equations du MVS Figure 2.4 – Construction de la sinusoïde à partir du MCU. Si ϕ = 0 alors le graphe de y = f (t) est tel que y = 0 en t = 0. Soit un cercle de rayon R et de centre O sur lequel un point M est en MCU à la vitesse −−→ angulaire constante. Projetons le vecteur tournant OM sur l’axe Y vertical. Supposons qu’en t = 0, et l’axe X fasse un angle ϕ. A l’instant t, cet angle devient ωt + ϕ. Avec ω = ∆ϕ∆t qui représente la vitesse angulaire de M. Considérons le mouvement du point P (projection de M sur Y ). Nous avons OP = sin ϕ. Le point P décrit autour de O, un mouvement rectiligne vibratoire ou harmonique. Le graphique y = f (t) qui décrit le mouvement de P en fonction du temps t est une sinusoïde d’où le nom de mouvement vibratoire sinusoïdal donné à ce mouvement. (Voir figure 2.4). 18 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE L’élongation y du point P est donnée par la fonction : y = A sin(ωt + ϕ) (2.2) y L’élongation (m) C’est la distance de O à P. Elle varie avec le temps t. La valeur maximale de l’élonga- tion est l’amplitude (ici = R mais souvent notée A). Elle est constante et toujours positive. y = A quand sin (ωt + ϕ) = 1. ω Pulsation (rad/s). C’est 2π la vitesse angulaire du ω= T = 2πf MCU correspondant. ωt + ϕ Phase du mouvement Angle qui précise la position du point P (rad) ϕ Phase à l’origine ou Angle qui précise la position à l’instant constante de phase initial t = 0 (rad) Lois de la vitesse et de l’accélération Figure 2.5 – Représentation gra- phique de l’élongation, de la vitesse et de l’accélération d’un oscillateur har- monique en fonction du temps. Notez que la vitesse est en avance de π2 sur l’élongation et que l’accélération est en avance de π2 sur la vitesse, donc en avance de π sur l’élongation. Soit un mobile P se déplaçant sur un axe OY. Si y1 désigne l’abscisse à l’instant t1 et y2 celle à l’instant t2 ; alors il parcourt une distance ∆y = y2 − y1 au cours de l’intervalle 2.2. MOUVEMENT HARMONIQUE 19 de temps ∆t = t2 − t1 , et, sa vitesse moyenne au cours de cet intervalle se calcule ∆y par : vmoy =. Pour déterminer la vitesse instantanée du mobile à l’instant t1 , il ∆t faut calculer la vitesse moyenne sur un intervalle de temps où t2 est infiniment proche de ∆y t1. Par définition, vinst = lim = y ′ (t), c’est-à-dire la dérivée de y(t) par rapport à t. t→0 ∆t ∆v De même pour l’accélération : ainst = lim = v ′ (t) = y ′′ (t) ∆t→0 ∆t Elles sont donc obtenues par dérivation par rapport au temps de la fonction espace y (ou loi du mouvement) pour la vitesse et par dérivation de la loi de la vitesse pour l’accélération. (Voir figure 8.12). v(t) = y ′ = Aω cos(ωt + ϕ) (2.3) a(t) = y ′′ = −Aω 2 sin(ωt + ϕ) (2.4) 2.2.2 Dynamique du MVS Dans un MVS, l’accélération est toujours de signe contraire à l’élongation. Elle est donc toujours dirigée vers le centre. Nous savons que l’accélération est due à une force ou un ensemble de forces dont la résultante est telle que ~ F = m.~a et ce d’après la seconde loi de Newton. Par conséquent, lorsqu’un mouvement est harmonique, la force qui le produit a pour grandeur : F = −mω 2 y avec m , ω qui sont des constantes du mouvement, on écrira : F = −k.y (2.5) Conclusion. La force produisant un mouvement harmonique sur un corps de masse m : – est proportionnelle à l’élongation y ; – est toujours de signe opposé à l’élongation : F est une force de rappel. Réciproquement, si une force (agissant sur un corps de masse m) possède ces deux caractéristiques, alors le mouvement de cette masse doit être harmonique de pulsation ou de période : s r k m (2.6) ω= T = 2π m k Remarque : Cette conclusion et sa réciproque sont très importantes. 20 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE Figure 2.6 – Position d’une particule en mouvement en fonction du temps Exemple La position d’une particule en mouvement sur l’axe des x est donnée par x = 0.08 sin(12t + 0.3) où x est en mètres et où t est en secondes. 1. Tracer la courbe x(t) représentant cette fonction. 2. Déterminer la position, la vitesse et l’accélération à t = 0.6 s. 3. Quelle est l’accélération lorsque la position est de x = −0.05 m ? Solution 1. En comparant avec l’équation, on en déduit immédiatement que l’amplitude A = 0.08 m, et que la pulsation est ω = 12 rad/s. La période est donc T = 2π ω = 0.524 s. La constante de phase est ϕ = +0.3 rad/s et donc la courbe sera décalée de 0.3/12 = 0.025 s vers la gauche par rapport à un sinus non décalé. 2. La vitesse et l’accélération à un instant quelconque sont données par v(t) = x′ = Aω cos(ωt + ϕ) = 0.96 cos(12t + 0.3) m/s a(t) = x′′ = −Aω 2 sin(ωt + ϕ) = −11.52 sin(12t + 0.3) m/s2 A t = 0.6 s, la phase du mouvement est (12 × 0.6 + 0.3) = 7.5 rad. Lorsqu’on utilise cette valeur dans les expressions données, on trouve x = 0.075 m, v = 0.333 m/s et a = −10.8 m/s2 3. On sait que a = −ω 2 x = −122 × (−0.05) = 7.2 m/s2 2.2. MOUVEMENT HARMONIQUE 21 Figure 2.7 – Determiner l’équation du mouvement à partir du graphe. Exemple Déterminer les caractéristiques et l’équation du mouvement d’un pendule dont le graphe est donné à la figure 2.7. – On lit la période sur le graphe : T = 1 s. – La fréquence est donc de f = T1 = 1 Hz. – La pulsation est alors ω = 2πf = 2π T = 1 rad/s. – L’amplitude du mouvement est la valeur maximale de l’élongation A = 5 cm. – La phase à l’origine ϕ peut s’obtenir de deux façons : – Soit à partir de l’ordonnée à l’origine y0 = −2.5 car si t = 0 alors y0 = A sin ϕ ⇒ sin ϕ = yA0 = −0.5 ⇒ ϕ = − π6. – Soit à partir de la première racine t = 0.0833 de la fonction, y = 0 ⇒ sin ωt + ϕ = 0 ⇒ ϕ = −ωt = −2π × 0.0833 ∼ = π6 L’équation du mouvement est donc y = 5 sin (ωt − π6 ) Exemple Une tache lumineuse sur l’écran d’un ordinateur oscille le long d’une ligne droite horizontale d’un mouvement sinusoïdal à la fréquence de 1.5 Hz. La longueur totale de la ligne parcourue est de 20 cm et la tache commence le mouvement à droite de l’écran. Déterminer : 1. Sa pulsation ; 2. Sa période ; 3. Sa vitesse maximale ; 4. Son accélération maximale ; 22 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE 5. Exprimer la position horizontale (x) en fonction du temps et trouver la position de la tache en t = 0.4 s. Solution 1. ω = 2πf = 2π × 1.5 = 3π rad/s 1 1 2. T = f = 1.5 = 0.67 s 3. xmax = Aω = 2πf A = 2π × 1.5 × 0.1 = 0.94 m/s 4. amax = Aω 2 = A(2πf )2 = 0.1 × (2 × π × 1.5)2 = 8.9 m/s2 5. x = A sin(ωt + ϕ) π A l’instant t = 0, x = +A → A = A sin ϕ → ϕ = 2     π 1 → x = 0.1 sin 3πt + = 0.1 sin π 3t + 2 2 A l’instant t = 0.4 s → x = 0.1 sin π(3 × 0.4 + 0.5) = −0.081 = −8.1 cm 2.2.3 Energie d’un oscillateur L’énergie totale d’un oscillateur est la somme des énergies cinétique et potentielle. Pour un oscillateur, il y a au cours du mouvement une transformation continue de l’énergie cinétique en énergie potentielle et vice et versa. Considérons le cas idéal où il n’y a pas de frottement, alors l’énergie totale est constante et évaluons l’énergie totale grâce à cette propriété. Figure 2.8 – Dans le cas d’un pendule idéal, la somme de l’énergie potentielle et de l’énergie mécanique reste constante. Au point le plus bas, toute l’énergie est sous forme d’énergie cinétique et au point le plus haut toute l’énergie est sous forme d’énergie potentielle. A tout instant : Emécanique = Epotentielle +Ecinétique avec Emécanique = mgh et Ecinétique = 1 2 2 mv. Prenons par exemple le cas du pendule (Voir figure 2.8), lorsque l’élongation y = 0 ; 2.2. MOUVEMENT HARMONIQUE 23 l’énergie cinétique est maximale et l’énergie potentielle est nulle, donc : E = 12 mv 2 + 0 or 2 vmax = ω 2 A2. Finalement, l’énergie d’un oscillateur est donnée par la formule : 1 E = m.ω 2.A2 = 2π 2.m.f 2.A2 (2.7) 2 Conclusion : L’énergie d’un oscillateur est fonction de l’amplitude A et de la fréquence f de l’oscillation. Exemple Soit une masse de 200 g animé d’un mouvement d’oscillation d’équation : y = 0.5 sin(3πt). Quelle est l’énergie de cet oscillateur ? Solution 1 1 E = mω 2 A2 = × (3π)2 × 0.52 = 9.13 J 2 2 2.2.4 Mouvement vibratoire amorti Si on observe des oscillations sur une longue période, on remarque une diminution progressive de l’amplitude ; on dit que les oscillations sont amorties. Cet amortissement est dû aux frottements qui ne sont jamais nuls et l’énergie initiale se dissipe en chaleur. Une diminution progressive de l’énergie mécanique du pendule entraîne une diminution de son amplitude sans rien changer à son rythme d’oscillation. (Voir figure 2.9). Figure 2.9 – (a) Un oscillateur har- monique idéale, sans aucune perte d’énergie, oscille indéfiniment sans di- minution d’amplitude. (b) Avec des frottements, l’oscillateur est amorti ; son amplitude diminue avec le temps. (c) Plus grand est l’amortissement, plus rapidement les oscillations sont réduites. 2.2.5 Exemples de MVS Masse reliée à un ressort Pour étirer un ressort, il faut une certaine force F. On peut facilement montrer au moyen de quelques expériences que la force F est proportionnelle au déplacement de l’objet à partir de sa position d’équilibre, à condition que la déformation ne soit pas trop 24 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE grande. On a alors F = k∆L. C’est la loi de Hooke. ∆L (en m) est le déplacement par rapport à sa position d’équilibre et k (en N/m) est la constante du ressort. La troisième loi de Newton implique alors que le corps déformé exerce une force (Principe des actions réciproques). C’est la force de rappel, F = −k∆L, qui tend à ramener le corps à sa position d’équilibre.(Voir figure 2.10). Figure 2.10 – Une masse attachée à un ressort vibrant horizontalement. Ici, F est la force exercée par le res- sort et il n’y a aucun frottement Masse suspendue à un ressort Une bande élastique suspendue à un crochet s’allonge d’une longueur L, si elle porte une masse m. (Voir figure 2.11). Alors la force de rappel vers le haut est égale au poids vers le bas : k∆L = mg , c’est à dire que la force de rappel exercée par la bande élastique est proportionnelle à l’élongation : F = −ky. (k est la constante de rappel du ressort.) Figure 2.11 – Si on suspend une masse m à une bande élastique, celle- ci s’étire d’une longueur ∆L jusqu’à une nouvelle position d’équilibre. Si on la tire davantage vers le bas, la bande s’allonge d’une distance y. Quand la masse est lâchée, le système oscille d’un mouvement sinusoïdale, à condition que le déplacement soit faible et la force de rappel soit pro- portionnelle au déplacement 2.2. MOUVEMENT HARMONIQUE 25 Dans ces conditions, l’objet écarté de sa position initiale se met à osciller avec un mouvement vibratoire sinusoïdal de période propre :  2 r 2π m k = mω 2 = m → T = 2π (2.8) T k Plus la constante k du ressort est élevée, plus le ressort est raide et plus courte est la période. Plus la masse est élevée et plus la période est élevée. Exemple Un ressort hélicoïdal vertical en acier s’allonge de 50.0 cm s’il porte un sac de bonbons de 2,0 kg. Le sac est alors à 1.00 m au-dessus de la tête d’un enfant. Le sac est tiré vers le bas de 25,0 cm puis lâché. Combien de temps faut-il pour qu’il revienne à la même hauteur de 1,00 m au dessus-de l’enfant ? Solution Le sac est en équilibre quand la masse est à 1.00 m au-dessus de l’enfant. Le point le plus bas (0.75 cm au-dessus de l’enfant) est la position initiale (y = A) du sac. Celui-ci revient à la position d’équilibre au bout d’un quart de période, soit t = T /4. Pour mg trouver T , nous devons d’abord trouver k. Initialement : k = ∆L = 2.0×9.81 0.5 = 39.2 N/m q q m 2.0 T Donc : T = 2π k = 2π 39.2 = 1.4 s → 4 = 0.35 s Exemple Un bloc de 2 kg est attaché à un ressort pour lequel k = 200 N/m. On l’allonge de 5 cm et on le lâche à t = 0. Trouver : 1. L’équation de la position du bloc en fonction du temps ; 2. Sa vitesse lorsque x = A/2 ; 3. Quelle est la force sur le bloc pour t = π/15 s ? 4. A quelle instant t le bloc passe-t-il pour la première fois à x = −A/2 ? Solution 1. Nous avons besoin de déterminer A, ω et ϕ dans l’équation x(t) = A sin(ωt + ϕ). L’amplitude q est l’allongement maximal du ressort, c’est-à-dire A = 0.05 m. Donc k ω = m = 10 rad/s. 2. Pour trouver ϕ, on remarque que pour t = 0, on nous donne x = +A. On a donc, A = A sin(0 + ϕ) (L’élongation est maximale) et 0 = 10A cos(0 + ϕ) (La vitesse est nulle). Autrement dit, sin ϕ = 1 et cos ϕ = 0, c’est-à-dire ϕ = π/2. Finalement,   π x = 0.05 sin 10t + 2 où x est en mètres et t en secondes. 3. Pour trouver la vitesse, nous devons déterminer à quel instant x = A/2, ce qui donne l’équation :     0.05 π π = 0.05 sin 10t + ⇒ sin 10t + = 0.5 2 2 2 Cette équation possède deux solutions 0.52 rad et 2.62 rad (Les sinus d’angles sup- plémentaires sont égaux). 26 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE (a) Soit donc 10t + π 2 = 0.52 rad. La vitesse est alors π v = 0.5 cos(10t + ) = 0.5 cos 0.52 ⇒ v = +0.434 m/s 2 (b) Soit maintenant 10t + π 2 = 2.52 rad. La vitesse est alors π v = 0.5 cos(10t + ) = 0.5 cos 2.52 ⇒ v = −0.434 m/s 2 Pour une position donnée, on trouve deux vitesses de même module et de sens opposées. 4. L’accélération en x = A/2 est facilement déterminée à partir de : 0.05 a = −ω 2 x = −10 × = −2.5 m/s2 2 Le pendule Figure 2.12 – Le pendule simple a) Les seules forces qui agissent sur le pendule sont la force poids P~ et la traction du fil T~ , b) et c) La résultante est la force P~1 qui tend toujours à ramener le pendule à sa position d’équilibre. Il est constitué d’une masse m suspendue à un fil inextensible de longueur L. (Voir figure 2.12) Sur la masse agissent deux forces, le poids P~ et la traction du fil T~. Le poids peut être décomposé en une composante P~1 tangente à la trajectoire et une composante P~2 qui lui est perpendiculaire. La résultante de T~ et de P~ est perpendiculaire à la trajectoire et fait changer la direction du mouvement (mouvement circulaire). P~1 est donc la seule force à faire varier la grandeur de la vitesse et à ramener la masse vers sa position d’équilibre en O. P1 = mg sin θ Pour des oscillations de faibles amplitudes (θ < 10°) alors, à condition d’exprimer les angles en radians, θ = sin θ. De plus, si OM est la longueur de l’arc, alors θ = OML. Mais comme pour de faibles angles, la corde se confond avec l’arc, y ≈ OM , nous pouvons écrire : θ = Ly θ et la force P1 = mg Ly. En remarquant que y et F sont toujours de signe contraire, nous avons : F = −mg Ly = −ky. La force F est une force de rappel proportionnelle à y et 2.2. MOUVEMENT HARMONIQUE 27 de signe contraire. Dans ces conditions, le mouvement d’un pendule de faible amplitude est donc un MVS avec une période propre T qui est donnée par : r s m mg L T = 2π avec k = ⇒ T = 2π k L g En tout point du globe, la période propre d’un pendule ne dépend que de sa longueur (par sa racine) et pas de sa masse. De plus, nous
pouvons nous servir du pendule pour mesurer g en tout point de la Terre. g = 4π 2 L/T 2. Figure 2.13 – Un célèbre expert en matière de pendule. Exemple Quel doit être la longueur d’un pendule, pour que sa période soit 1.00 s à un endroit où g = 9.81m/s2 ? Solution s L T 2g 12 × 9.81 T = 2π →L= = = 0.248 m g 4π 2 4 × π2 2.2.6 Les applications du pendule Il est particulièrement surprenant qu’un instrument aussi simple que le pendule ait eu autant de conséquences dans l’histoire. Il suffit de voir le nombre considérable de travaux qui ont été fait sur le pendule, plus exactement sur les pendules, car le pendule simple se décline en une grande variété de différents types de pendule : le pendule pesant, le pendule de Foucault, le pendule sphérique, le pendule conique, le pendule balistique, le pendule de Mach, le pendule de torsion, etc. Bien sûr, aujourd’hui, nous disposons d’instruments modernes beaucoup plus perfor- mants que le simple pendule. Pour illustrer les possibilités du pendule prenons quelques exemples. – La mesure du temps. 3 3. Mesure du temps : La première définition de la seconde fut la demi-période d’un pendule d’un mètre de long (aujourd’hui, la seconde n’est plus définie mécaniquement, mais par un nombre bien défini de périodes d’une transition dans un atome de césium). Avoir une méthode fiable, répétitive et précise pour mesurer le temps a eu une importance capitale dans le développement des sciences et du commerce. 28 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE – Mesure de la longitude. 4 – Démonstration de la rotation de la Terre. 5 – Démonstration que la Terre n’est pas parfaitement ronde. 6 – Mesure de la masse de la Terre. 7 – Les sismomètres. 8 – Le pendule balistique : Le pendule balistique, mis au point en 1742 par Benjamin Robins, est un dispositif permettant de mesurer la vitesse d’un projectile à partir de son impact sur un pendule en supposant le choc parfaitement inélastique. L’étude du mouvement du pendule suite à l’impact permet, grâce à la loi de conservation de la quantité de mouvement, de déterminer la percussion mécanique du projectile et sa vitesse. À l’origine, il était destiné à mesurer la vitesse pour des balles de fusil, on s’en sert encore parfois de cette manière, mais pour la mesure des autres mouvements, la chronophotographie a remplacé cet instrument. L’exemple suivant va illustrer le concept. Exemple : le pendule balistique Une balle de 9 mm Parabellum de masse mb = 9 g frappe un pendule balistique constitué par un pendule simple de longueur L = 2 m et de 4. Mesure de la longitude : La mesure du temps dans la marine est indispensable, comme le montre l’exemple de Christophe Colomb. En particulier la détermination de la longitude impose de conserver à bord l’heure du port de départ. À tel point qu’au début du XVIIIe siècle les gouvernements britannique et espagnol offrirent de fortes récompenses au savant qui réussirait à construire un chronomètre transportable ayant une précision et, surtout, une stabilité suffisante pour faire un point complet en mer. Car il est impossible de faire fonctionner un pendule sur un bateau à cause du roulis. Un tel instrument de mesure est inventé par l’horloger britannique John Harrison en 1737. Il crée un énorme chronomètre d’une précision et d’une stabilité étonnantes. Il remporte le prix en 1764 seulement avec son quatrième prototype, beaucoup plus compact dans sa forme, et qui, en deux mois de voyage, ne se sera décalé que de quelques secondes, performance jamais atteinte jusque-là. Selon certaines sources, ce serait plutôt Christian Huygens qui en 1695 aurait mis au point la première horloge marine. Actuellement, l’utilisation du GSP a envoyé ces anciennes techniques dans le rayon des antiquités. 5. Démonstration de la rotation de la Terre : La première démonstration publique date de 1851, le pendule étant accroché à la voûte du Panthéon de Paris. L’intérêt du pendule, imaginé et réalisé par Foucault, est qu’il met en évidence la rotation de la Terre par une expérience locale aisément reproductible et que l’on peut également déterminer en quelques heures, par mesure de la déviation au sol du plan d’oscillation, la latitude du lieu de l’expérience sans aucune observation astronomique extérieure. 6. Rotondité de la Terre : Si on mesure la gravité aux pôles et à l’équateur, on note une différence qui montre que la Terre est plus aplatie au pôles. Pour ce genre de mesure, il faut évidemment tenir compte de l’effet de la rotation de la Terre à l’équateur. 7. Masse de la Terre : Le pendule simple permet de peser la Terre ! !. On peut déterminer GM (G = constante de gravitation, M = masse de la Terre) au moyen de mesures pendulaires. En simplifiant un peu, on néglige la force centrifuge et on suppose la Terre sphérique. L’intensité de l’accélération gravifique à la surface terrestre vaut alors g = GM , où R est le rayon moyen de la Terre. Pour un pendule simple de R2 q longueur l, cette accélération produit une période d’oscillation T = 2π l g. Par conséquent, une connais- sance de la longueur l et une mesure de la période T permet de déterminer le produit GM au moyen de la 2 2 formule GM = 4πT lR 2 8. Les sismomètres : Le premier appareil de détection des tremblements de terre, connu, est le sismo- scope du sismologue Chinois, CHAN HEN (132 après Jésus Christ). Un sismomètre est un détecteur de mouvements du sol qui comporte un capteur mécanique, un transducteur, un amplificateur et un enregis- treur. Les premiers sismomètres étaient des capteurs à inertie ou des pendules. La masse d’inertie pouvait être très élevée : à la station historique de Strasbourg, devenue Musée de Sismologie et Magnétisme ter- restre, l’un des sismomètres a une masse de 19 tonnes. Actuellement on utilise surtout des sismomètres électromagnétiques. Ils ne mesurent pas le mouvement du sol mais la vitesse de mouvement du sol. 2.3. COMPOSITION DE DEUX MVS 29 Figure 2.14 – Pendule balistique : une balle de masse mb de de vitesse vb percute et s’enfonce dans une masse M d’un pendule de longueur L consi- déré comme simple. Sous l’impact de la balle, la masse M remonte à une hauteur H. Le fil du pendule fait alors en angle α avec la verticale. masse M = 4 kg. Sous le choc, le pendule de déplace d’un angle de 10°. Déterminer la vitesse de la balle. (Voir figure 2.14) Solution On a : H = L(1 − cos α) L’énergie potentielle est égale à l’énergie cinétique : 1 q M gH = M v2 ⇒ v= 2gL(1 − cos α) 2 Lors du choc entre la balle et la masse la quantité de mouvement se conserve et donc : Mq vb.mb = v.M ⇒ vb = 2gL(1 − cos α) mb Remplaçons par les données : 5 q vb = 2 × 9.81 × 2(1 − cos 10◦ ) = 386 m/s 0.008 2.3 Composition de deux MVS 2.3.1 Le vecteur de Fresnel C’est la représentation graphique de la fonction y = A sin(ωt + ϕ) Pour représenter graphiquement ces trois caractéristiques, il suffit de dessiner un vec- teur A~ de longueur égale à l’amplitude A qui tourne à la vitesse angulaire ω faisant en t = 0, un angle ϕ avec l’axe X. Le vecteur A ~ est appelé vecteur de Fresnel. (Voir figure 2.15). 30 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE Pour définir complètement un mouvement harmo- nique, il faut préciser trois caractéristiques : 1. l’ampleur des oscillations par l’amplitude A; 2. le rythme des oscillations par f , T ou ω ; 3. la position initiale par ϕ Figure 2.15 – Le vecteur de Fresnel Figure 2.16 – Augustin Jean Fresnel, né le 10 mai 1788 à Bro- glie et mort le 14 juillet 1827 à Ville- d’Avray, est un physicien français. Fondateur de l’optique moderne, il proposa une explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière. 3 y 2 1 Retard 0 t 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π 7π/2 4π -1 -2 Figure 2.17 – Deux MVS, l’un en retard par rapport à l’autre. Sur le graphique, on lit que le déphasage est π car la même élongation est atteinte par le deuxième mouvement π s après le premier. 2.3.2 Déphasage entre deux MVS Si deux pendules, de même fréquence, sont lâchés à des instants différents, leurs élongations sont déphasées. Soient deux MVS d’équation y1 = A1 sin (ωt + ϕ1 ) et y2 = A2 sin (ωt + ϕ2 ). Ces deux mouvements peuvent se représenter par leur vecteur de Fresnel. A l’instant t = 0, les phases sont ϕ1 et ϕ2. Si ϕ1 > ϕ2 , on dit que y1 est en avance par rapport à y2. Evidemment, cela revient à dire que y2 est en retard par rapport à y1. Un mouvement est en retard ou en avance sur l’autre. (Voir figure 2.17). Rappelons aussi que la phase étant un angle, elle est définie à 2π près. On peut donc enlever ou ajouter autant de fois 2π que l’on veut. Il est donc possible d’obtenir un angle situé entre −π et +π. Il 2.3. COMPOSITION DE DEUX MVS 31 en est de même pour ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2. On retiendra : 1. Si ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 > 0 alors y1 est en avance de phase sur y2. 2. Si ∆ϕ = ϕ1 − ϕ2 < 0 alors y1 est en retard de phase sur y2. On appelle déphasage entre deux oscillateurs la différence | ϕ1 − ϕ2 | = ϕ. Les cas par- ticuliers suivants sont rencontrés fréquemment : – Si | ϕ1 − ϕ2 | = 0 ou 2kπ, les deux oscillateurs sont en phase ou en concordance de phase. (Voir figure 2.18). – Si | ϕ1 − ϕ2 | = π2 ou (2k + 1) π2 , les deux oscillateurs sont en quadrature. – Si | ϕ1 − ϕ2 | = π ou (2k + 1) π, les deux oscillateurs sont en opposition de phase. (Voir figure 2.19). 3 2 1 0 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π -1 -2 -3 Figure 2.18 – (a) deux MVS en concordance de phase. (b) Construction des vecteurs de Fresnel corres- pondants à ces deux mouvements. Les deux vecteurs sont de même direction et de même sens. 32 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE Figure 2.19 – (a) Deux MVS en opposition de phase. (b) Construction des vecteurs de Fresnel corres- pondants à ces deux mouvements. Les deux vecteurs sont de même direction et de sens contraire. 2.3.3 Composition de deux MVS de même fréquence Introduction Nous n’étudierons que la composition de deux MVS de même fréquence ou bien de même période. Les cas où les fréquences des deux MVS sont différentes ne font pas partie du programme. Supposons qu’un point soit animé simultanément par deux MVS dont la loi est connue. Chacun de ces deux MVS étant appelés mouvements composants c’est à dire que c’est le mouvement que possèderait le point si l’autre mouvement n’existait pas. Déterminons les caractéristiques du mouvement résultant c’est à dire la loi du mouvement qu’effectue réellement le point sous l’effet combiné des deux mouvements composants. 2.3. COMPOSITION DE DEUX MVS 33 La pulsation est ω = 2πf = 2πT. Appelons Al , A2 , ϕ1 , ϕ2 les amplitudes et les phases à l’origine des deux mouvements. On a y1 = A1 sin (ω t + ϕ1 ) et y2 = A2 sin (ω t + ϕ2 ) Le principe de superposition consiste à dire que si deux causes interviennent en même temps, le déplacement imposé au point est égal à la somme géométrique des deux dépla- cements qu’imposeraient respectivement les deux causes en intervenant séparément. Méthode de Fresnel Nous résolvons le problème par une simple construction géométrique basée sur les vec- teurs de Fresnel. Associons le vecteur A~1 , dont l’extrémité est le point A1 , au mouvement y1 et le vecteur A~2 , dont l’extrémité est le point A2 , au mouvement y2. Conformément au principe de superposition, le mouvement résultant a même direction que les 2 mouvements composants et l’élongation résultante est y = y1 + y2. (Voir figure 2.20). Pour faire cette somme de 2 fonctions sinusoïdales, regardons le vecteur A ~ , somme ~ ~ vectorielle de A1 et A2. Comme A1 , A2 , ϕ1 , ϕ2 sont des constantes, le parallélogramme OAl AA2 tourne sans se déformer et le vecteur A ~ tourne aussi avec la vitesse ω et si ϕ ~ désigne sa phase à l’origine, la projection de A sur l’axe y est bien la fonction sinusoïdale que l’on cherche. Figure 2.20 – Construction du MVS résultant par la méthode des vecteurs de Fresnel. Par application du principe de superposition, le vec- teur A~ est la somme des vecteurs A~1 et A~2 Le mouvement résultant est donc sinusoïdal, de pulsation ϕ et de loi y = A sin (ωt + ϕ). La somme de 2 fonctions sinusoïdales de même fréquence f est encore une fonction sinusoïdale de même fréquence f. Il est facile de démontrer les deux formules suivantes permettant de trouver l’amplitude résultante A et la phase à l’origine ϕ par l’intermédiaire de sa tangente. y = A sin (ωt + ϕ) q A= A21 + A22 + 2A1 A2 cos (ϕ1 − ϕ2 ) A1. sin ϕ1 + A2. sin ϕ2 tan ϕ = A1. cos ϕ1 + A2. cos ϕ2 (Le lecteur est encouragé à faire ces démonstrations). 34 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
Exemple  Soient  les deux MVS donnés par les équations y1 = 3 sin 12t + π 6 et y2 = 6π 4 sin 12t + 7 ; Etablir l’équation du mouvement résultant. L’amplitude est donnée en cm Solution Figure 2.21. L’amplitude résultante est : s   q π 6π A= A21 + A22 + 2A1 A2 cos (ϕ1 − ϕ2 ) = 32 + 42 + 2 × 3 × 4 × cos − = 3.39 cm 6 7 La phase résultante peut se calculer de deux façons différentes. Soit on applique direc- tement la formule : A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 3 sin π6 + 4 sin 6π 7 tan ϕ = = = −3.217 → ϕ = 1.87 rad A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2 3 cos π6 + 4 cos 6π 7 Ou bien on résout le triangle OAA1 : A2 + A21 − A22 3.392 + 32 − 42 cos (ϕ − ϕ1 ) = = = 0.22085 → (ϕ − ϕ1 ) = 1.348 2A.A1 2 × 3.39 × 3 π → ϕ = 1.348 + = 1.87 rad 6 Finalement, l’équation du mouvement est : y = 3.39 sin (12t + 1.87) Composition de deux MVS en concordance de phase Si les mouvements sont en concordance de phase, c’est-à-dire si | ϕ1 − ϕ2 | = 0 ou 2kπ, ~ =M la construction de Fresnel montre que M ~1 + M~ 2 devient M = M1 + M2. Autrement dit, l’amplitude du mouvement résultant est simplement la somme des amplitudes des deux MVS. Dans le cas où les mouvements sont identiques, nous en déduisons que l’am- plitude du mouvement résultant est simplement le double de l’amplitude des mouvements composants. (Voir figure 2.22). Composition de deux MVS en opposition de phase Si les mouvements sont en opposition de phase, c’est-à-dire si | ϕ1 − ϕ2 | = π ou (2k + 1) π, la construction de Fresnel montre que M~ =M ~1 + M~ 2 devient M = |M1 − M2 |. Autrement dit, l’amplitude du mouvement résultant est simplement la valeur absolue de la différence des amplitudes des deux MVS. Dans le cas où les amplitudes mouvements sont égales, nous en déduisons que l’amplitude du mouvement résultant est alors nulle. (Voir figure 2.23). 2.3. COMPOSITION DE DEUX MVS 35 Figure 2.21 – (a) Deux MVS f (t) et g(t) et le mouvement résultant h(t). (b) Construction des vecteurs de Fresnel correspondants à ces trois mouvements. 36 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE Figure 2.22 – (a) 2 MVS d’équation f (t) = 2 sin(t + 0.6) et g(t) = 0.75 sin(t + 0.6) sont en concordance de phase ϕ = 0.6 rad. Le mouvement résultant est obtenue en ajoutant à tout instant les élongations de chacun des mouvements composants h(t) = 2.75 sin (t + 0.6). (b) La construction de Fresnel montre que le mouvement résultant, représenté par M~ est bien la somme des mouvements composants, représentés par M~ 1 et M ~ 2 et nous avons M ~ =M~1 + M~ 2 → M = M1 + M2. 2.3. COMPOSITION DE DEUX MVS 37 Figure 2.23 – (a) 2 MVS d’équation f (t) = 2 sin(t + 0.6) et g(t) = 0.75 sin(t − π + 0.6) sont en opposition de phase car 0.6 − (−π + 0.6) = π rad. Le mouvement résultant est obtenue en soustrayant à tout instant les élongations de chacun des mouvements composants. (b) La construction de Fresnel montre que le mouvement résultant, représenté par M ~ est bien la différence des mouvements composants, représentés ~ ~ ~ ~ par M1 et M2 et nous avons M = M1 + M ~ 2 → M = |M1 − M2 |. De plus comme M1 > M2 , il est facile de voir que ϕ = 0.6 rad. 38 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE 2.4 Exercices 2.4.1 Exercices résolus π
1. Construire la sinusoïde d’équation y = 2 sin 3 t + 2 Solution. Figure 2.24. Nous devons faire les manipulations suivantes : (a) Construction de la fonction de base f (x) = sin(t) (b) Construction de g(t) = 2 sin(t) c-à-d g(t) = 2f (t). Les ordonnées sont multi- pliées par 2. (c) Construction de h(t) = 2sin(3t) c-à-d h(t) = g(3t). Les abscisses sont divisées par 3.
(d) Construction de p(t) = 2 sin 3t + π2 c-à-d p(t) = h(t + π/2). La fonction h(t) subit une translation vers la gauche de π/2 Figure 2.24 – Pour construire la sinusoïde demandée, nous utilisons les manipulations de fonctions vues en 4ème. Nous construisons successivement
f (t) = sin(t), puis g(t) = 2 sin(t), ensuite h(t) = 2sin(3t) et finalement p(t) = 2 sin 3t + π2 1 π
2. Construire la sinusoïde d’équation y = 2 sin 0.8 t − 3 Solution. Figure 2.25. Nous devons faire les manipulations suivantes : (a) Construction de la fonction de base f (x) = sin(t) 1 (b) Construction de g(t) = 2 sin(t) c-à-d g(t) = 21 f (t). Les ordonnées sont divisées par 2. 2.4. EXERCICES 39 (c) Construction de h(t) = 21 sin(0.8t) c-à-d h(t) = g(0.8t). Les abscisses sont 1 multipliées par 0.8 = 1.25..
(d) Construction de p(t) = 2 sin 3t − π3 c-à-d p(t) = h(t − π/3). La fonction h(t) subit une translation vers la droite de π/3 Figure 2.25 – Pour construire la sinusoïde demandée, nous utilisons les manipulations de fonctions vues en 4ème. Nous construisons successivement
f (t) = sin(t), puis g(t) = 12 sin(t), ensuite h(t) = 21 sin(0.8t) et finalement p(t) = 2 sin 0.8t − 3 1 π 3. L’abscisse Y d’un point animé d’un MVS est Y = 5 sin(6t) (Y en cm et t en s) Déterminer l’amplitude, la pulsation, la fréquence, la phase à l’origine et la période de ce MVS. Solution. (a) Y = A sin (ω t + ϕ) ici Y = 5 sin 6t → A = Ymax = 5 cm. (b) ω = 6 rad/s ω 6 (c) ω = 2πf → f = 2π = 2π = 0.955 Hz (d) ϕ = 0 1 1 (e) T = f = 0.955 = 1.05 s 40 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE 4. Ecrire l’équation du MVS d’un mobile sachant qu’en t = 0, son élongation est maxi- male et égale à + 10 cm et que son accélération est de −40 cm/s2. Solution.      A = 10 cm     y = ymax → π  ϕ = Si t = 0 → 2 s   r   2  a = y = −ω y → ω = −a 40   ′′ = = 2 rad/s y 10 π
Conclusion : y = 10 sin 2t + 2 5. Même question que la précédente, sachant que l’amplitude vaut 10 cm, qu’en t = 0, son élongation vaut y = −5 cm, qu’il va de haut en bas et que sa période est de 2π s. Solution.  A = 10 cm      5π   ϕ1 = − t = 0 → y = −5 cm → y = A sin (ωt + ϕ) → −5 = 10 sin ϕ → 6   ϕ2 = − π   T = 2π → ω = 1 rad/s   ω 6 Supposons ϕ = −π/6


√ → y = 10 sin t − π6 → y ′ = v = 10 cos t − π6 → v (0) = 10 cos − π6 = 10 23 > 0 Supposons ϕ = −5π/6    → y = 10 sin t − 5π6 → y ′ = v = 10 cos t − 5π 6   √ → v (0) = 10 cos − 5π 6 = −10 23 < 0 Or d’après l’énoncé, y(0) = −5 et le mobile va de haut en bas. Autrement dit y s’éloigne de sa position d’équilibre  et donc DECROIT → v doit être < 0. 5π Conclusion : y = 10 sin t − 6 6. Un corps de 400 g est en MVS avec une amplitude de 20 cm, une période 2s et une phase à l’origine nulle. Calculer la vitesse, l’accélération et la force de rappel sur ce corps en y = 0, y = 20 cm et y = 5 cm. Solution.   A = 20 cm   T = 2 s → ω = π rad/s → y = 0.2 sin πt   ϕ = 0 2.4. EXERCICES 41 y=0m y = 0.2 m y = 0.05 m t 0s 0.5 s 0.05 = 0.2 sin πt → t = 0.08 s v = 0.2π cos πt 0.628 m/s 0 m/s 0.608 m/s a = −ω 2 y 0 m/s 2 −1.97 m/s 2 −0.49 m/s2 F = ma 0N −0.788 N −0.196 N 7. Quelle la période d’un pendule de 1 m de long ? Solution. q q 1 T = 2π gl = 2π 9.81 = 2, 0061 s ≃ 2 s Cette valeur est assez remarquable. On appelle ce pendule le pendule des secondes. 8. Une masse de 500 g est accrochée à un ressort de constante de raideur k = 12.5 N/kg et de masse négligeable. On lui communique une énergie de 0.25 J. En t = 0 s, sa position est +12 cm et sa vitesse est négative (sens + vers la haut). Ecrire l’équation du mouvement, calculez la position à 10 s et EC et EP. Solution. q q √ (a) ω = m k = 12.5 0.5 = 25 = 5 rad/s. Pour déterminer l’amplitude, nous utilisons l’information sur l’énergie : 2 2 2 2 2 E = 0.25 J = EC max = mv2max = mA2 ω → 0.25 = 0.5×A2 ×5 q → A2 = 512 → A = 0.2 m Pour déterminer la vitesse, nous utilisons l’information sur la position et la vitesse : y (t) = 0.2 sin (5t + ϕ).   36.86°   0.12 Donc si t = 0, → 0.12 = 0.2 sin ϕ → sin ϕ = 0.2 = 0.6 → ϕ = ou    143.13° Or v = Aω cos ϕ est négatif, donc ϕ = 143.13° = 2.5 rad → y (t) = 0.2 sin (5t + 2.5) (b) En t = 10 s → y (t) = 0.2 sin (5 × 10 + 2.5) = 0.158 m Et v (t) = Aω cos (ωt + ϕ) = −0.616 m/s 2 Donc EC = mv 2 = 0.095 J → EP = 2.5 − EC = 2.405 J. 42 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE 9. On accroche une masse de 400 g à un ressort de masse négligeable. Si on éloigne de la position d’équilibre la masse, la force nécessaire est de 2 N. En t = 0, la masse se trouve en -15 cm et sa vitesse est positive. Donner l’équation du mouvement. Calculer EC , EP en y = −12 cm. Solution. (a) y (t) = A sin (ωt + ϕ) Calcul de ω : Fressort = F (principe d’action réaction) Fressort = −mω 2 y → 0.2 = 0.4 × ω 2 × 0.2 → ω = 5 rad/s. Calcul de ϕ : 3 0.20 = − 4 → ϕ = −0.85 rad Equation y (t = 0) = −0.15A sin (ϕ) → sin ϕ = −0.15 du mouvement : y (t) = 0.2 sin (5t − 085) (b) A quelle moment la masse est-elle en y = −12 cm ? −0.12 = 0.2 sin (5t − 0.85) → t = 0.0413 s. Vitesse : v = 0.2 × 5 × cos (5t − 0.85) → v = 0.2 × 5 × cos (5 × 0.0413 − 0.85) = 0.8 m/s. Energies : 2 0.4×0.82 EC = mv 2 = 2 = 0.128 J. 2 2 2 Etot = EC max = mv2max = mA2 ω = 0.4×0.2×5 2 = 0.2 J. EP = Etot − Ec = 0.2 − 0.128 = 0.072 J ; 2.4.2 Exercices non résolus 1. Calculer la fréquence et la période : (a) de la trotteuse d’une montre. (b) d’un disque "33 tours" et "45" tours. (c) D’un moteur dont le compte tours indique "3000 tours/min". (Rép : Trotteuse = 0.017 Hz et 60 s, "33 tours" = 0.55 Hz et 1.82 s, "45 tours" = 0.75 Hz et 1.33 s, moteur = 50 Hz et 0.02 s). 2. Un mouvement harmonique est enregistré sur une feuille de papier qui défile à la vi- tesse de 30 cm/min. Le même élément de courbe se retrouve tous les 0.8 cm. Quelles sont la période et la fréquence de l’oscillateur ? (Rép : T = 1.6 s et f = 0.625 Hz). 3. Dessiner les fonctions suivantes : (a) y = sin t (b) y = 3 sin t   1 (c) y = 2 sin 2t   1 1 π (d) y = 2 sin 2t + 3 π
(e) y = 2 sin 3t − 6 2.4. EXERCICES 43 Figure 2.26 – Enregistrement de quatre phénomènes périodiques. (f) y = 0.8 sin (0.4t − 2) 4. Les figures 2.26 constituent les enregistrements de phénomènes périodiques. (a) Quels sont ceux qui correspondent à un mouvement harmonique ? (b) Calculer la période et la fréquence de chacun d’entre eux. 5. Même questions que pour l’exercice précédent. (Voir figure 2.27). Figure 2.27 – Enregistrement de quatre autres phénomènes périodiques. 44 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE 6. Pour les mouvements harmoniques représentés à la figure 2.28 : Figure 2.28 – Enregistrement de six mouvements harmoniques. 2.4. EXERCICES 45 (a) Calculer le rapport des amplitudes et donner la valeur du déphasage en fraction de périodes. (b) Indiquer ceux qui sont en concordance ou opposition de phase. 7. Soit le graphique y = f (x) représenté à la figure 2.29 : Figure 2.29 – Enregistrement d’un phénomène périodique. (a) Déterminer amplitude, période et fréquence. (b) Déterminer l’élongation aux instants t = 1 s ; 16 s ; 24 s. (c) Construire le graphique d’un mouvement ayant l’amplitude moitié et fréquence moitié de celles du mouvement représenté. (d) Construire le graphique d’un mouvement ayant une amplitude trois fois moindre, même période et en concordance de phase avec lui ; (e) Construire le graphique ayant même amplitude, même fréquence, déphasé (en retard) de T /4 par rapport avec lui. (Rép : (a) A = 3 cm ; T = 10 s ; f = 0.1 Hz. (b) 1.76 cm ; -1.76 cm ; 1.76 cm). 8. Ecrire l’équation d’un MVS d’amplitude 3 cm, de fréquence 20 Hz, et dont l’élonga- tion est maximale à l’instant t = 0. Dessiner son vecteur de Fresnel. (Rép : y(t) = 0.03 sin (40πt + π/2)). 9. Un oscillateur harmonique a pour équation (y en cm et t en s) :   π y(t) = 3 sin t 4 (a) Déterminer sa fréquence. (b) Calculer sa vitesse à l’instant t = 4 s. (c) Etablir l’équation d’un MVS d’amplitude double, de même période, et en retard d’un quart de période. 46 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE
(Rép : f = 0.125 Hz, v(4) = 2.36 cm/s, y(t) = 6 sin π 4 − π 2 ). 10. Ecrire l’équation d’un MVS d’amplitude 5 cm, de période 0.20 s, et dont l’élongation est minimale à l’instant t = 0. Dessiner son vecteur de Fresnel. (Rép : y(t) = 0.05 sin (10πt − π/2) ou y(t) = 0.05 sin (10πt + 3π/2).) 11. L’abscisse y d’un point animé d’un MVS est y = 5 sin 6t. (y en cm et t en s) Déter- miner l’amplitude, la pulsation, la fréquence, la phase à l’origine et la période de ce MVS. (Rép : 5 cm / 6 rad/s / 0.95 Hz / ϕ = 0 rad / 1.05 s). 12. Ecrire l’équation d’un MVS d’un mobile sachant qu’en t = 0, son élongation est maximale et égale à +10cm et que son accélération est de −40 cm/s2. 13. Même question sachant que l’amplitude vaut 10 cm et qu’en t = 0, que se trouve son élongation y = −5 cm et qu’il va de haut en bas. La période T = 2π seconde. 14. Un corps de 400g est en MVS avec une amplitude de 20 cm, une période de 2 s et ϕ = 0 Calculer la vitesse, l’accélération et la force de rappel sur ce corps en y = 0 , y = 20 cm et y = 5 cm. (Rép : 0.628 m/s / 0 m/s / 0.608 m/s / 0 m/s2 / −1.97 m/s2 / −0.49 m/s2 / 0 N / −0.788 N / −0.196 N). 15. Etablir la période d’un pendule de 0.5 m de longueur. 16. La période d’un pendule est de 0.8 s. Quelle est sa longueur ? 17. Un pendule simple de 1.4 m de longueur effectue 8 oscillations complètes en 19 s. Que vaut le module de l’accélération gravitationnelle à l’endroit où se trouve le pendule ? (Rép : a = 9.80m/s2 ). 18. Si TT est la période d’un pendule simple sur la terre, et TL sa période sur la Lune, et sachant que gT erre = 6.gLune , calculer le rapport TT /TL. (Rép : TT /TL = 0.41). 19. La fréquence d’un oscillateur est de 30 Hz avec une amplitude de 3 cm. Si sa masse est de 40 g, quelle est son énergie ? 20. Lorsque deux adultes de masse totale 150 kg entrent dans une automobile de masse 1450 kg, l’automobile s’affaisse de 1 cm. (a) Quelle est la constante de rappel d’un des quatre ressorts de la suspension. (b) Quelle est la période des oscillations lorsque l’automobile chargée passe sur une bosse. (Rép : (a) k = 3.68 × 104 N/m. (b) T = 0.655 s). 2.4. EXERCICES 47 21. La position d’un bloc attaché à un ressort est donné par y = 0.2 sin(12t + 0.2), où y est en mètres et t en secondes. Trouvez (a) l’accélération quand y = 0.08 m ; (b) le premier instant (>0) auquel y = +0.1 m avec v < 0. (Rép : (a) a = −11.5m/s2 , (b) t = 0.201 s). 22. Une masse de 2 kg est suspendue à un ressort de constante k = 10 N/S. A l’instant t = 0, on le lâche d’une position située à 10 cm au-dessus de sa position d’équilibre. Calculer la période, la fréquence et déterminer l’équation du mouvement. A l’instant t = 2 s, calculer sa position, sa vitesse, son accélération, son énergie cinétique, son énergie potentielle et son énergie totale. 23. Lorsque l’élongation d’un MVS vaut la moitié de l’amplitude, quelle est la valeur du rapport entre énergie cinétique et énergie totale ? (Rép : Ecin = 43.Etot ). 24. Soient les graphiques y = f (x) représenté à la figure 2.30 Figure 2.30 – Deux mouvements harmoniques. (a) Etablir le rapport entre amplitudes, périodes et fréquences des mouvements de ces oscillateurs. (b) A quels instants l’énergie cinétique de l’oscillateur (1) est elle maximale ? (c) A quels instants l’énergie potentielle de (2) est-elle maximale ? 25. Soit le mouvement harmonique sans frottements d’une lame métallique enserrée dans un étau. (Voir figure 2.31). Indiquer la (les) position(s) où : (a) l’énergie totale est uniquement potentielle ; (b) l’énergie cinétique est maximum ; (c) l’énergie totale est diminuée ; (d) la somme de l’énergie cinétique et potentielle est inférieure à l’énergie totale ; 48 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE Figure 2.31 – Lame métallique enserrée dans un étau (e) l’énergie cinétique et potentielle ont des valeurs non nulles. (Rép : a) en (1) et en (4) ; b) en (3) : c) en aucune position ; d) en aucune position ; e) en (2)) 26. Dans un système bloc-ressort, m = 0.25 kg et k = 4 N/m. A t = 0.15 s, la vitesse est v = −0.175 m/s et l’accélération a = +0.877 m/s2. Ecrivez l’expression de la position en fonction du temps. (Rép : y(t) = 0.07 sin(4t + 3.44).) 27. Un ressort vertical s’allonge de 0.16 m lorsqu’on y attache un bloc de masse m = 0.5 kg. On tire dessus pour lui donner un allongement supplémentaire de 0.08 m et on le lâche. (a) Ecrivez l’équation de la position y(t) à partir de l’équilibre. (b) Trouvez le module de la vitesse et l’accélération lorsque l’allongement du ressort est égal à 0.1 m par rapport à sa position naturelle. (Rép : (a) y(t) = 0.08 sin(7.83t + π/2). (b) |v| = 0.415 m/s et a = +3.68m/s2.) 28. Un atome de masse 10−26 kg effectue une oscillation harmonique simple autour de sa position d’équilibre dans un cristal. La fréquence est égale à 1012 et l’amplitude à 0.05 nm. Trouvez (a) le module de la vitesse maximale ; (b) son énergie mécanique ; (c) le module de son accélération maximale ; (d) la constante de rappel correspon- dante. (Rép : (a) 315 m/s ; (b) E = 4.93 × 10−23 J ; (c) 1.97 × 1015 m/s2 ; (d) 0.395 N/m.) 29. L’équation d’un mouvement vibratoire est y = A sin (ωt + ϕ). La longueur de la tra- jectoire vaut 8 cm, la période 4 s et à l’instant initial (t = 0), le mobile est a +4 cm de l’origine. Déterminer A, ω, ϕ. 30. Une masse de 500 g suspendue à un ressort est animé d’un mouvement de translation rectiligne sinusoïdal d’amplitude 10 cm et de période 0.5 s. (a) Calculer sa vitesse : 2.4. EXERCICES 49 i. lorsqu’elle passe par la position d’équilibre prise comme origine des élon- gations ; ii. lorsqu’elle se trouve à l’une des extrémités de la trajectoire ; iii. lorsqu’elle se trouve à 2 cm de l’origine. (b) Calculer l’accélération en les trois positions précédentes. (c) Calculer la force de rappel en les mêmes positions. (d) Calculer l’énergie maximale de cette masse. 31. Un corps ponctuel est animé d’un mouvement vibratoire d’amplitude 5 cm et dont l’accélération est telle que a = −16y. (a) Calculer la période et la fréquence du mouvement. (b) Ecrire les expressions de l’élongation y et de la vitesse du point en fonction du temps. (Rép : T = 1.57 s). 32. Une petite masse de 100 g est animée d’un mouvement de translation rectiligne sinusoïdal autour d’un point fixe O. Quand le mobile se trouve à 1 cm de O, la force de rappel a une intensité de 36 × 10−3 N. On prendra comme origine le point O et comme instant initial celui où le mobile est en O, animé d’une vitesse de 30 cm/s dans le sens adopté comme sens positif sur la trajectoire. (a) Déterminer la période du mouvement ainsi produit. (b) Ecrire les équations donnant la position, sa vitesse, son accélération et la force de rappel. (c) Déterminer : i. l’instant où le mobile passe pour la première fois par le point d’abscisse −3 cm, en se mouvant dans le sens négatif ; ii. l’énergie cinétique et l’énergie potentielle que possède ce mobile à cet ins- tant. (Rép : 1.047 s ; y = 0.05 sin(6t); v = 0.3 cos(6t); a = −1.8 sin(6t); f = −0.18 sin(6t); t = 0.63 s; Ec = 288 × 10−6 J; Ep = 162 × 106 J). 33. Le piston d’un moteur à explosion dont l’arbre tourne à raison de 4500 tours/minute a une course de 8 cm. En admettant que son mouvement est sinusoïdal : (a) écrire les équations de l’élongation, de la vitesse et de l’accélération de ce mo- bile en prenant pour origine et pour position initiale, le centre de symétrie du cylindre ; (b) déterminer la valeur maximale de l’accélération de rappel, la comparer à l’ac- célération de la pesanteur et calculer la valeur maximale de la force de rappel, sachant que le piston a une masse de 100 g ; (c) représenter les grandeurs sinusoïdales par leurs vecteurs de Fresnel. Echelle : 1 cm représente 10−2 pour l’élongation ; 4 m/s pour la vitesse et 2 × 102 m/s2 pour l’accélération. 50 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE (Rép : y = 0.04 sin(471t); y = 18.84 sin(471t + π/2); a = 8874 sin(471t + π); 887 N ). 34. Deux pendules simples effectuent respectivement 50 et 30 oscillations par minute. Que vaut le rapport de leurs longueurs ? (Rép : 0.36) 35. Lorsqu’un pendule assimilable à un pendule simple est écarté de sa position d’équi- libre d’un angle de 12°, la force qui le ramène vers cette position est de 1 N. Que vaut cet angle d’écart lorsque la force de rappel est doublée ? (Rép : 24°30’). 36. Une masse m supposée ponctuelle est suspendue à un fil inextensible et sans poids de longueur l = 2 m. (a) Déterminer la période d’oscillation en un lieu où g = 9.81 m/s2. (b) La masse m est écartée de sa position d’équilibre de manière que l’angle du fil avec la verticale 30°. Déterminer la vitesse de la masse au moment où elle repasse à la verticale du point de suspension. (c) Dans cette position, la masse se trouve à 2 m au-dessus du sol. Déterminer le point de chute de la masse sur le sol si le fil se rompt au moment du passage par la position considérée. (Rép : 2.8 s ; 2.3 m/s ; 1.46 m). 37. La période d’un pendule simple est de 2 secondes en un lieu où g = 9.81 m/s2. Quelle est sa longueur ? Il est suspendu par un fil métallique de coefficient de dilatation li- néaire λ = 1.5 × 10−5. De combien varie la période du pendule pour une élévation de température de 20°C. Avance-t-il ou retarde-t-il par rapport à un système oscillant rigoureusement invariable ? De combien par jour ? (Rép : 99.4 cm ; 3 × 10−4 s ; 13 s). 38. Une horloge est réglée par un pendule en laiton battant la seconde à 0°C. De com- bien cette horloge avancera-t-elle ou retardera-t-elle par jour si la température atteint 20°C ? On considère que ce pendule est assimilable à un pendule simple de même période que lui (pendule simple synchrone). λ = 1.85 × 10−5. (Rép : retard environ 16 s). 39. On réalise un pendule à l’aide d’une sphère de 1 kg suspendue à un fil fin. Déterminer la longueur de ce pendule assimilé à un pendule simple, sachant que sa période est de 2 secondes en un lieu où g = 9.8 m/s2. L’angle d’écart maximal par rapport à la position d’équilibre est de 10°. Déterminer : (a) la vitesse linéaire du centre de la sphère au moment où elle passe par la position d’équilibre ; (b) la traction exercée à ce moment par le fil de suspension. (Rép : 99.4 cm ; 54.5 cm/s ; environ 20 N). 2.4. EXERCICES 51 40. En un point s’ajoute deux MVS. Etablir l’équation du mouvement résultant. (a) y1 = sin(ωt + π/3) et y2 = sin(ωt − π/6) (b) y1 = 2 sin(ωt) et y2 = 5 sin(ωt + π/2) (c) y1 = 2 sin(ωt − π/4) et y2 = 3 sin(ωt + π/5) 41. En un point s’ajoutent algébriquement 2 MVS. Etablir l’équation du mouvement résultant. (a) y1 = 8 sin 10π t et y2 = 6 sin(10 π t + π/2) (b) y1 = 15 sin(10π t) et y2 = 15 sin (10π t + 3π/2) (c) y1 = 2 sin(ω t − π/3) et y2 = 2 sin (ω t + π/6) 42. En un point s’ajoutent algébriquement 2 MVS. Etablir l’équation du mouvement résultant. y1 y2 Réponse 1 y1 = 5 sin (4πt) y2 = 6 sin (4πt + π) y = sin (4πt + π) 2 y1 = 3 sin (4πt) y2 = 4 sin (4πt + π/2) y = 5 sin (4π + 0.927) 3 y1 = 4 sin (3πt) y2 = 2 sin (3πt − π) y = 2 sin (3πt) 4 y1 = 4 sin (4πt + 5π/4) y2 = 2 sin (4πt − 3π/4) y = 3 sin (4πt + 5π/4) 5 y1 = 3 sin (3πt) y2 = 3 sin (3πt − π/2) y = 4.2 sin (3π − π/4) 6 y1 = 4 sin (0.28t + 2π/5) y2 = 3 cos (0.28t + 2π/5) y = 3.16 sin (4πt + 0.23π) 43. En un point s’ajoutent algébriquement 2 MVS. Etablir l’équation du mouvement résultant. y1 y2 Réponse 1 y1 = 4 sin (0.28t + 2π/5) y2 = 3 cos (0.28t + 2π/5) y = 5 sin (0.28t + 1.9) 2 y1 = 4 sin (4t + π/2) y2 = 7 sin (4t + π3/) y = 8.4 sin (4t + 1.16) 3 y1 = 4 sin (0.03t + 2π/5) y2 = 3 sin (0.03t + 2π/3) y = 6.4 sin (0.03t + 1.61) 4 y1 = 4 sin (40t + π/6) y2 = 6 sin (40t + 2π/3) y = 7.2 sin (40t + 1.5) 5 y1 = 3 sin (25t + π/2) y2 = 3 sin (25t + π) y = 4.2 sin (25t + 3π/4) 6 y1 = 4 sin (20πt − 5π/6) y2 = 3 sin (20πt − 4π/3) y = 5 sin (20πt − 3.26) 52 CHAPITRE 2. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE Chapitre 3 La résonance Dans ce chapitre, nous allons voir comment l’énergie d’un oscillateur peut être trans- férée à un autre oscillateur. 3.1 Le pendule simple Nous savons qu’un pendule écarté de sa position d’équilibre peut, si nous le lâchons, effectuer des oscillations libres avec une période propre (ou une fréquence propre) qui lui est caractéristique. Les oscillations se poursuivent jusqu’au moment où l’énergie mécanique de départ aura complètement disparue, absorbée par le milieu extérieur au cours de l’amortissement. Si nous désirons que les oscillations continuent, il faut que le système oscillant reçoive de l’énergie du monde extérieur et ce pour compenser l’amortissement. Nous parlerons d’oscillations entretenues. (Balançoire, cloche,....) Si nous désirons que les oscillations continuent, il faut que le système oscillant reçoive de l’énergie du monde extérieur et ce pour compenser l’amortissement. Nous parlerons d’oscillations entretenues. (Balançoire, cloche,....) 3.2 Définitions Imaginons un sonneur de cloche qui ture sur une corde pour mettre la cloche en mou- vement.(Figure 3.1). Nous appellerons : 1. résonateur : le système qui reçoit de l’énergie (la cloche) ; 2. excitateur : le système qui fournit de l’énergie périodiquement (le sonneur de cloche). 3. le couplage : la liaison entre le résonateur et l’excitateur (la corde) Nous allons voir que ce transfert d’énergie entre l’excitateur et le résonateur n’est maxi- mum que dans le cas où une condition est réalisée : la condition de synchronisation. 53 54 CHAPITRE 3. LA RÉSONANCE Figure 3.1 – Le sonneur de cloche. 3.3 Expérience Prenons quatre pendules de longueurs L1 , L2 , L3 , L4 donc de différentes fréquences propres. Suspendons-les à une corde rigide. Prenons un cinquième pendule de longueur L5. (Voir figure 3.2) Si on écarte le 5, il oscille. On constate alors que son amplitude diminue alors que le 3 se met à osciller graduellement. Les 1, 2, 4 restant pratiquement immobiles. Donc l’énergie du 5 (appelé l’excitateur) se transmet progressivement sur le 3 (appelé le résonateur) par l’intermédiaire de la corde (= couplage). Figure 3.2 – Quatre pendules L1 , L2 , L3 , L4 de longueurs différentes et donc de fréquences différentes et un pendule L5 de longueur ajustable et donc de fréquence également ajus- table. 3.4. CONCLUSIONS 55 Nous appellerons résonance : le transfert maximum d’énergie entre deux sys- tèmes. L’énergie se transmet entre les systèmes qui ont la même fréquence propre d’os- cillation ou de vibration. Entre les systèmes qui ont des fréquences propres différentes, il n’y pas ou peu de transfert d’énergie. 3.4 Conclusions Il y a résonance lorsque la fréquence propre du résonateur est égale à la fréquence propre de l’excitateur. Le transfert d’énergie a donc un caractère sélectif : le résonateur absorbe l’énergie de façon préférentielle à sa fréquence propre. 3.5 Applications 1. Résonance acoustique : deux diapasons entre en résonance s’ils sont rigoureusement identiques. (Voir figure 3.3). Figure 3.3 – Résonance acous- tique : deux diapasons entre en réso- nance s’ils sont rigoureusement iden- tiques. 2. Balançoire : Le pousseur (excitateur) communique à la balançoire (résonateur) des impulsions périodiques et ce avec une fréquence égale à celle des oscillations de la ba- lançoire. Dans ces conditions de petites impulsions entraînent une grande amplitude progressive. (Voir figure 3.4). Figure 3.4 – Un enfant sur une ba- lançoire doit régler le rythme de ses impulsions sur la fréquence propre de la balançoire s’il désire que l’ampli- tude devienne importante. Dans ce cas l’enfant (ou la personne derrière lui) est l’excitateur qui communique des impulsions périodiques au résona- teur (système enfant-balançoire). 3. Masse d’eau dans un récipient : l’eau dans une baignoire a une fréquence propre d’oscillation Des mouvements périodiques de la main la font osciller et peuvent la faire déborder. 4. Pièces de voiture : rétroviseur, changement de vitesse, vitre, volant,... peuvent vibrer lorsque la voiture a une vitesse déterminée : ce qui correspond à une vitesse de rotation du moteur bien déterminée. 56 CHAPITRE 3. LA RÉSONANCE 5. Un verre en cristal émet un son si on le frotte à une certaine vitesse. Si on envoie un son avec une fréquence égale à celle du verre, il est possible que le verre éclate car il absorbe l’énergie acoustique qui lui est apportée à sa fréquence propre. (Voir figure 3.5). Figure 3.5 – (a) Un verre oscillant selon deux modes possibles. La région brillante de la photo est la partie du verre qui ne vibre pas. Les photos ont été prises à partir d’hologrammes interférométriques. (b) Un homme jouant un air dans une rue en faisant résonner des verres calibrés de différentes tailles. L’instrument appelé "Glass-harmonika" a été utilisé par Mozart. 6. On casse le pas en passant sur un pont pour ne pas avoir une fréquence particulière égale à celle du pont. 7. Les bateaux sont équilibrés pour que leur fréquence propre soit supérieure à celle de la houle. 8. Une voiture montée sur ressorts peut entrer en résonance avec les bosses de la route. Pour l’éviter, on lui met des amortisseurs. (Voir figure 3.6). Figure 3.6 – L’amortisseur d’une voiture a un frottement visqueux ; la force est proportionnelle à la vi- tesse du piston, qui peut être pro- duite quand la voiture passe dans une fondrière, se heurte à une grand force d’amortissement. Par contre un mou- vement lent et progressif du piston ne rencontre qu’un faible résistance. 9. Nous savons que les séismes correspondent à des vibrations brutales du sol qui se propagent ; - à partir du foyer, la déformation se propage sous forme d’ondes sis- miques ; ce sont ces ondes qui en arrivant en surface sont responsables des dégâts. Ce qui est frappant, lors d’un séisme destructeur, ce sont les bâtiments pratiquement "intacts" qui côtoient ceux totalement détruits. Chaque bâtiment